Michael Artin Algebra
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Michael Artin Algebra Aus dem Englischen übersetzt von Annette A'Campo Birkhäuser Verlag Basel • Boston • Berlin INHALTSVERZEICHNIS Vorwort viii Hinweise x Kapitel 1. 2. 3. 4. 5. 2 GRUPPEN Die Definition einer Gruppe Untergruppen Isomorphismen Homomorphismen Aquivalenzrelationen und Partitionen Nebenklassen Einschränkung von Homomorphismen auf Untergruppen Produkte von Gruppen Rechnen mit Kongruenzen Faktorgruppen Aufgaben Kapitel 1. 2. 3. 4. 5. 6. MATRIZEN Matrizenkalkül Zeilenreduktion Determinanten Permutationsmatrizen Cramersche Regel Aufgaben Kapitel 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 1 3 VEKTORRÄUME Reelle Vektorräume Abstrakte Körper Basen und Dimension Rechnen mit Basen Unendlichdimensionale Vektorräume Direkte Summen Aufgaben 1 1 10 20 26 30 33 40 40 47 51 54 56 61 64 66 69 72 76 87 87 91 97 105 111 113 115 Inhaltsverzeichnis IV Kapitel 4 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Die Dimensionsformel Lineare Abbildungen und Matrizen Endomorphismen und Eigenvektoren Das charakteristische Polynom Orthogonale Matrizen und Drehungen Diagonalisierbarkeit Systeme von Differentialgleichungen Die Exponentialabbildung für Matrizen Aufgaben Kapitel 5 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. SYMMETRIE Symmetrie ebener Figuren Die Bewegungsgruppe der Ebene Endliche Gruppen von Bewegungen Diskrete Gruppen von Bewegungen Abstrakte Symmetrie: Gruppenoperationen Die Operation auf Nebenklassen Zerlegen und Zählen Permutationsdarstellungen Endliche Untergruppen der Drehgruppe Aufgaben Kapitel 6 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. LINEARE ABBILDUNGEN MEHR ÜBER GRUPPEN Operationen einer Gruppe auf sich Klassengleichung der Ikosaedergruppe Operationen auf Teilmengen Die Sylowschen Sätze Die Gruppen der Ordnung 12 Rechnen in der symmetrischen Gruppe Die freie Gruppe Erzeugende und Relationen Der Todd-Coxeter-Algorithmus Aufgaben 122 122 125 129 134 138 146 149 155 161 173 173 175 181 185 196 200 202 204 207 211 221 221 225 228 230 235 237 245 248 252 259 Inhaltsverzeichnis Kapitel 7 BILINEARFORMEN v 269 1. Definition einer Bilinearform 269 2. Symmetrische Bilinearformen 275 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 281 283 287 290 293 295 296 298 Geometrie und positiv definite Bilinearformen Hermitesche Formen Der Spektralsatz Kegelschnitte und Quadriken Der Spektralsatz für normale Endomorphismen Schiefsymmetrische Bilinearformen Zusammenfassung der Ergebnisse für Matrizen Aufgaben Kapitel 8 LINEARE GRUPPEN 307 1. Klassische lineare Gruppen 307 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 309 314 320 322 326 332 337 342 Die spezielle unitäre Gruppe SU2 Die orthogonale Darstellung von SU2 Die spezielle lineare Gruppe SI/2(R) Einparameteruntergruppen Lie-Algebren Translation in einer Gruppe Einfache Gruppen Aufgaben Kapitel 9 DARSTELLUNGEN VON GRUPPEN 1. Definition einer Darstellung 2. Invariante Formen und unitäre Darstellungen 3. Kompakte Gruppen 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. Invariante Unterräume und irreduzible Darstellungen Charaktere Permutationsdarstellungen und die reguläre Darstellung Darstellungen der Ikosaedergruppe Eindimensionale Darstellungen Das Schursche Lemma und der Beweis der Orthogonalitätsrelationen Darstellungen der Gruppe SU2 Aufgaben 351 351 354 357 359 361 367 370 371 . 372 377 383 Inhaltsverzeichnis VI Kapitel 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 394 394 397 403 411 416 421 424 427 Aufgaben 434 11 FAKTORZERLEGUNG Faktorzerlegung von ganzen Zahlen und Polynomen Faktorielle Ringe, Hauptidealringe und euklidische Ringe Das Gaußsche Lemma Explizite Zerlegung von Polynomen Primelemente im Ring der ganzen Gaußschen Zahlen Ganze algebraische Zahlen Faktorzerlegung in imaginär-quadratischen Zahlkörpern Faktorzerlegung von Idealen Der Zusammenhang zwischen Primidealen und Primzahlen Idealklassen in imaginär-quadratischen Zahlkörpern Reell-quadratische Zahlkörper Einige diophantische Gleichungen Aufgaben Kapitel 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. RINGE Definition eines Ringes Formale Konstruktion von ganzen Zahlen und Polynomen Homomorphismen und Ideale Restklassenringe und Relationen in einem Ring Adjunktion von Elementen Integritätsbereiche und Quotientenkörper Maximale Ideale Algebraische Geometrie Kapitel 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 10 12 MODULN Die Definition eines Moduls Matrizen, freie Moduln und Basen Das Prinzip der universellen Gültigkeit von Identitäten Diagonalisierbarkeit von ganzzahligen Matrizen Erzeugende und Relationen für Moduln Der Struktursatz für abelsche Gruppen Anwendung auf Endomorphismen von Vektorräumen Freie Moduln über Polynomringen Aufgaben 446 446 449 457 462 466 470 476 481 487 488 497 501 505 516 516 518 522 524 531 539 545 552 553 Inhaltsverzeichnis Kapitel 13 KÖRPER vii 563 1. Beispiele von Körpern 2. Algebraische und transzendente Elemente 563 564 3. 4. 5. 6. 7. 568 572 579 583 590 Der Grad einer Körpererweiterung Konstruktionen mit Zirkel und Lineal Symbolische Adjunktion von Nullstellen Endliche Körper Funktionenkörper 8. Transzendente Erweiterungen 9. Algebraisch abgeschlossene Körper Aufgaben Kapitel 1. 2. 3. 4. 5. 14 GALOISTHEORIE Der Hauptsatz der Galoistheorie Kubische Gleichungen . . . * . . . Symmetrische Funktionen Primitive Elemente Beweis des Hauptsatzes 601 603 607 614 614 621 626 631 635 6. Gleichungen vierten Grades 7. Kummersche Erweiterungen 640 647 8. Kreisteilungserweiterungen 9. Gleichungen fünften Grades Aufgaben 649 652 658 Anhang VORKENNTNISSE 670 1. Mengenlehre 2. Beweistechniken 3. Topologie 670 675 679 4. Der Satz über implizite Funktionen Aufgaben 684 686 Symbolverzeichnis 688 Literaturhinweise 691 Stichwortverzeichnis 694
