Mathematische Grundlagen der Kryptografie

Mathematische Grundlagen der
Kryptografie
Übung, LVA 501.661
C. Fuchs
5. Übungsblatt, WS 2012/13
11.01.2013
1. Bestimme eine Carmichael-Zahl, die das Produkt von 4 Primzahlen ist.
2. Zeige: 561 ist die kleinste Carmichael-Zahl.
3. Finde eine 100-bit Primzahl.
4. a) Zeige, daß 232 + 1 keine Primzahl ist. b) Ist 231 − 1 eine Primzahl? Beweis!
5. Teste mit dem AKS-Test, ob 7919 eine Primzahl ist.
6. Erstelle ein Pratt-Zertifikat zu 104729.
7. Angenommen n ist ungerade, zusammengesetzt und keine Carmichael-Zahl. Zeige, dass
höchstens die Hälfte der Zahlen a mit ggT(a, n) = 1 und a ≤ n die Gleichung an−1 ≡ 1
(mod n) erfüllen.
8. Seien p und q Primzahlen, n = pq und d = ggT(p − 1, q − 1). Zeige, dass n genau dann
eine Pseudoprimzahl zur Basis b ist, falls bd ≡ 1 (mod n).
9. Finde mit Hilfe des Siebes des Eratosthenes alle Primzahlen ≤ 100000: Zunächst werden
alle Zahlen 2, 3, 4, . . . bis zu einem frei wählbaren Maximalwert S aufgeschrieben. Die
zunächst unmarkierten Zahlen sind potentielle Primzahlen. Die kleinste unmarkierte Zahl
ist immer eine Primzahl. Nachdem eine Primzahl gefunden wurde, werden alle Vielfachen
dieser Primzahl als zusammengesetzt markiert. Es genügt dabei, mit dem Quadrat der
Primzahl zu beginnen, da alle kleineren Vielfachen bereits markiert sind. Sobald das
Quadrat der Primzahl größer als die Schranke S ist, sind alle Primzahlen kleiner oder
gleich S bestimmt: Es sind die nicht markierten Zahlen.
10. Der Solvay-Strassen-Test funktioniert wie folgt: Ist n ungerade und keine Primzahl, dann
gilt für ein a mit ggT(a, n) = 1
(a)
a(n−1)/2 ̸≡
(mod n),
n
mit Wahrscheinlichkeit ≥ 1/2. Beachte auf der rechten Seite soll das Jacobisymbol berechnet werden. Man implementiere diesen Test und zeige 243 − 1 ist keine Primzahl.