Basiswissen Zahlentheorie : eine Einführung in Zahlen und
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Kristina Reiss • Gerald Schmieder Basiswissen Zahlentheorie Eine Einführung in Zahlen und Zahlbereiche 3., überarbeitete Auflage 2014 4^ Springer Spektrum Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen und Voraussetzungen 1 1.1 2 Mengen Mengen Mengen und ihre Mächtigkeit 2 1.1.2 1.1.3 Gleichheit von 6 1.1.4 Verknüpfungen 1.1.1 1.2 Grundbegriffe 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.3 2 und ihre Elemente des Mengen von logischen und 4 Teilmengen 7 Mengen Schließens Implikationen und die Äquivalenz von Aussagen Mathematische Logik und Alltagslogik 10 11 11 des mathematischen Beweisens 12 1.2.4 Einige (wenige) Regeln und logischen Schließens Implikationen und Beweisverfahren 1.2.5 Quantoren 16 Übungsaufgaben 13 17 Natürliche Zahlen 19 2.1 20 2.2 2.3 Rechnen mit natürlichen Zahlen 2.1.1 Addition und Subtraktion 20 2.1.2 Das Prinzip Multiplikation und Teilbarkeit 21 2.1.3 2.1.4 Die Goldbach'sche 27 Die Idee der unendlichen Gibt 2.2.2 Hilberts Hotel Das es 24 Vermutung Mengen unendliche Mengen? 2.2.1 Beweisen durch 28 28 29 Prinzip der vollständigen Induktion 2.3.1 2.4 des kleinsten Elements vollständige Induktion 30 30 2.3.2 Definition durch Induktion: Das Produkt natürlicher Zahlen 36 2.3.3 Definition durch Induktion: 37 2.3.4 Definition durch Induktion: Die Fibonacci-Zahlen 38 2.3.5 Geometrische Summenformel 41 Der binomische Lehrsatz n Fakultät 44 XV Inhaltsverzeichnis XVI 2.5 Ein Exkurs über Evidenz und Wahrheit 50 2.6 Ein Axiomensystem für die natürlichen Zahlen 53 2.7 3 2.6.1 Was sind die natürlichen Zahlen? 53 2.6.2 Die Peano-Axiome 55 2.6.3 Modelle 58 2.6.4 Mengentheoretische Begründung 3.2 Division mit Rest 3.3 Die Das Prinzip 59 60 63 63 67 Kreuzprobe 71 der 72 Kreuzprobe Begründung der Kreuzprobe Zahldarstellung in g-adischen Systemen 73 3.4 3.5 Rechnen in 78 3.5.1 3.5.2 3.6 Die Stellenwertsystemen Addition und Subtraktion in g-adischen Systemen Multiplikation und Division in g-adischen Systemen Übungsaufgaben 74 78 81 84 85 Teilbarkeit und Primzahlen 4.1 Teilbarkeit in N 85 4.2 Primzahlen 89 4.2.1 Das Sieb des Eratosthenes 4.2.2 Die Unendlichkeit der 4.2.3 4.2.4 6 N Zahldarstellungen und Stellenwertsysteme 3.1 Beispiele für Zahldarstellungen 3.3.2 5 von Übungsaufgaben 3.3.1 4 zu den Peano-Axiomen 90 der Primzahlen Menge Primzahlzwillinge, Primzahltupel, Primzahlformeln Primfaktorzerlegung 91 94 95 4.3 Teilbarkeit und Primfaktoren in Z 100 4.4 Übungsaufgaben 108 Teiler und Vielfache 111 5.1 Der 5.2 Der euklidische größte gemeinsame Teiler in Algorithmus 5.3 Das kleinste 5.4 Vollkommene Zahlen 125 5.5 Übungsaufgaben 132 gemeinsame Z Vielfache in Z Ganze Zahlen 111 117 122 133 6.1 Definition der ganzen Zahlen 135 6.2 Rechnen mit ganzen Zahlen 141 6.3 Die 146 6.4 