Spektrum
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Tilo Arens Frank Hettlich Christian Karpfinger Klaus Lichtenegger Hellmuth Stachel Ulrich Kockelkorn Mathematik Spektrum k - / l AKADEMISCHER VERLAG Inhaltsverzeichnis 5 Komplexe Zahlen - Rechnen mit imaginären Größen Teil I: Einführung und Grundlagen 5.1 Die Menge der komplexen Zahlen 5.2 Geometrische Darstellung der komplexen Zahlen 5.3 Mengen und Transformationen in der komplexen Ebene 121 122 128 137 Teil II: Analysis einer reellen Variablen 1 Mathematik - Wissenschaft und Werkzeug 1.1 Über dieses Lehrbuch, Mathematiker und Mathematik 1.2 Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler 1.3 Die didaktischen Elemente dieses Buches 1.4 Ratschläge zum Studium der Höheren Mathematik 2 Logik, Mengen, Abbildungen - die Sprache der Mathematik 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 Eine beweisende Wissenschaft Grundbegriffe der Aussagenlogik Definition, Satz, Beweis Elementare Mengenlehre Zahlenmengen Abbildungen 3 Rechentechniken - die Werkzeuge der Mathematik 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 Terme, Brüche und Potenzen Gleichungen und Ungleichungen Von Betrag und Abschätzungen Summen und Produkte Die vollständige Induktion 4 Elementare Funktionen - Bausteine der Analysis 4.1 Reellwertige Funktionen einer Veränderlichen 4.2 Polynome 4.3 Die Exponentialfunktion 4.4 Trigonometrische Funktionen 1 2 5 8 11 13 14 15 22 25 29 32 41 42 49 57 61 70 83 84 92 103 108 6 Folgen - der Weg ins Unendliche . . . . 147 6.1 Der Begriff einer Folge 6.2 Elementare Eigenschaften von Zahlenfolgen 6.3 Konvergenz 6.4 Teilfolgen und Häufungspunkte 6.5 Konvergenzkriterien 7 Stetige Funktionen - kleine Ursachen haben kleine Wirkungen 148 151 156 164 167 177 7.1 Zur Definition von Funktionen 7.2 Beschränkte und monotone Funktionen 7.3 Die Umkehrfunktion 7.4 Grenzwerte für Funktionen und die Stetigkeit 7.5 Kompakte Mengen 7.6 Sätze über reellwertige, stetige Funktionen mit kompaktem Definitionsbereich 198 8 Reihen - Summieren bis zum Letzten 213 8.1 8.2 8.3 8.4 Die Idee der Reihen Kriterien für Konvergenz Absolute Konvergenz Kriterien für absolute Konvergenz 178 183 184 187 193 214 223 231 235 X I Inhaltsverzeichnis 9 Potenzreihen - Alleskönner unter den Funktionen 9.1 Definition und Grundlagen 9.2 Die Darstellung von Funktionen durch Potenzreihen 9.3 Die Exponentialfunktion 9.4 Trigonometrische Funktionen 9.5 Der Logarithmus für komplexe Argumente 10 Differenzialrechnung - Veränderungen kalkulieren 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 Die Ableitung Differenziationsregeln Verhalten differenzierbarer Funktionen .. Taylorreihen Spline-Interpolation 11 Integrale - vom Sammeln und Bilanzieren 11.1 Das Lebesgue-Integral 11.2 Stammfunktionen 11.3 Integrale über unbeschränkte Intervalle oder Funktionen 11.4 Geometrische Anwendungen des Integrals 11.5 Parameterintegrale 12 Integrationstechniken - Tipps, Tricks und Näherungsverfahren 12.1 12.2 12.3 12.4 12.5 Grundtechniken Partielle Integration Substitutionsmethode Integration rationaler Funktionen Numerische Integration 13 Differenzialgleichungen - Zusammenspiel von Funktionen und ihren Ableitungen 13.1 13.2 13.3 13.4 Begriffsbildungen Numerische Lösungsmethoden Analytische Lösungsmethoden Lineare Differenzialgleichungen höherer Ordnung Teil III: Lineare Algebra 247 248 255 263 266 272 281 282 291 299 314 326 337 338 347 354 363 371 381 382 385 389 393 402 417 418 430 436 443 14 Lineare Gleichungssysteme - Grundlagen der linearen Algebra .. 