Basiswissen Zahlentheorie
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Mathematik für das Lehramt Basiswissen Zahlentheorie Eine Einführung in Zahlen und Zahlbereiche Bearbeitet von Kristina Reiss, Gerald Schmieder Neuausgabe 2007. Taschenbuch. XVI, 477 S. Paperback ISBN 978 3 540 45377 2 Format (B x L): 15,6 x 23,4 cm Gewicht: 742 g Zu Leseprobe schnell und portofrei erhältlich bei Die Online-Fachbuchhandlung beck-shop.de ist spezialisiert auf Fachbücher, insbesondere Recht, Steuern und Wirtschaft. Im Sortiment finden Sie alle Medien (Bücher, Zeitschriften, CDs, eBooks, etc.) aller Verlage. Ergänzt wird das Programm durch Services wie Neuerscheinungsdienst oder Zusammenstellungen von Büchern zu Sonderpreisen. Der Shop führt mehr als 8 Millionen Produkte. Inhaltsverzeichnis 1 1.1 1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.4 1.2 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.2.5 1.3 2 2.1 2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4 2.2 2.2.1 2.2.2 2.3 2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.3.4 2.3.5 2.4 2.5 2.6 2.6.1 2.6.2 2.6.3 2.6.4 2.7 Grundlagen und Voraussetzungen Mengen........................................................... Mengen und ihre Elemente ................................... Mengen und ihre Mächtigkeit................................ Gleichheit von Mengen und Teilmengen ................... Verknüpfungen von Mengen ................................. Grundbegriffe des logischen Schließens .................... Implikationen und die Äquivalenz von Aussagen ......... Mathematische Logik und Alltagslogik..................... Einige (wenige) Regeln des mathematischen Beweisens und logischen Schließens ...................................... Implikationen und Beweisverfahren ......................... Quantoren ....................................................... Übungsaufgaben ................................................ Natürliche Zahlen Rechnen mit natürlichen Zahlen ............................ Addition und Subtraktion..................................... Das Prinzip des kleinsten Elements ......................... Multiplikation und Teilbarkeit................................ Die Goldbach’sche Vermutung............................... Die Idee der unendlichen Mengen ........................... Gibt es unendliche Mengen? ................................. Hilberts Hotel ................................................... Das Prinzip der vollständigen Induktion ................... Beweisen durch vollständige Induktion..................... Definition durch Induktion: Das Produkt natürlicher Zahlen ............................. Definition durch Induktion: n Fakultät .................... Definition durch Induktion: Die Fibonacci-Zahlen ....... Geometrische Summenformel ................................ Der binomische Lehrsatz...................................... Ein Exkurs über Evidenz und Wahrheit .................... Ein Axiomensystem für die natürlichen Zahlen ........... Was sind die natürlichen Zahlen? ........................... Die Peano-Axiome ............................................. Modelle zu den Peano-Axiomen ............................. Mengentheoretische Begründung von N ................... Übungsaufgaben ................................................ 4 4 6 8 9 12 13 14 14 15 18 20 25 26 26 30 32 34 34 34 36 36 42 44 44 48 50 57 60 60 62 65 65 67 XII Inhaltsverzeichnis 3 3.1 3.2 3.3 3.3.1 3.3.2 3.4 3.5 3.5.1 3.5.2 3.6 Zahldarstellungen und Stellenwertsysteme Beispiele für Zahldarstellungen .............................. Division mit Rest ............................................... Die Kreuzprobe ................................................. Das Prinzip der Kreuzprobe .................................. Die Begründung der Kreuzprobe ............................ Zahldarstellung in g-adischen Systemen ................... Rechnen in Stellenwertsystemen ............................ Addition und Subtraktion in g-adischen Systemen ...... Multiplikation und Division in g-adischen Systemen .... Übungsaufgaben ................................................ 73 77 81 81 82 84 88 89 91 94 4 4.1 4.2 4.2.1 4.2.2 4.2.3 4.2.4 4.3 4.4 Teilbarkeit und Primzahlen Teilbarkeit in N ................................................. Primzahlen....................................................... Das Sieb des Eratosthenes ................................... Die Unendlichkeit der Menge der Primzahlen ............ Primzahlzwillinge, Primzahltupel, Primzahlformeln ..... Primfaktorzerlegung ........................................... Teilbarkeit und Primfaktoren in Z .......................... Übungsaufgaben ................................................ 97 101 102 104 106 107 114 122 5 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 Teiler und Vielfache Der größte gemeinsame Teiler in Z ......................... Der euklidische Algorithmus ................................. Das kleinste gemeinsame Vielfache in Z ................... Vollkommene Zahlen .......................................... Übungsaufgaben ................................................ 127 133 139 142 150 6 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 Ganze Zahlen Definition der ganzen Zahlen ................................ Rechnen mit ganzen Zahlen.................................. Die isomorphe Einbettung der natürlichen in die ganzen Zahlen ....................... Die Anordnung der ganzen Zahlen.......................... Übungsaufgaben ................................................ 167 173 175 7 7.1 7.2 7.2.1 7.3 Restklassen Kongruenzen .................................................... Verknüpfungen von Restklassen ............................. Der Ring Zm der Restklassen modulo m .................. Teilbarkeitsregeln ............................................... 179 185 193 195 155 162 Inhaltsverzeichnis XIII 7.3.1 7.3.2 7.3.3 7.4 7.4.1 7.5 Quersummenregeln............................................. Endstellenregeln ................................................ Zusammengesetzte Teilbarkeitsregeln ...................... Pseudozufallszahlen und Kongruenzen ..................... Die Erzeugung von Pseudozufallszahlen ................... Übungsaufgaben ................................................ 196 199 200 200 202 203 8 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 Lineare und quadratische Kongruenzen Lineare Kongruenzen und ihre Lösbarkeit ................. Anwendungen linearer Kongruenzen ........................ Sätze von Euler ................................................. Chinesischer Restsatz.......................................... Quadratische Kongruenzen ................................... Übungsaufgaben ................................................ 207 212 216 220 222 232 9 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 Teilbarkeit in Integritätsringen Integritätsringe.................................................. Einheiten, Teiler und assoziierte Elemente ................ Primelemente ................................................... Nebenklassen, Ideale und Hauptidealringe ................ Eigenschaften von Hauptidealringen........................ Übungsaufgaben ................................................ 236 241 251 258 266 271 10 10.1 10.1.1 10.1.2 10.2 10.2.1 10.2.2 10.2.3 10.2.4 10.2.5 10.3 Anwendungen der elementaren Zahlentheorie Verwaltung von Lagerbeständen ............................ EAN (European Article Number) ........................... ISBN (International Standard Book Number) ............ Kryptographie ................................................... Einheiten in Zpq ................................................ Grundlagen des RSA-Verfahrens ............................ Praktische Zahlenkodierung .................................. Ein Beispiel zur Kodierung und Dekodierung ............. Praktische Textkodierung..................................... Übungsaufgaben ................................................ 275 276 278 281 287 287 289 290 291 295 11 11.1 11.2 11.3 11.3.1 11.3.2 Rationale Zahlen Definition der rationalen Zahlen............................. Q ist eine große Menge: Dezimaldarstellung .............. Q ist eine kleine Menge: Abzählbarkeit .................... Abzählen nach der Summe von Zähler und Nenner ..... Die Abzählbarkeit der rationalen Zahlen................... 299 309 318 320 322 XIV Inhaltsverzeichnis Q ist eine kleine Menge: Rationale und reelle Zahlen .................................. Kettenbrüche .................................................... 11.5 11.5.1 Darstellung von rationalen Zahlen durch Kettenbrüche ............................................ 11.5.2 Darstellung von irrationalen Zahlen durch Kettenbrüche ............................................ Übungsaufgaben ................................................ 11.6 11.4 324 329 332 334 335 12 12.1 12.2 12.3 12.4 Reelle Zahlen Konvergenz ...................................................... Die Erweiterung von Q auf R ................................ Nachweis des Grenzwerts ..................................... Übungsaufgaben ................................................ 341 352 359 365 13 13.1 13.1.1 13.1.2 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6 13.7 Komplexe Zahlen Definition der komplexen Zahlen ............................ Die Zahlenebene................................................ Polarkoordinaten ............................................... Addition und Multiplikation .................................. Reelle Zahlen sind komplexe Zahlen ........................ Rechnen mit komplexen Zahlen ............................. Quadratische Gleichungen .................................... Gleichungen höherer Ordnung ............................... Übungsaufgaben ................................................ 370 370 371 375 378 380 385 390 395 Zahlentheoretische Funktionen Begriffsbestimmung ............................................ Primzahlverteilung ............................................. Die Euler’sche ϕ-Funktion.................................... Die Riemann’sche ζ -Funktion................................ Ungerade natürliche Zahlen und die Riemann’sche ζ -Funktion........................... 14.4.2 Zusammenhänge der Riemann’schen ζ -Funktion mit den Primzahlen ............................................ Übungsaufgaben ................................................ 14.5 14 14.1 14.2 14.3 14.4 14.4.1 399 400 402 410 412 412 415 Inhaltsverzeichnis XV Lösungshinweise zu den Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . 419 Lösungen zu den Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473
