An welche Stichwörter von der letzten Vorlesung können Sie sich
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An welche Stichwörter von der letzten Vorlesung können Sie sich noch erinnern? Winkelvergrößerung einer Lupe Das Fernrohre Das Mikroskop m= − mges ≈ m= fO fe N f ( l − fO − f e ) N fO f e ≈ lN fO f e Abbildungsfehler (Aberrationen): sphärische Aberration, Bildfeldwölbung und Chromatische Aberration Das Huygens-Prinzip: Jeder Punkt einer Wellenfront kann als Quelle sphärischer Wellen angesehen werden, die sich in Vorwärtsrichtung mit der Geschwindigkeit der Welle ausbreiten 32.3 Interferenz – Das Doppelspaltexperiment Wenn man davon ausgeht, dass Licht aus winzigen Partikeln besteht, dann sind auf einem hinter den Spalten platzierten Schirm zwei helle Linien zu erwarten. Man beobachtete aber etwas anderes, nämlich eine Reihe heller Linien - Interferenzerscheinung. E1 (= z, t ) E cos ( kz − ωt ) E2 (= z, t ) E cos ( kz − ωt + ϕ ) E ges = E1 + E2 = ? Ob sich die Amplituden beider Wellen zu einer größeren Amplitude (konstruktive Interferenz) oder zur Amplitude null (destruktiver Interferenz) addieren, hängt von der Phasendifferenz ab. Konstruktive Interferenz entsteht, wenn ϕ=0, 2π, 4π…; d.h. die Wege der beiden Strahlen unterscheiden sich um ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge. Unterscheiden sich die Wege dagegen um eine halbe Wellenlänge (oder 3/2λ, 5/2λ usw.), dann sind die Wellen maximal phasenverschoben: Die Wellenberge der einen Welle kommen gleichzeitig mit den Wellentälern der anderen an, so dass sie sich zur Amplitude null addieren (angenommen, dass die beiden Welle aus der gleichen Quelle kommen) Konstruktive Interferenz die Differenz dsinθ der zurückgelegten Wege ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge ist: d sin θ = mλ m = 0, ±1, ±2... Die Zahl m ist die Ordnung der Interferenz. Destruktive Interferenz: − − − 1 θ m + λ d sin= 2 d sin θ = mλ !!! E1 (= z, t ) E cos ( kz − ωt ) E2 (= z, t ) E cos ( kz − ωt + ϕ ) E ges = E1 + E2 = E cos ( kz − ωt ) + cos ( kz − ωt + ϕ ) = ϕ ϕ d sin θ 2π d sin θ 2π d = 2 E cos ( kz − ωt ) cos = ϕ = = y 2 λ λ λL 2π I ges = πd πd 2 2 E ges y 4 I1,2 4 E 2 cos2 = cos2 = t λL λL ϕ = ϕ 2π d y + ∆ (t ) λL 2 I ges = E ges t y Das Intensitätsmuster basiert auf der Annahme, dass jeder der beiden Lichtfelder kohärent sind: d.h., die Phase ist genau definiert. Im Gegensatz, für inkohärenten Quellen variiert die Phasendifferenz ϕ zwischen den beiden Wellen zufällig. πd 2 cos2 y + ∆ (t ) ==4 I1,2 λL 2 =2 I1,2 t In diesem Fall entsteht kein Interferenzmuster, sondern der Schirm wird gleichmäßig ausgeleuchtet. 32.4 Interferenz in dünnen Schichten Ein Teil des einfallenden Lichts wird im Punkt A an der oberen Grenzfläche reflektiert, während ein anderer Teil durchgelassen und im Punkt B an der unteren Grenzfläche reflektiert wird. Wenn der zusätzliche Weg ABC gleich einer θ Wellenlänge im Film oder einem ganzzahligen d Vielfachen davon (mλn), dann erreichen die Wellen das Auge phasengleich und interferieren konstruktiv. Die Wellenlänge λn ist die Wellenlänge im Film, d.h. λn = λ/n Für weißes Licht ist die Bedingung für konstruktive Interferenz für einen gegebenen Betrachtungswinkel nur für eine bestimmte