14.1 Erste Lösungsversuche 14.2 Das Lösungsverfahren von Gauß und Jordan 14.3 Das Lösungskriterium und Anwendungen 14.4 Numerische Lösungsmethoden linearer Gleichungssysteme 15 Vektorräume - Schauplätze der linearen Algebra 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 Der Vektorraumbegriff Beispiele von Vektorräumen Untervektorräume Basis und Dimension Affine Teilräume 16 Matrizen und Determinanten - Zahlen in Reihen und Spalten 16.1 16.2 16.3 16.4 Addition und Multiplikation von Matrizen Das Invertieren von Matrizen Symmetrische und orthogonale Matrizen Numerische Lösung linearer Gleichungssysteme 16.5 Einführung in die Determinanten 16.6 Definition und Eigenschaften der Determinante 16.7 Anwendungen der Determinante 17 Lineare Abbildungen und Matrizen - abstrakte Sachverhalte in Zahlen ausgedrückt 17.1 Ein einführendes Beispiel 17.2 Definition einer linearen Abbildung und Beispiele 17.3 Kern, Bild und die Dimensionsformel — 17.4 Darstellungsmatrizen 17.5 Basistransformation 17.6 Determinanten von Endomorphismen . . . 461 462 467 475 480 485 486 493 495 497 506 515 516 522 525 535 539 543 550 557 558 560 566 570 576 578 Inhaltsverzeichnis 18 Eigenwerte und Eigenvektoren - oder wie man Matrizen diagonalisiert 18.1 Das Diagonalisieren von Matrizen 18.2 Eigenwerte und Eigenvektoren 18.3 Berechnung der Eigenwerte und Eigenvektoren 18.4 Diagonalisierbarkeit von Matrizen 18.5 Diagonalisierung symmetrischer und hermitescher Matrizen 18.6 Numerische Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren 18.7 Die Exponentialfunktion für Matrizen ... 18.8 Die Jordan-Normalform einer Matrix . . . . 585 586 590 593 598 23.3 Definitionen und Theorie 23.4 Wandern von Ecke zu Ecke 23.5 Das Simplexverfahren 758 761 765 Teil IV: Analysis mehrerer reeller Variablen 603 608 612 616 19 Analytische Geometrie - Rechnen statt Zeichnen 629 19.1 Punkte und Vektoren im Anschauungsraum 19.2 Das Skalarprodukt im Anschauungsraum 19.3 Weitere Vektorverknüpfungen im Anschauungsraum 19.4 Wechsel zwischen kartesischen Koordinatensystemen 630 634 639 652 20 Euklidische und unitäre Vektorräume Geometrie in höheren Dimensionen .. 669 20.1 Euklidische Vektorräume 20.2 Norm, Abstand, Winkel, Orthogonalität . 20.3 Orthonormalbasen und orthogonale Komplemente 20.4 Numerische Lösung linearer Gleichungssysteme 20.5 Unitäre Vektorräume 21 Quadriken - ebenso nützlich wie dekorativ 21.1 Symmetrische Bilinearformen 21.2 Hermitesche Sesquilinearformen 21.3 Quadriken und ihre Hauptachsentransformation 21.4 Die Singulärwertzerlegung 21.5 Die Pseudoinverse einer linearen Abbildung 22 Tensorrechnung - geschicktes Hantieren mit Indizes 22.1 Einführung in die Tensoralgebra 22.2 Kartesische Tensoren 23 Lineare Optimierung - ideale Ausnutzung von Kapazitäten 670 674 679 685 688 695 696 703 707 717 720 731 732 739 751 23.1 Typische Problemstellungen 752 23.2 Sonderfälle von Optimierungsproblemen . 756 24 Funktionen mehrerer Variablen Differenzieren im Raum 24.1 Wozu Funktionen von mehreren Variablen? 24.2 Richtungsstetigkeit und Stetigkeit 24.3 Partielle Ableitungen und Differenzierbarkeit 24.4 Funktionen W - > R m 24.5 Der Hauptsatz über implizite Funktionen 24.6 Extremwertaufgaben 775 776 780 785 798 805 811 25 Gebietsintegrale - das Ausmessen von Körpern 823 25.1 25.2 25.3 25.4 Definition und Eigenschaften Volumen, Masse und Schwerpunkt Die Transformationsformel Wichtige Koordinatensysteme 26 Kurven und Flächen - von Krümmung, Torsion und Längenmessung 26.1 26.2 26.3 26.4 26.5 26.6 Ebene Kurven Die Bogenlänge von Kurven Die Krümmung ebener Kurven Raumkurven Darstellung von Flächen Basissysteme krummliniger Koordinaten . 