Michael Artin Algebra

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Michael Artin
Algebra
Aus dem Englischen übersetzt von
Annette A'Campo
Birkhäuser Verlag
Basel • Boston • Berlin
INHALTSVERZEICHNIS
Vorwort
viii
Hinweise
x
Kapitel
1.
2.
3.
4.
5.
2
GRUPPEN
Die Definition einer Gruppe
Untergruppen
Isomorphismen
Homomorphismen
Aquivalenzrelationen und Partitionen
Nebenklassen
Einschränkung von Homomorphismen auf Untergruppen
Produkte von Gruppen
Rechnen mit Kongruenzen
Faktorgruppen
Aufgaben
Kapitel
1.
2.
3.
4.
5.
6.
MATRIZEN
Matrizenkalkül
Zeilenreduktion
Determinanten
Permutationsmatrizen
Cramersche Regel
Aufgaben
Kapitel
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
1
3
VEKTORRÄUME
Reelle Vektorräume
Abstrakte Körper
Basen und Dimension
Rechnen mit Basen
Unendlichdimensionale Vektorräume
Direkte Summen
Aufgaben
1
1
10
20
26
30
33
40
40
47
51
54
56
61
64
66
69
72
76
87
87
91
97
105
111
113
115
Inhaltsverzeichnis
IV
Kapitel 4
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Die Dimensionsformel
Lineare Abbildungen und Matrizen
Endomorphismen und Eigenvektoren
Das charakteristische Polynom
Orthogonale Matrizen und Drehungen
Diagonalisierbarkeit
Systeme von Differentialgleichungen
Die Exponentialabbildung für Matrizen
Aufgaben
Kapitel 5
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
SYMMETRIE
Symmetrie ebener Figuren
Die Bewegungsgruppe der Ebene
Endliche Gruppen von Bewegungen
Diskrete Gruppen von Bewegungen
Abstrakte Symmetrie: Gruppenoperationen
Die Operation auf Nebenklassen
Zerlegen und Zählen
Permutationsdarstellungen
Endliche Untergruppen der Drehgruppe
Aufgaben
Kapitel 6
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
LINEARE ABBILDUNGEN
MEHR ÜBER GRUPPEN
Operationen einer Gruppe auf sich
Klassengleichung der Ikosaedergruppe
Operationen auf Teilmengen
Die Sylowschen Sätze
Die Gruppen der Ordnung 12
Rechnen in der symmetrischen Gruppe
Die freie Gruppe
Erzeugende und Relationen
Der Todd-Coxeter-Algorithmus
Aufgaben
122
122
125
129
134
138
146
149
155
161
173
173
175
181
185
196
200
202
204
207
211
221
221
225
228
230
235
237
245
248
252
259
Inhaltsverzeichnis
Kapitel
7
BILINEARFORMEN
v
269
1. Definition einer Bilinearform
269
2. Symmetrische Bilinearformen
275
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
281
283
287
290
293
295
296
298
Geometrie und positiv definite Bilinearformen
Hermitesche Formen
Der Spektralsatz
Kegelschnitte und Quadriken
Der Spektralsatz für normale Endomorphismen
Schiefsymmetrische Bilinearformen
Zusammenfassung der Ergebnisse für Matrizen
Aufgaben
Kapitel
8
LINEARE
GRUPPEN
307
1. Klassische lineare Gruppen
307
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
309
314
320
322
326
332
337
342
Die spezielle unitäre Gruppe SU2
Die orthogonale Darstellung von SU2
Die spezielle lineare Gruppe SI/2(R)
Einparameteruntergruppen
Lie-Algebren
Translation in einer Gruppe
Einfache Gruppen
Aufgaben
Kapitel
9
DARSTELLUNGEN
VON GRUPPEN
1. Definition einer Darstellung
2. Invariante Formen und unitäre Darstellungen
3. Kompakte Gruppen
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Invariante Unterräume und irreduzible Darstellungen
Charaktere
Permutationsdarstellungen und die reguläre Darstellung
Darstellungen der Ikosaedergruppe
Eindimensionale Darstellungen
Das Schursche Lemma und der Beweis der Orthogonalitätsrelationen
Darstellungen der Gruppe SU2
Aufgaben
351
351
354
357
359
361
367
370
371
. 372
377
383
Inhaltsverzeichnis
VI
Kapitel
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
394
394
397
403
411
416
421
424
427
Aufgaben
434
11
FAKTORZERLEGUNG
Faktorzerlegung von ganzen Zahlen und Polynomen
Faktorielle Ringe, Hauptidealringe und euklidische Ringe
Das Gaußsche Lemma
Explizite Zerlegung von Polynomen
Primelemente im Ring der ganzen Gaußschen Zahlen
Ganze algebraische Zahlen
Faktorzerlegung in imaginär-quadratischen Zahlkörpern
Faktorzerlegung von Idealen
Der Zusammenhang zwischen Primidealen und Primzahlen
Idealklassen in imaginär-quadratischen Zahlkörpern
Reell-quadratische Zahlkörper
Einige diophantische Gleichungen
Aufgaben
Kapitel
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
RINGE
Definition eines Ringes
Formale Konstruktion von ganzen Zahlen und Polynomen
Homomorphismen und Ideale
Restklassenringe und Relationen in einem Ring
Adjunktion von Elementen
Integritätsbereiche und Quotientenkörper
Maximale Ideale
Algebraische Geometrie
Kapitel
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
10
12
MODULN
Die Definition eines Moduls
Matrizen, freie Moduln und Basen
Das Prinzip der universellen Gültigkeit von Identitäten
Diagonalisierbarkeit von ganzzahligen Matrizen
Erzeugende und Relationen für Moduln
Der Struktursatz für abelsche Gruppen
Anwendung auf Endomorphismen von Vektorräumen
Freie Moduln über Polynomringen
Aufgaben
446
446
449
457
462
466
470
476
481
487
488
497
501
505
516
516
518
522
524
531
539
545
552
553
Inhaltsverzeichnis
Kapitel
13
KÖRPER
vii
563
1. Beispiele von Körpern
2. Algebraische und transzendente Elemente
563
564
3.
4.
5.
6.
7.
568
572
579
583
590
Der Grad einer Körpererweiterung
Konstruktionen mit Zirkel und Lineal
Symbolische Adjunktion von Nullstellen
Endliche Körper
Funktionenkörper
8. Transzendente Erweiterungen
9. Algebraisch abgeschlossene Körper
Aufgaben
Kapitel
1.
2.
3.
4.
5.
14
GALOISTHEORIE
Der Hauptsatz der Galoistheorie
Kubische Gleichungen . . . * . . .
Symmetrische Funktionen
Primitive Elemente
Beweis des Hauptsatzes
601
603
607
614
614
621
626
631
635
6. Gleichungen vierten Grades
7. Kummersche Erweiterungen
640
647
8. Kreisteilungserweiterungen
9. Gleichungen fünften Grades
Aufgaben
649
652
658
Anhang
VORKENNTNISSE
670
1. Mengenlehre
2. Beweistechniken
3. Topologie
670
675
679
4. Der Satz über implizite Funktionen
Aufgaben
684
686
Symbolverzeichnis
688
Literaturhinweise
691
Stichwortverzeichnis
694
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