Wellenlänge erfüllt: mλ0 2d 2dn = mλn = ABC = ⇒ λ0 = n cos θ m cos θ Newton’sche Ringe: konzentrische Ringe zwischen einer gekrümmten Glasoberfläche und einer ebenen Glasfläche. Sie entstehen durch die Interferenz der Strahlen, die an der oberen bzw. unteren Grenzfläche einer sehr dünnen Luft-schicht zwischen zwei Glasstücken reflektiert werden. Wenn ein Lichtstrahl an einem Medium reflektiert wird, dessen Brechungsindex größer ist als der des ursprünglichen Mediums, dann ändert sich die Phase der Welle um 180◦ oder eine halbe Periode. 32.5 Phasenverschiebungen durch Reflexion Bei der Brechung an einer Grenzfläche ändert sich die Phase der beteiligten Welle grundsätzlich nicht. Bei Reflexionen hingegen können Phasenverschiebungen auftreten; Ohne Beweis (s. UT): 1. wird die Welle von einem Medium mit einem kleineren Brechungsindex reflektiert, bekommt die Welle keine Phasenverschiebung. 2. wird die Welle von einem Medium mit einem größeren Brechungsindex reflektiert, bekommt die Welle eine Phasenverschiebung von π. Die Bedingung für konstruktive Interferenz 2d 2dn mλ0 = mλn = ⇒ λ0 = cos θ n m cos θ würde nur dann gelten, wenn der Brechungsindex von Wasser größer wäre als der Brechungsindex von Öl. Dann hätten die beiden Strahlen bei der Reflexion gleiche Phasenverschiebungen erhalten. Für die Interferenz ist der Phasenunterschied wichtig. Der Brechungsindex von Wasser ist 1,33. Es gibt aber Öle mit n=1.4-1.5. In diesem Fall bekäme der erste Strahl eine Phasenverschiebung von π, der zweite Strahl bekommt aber keine Phasenverschiebung. Deshalb ist die λn 2d 2dn mλn + = ⇒ λ= Bedingung für konstruktive Interferenz 0 1 2 cos θ m + cos θ 2 32.6 Das Michelson- und Michelson-Interferometer das Fabry-Perot-Interferometer MS – Strahlteiler, halbseitig versilberten Spiegel reflektiert nur die Hälfte des auf sie auftreffenden Lichts, während die andere Hälfte durchgelassen wird und auf einen feststehenden Spiegel M2 trifft, wo es reflektiert wird. Die an MS reflektierte Hälfte des Strahls trifft auf einen beweglichen Spiegel M1, wo er ebenfalls reflektiert wird. Die beiden Strahlen geben zB. konstruktive Interferenz, wenn die beiden Weglängen identisch sind. Wenn M1 um λ/4 verschoben wird, dann legt einer der Strahlen einen zusätzlichen Weg von λ/2 zurück – destruktive Interferenz. Mithilfe des Interferometers sind sehr genaue Längenmessungen möglich – ca. λ/10 = 50 nm Licht wird mehrmals von zwei Spiegeln reflektiert. Bedingung für Konstruktive Interferenz: 2d 2d ⇒= λ λ (cf. Interferenz in dünnen Schichten) m= cos θ m cos θ Da nicht nur zwei, sondern viele Strahlen interferieren, ist die Messgenaugigkeit größer - ca. λ/100 = 5 nm Fabry-Perot-Interferometer d θ 33 Beugung Beugung vs. Interferenz? Analogie: Summierung vs. Integration Beispiel: Lichtdurchgang durch eine eng begrenzte Öffnung. Es entsteht ein (Interferenz-) Beugungsmuster. Tritt monochromatisches Licht aus einer weit entfernten Quelle durch einen engen Spalt, so erkennt man auf einem hinter der Öffnung aufgestellten Beobachtungsschirm ein Muster: Zu beiden Seiten eines breiten, sehr hellen Streifens - des Hauptmaximums befinden sich schmalere, weniger helle Nebenmaxima. Je zwei Maxima sind durch ein Minimum voneinander getrennt. Die geometrische Optik kann das Auftreten von Beugungsmustern nicht erklären. λ Beugungsunschärfe: ∆θ = Der Poissonsche Fleck Laterales Maßstab A. Fresnel: Wellennatur des Lichts S. D. Poisson: Teilchenbeschreibung des Lichts Poisson hatte ein merkwürdiges Resultat erhalten: Nach der Fresnels Theorie sollten Lichtwellen so in den Schatten eines kreisförmigen Gegenstands hinein gebeugt werden, dass man im Mittelpunkt des Schattenbildes einen hellen Fleck sehen müsste. 