Inhaltsverzeichnis
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Inhaltsverzeichnis 1 Historische Notizen 1.1 1.2 1.3 Wahrheit und Beweisbarkeit Der Weg zur modernen Mathematik 1.2.1 Rätsel des Kontinuums 1.2.2 A u f den Spuren der Unendlichkeit 1.2.3 Macht der Symbole 1.2.4 Aufbruch in ein neues Jahrhundert 1.2.5 Grundlagenkrise 1.2.6 Axiomatische Mengenlehre 1.2.7 Hilberts Programm und Gödels Beitrag 1.2.8 Grenzen der Berechenbarkeit 1.2.9 Auferstanden aus Ruinen Übungsaufgaben 2 Formale Systeme 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 Definition und Eigenschaften Entscheidungsverfahren Aussagenlogik 2.3.1 Syntax und Semantik 2.3.2 Aussagenlogischer Kalkül Prädikatenlogik erster Stufe 2.4.1 Syntax und Semantik 2.4.2 Prädikatenlogischer Kalkül Prädikatenlogik mit Gleichheit Prädikatenlogik höherer Stufe 2.6.1 Syntax und Semantik 2.6.2 Henkin-Interpretation Übungsaufgaben 3 Fundamente der Mathematik 3.1 Peano-Arithmetik 3.1.1 Syntax 3.1.2 Semantik 3.1.3 Axiome und Schlussregeln http://d-nb.info/1028416504 1 1 7 7 13 27 31 36 42 44 53 61 67 71 71 83 87 87 93 103 104 109 112 117 117 121 124 133 134 134 135 139 VIII 3.2 3.3 Inhaltsverzeichnis Axiomatische Mengenlehre 3.2.1 Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre 3.2.1.1 ZF-Axiome 3.2.1.2 Das Auswahlaxiom 3.2.1.3 Mengenlehre als Fundament der Mathematik 3.2.1.4 Einbettung der natürlichen Zahlen 3.2.2 Ordinalzahlen 3.2.2.1 Definition und Eigenschaften 3.2.2.2 Der Unendlichkeit entgegen 3.2.2.3 Ordnungstypen und Wohlordnungen 3.2.2.4 Transfinite Induktion 3.2.3 Kardinalzahlen Übungsaufgaben 4 Beweistheorie 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 Gödel'sche Unvollständigkeitssätze Der erste Unvollständigkeitssatz 4.2.1 Arithmetisierung der Syntax 4.2.2 Primitiv-rekursive Funktionen 4.2.3 Arithmetische Repräsentierbarkeit 4.2.4 Gödels Diagonalargument 4.2.5 Rossers Beitrag 4.2.6 Das Diagonalisierungslemma 4.2.7 Das Wahrheitsprädikat von Tarski 4.2.8 Das Berry-Paradoxon Der zweite Unvollständigkeitssatz 4.3.1 Hilbert-Bernays-Löb-Kriterien 4.3.2 Der Satz von Löb Gödels Sätze richtig verstehen Der Satz von Goodstein Übungsaufgaben 5 Berechenbarkeitstheorie 5.1 5.2 5.3 Berechnungsmodelle 5.1.1 Turing-Maschinen 5.1.1.1 Erweiterungen des Basismodells 5.1.1.2 Alternative Beschreibungsformen 5.1.1.3 Universelle Turing-Maschine 5.1.2 Registermaschinen Die Church'sche These Grenzen der Berechenbarkeit 5.3.1 Das Halteproblem 147 149 150 158 164 172 174 174 179 186 189 192 194 199 199 200 204 209 211 218 225 228 233 238 242 245 247 252 258 265 269 270 270 274 276 279 284 287 294 294 Inhaltsverzeichnis 5.4 5.5 5.3.2 Folgen 5.4.1 5.4.2 5.4.3 Der Satz von Rice für die Mathematik Unentscheidbarkeit der PL1 Unvollständigkeit der Arithmetik Hilberts zehntes Problem 5.4.3.1 Diophantische Repräsentierbarkeit 5.4.3.2 Codierung von Registermaschinen Übungsaufgaben 6 Algorithmische Informationstheorie 6.1 6.2 6.3 6.4 Algorithmische Komplexität Die Chaitin'sche Konstante Unvollständigkeit formaler Systeme Übungsaufgaben 7 Modelltheorie 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 Meta-Resultate zur Prädikatenlogik 7.1.1 Modellexistenzsatz 7.1.2 Kompaktheitssatz 7.1.3 Satz von Löwenheim-Skolem Nichtstandardmodelle von PA 7.2.1 Abzählbare Nichtstandardmodelle 7.2.2 Überabzählbare Nichtstandardmodelle Das Skolem-Paradoxon Boolesche Modelle 7.4.1 Definition und Eigenschaften 7.4.2 Ein einfacher Unabhängigkeitsbeweis Übungsaufgaben IX 297 299 300 307 315 318 320 331 339 340 348 358 361 365 366 369 371 375 378 379 382 389 396 397 402 409 Literaturverzeichnis 417 Bildnachweis 425 Namensverzeichnis 427 Sachwortverzeichnis 431
