Eine ¨Ubersicht über die geplanten Themen der Vorlesung 621.157

Eine Übersicht über die geplanten Themen
der Vorlesung 621.157 (SS2010/2011)
Einführung in die Numerische Mathematik
Dr.habil. Doz. Victor A. Kovtunenko
Inst. f. Mathematik und wissenschaftliches Rechnen, KFU-Graz
Literatur
[1] P. Deuflhard, A.Hohmann: Numerische Mathematik - Eine algorithmisch orientierte
Einführung. Berlin-New York: de Gruyter (1991), 339 S.
[2] R. Kress: Numerical Analysis. New York: Springer. (1998), 326 pp.
[3] H.R. Schwarz, N. Koeckler: Numerische Mathematik. Wiesbaden: Vieweg, Teubner
(2009), 589 S.
[4] J. Stoer, R. Bulirsch: Introduction to Numerical Analysis. New York: Springer (1992),
674 pp.
1. Lineare Gleichungssysteme.
1.1. Gauss-Algorithmus: gestaffeltes Gleichungssystem; Vorwärts-, RückwärtsSubstitution; Frobenius-Matrix; LR-Zerlegung; Gauss-Elimination-Algorithmus.
1.2. Pivot-Strategien: Gauss-Elimination mit Spaltenpivotstrategien; Permutationsmatrix; LR-Zerlegung mit Permutationsmatrix; Nachiteration.
1.3. Cholesky-Verfahren: Eigenschaften symmetrischer positiv definiten Matrizen;
rationale Cholesky-Zerlegung; Cholesky-Zerlegung-Algorithmus.
1.4. Bandmatrizen: Cholesky-Zerlegung für Bandmatrizen; LR-Zerlegung für Tridiagonalmatrizen; Anwendung: Differenzenapproximation des Randwertproblems.
2. Lineare Ausgleichsprobleme.
2.1. Normalengleichungen: Modellierung lineares Ausgleichsproblems; Orthogonalprojektion auf Vektorraum, orthogonales Komplement; Normalgleichung.
2.2. Kondition eines Problems: absolute, relative Kondition; Operator-, Matrixnormen; Richtungsableitung; Kondition linearer Gleichungssystems; Kondition von
Matrix; relative Kondition orthogonaler Projektion, lineares Ausgleichsproblems.
2.3. Orthogonalisierungsverfahren: orthogonale Transformationen; QR-Zerlegung mit
Givens-Rotation, mit Housholder-Reflexion; Lösung lineares Ausgleichsproblems
mittels QR-Zerlegung; Pseudoinverse.
3. Nichtlineare Gleichungssysteme und Ausgleichsprobleme.
3.1. Fixpunktiteration: Fixpunktgleichung; Kontraktion; Existenz eindeutiges Fixpunktes mittels Iteration; Konvergenzordnung.
3.2. Newton-Verfahren für nichtlineare Gleichungssysteme: Jakobimatrix; Newtoniteration; lokal quadratische Konvergenz, affine Invarianz, Konvergenzkriterien des
Verfahrens.
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V.A. Kovtunenko: Einführung in die Numerische Mathematik
3.3. Nichtlineare Ausgleichsprobleme: Modellierung; zweite Richtungsableitung; notwendige Optimalitätsbedignung; Gauss-Newton-Verfahren mit Pseudoinverse; lokal
quadratische Konvergenz des Verfahrens.
3.4. Parameterabhängige Gleichungen: Verzweigungs-, Umkehrpunkte der Lösungsmenge; klassische, tangentiale Fortsetzungsmethoden.
4. Drei-Term-Rekursionen.
4.1. Grundlagen: gewichtetes Skalarprodukt; Orthogonalpolynome bezüglich Gewichts: Existenz, Eigenschaften; Tschebyscheff-Polynome; homogene, inhomogene,
symmetrische, Rückwärts- Drei-Term-Rekursionen; Casatori-Determinante; Trigonometrische rekursion.
4.2. Numerische Aspekte: Bessel-Funktionen; minimale, dominante Lösung; MillerAlgorithmus; adjungierte Summation von minimalen, dominanten Lösungen.
5. Interpolation und Approximation.
5.1. Lagrange-Polynom-Interpolation: Interpolationsproblem; Vandermonde-Matrix;
Lagrange-Polynome und Interpolation; Approximation mit Differenzen; Approximationsfehler; rekursive Berechnung von Interpolationspolynome; Aitken-Neville-Schema.
5.2. Hermite-Polynom-Interpolation: Hermite-Interpolierende; Taylor-Interpolierende;
kubische Hermite-Interpolation; Lemma von Aitken; Newton-Basis; dividierte Differenzen: Eigenschaften, Rekursionsformel, Rechenschema; Hermite-Genocchi-Formel.
5.3. Approximationsfehler bezüglich Lage der Knoten: minimax-Eigenschaft des TschebyscheffPolynoms.
5.4. Trigonometrische Interpolation: komplexe, reelle trigonometrische Polynome;
Einheitswurzeln; diskretes Skalarprodukt; Interpolationsproblem und diskrete FourierTransformation.
5.5. Spline-Interpolation: Spline-Raum; abgebrochene Potenzen; Interpolationsproblem
mit vollständigen, natürlichen Randbedingungen; B-splines: Eigenschaften, rekursives Rechenschema; Gramsche Matrix linearer B-splines; Berechnung kubischer
splines.
6. Numerische Integration.
6.1. Quadratur-Formeln: Kondition der Integration; einfache, summierte TrapezRegel; allgemeine Quadratur für Knoten und Gewichten.
6.2. Newton-Cotes-Formeln: Newton-Cotes-Gewichte; (Simpson-)Keplersche-Fassregel;
Fehlerabschätzung bei Trapez-, Keplersche Regeln mit äquidistanten Knoten.
6.3. Gauss(-Christoffel)-Quadratur: Quadratur mittels Orthogonalpolynome für gewichtete Integration; Fehlerabschätzung bei Gauss; Gauss-Tschebyscheff-Quadratur.
6.4. Romberg-Quadratur: Bernoulli Polynome, Zahlen; Euler-MacLaurin asymptotische Summationsformel; Extrapolationsmethode für Folge von Gittern.
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