Basiswissen Zahlentheorie
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Kristina Reiss Gerald Schmieder Basiswissen Zahlentheorie Eine Einführung in Zahlen und Zahlbereiche Mit Abbildungen Springer XI Vorwort Inhaltsverzeichnis 1.2.4 1.2.5 1.3 Grundlagen und Voraussetzungen Mengen ........................................................... Mengen und ihre Elemente ........ ...................... Mengen und ihre Mächtigkeit ................... Gleichheit von Mengen und Teilmengen ................... Verknüpfungen von Mengen ................................. Grundbegriffe des logischen Schließens .................... lmplikationen und die Äquivalenz von Aussagen ......... Mathematische Logik und Alltagslogik ..................... Einige (wenige) Regeln des mathematischen Beweisens ....................... und logischen Schließens...... Implikation en und Beweisverfah ren ......................... Quantoren .............. ........ .... U bungsa ufga ben ................................................ 2 2.1 2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4 2.2 2.2.1 2.2.2 2.3 2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.7.1 2.7.2 2.7.3 2.8 Natürliche Zahlen Rechnen mit natürlichen Zahlen ............................ Addition und Subtraktion ..................................... Das Prinzip des kleinsten Elements ......................... Multiplikation und Teilbarkeit ................................ Die Goldbach'sche Vermutung ............................... Die Idee der unendlichen Mengen ........................... Gibt es unendliche Mengen? ................................. Hilberts Hotel ...................................... Beweise durch vollständige Induktion ...................... Häufige Fehler .................................................. Produkt und Induktion ........................................ Definition durch Induktion ................................... Der binomische Lehrsatz ...................................... Evidenz und Wahrheit ........... Was sind die natürlichen Zahlen? ........................... Axiome für die natürlichen Zahlen .................. Die Peano-Axiome ............................................. Modelle zu den Peano-Axiomen .................. Mengentheoretische Begründung von N ................... Übungsaufgaben ................................................ 1 1.1 1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.4 1.2 1.2.1 1.2.2 1.2.3 4 4 6 7 9 11 12 13 13 14 17 19 23 23 24 27 30 32 32 32 34 36 37 39 46 52 55 57 57 60 62 62 Vorwort 3 3.1 3.2 3.3 3.3.1 3.3.2 3.4 3.5 3.5.1 3.5.2 3.6 Zahldarstellungen und Stellenwertsysteme Beispiele für Zahldarstellungen .............................. Division mit Rest ............................................... Die Kreuzprobe ................................................. Das Prinzip der Kreuzprobe .................................. Die Begründung der Kreuzprobe ............................ Zahldarstellung in g-adischen Systemen ................... Rechnen in Stellenwertsystemen ............................ Addition und Subtraktion in g-adischen Systemen ...... Multiplikation und Division in g-adischen Systemen .... Ubungsaufgaben ................................................ 4 4.1 4.2 4.2.1 4.2.2 4.2.3 4.2.4 4.3 4.4 Teilbarkeit und Primzahlen Teilbarkeit in N ............................. Primzahlen ....................................... Das Sieb des Eratosthenes . ............................. Die Unendlichkeit der Menge der Primzahlen ...... Primzahlzwillinge. Primzahltupel. Primzahlformeln ..... Primfaktorzerlegung ....................................... Teilbarkeit und Primfaktoren in Z .......................... U bungsaufgaben .......................................... 91 95 96 97 99 101 106 114 5 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 Teiler und Vielfache Der größte gemeinsame Teiler in Z......................... Der euklidische Algorithmus ................................. Das kleinste gemeinsame Vielfache in Z................... Vollkommene Zahlen .......................................... Ubungsaufga ben ................................................ 119 125 130 133 140 6 6.1 6.2 6.3 Ganze Zahlen Definition der ganzen Zahlen 6.4 6.5 7 7.1 7.2 7.2.1 7.3 ................................ Rechnen mit ganzen Zahlen .................................. Die isomorphe Einbettung der natürlichen in die ganzen Zahlen ....................... Die Anordnung der ganzen Zahlen .......................... Ubungsaufgaben ................................................ Restklassen Kongruenzen .................................................... 