33.1 Beugung am Einfachspalt ξ ∆ (ξ ) z Parallele Strahlen monochromatischen Lichts queren einen schmalen Spalt durch. Wir nehmen an, dass das Licht auf einen weit entfernten Schirm fällt, so dass die auf einen bestimmten Punkt zulaufenden Strahlen näherungsweise parallel sind. All die Strahlen, die senkrecht durch den Spalt gehen, sind phasengleich, so dass in der Mitte des Schirms ein heller Fleck entsteht. Strahlen, die mit der Ebene des Spalts einen Winkel θ bilden, besitzen unterschiedlichen Phasen. Die Bedingung der destruktiven Interferenz (dunkel): a sin θ =mλ m =±1, ±2... 1 Die Bedingung der konstruktiven a sin= θ m + λ 2 Interferenz a sin θ E ges ∫ 0 E cos ( kz − ωt + ∆= (ξ ) ) d ξ a sin θ ∫ 0 2π E cos kz − ωt + ξ sin θ dξ λ Das Integral ist Null, wenn das Integrationsinterval genau λ (bzw. mλ) ist und hat die maximale Amplitude, wenn es λ/2 (bzw. mλ+λ/2) ist 2π 33.1 Beugung am Einfachspalt ξ ∆ (ξ ) z Parallele Strahlen monochromatischen Lichts queren einen schmalen Spalt durch. Wir nehmen an, dass das Licht auf einen weit entfernten Schirm fällt, so dass die auf einen bestimmten Punkt zulaufenden Strahlen näherungsweise parallel sind. All die Strahlen, die senkrecht durch den Spalt gehen, sind phasengleich, so dass in der Mitte des Schirms ein heller Fleck entsteht. Strahlen, die mit der Ebene des Spalts einen Winkel θ bilden, besitzen unterschiedlichen Phasen. Die Bedingung der destruktiven Interferenz (dunkel): a sin θ = mλ m = 0, ±1, ±2... 1 Die Bedingung der konstruktiven a sin= θ m + λ 2 Interferenz 2 ∝ E ges a sin θ a sin θ E ges ∫ 0 E cos ( kz − ωt + ∆= (ξ ) ) d ξ ∫ 0 2π E cos kz − ωt + ξ sin θ dξ λ Das Integral ist Null, wenn das Integrationsinterval genau λ (bzw. mλ) ist und hat die maximale Amplitude, wenn es λ/2 (bzw. mλ+λ/2) ist 33.1 Beugung am Einfachspalt ξ ∆ (ξ ) z Parallele Strahlen monochromatischen Lichts queren einen schmalen Spalt durch. Wir nehmen an, dass das Licht auf einen weit entfernten Schirm fällt, so dass die auf einen bestimmten Punkt zulaufenden Strahlen näherungsweise parallel sind. All die Strahlen, die senkrecht durch den Spalt gehen, sind phasengleich, so dass in der Mitte des Schirms ein heller Fleck entsteht. Strahlen, die mit der Ebene des Spalts einen Winkel θ bilden, besitzen unterschiedlichen Phasen. Die Bedingung der destruktiven Interferenz (dunkel): a sin θ = mλ m = 0, ±1, ±2... Vergleich mit dem Doppelspaltexperiment a a E ges ) ) dξ ∫ E cos ( kz − ωt + ∆ (ξ= Konstruktive Interferenz 0 2π E kz t cos ω ξ sin θ − + dξ ∫0 λ 1 θ m + λ a sin= Das Integral Integrationsinterval 2 d sin θ ist = mNull, λ wenn m = das 0, ±1, ±2... genau λ (bzw. mλ) und hat die maximale Amplitude, Die Bedingung deristkonstruktiven wenn es λ/2 (bzw. mλ+λ/2) ist Interferenz 2π
