EINLEITUNG 13 1 FUNKTIONSBEGRIFF, EINFACHE FUNKTIONEN
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- 7 - INHALT EINLEITUNG 1 FUNKTIONSBEGRIFF, EINFACHE FUNKTIONEN, TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN 1.1 Der mathematische Funktionsbegriff und seine Bedeutung für die Physik 1.1.1 Zusammenhänge in der Physik und ihre mathematische Beschreibung 1.1.2 Der Funktionsbegriff 1.2 Koordinatensystem, Ortsvektor 1.2.1 Bestimmung der Lage eines Punktes bei gegebenen Koordinaten 1.3 Graphische Darstellung von Funktionen 1.3.1 Ermittlung des Graphen aus der Funktionsgleichung für die Gerade 1.3.2 Bestimmung der Funktionsgleichung einer Geraden aus ihrem Graphen 1.3.3 Graphische Darstellung von Funktionen 1.3.4 Veränderung von Funktionsgleichungen und ihrer Graphen 1.4 Winkelfunktionen, trigonometrische Funktionen 1.4.1 Einheitskreis 1.4.2 Sinusfunktion 1.4.3 Kosinusfunktion 1.4.4 Zusammenhang zwischen Kosinus- und Sinusfunktion 1.4.5 Tangens, Kotangens 1.4.6 Additionstheorem, Superposition von trigonometrischen Funktionen Beziehungen zwischen trigonometrischen Funktionen Tabelle spezieller Funktionswerte Übungsaufgaben Lösungen 2 POTENZEN, LOGARITHMUS, UMKEHRFUNKTION 2.1 Potenzen, Exponentialfunktion 2.1.1 Potenzen 2.1.2 Rechenregeln für Potenzen 2.1.3 Exponentialfunktion 2.2 Logarithmus, Logarithmusfunktion 2.2.1 • Logarithmus 2.2.2 Rechenregeln für Logarithmen 2.2.3 Logarithmusfunktion http://d-nb.info/840731035 13 19 19 19 20 23 24 25 27 29 29 32 34 34 35 43 44 45 46 50 50 51 53 56 56 56 57 59 63 63 67 70 - 8 - 2.3 3 Umkehrfunktion (inverse Funktion), mittelbare Funktion 2.3.1 Umkehrfunktion oder inverse Funktion 2.3.2 Logarithmusfunktion als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion 2.3.3 Mittelbare Funktion, Funktion einer Funktion Übungsaufgaben Lösungen DIFFERENTIALRECHNUNG 3.1 Folge und Grenzwert 3.1.1 Die Zahlenfolge 3.1.2 Grenzwert einer Zahlenfolge 3.1.3 Grenzwert einer Funktion 3.2 Stetigkeit 3.3 Reihe und Grenzwert 3.3.1 3.3.2 3.4 3.5 3.6 3.7 4 Reihe Geometrische Reihe Die Ableitung einer Funktion 3.4.1 Die Steigung einer Geraden 3.4.2 Die Steigung einer beliebigen Kurve 3.4.3 Der Differentialquotient 3.4.4 Physikalische Anwendung: Die Geschwindigkeit 3.4.5 Das Differential Die praktische Berechnung des Differentialguotienten 3.5.1 Differentiationsregeln 3.5.2 Ableitung einfacher Funktionen 3.5.3 Die Differentiation komplizierter Funktionen Höhere Ableitungen Maxima und Minima Differentiationsregeln Ableitung einfacher Funktionen Übungsaufgaben Lösungen INTEGRALRECHNUNG 4.1 Die Stammfunktion 4.1.1 Grundproblem der Integralrechnung 4.2 Flächenproblem und bestimmtes Integral 4.3 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Die Flächenfunktion als Stammfunktion von f(x) 4.4 Bestimmtes Integral 4.4.1 Beispiele für das bestimmte Integral 71 71 74 75 77 79 80 80 80 81 85 88 89 89 91 92 92 92 95 96 98 99 99 102 107 110 111 115 115 116 119 121 121 121 123 126 129 131 - 9 - 5 4.5 Zur Technik des Integrierens 4.5.1 Verifizierungsprinzip 4.5.2 Stammintegrale 4.5.3 Konstanter Faktor und Summe 4.5.4 Integration durch Substitution 4.5.5 Partielle Integration 4.6 Rechenregeln für bestimmte Integrale 4.7 Substitution bei bestimmten Integralen 4.8 Mittelwertsatz der Integralrechnung 4.9 Uneigentliche Integrale 4.10 Arbeit im Gravitationsfeld Integrationsregeln und -techniken Tabelle der wichtigsten Grundintegrale Übungsaufgaben Lösungen 134 134 135 136 137 139 140 142 144 144 146 148 149 150 153 VEKTORRECHNUNG I 5.1 Skalare und Vektoren 5.2 Addition von Vektoren 5.2.1 Summe zweier Vektoren: Geometrische Addition 5.3 Subtraktion von Vektoren 5.3.1 Der Gegenvektor ^ . 