Methode der Schätz

Methode der Schätz-Funktionen
Julia Funk
03.07.2012
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Methode der Schätz-Funktionen
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Übersicht
Definition
Einfache Schätzfunktionen für den OU-Prozess
KQ-Schätzer
Kessler’s Schätzer
ML-Schätzer
Einfache Schätzfunktionen für den CIR-Prozess
Simulation
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Allgemeine Definition
Fn ist eine Schätzfunktion mit Parametern θ ∈ Θ und X obs mit
x ∈ R.
Eigenschaften :
asymptotische Erwartungstreue
Identifizierbarkeit ( Eθ0 (Fn(X obs , θ)) = 0, genau dann wenn
θ = θ0 )
Bestimmung eines Schätzers: Löse Fn (X obs , θ) = 0 nach θ auf.
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Definition der einfachen Schätzfunktionen
Basiert auf einer Rand- oder auf einer gemeinsamen Verteilung
eines Prozesses
Aufteilung:
n
P
Fn (X obs , θ) =
f (Xi , θ)
(Typ I )
Fn (X obs , θ) =
n
P
i=1
f (Xi−1 , Xi , θ)
(Typ II )
i=1
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Mehr zu den Schätzfunktionen des Types I
Eine zentrale Rolle spielt dabei
n
P
Fn (X obs , θ) = {b(Xi , θ)h0 (Xi−1 ) + 12 σ 2 (Xi , θ)h00 (Xi−1 )},
i=1
mit h(·) zweimal stetig differenzierbar.
Sie basiert auf dem Generator eines Diffusionsprozesses:
Lθ f (x, θ) = b(x, θ)fx (x, θ) + 12 σ 2 (x, θ)fxx (x, θ),
mit f (·) zweimal stetig differenzierbar.
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Schätzer für den Ornstein-Uhlenbeck-Prozess
Ornstein-Uhlenbeck-Prozess
dXt = -θ2 Xt dt + θ3 dWt
X0 = x0,
t0 = 0,
θ2 ∈ R
und
θ3 ∈ R+
Annahme: θ3 = 1
Bekannt: pθ (∆, y |x) asymptotisch normalverteilt mit
1 − e −2θ2 ∆
Eθ2 (Xi |Xi−1 = x) = xe −θ2 ∆ , Var θ2 (Xi |Xi−1 ) =
2θ2
Gesucht: θ2 = θ
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Kleinste-Quadrate-Schätzer für den OU-Prozess
Idee: Minimierung der quadratischen Distanz
n
n
P
P
(Xi − Eθ (Xi |Xi−1 ))2 = (Xi − e −θ∆ Xi−1 )2 = Kn (θ)
i=1
i=1
Ansatz:
n
P
∂
Kn(θ) = e −θ∆ 2∆ ·
Xi−1 (Xi − e −θ∆ Xi−1 )
∂θ
i=1
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Kleinste-Quadrate-Schätzer für den OU-Prozess
Exakte Schätzfunktion:
Fn (X obs , θ̂) =
n
P
Xi−1 (Xi − e −θ̂∆ Xi−1 )
i=1
Exakter Schätzer: 

n
P
Xi−1 Xi
n
 i=1

P
, für
θ̂ = − ∆1 log 
Xi−1 Xi > 0
n
 P

i=1
2
Xi−1
i=1
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Kessler’s-Schätzer für den OU-Prozess
Zur Erinnerung
n
P
Fn (X obs , θ) = {b(Xi , θ)h0 (Xi−1 ) + 12 σ 2 (Xi , θ)h00 (Xi−1 )}
(Typ I )
i=1
Setze h(x) = x 2 in die Gleichung ein und erhalte:
n
P
2
Schätzfunktion: Fn (X obs , θ̃) = {1 − 2θ̃Xi−1
}
i=1
Schätzer: θ̃ =
n
n
P
2
2 Xi−1
i=1
besitzt die kleinste asymptotische Varianz v0∗ = 2θ02
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1 + e −2θ0 ∆
1 − e −2θ0 ∆
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Maximum-Likelihood-Schätzer für den OU-Prozess
Ansatz:
n
n
P
P
Fn (X obs , θ) =
f (Xi−1 , Xi , θ) =
∂θ logpθ (∆, Xi |Xi−1 )
i=1
i=1
Bekannt:
Für Xi = y , und Xi−1 = x
1
(y − µ(θ))2
pθ (∆, y |x) = p
exp{−
}
2σ 2 (θ)
2πσ 2 (θ)
mit Parametern:
1 − e −2θ∆
µ(θ) = xe −θ∆
und σ 2 (θ) =
2θ
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Maximum-Likelihood-Schätzer für den OU-Prozess
Schätzfunktion:
f (y , x, θ̄) =
1
2θ̄(e 2θ̄∆
− 1)2
· ( 1 + 2θ̄∆ + 2x 2 θ̄ + 8x 2 θ̄2 ∆
+ e 4θ̄∆ (−2y 2 θ̄ + 1)
− 4yx θ̄e 3θ̄∆ (−1 − θ̄∆)
− 4yx θ̄e θ̄∆ (3θ̄∆ + 1)
+ 2e 2θ̄∆ (−1 − θ̄∆
+ x 2 θ̄(−1 − 2θ̄∆)
+ y 2 θ̄(1 + 2θ̄∆)) ) = 0
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Schätzer für den Cox-Ingersoll-Ross-Prozess
Cox-Ingersoll-Ross-Prozess
√
dXt = (α + θXt )dt + σ Xt dWt
α > 0 ,θ < 0
und
σ>0
Zur Erinnerung
n
P
Fn (X obs , θ) = {b(Xi , θ)h0 (Xi−1 ) + 12 σ 2 (Xi , θ)h00 (Xi−1 )}
(Typ I )
i=1
Dabei wird σ = 1 als bekannt vorausgesetzt und h(x) = (x, x 2 )> in
die Gleichung eingesetzt.
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Schätzer für den Cox-Ingersoll-Ross-Prozess
n
P
2
Xi−1
i=1
α̃n =
2 n
n
P
n
Xi−1
−
i=1
2 !
n
P
Xi−1
i=1
−n
n
P
Xi−1
i=1
θ̃n =
2 n
n
P
i=1
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n
Xi−1
−
n
P
2 !
Xi−1
i=1
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Simulation
KQ-Schätzer für den OU-Prozess
P