67 71 75 75 76 78 82 83 85 88 147 154 159 165 166 171 Verknüpfungen von Restklassen ............................. 177 Der Ring Zm der Restklassen modulo m .................. 186 Teil barkeitsregel n ............................................... 188 Vorwort 7.3.1 7.3.2 7.4 7.4.1 7.5 Quersummenregeln ............................................. Endstellenregeln ................................................ Pseudozufallszahlen und Kongruenzen ..................... Die Erzeugung von Pseudozufallszahlen ................... Ubungsaufgaben ................................................ 188 191 192 194 195 8 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 Lineare und quadratische Kongruenzen Lineare Kongruenzen und ihre Lösbarkeit ................. Anwendungen linearer Kongruenzen ........................ Sätze von Euler ................................................. Chinesischer Restsatz .......................................... Quadratische Kongruenzen ................................... Übungsaufgaben ................................................ 199 204 207 212 214 224 9 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 Teilbarkeit in Integritätsringen Integritätsringe .................................................. Einheiten. Teiler und assoziierte Elemente ................ Primelemente ................................................... Nebenklassen. Ideale und Hauptidealringe ................ Eigenschaften von Hauptidealringen ........................ Übungsaufgaben ................................................ 228 233 242 250 257 263 Rationale Zahlen Definition der rationalen Zahlen ............................. 267 Q ist eine große Menge: Dezimaldarstellung .............. 277 Q ist eine kleine Menge: Abzählbarkeit .................... 286 Abzählen nach der Summe von Zähler und Nenner ..... 287 Die Abzählbarkeit der rationalen Zahlen ................... 289 Q i s t eine kleine Menge: 290 Rationale und reelle Zahlen .................................. Kettenbrüche ..... 10.5 10.5.1 Darstellung von r 299 durch Kettenbrüche ............................................ 10.5.2 Darstellung von irrationalen Zahlen ........................... 301 durch Kettenbrüche ............ ................................................ 302 Übungsaufgaben 10.6 10 10.1 10.2 10.3 10.3.1 10.3.2 10.4 11 11.1 11.2 11.3 11.4 Reelle Zahlen Konvergenz ...................................................... Die Erweiterung von Q auf R ................................ Nachweis des Grenzwerts ..................................... Übungsaufgaben ................................................ 309 320 327 333 .. Vorwort 12 12.1 12.1.1 12.1.2 12.2 12.3 12.4 12.5 12.6 12.7 Komplexe Zahlen Definition der komplexen Zahlen ............................ Die Zahlenebene ................................................ Polarkoordinaten ............ ....................... Addition und Multiplikation .................................. Reelle Zahlen sind komplexe Zahlen . ............... Rechnen mit komplexen Zahlen ............................. ................... Q ad ratische Gleich ungen ........ Gleichungen höherer Ordnung ............................... Übungsaufgaben ................... .................. 13 13.1 13.2 13.3 13.4 13.4.1 Zahlentheoretische Funktionen Begriffsbestimmung............................. Primzahlverteilung ............................................. Die Euler'sche - F u n k t i o n ........ ................. Die Riemann'sche <-Funktion ................................ Ungerade natürliche Zahlen und die Riemann'sche <-Funktion ........................... 13.4.2 Zusammenhänge der Riemann'schen <-Funktion mit den Primzahlen ............................................ 13.5 Übungsaufgaben ................................................ 14 14.1 14.1.1 14.1.2 14.2 14.2.1 14.2.2 14.2.3 14.2.4 14.2.5 14.3 338 338 339 343 346 348 353 358 363 367 368 370 377 379 379 382 Anwendungen der elementaren Zahlentheorie Verwaltung von Lagerbeständen ............................ EAN (European Article Number) ........................... ISBN (International Standard Book Number) ............ Kryptographie ................................................... Einheiten in Zpq ..... ........................... Grundlagen des RSArens ............................ Praktische Zahlenkodierung .................................. Ein Beispiel zur Kodierung und Dekodierung ... Pra k tische Text kodierung ..................................... Übungsaufgaben ..... ..... 387 387 390 393 398 399 400 402 403 407 Lösungshinweisezu den Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . 411 Lösungen zu den Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463
