Einführung in die numerische Berechnung von Finanz
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Rüdiger Seydel Einführung in die numerische Berechnung von Finanz-Derivaten Computational Finance Mit 34 Abbildungen, 4 Tabellen und 36 Übungsaufgaben jH9 Springer Inhalt Vorwort v Bezeichnungen xi Kapitel 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1 1 6 8 10 17 20 20 23 26 29 31 1 Grundlagen Optionen Partielle Differentialgleichungen Numerische Methoden Binomial-Bäume Stochastische Prozesse Stochastische Differentialgleichungen 1.6.1 Itö-Prozess 1.6.2 Anwendung auf Aktien 1.7 Itö-Lemma und Folgerungen Anmerkungen Übungsaufgaben Kapitel 2 Berechnung von Zahlen nach vorgebenen Verteilungen 2.1 Pseudo-Zufallszahlen 2.1.1 Lineare Kongruenz-Methoden 2.1.2 Zufalls-Vektoren 2.1.3 Fibonacci-Generatoren 2.2 Transformierte Zufallsvariable 2.2.1 Inversion 2.2.2 Transformation im R 1 2.2.3 Transformation i m ß " 2.3 Normalverteilte Zufallsvariable 2.3.1 Methode von Box-Muller (1958) 2.3.2 Methode von Marsaglia 2.3.3 Korrelierte Zufallsvariable 2.4 Zahlenfolgen mit niedriger Diskrepanz 2.4.1 Monte-Carlo-Integration 2.4.2 Diskrepanz 2.4.3 Beispiele von Folgen niedriger Diskrepanz 35 35 36 36 40 42 42 43 45 45 45 46 47 49 49 51 53 VIII Inhalt Anmerkungen Übungsaufgaben Kapitel 3 Integration von Stochastischen Differentialgleichungen 3.1 Genauigkeit 3.2 Stochastische Taylorentwicklungen 3.3 Beispiele Numerischer Methoden 3.4 Zwischenwerte 3.5 Monte-Carlo-Simulation Anmerkungen Übungsaufgaben Kapitel 4 Black-Scholes und Finite Differenzen 4.1 Vorbereitungen 4.2 Grundlagen von Differenzenverfahren 4.2.1 Differenzen-Approximationen 4.2.2 Das Gitter 4.2.3 Explizites Verfahren 4.2.4 Stabilität 4.2.5 Implizite Methode 4.3 Crank-Nicolson Verfahren 4.4 Randbedingungen 4.5 Amerikanische Optionen als freie Randwertprobleme 4.5.1 Freie Randwertprobleme 4.5.2 Black-Scholes-Ungleichung 4.5.3 Hindernis-Probleme 4.5.4 Lineare Komplementarität für Amerikanische Put Optionen 4.6 Berechnung amerikanischer Optionen 4.6.1 Diskretisierung mit Finiten Differenzen 4.6.2 Iterative Lösung 4.6.3 Algorithmus zur Berechnung von Amerikanischen Optionen 4.7 Zur Genauigkeit Anmerkungen Übungsaufgaben Kapitel 5 Finite-Element-Methoden 5.1 Gewichtete Residuen 5.1.1 Prinzip der gewichteten Residuen 5.1.2 Beispiele für Gewichtsfunktionen 5.1.3 Beispiele für Basisfunktionen 5.2 Galerkin-Ansatz mit Hutfunktionen 55 56 61 62 64 66 70 70 74 75 77 77 80 80 81 82 84 86 88 91 93 93 95 96 98 100 100 102 104 105 107 108 111 111 113 114 115 116 Inhalt IX 5.2.1 Hutfunktionen 116 5.2.2 Eine einfache Anwendung 119 5.3 Anwendung auf Optionen 121 5.4 Fehlerabschätzungen 124 5.4.1 Klassische und schwache Lösungen 125 5.4.2 Approximation auf endlich-dimensionalem Teilraum . 127 5.4.3 Lemma von Cea 128 Anmerkungen 130 Übungsaufgaben 131 Anhänge AI Finanz-Derivate und ihr Umfeld A2 Wichtiges aus Wahrscheinlichkeit und Statistik A3 Die Black-Scholes-Gleichung A4 Methoden der Numerik A5 Iterative Verfahren für Ax = b A6 Funktionenräume 133 133 134 136 138 141 144 Literatur 147 Index 151