27 Vektoranalysis - von Quellen und Wirbeln 27.1 27.2 27.3 27.4 Skalar- und Vektorfelder Differenzialoperatoren Kurvenintegrale Oberflächenintegrale 824 835 839 844 857 858 863 866 869 875 879 893 894 896 905 912 XI XII Inhaltsverzeichnis 27.5 Integralsätze 27.6 Differenzialoperatoren in krummlinigen Koordinaten 28 Differenzialgleichungssysteme - ein allgemeiner Zugang zu Differenzialgleichungen 28.1 Definition und qualitatives Lösungsverhalten 28.2 Existenz von Lösungen 28.3 Die Herleitung des Satzes von PicardLindelöf 28.4 Die Lösung linearer Differenzialgleichungssysteme 28.5 Numerische Verfahren für Anfangswertprobleme: Konvergenz, Konsistenz und Stabilität 28.6 Randwertprobleme: Theorie und numerische Verfahren 916 922 935 936 941 947 951 961 965 29 Partielle Differenzialgleichung - Modelle von Feldern und Wellen ... 981 29.1 Klassifizierung partieller Differenzialgleichungen 29.2 Separationsansätze 29.3 Quasilineare partielle Differenzialgleichungen erster Ordnung 29.4 Potenzialtheorie 29.5 Die Methode der finiten Elemente 982 989 996 1000 1007 30.3 Fourierreihen 30.4 Die diskrete Fouriertransformation 31 Funktionalanalysis - Operatoren wirken auf Funktionen 31.1 Normierte Räume, Banachräume, Hilberträume 31.2 Lineare, beschränkte Operatoren und Funktionale 31.3 Funktionale und Distributionen 31.4 Operatoren in Hilberträumen 31.5 Approximation von Operatoren 32 Funktionentheorie - von komplexen Zusammenhängen 32.1 Komplexe Funktionen und Differenzierbarkeit 32.2 Komplexe Kurvenintegrale 32.3 Laurent-Reihen und Residuensatz 1055 1056 1063 1069 1075 1082 1089 1090 1102 1113 33 Integraltransformationen - Multiplizieren statt Differenzieren 1129 33.1 Transformation von Funktionen 33.2 Die Laplacetransformation 33.3 Die Fouriertransformation 34 Spezielle Funktionen - von Orthogonalpolynomen, Kugel- und Zylinderfunktionen 34.1 Die Gammafunktion 34.2 Differenzialgleichungen aus Separationsansätzen 34.3 Das Sturm-Liouville-Problem 34.4 Orthogonalpolynome und Kugelfunktionen 34.5 Zylinderfunktionen Teil V: Höhere Analysis 1031 1042 1130 1133 1146 1165 1166 1168 1170 1171 1178 35 Optimierung und Variationsrechnung Suche nach dem Besten 1185 35.1 35.2 35.3 35.4 30 Fouriertheorie - von schwingenden Saiten 1021 30.1 Trigonometrische Polynome 1022 30.2 Approximation im quadratischen Mittel . 1025 Optimierungsaufgaben Optimierung unter Nebenbedingungen .. Variationsrechnung Numerische Verfahren zur Optimierung .. 1186 1193 1198 1205 Inhaltsverzeichnis Teil VI: Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 38.3 Das Gesetz der großen Zahlen und der Hauptsatz der Statistik 38.4 Mehrdimensionale zufällige Variable . . . . 39 Spezielle Verteilungen - Modelle des Zufalls 39.1 Spezielle diskrete Verteilungsmodelle . . . 39.2 Stetige Verteilungen 39.3 Die Normalverteilungsfamilie 40 Schätz- und Testtheorie - Bewerten und Entscheiden 36 Deskriptive Statistik - wie man Daten beschreibt 1217 36.1 36.2 36.3 36.4 36.5 36.6 Grundbegriffe Darstellungsformen Lageparameter Streuungsparameter Strukturparameter Mehrdimensionale Verteilungen 37 Wahrscheinlichkeit - die Gesetze des Zufalls 37.1 37.2 37.3 37.4 Wahrscheinlichkeits-Axiomatik Die bedingte Wahrscheinlichkeit Die stochastische Unabhängigkeit Kombinatorik 38 Zufällige Variable - der Zufall betritt denE 1 38.1 Der Begriff der Zufallsvariablen 1218 1220 1227 1236 1240 1242 1259 1260 1267 1272 1274 1300 1306 1317 1318 1327 1337 1357 40.1 Grundaufgaben der induktiven Statistik 40.2 Die Likelihood und der MaximumLikelihood-Schätzer 40.3 Die Güte einer Schätzung 40.4 Konfidenzintervalle 40.5 Grundprinzipien der Testtheorie 1360 1368 1372 1379 41 Lineare Regression - die Suche nach Abhängigkeiten 1393 41.1 Die Ausgleichsgeraden 41.2 Das Regressionsmodell 41.3 Schätzen und Testen im linearen Modell 41.4 Die lineare Einfachregression 41.5 Fallstricke im linearen Modell 1358 1394 1396 1401 1408 1414 Hinweise zu den Aufgaben 1423 Lösungen zu den Aufgaben 1449 1286 Bildnachweis 1479 1294 Index 1481 1285 38.2 Erwartungswert und Varianz einer zufälligen Variablen XIII