5.3.2 Differenz zweier Vektoren a und b: Geometrische Subtraktion 5.4 Komponente und Projektion eines Vektors 5.5 Komponentendarstellung im Koordinatensystem 5.5.1 Ortsvektor 5.5.2 Einheitsvektoren 5.5.3 Komponentendarstellung eines Vektors 5.5.4 Darstellung der Summe zweier Vektoren in Komponentenschreibweise 5.5.5 Differenz von Vektoren in Komponenten­ schreibweise 5.6 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar 5.7 Betrag eines Vektors Übungsaufgaben Lösungen 156 156 160 160 161 161 162 163 165 165 165 166 168 170 171 172 174 177 - 10 - 6 VEKTORRECHNUNG II SKALARPRODUKT, VEKTORPRODUKT 6.1 Skalarprodukt 6.1.1 Sonderfälle 6.1.2 Kommutativ- und Distributivgesetz 6.2 Kosinussatz 6.3 Skalares Produkt in Komponentendarstellung 6.4 Vektorprodukt 6.4.1 Drehmoment 6.4.2 Das Drehmoment als Vektor 6.4.3 Definition des Vektorprodukts 6.4.4 Sonderfälle 6.4.5 Vertauschung der Reihenfolge 6.4.6 Allgemeine Fassung des Hebelgesetzes 6.5 Vektorprodukt in Komponentendarstellung Übungsaufgaben Lösungen 7 TAYLORREIHE UND POTENZREIHENENTWICKLUNG 7.0 Vorbemerkung 7.1 Entwicklung einer Funktion in eine Potenzreihe 7.2 Gültigkeitsbereich der Taylorentwicklung (Konvergenzbereich) 7.3 Das Näherungspolynom 7.3.1 Abschätzung des Fehlers 7.4 Entwicklung der Funktion f(x) an einer beliebigen Stelle, allgemeine Taylorentwicklung 7.5 Nutzen der Reihenentwicklung 7.5.1 Polynome als Näherungsfunktionen 7.5.2 Tabelle gebräuchlicher Näherungspolynome 7.5.3 Integration über Potenzreihenentwicklung Übungsaufgaben Lösungen 197 197 199 KOMPLEXE ZAHLEN 8.1 Definition und Eigenschaften der komplexen Zahlen 8.1.1 Die imaginäre Zahl 8.1.2 Komplexe Zahlen 8.1.3 Anwendungsgebiete 8.1.4 Rechenregeln 8.2 Komplexe Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene 8.2.1 Die Gaußsche Zahlenebene 8.2.2 Komplexe Zahlen in der Schreibweise mit Winkelfunktionen 219 219 8 179 180 182 183 183 184 185 185 187 188 189 190 191 191 193 195 204 205 207 208 209 209 211 213 215 216 219 220 220 221 222 222 223 - 11 - 8.3 Die Exponentialform einer komplexen Zahl 8.3.1 Eulersche Formel 8.3.2 Umkehrformeln zur Eulerschen Formel 8.3.3 Komplexe Zahlen als Exponenten 8.3.4 Multiplikation und Division 8.3.5 Potenzieren und Wurzelziehen 8.3.6 Periodizität von r-e-"-01 8.3.7 Beispiel Definition und Formeln Übungsaufgaben Lösungen 9 DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 9.1 Begriff der Differentialgleichung, Einteilung der Differentialgleichungen 9.2 Die allgemeine Lösung der linearen Differentialgleichungen 1. und 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten 9.2.1 Der Exponentialansatz 9.2.2 Die allgemeine Lösung der inhomogenen linearen Dgl. 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten 9.3 Variation der Konstanten 9.3.1 Variation der Konstanten für den Fall einer Doppelwurzel 9.3.2 Bestimmung einer speziellen Lösung der inhomogenen Dgl. 9.4 Randwertprobleme 9.4.1 Randwertprobleme bei Dgl. 1. Ordnung 9.4.2 Randwertprobleme bei Dgl. 2. Ordnung 9.5 Anwendungen in der Physik 9.5.1 Der radioaktive Zerfall 9.5.2 Der harmonische Oszillator Übungsaufgaben Lösungen 10 FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHER, SKALARE FELDER UND VEKTORFELDER 10.0 Einleitung 10.1 Der Begriff der Funktion mehrerer Veränderlicher 10.2 Das skalare Feld 10.3 Das Vektorfeld 10.4 Spezielle Vektorfelder 10.4.1 Das homogene Vektorfeld 10.4.2 Das radialsymmetrische Feld 10.4.3 Ringförmiges Vektorfeld Übungsaufgaben Lösungen 225 225 226 226 229 229 230 230 231 232 235 237 237 242 245 255 256 256 258 259 259 260 263 263 264 273 275 278 278 279 285 287 291 291 292 294 295 297 - 12 - "11 PARTIELLE ABLEITUNG, TOTALES DIFFERENTIAL UND GRADIENT 11.1 Die partielle Ableitung 11.1.1 Mehrfache partielle Ableitung 11.2 Das totale Differential 11.3 Der Gradient 11 .3.1 Gradient bei Funktionen zweier Veränderlicher 11.3.2 Gradient bei Funktionen dreier Veränderlicher Übungsaufgaben Lösungen ANHANG I: Grundbegriffe der Mengenlehre ANHANG II: Funktionsbegriff ANHANG III: Quadratische Gleichungen ANHANG IV: Funktionstabelle REGISTER 300 300 303 304 308 308 311 315 316 319 321 322 323 326
