Stochastik

Fiedler/Winter
Sommersemester 2016
Stochastik
Übungsblatt 5
Erwartungswert und Varianz
Abgabe
Montag, den 30.05.2016 um 10:00 Uhr im Übungskasten im WSC-Foyer
Aufgabe 1
a) Sei X Poisson-verteilt mit Parameter λ > 0. Welches k maximiert P(X = k)?
b) Über eine reellwertige Zufallsvariable Y ist nur bekannt, dass P(Y = 10) = P(Y = 20) = 13 .
Was ist der kleinste Wert, den Var(Y ) annehmen kann? Beweise deine Behauptung.
Aufgabe 2
Berechne jeweils die Varianz Var(X) einer Zufallsvariablen X, die
a) Bernoulli-verteilt ist mit Parameter p ∈ [0, 1],
b) binomialverteilt ist mit Parametern n ∈ N und p ∈ [0, 1],
c) Poisson-verteilt ist mit Parameter λ > 0,
d) geometrisch verteilt ist mit Parameter p ∈ (0, 1].
Aufgabe 3
a) Seien X und Y unabhängig und geometrisch verteilt zum (selben) Parameter p ∈ (0, 1].
Definiere Z := X − Y . Berechne die Wahrscheinlichkeitsmassefunktion pZ , den Erwartungswert E(Z) und die Varianz Var(Z) von Z.
b) Finde Zufallsvariablen X und Y mit E(X · Y ) = E(X) · E(Y ), die jedoch nicht unabhängig
sind.
Aufgabe 4
Sei X eine Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion FX und E(X 2 ) < ∞. Sei
m1 := inf{x ∈ R | FX (x) ≥ 12 } und m2 := sup{x ∈ R | FX (x) ≤ 21 }. Der Wert m := 12 (m1 + m2 )
heißt Median von X.
a) Zeige, dass sowohl P(X ≤ m) ≥ 12 , als auch P(X ≥ m) ≥ 12 .
b) Gilt die Aussage aus a) im Allgemeinen auch für m1 statt m? Gilt sie im Allgemeinen für
m2 statt m?
c) Zeige, dass für alle a ∈ R gilt
E (|X − a|) ≥ E (|X − m|) .
d) Welches a ∈ R minimiert E((X − a)2 )?
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Zusatzaufgabe [4 Punkte]
In R kann man auch Zufallsexperimente simulieren: Mit
> rpois(10,4)
erhält man z.B. einen Vektor mit einer Realisierung von 10 unabhängigen Poisson-verteilten
Zufallsvariablen zum Parameter λ = 4. Allgemein kann man dies für jede Verteilung, die R kennt,
tun, indem man r mit dem Kürzel für die Verteilung (hier z.B. pois) verbindet. In der Klammer
steht zuerst die Anzahl der unabhängigen Zufallsvariablen, gefolgt von den Parametern.
a) Simuliere 100 geometrisch verteilte (geom) Zufallszahlen mit Parameter p = 12 . Was fällt
im Hinblick auf die aus der Vorlesung bekannte Wahrscheinlichkeitsmassefunktion auf?
b) Simuliere 100 binomialverteilte (binom) Zufallszahlen mit den Parametern n = 25 und
p = 41 . Notiere auf der Abgabe jeweils das Maximum und Minimum deiner 100 Zahlen.
c) Simuliere 1000 Poisson-verteilte (pois) Zufallszahlen mit Parameter λ = 3. Notiere auf
der Abgabe die Summe deiner 1000 Zahlen.
Tipp: Natürlich muss man nicht von Hand 100 oder sogar 1000 Zufallszahlen auf die Abgabe
schreiben. Es genügt, den entsprechenden R-Code zu notieren. − Bedenke, dass R bei den
Kommilitonen eventuell andere Zufallszahlen ausgibt. Es ist also ziemlich unwahrscheinlich,
dass die Summe von 1000 Poisson-verteilten Zufallszahlen bei jedem gleich ist!