Die 6.5 Übungsaufgaben der natürlichen in die ganzen Zahlen isomorphe Einbettung Anordnung der ganzen Zahlen 151 153 Inhaltsverzeichnis XVII Restklassen 155 7 7.1 Kongruenzen 7.2 Verknüpfungen von 7.3 Der 8 7.3.1 Quersummenregeln 170 7.3.2 Endstellenregeln Zusammengesetzte und andere Teilbarkeitsregeln 173 10 168 170 Pseudozufallszahlen und 175 175 Kongruenzen Die Erzeugung von Pseudozufallszahlen Übungsaufgaben 176 178 181 8.2 quadratische Kongruenzen Kongruenzen und ihre Lösbarkeit Anwendungen linearer Kongruenzen 8.3 Sätze 189 8.4 Chinesischer Restsatz 193 8.5 Quadratische Kongruenzen 195 8.6 Übungsaufgaben 205 Lineare von Teilbarkeit in 181 186 Euler 207 Integritätsringen 9.1 Integritätsringe 208 9.2 Einheiten, Teiler und assoziierte Elemente 213 9.3 Primelemente 221 9.4 Nebenklassen, Ideale 9.5 Eigenschaften 9.6 Übungsaufgaben Anwendungen 10.1 10.2 10.3 von und Hauptidealringe 228 235 Hauptidealringen 240 der elementaren Zahlentheorie Verwaltung 241 242 Lagerbeständen (European Article Number) von 10.1.1 EAN 10.1.2 ISBN (International Standard Book 242 Number) Kryptographie 10.2.1 11 m Lineare und 8.1 9 der Restklassen modulo Ring Zm Teilbarkeitsregeln 7.4.1 7.5 161 7.2.1 7.3.3 7.4 156 Restklassen 244 247 Einheiten in Zpq 252 10.2.2 Grundlagen des RSA-Verfahrens 253 10.2.3 Praktische 10.2.4 Ein 10.2.5 Praktische Textkodierung Zahlenkodierung Beispiel zur Kodierung und 254 Dekodierung Übungsaufgaben Rationale Zahlen 255 256 260 261 11.1 Definition der rationalen Zahlen 262 11.2 Q 271 ist eine große Menge: Dezimaldarstellung Inhaltsverzeichnis XVIII 11.3 13 Menge: Abzählbarkeit Abzählen nach der Summe von Zähler und Nenner 11.3.2 Die Abzählbarkeit der rationalen Zahlen Q ist 11.5 Kettenbrüche eine kleine Menge: Rationale und reelle Zahlen 279 280 283 284 289 11.5.1 Darstellung von rationalen Zahlen durch Kettenbrüche 292 11.5.2 Darstellung von irrationalen Zahlen durch Kettenbrüche 293 Übungsaufgaben 294 Reelle Zahlen 297 12.1 Konvergenz 12.2 Die 12.3 Nachweis des Grenzwerts 315 12.4 Übungsaufgaben 321 299 Erweiterung von Q auf R Komplexe Zahlen 13.1 14 eine kleine 11.3.1 11.4 11.6 12 Q ist 309 323 Definition der komplexen Zahlen 324 13.1.1 Die Zahlenebene 325 13.1.2 Polarkoordinaten 326 13.2 Addition und 13.3 Reelle Zahlen sind 331 334 Multiplikation komplexe Zahlen komplexen Zahlen 329 13.4 Rechnen mit 13.5 Quadratische Gleichungen 338 13.6 Gleichungen höherer Ordnung 342 13.7 Übungsaufgaben 347 Zahlentheoretische Funktionen 349 350 14.2 Begriffsbestimmung Primzahlverteilung 14.3 Die Euler'sche 352 14.4 Die Riemann'sche ^-Funktion 14.1 14.4.1 351 ^-Funktion Ungerade natürliche Zahlen und die Riemann'sche ^-Funktion 14.4.2 Zusammenhänge Primzahlen 14.5 Übungsaufgaben 359 361 der Riemann'schen ^-Funktion mit den 361 364 Lösungshinweise 365 Lösungen 379 Literaturverzeichnis 421 Sachverzeichnis 423