n
X X
n
 i=1 i−1 i 
P
1

 für
θ̂ = − ∆ log  P
Xi−1 Xi > 0
n

i=1
2
Xi−1
i=1
Ls . e s t <− f u n c t i o n ( x ){
n <− l e n g t h ( x)−1
k . sum <− sum ( x [ 1 : n ] ∗ x [ 2 : ( n + 1 ) ] )
d t <− d e l t a t ( x )
i f e l s e ( k . sum>0,
−l o g ( k . sum/sum ( x [ 1 : n ] ˆ 2 ) ) / dt , NA)
}
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Simulation
Kessler’s-Schätzer für den OU-Prozess
n
θ̃ = P
n
2
2 Xi−1
i=1
K . e s t <− f u n c t i o n ( x ){
n . obs <− l e n g t h ( x )
n . obs / ( 2 ∗ ( sum ( x ˆ 2 ) ) )
}
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Simulation
Maximum-Likelihood-Schätzer für den OU-Prozess 1
Q
P
min {−log ( pθ (∆, y |x))} ⇔ min(− logpθ (∆, y |x))
i
i
ML. e s t <− f u n c t i o n ( y , l o w e r =0, u p p e r=I n f ){
n <− l e n g t h ( y ) − 1
Dt <− d e l t a t ( y )
Y <− y [ 2 : ( n +1)]
g <− f u n c t i o n ( t h e t a ){
s s <− s q r t ((1 − exp (−2∗Dt∗ t h e t a ) ) / ( 2 ∗ t h e t a ) )
X <− y [ 1 : n ] ∗ exp(− t h e t a ∗Dt )
l i k <− dnorm (Y , mean=X , sd=s s )
−sum ( l o g ( l i k ) )
}
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Simulation
Maximum-Likelihood-Schätzer für den OU-Prozess 2
P
min(− logpθ (∆, y |x))
i
tmp <− t r y ( optim ( r u n i f ( 1 ) , g , method =”L−BFGS−B ” ,
l o w e r=l o w e r , u p p e r=u p p e r ) $ p a r )
i f ( c l a s s ( tmp)==”t r y −e r r o r ”)
tmp <− NA
tmp
}
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Simulation für einen OU-Prozess
Parameter der Simulation:
wahrer Parameter θ0 = 1
1000 Pfade von dem Ornstein-Uhlenbeck-Prozess
Länge der Pfade n = 200, n = 500, n = 1000
Zeitintervalle ∆ = 0.4, ∆ = 1 und ∆ = 5
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Auwertung der Simulation eines OU-Prozesses
∆
0.4
n
200
500
1000
1.0 200
500
1000
5.0 200
500
1000
p
v0∗ /n θ̂ (KQ) θ̃ (K) θ̄ (ML)
0.16
1.03
1.03
1.04
0.10
1.01
1.01
1.02
0.07
0.66
1.01
1.01
0.11
1.01
1.01
1.01
0.07
1.00
1.01
1.01
0.05
0.66
1.01
1.01
0.10
1.00
1.01
1.01
0.06
1.00
1.01
1.01
0.04
0.79
1.00
1.00
Grund für die Ausreißer sind die NA-Werte.
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Simulation für einen CIR-Prozess
Parameter der Simulation:
wahre Parameter θ = -1 und α = 10
200 Realisationen des CIR-Prozesses
Länge der Pfade n = 200, n = 500, n = 1000
Zeitintervalle ∆ = 0.5, ∆ = 1 und ∆ = 1.5
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Auwertung der Simulation eines CIR-Prozesses
∆
0.5
n
200
500
1000
0.5 200
500
1000
1.5 200
500
1000
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θ̃
-1.04
-1.02
-1.01
-1.04
-1.01
-1.00
-1.03
-1.01
-1.00
S.D
0.16
0.10
0.07
0.13
0.08
0.06
0.11
0.07
0.05
α̃
10.33
10.15
10.09
10.43
10.12
10.05
10.26
10.14
10.04
S.D
1.59
0.99
0.69
1.27
0.81
0.57
1.06
0.70
0.50
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Fazit
OU-Prozess
KQ-Schätzer(Eigenschaft: Konsistenz, Problem für n=1000)
Kessler’s Schätzer (Eigenschaften: die kleinste asymptotische
Varianz, Konsistenz, asymptotische Normalverteilung)
ML-Schätzer (wird optimiert)
CIR-Prozess
Schätzer für α und θ (Eigenschaften: Konsistenz, asymptotische
Normalverteilung)
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Anmerkungen I
Es sind folgende Fehler aufgefallen:
n
P
(S.158) Sn (θ) =
∂θ logpθ (∆, Xi−1 |Xi ), richtig wäre:
Sn (θ) =
n
P
i=1
∂θ logpθ (∆, Xi |Xi−1 ) .
i=1
(S.159)
n
P
n
P
2
2
2θXi−1
− 1 , richtig wäre
1 − 2θXi−1
.
i=1
(S.159)
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i=1
1 + e 2θ0 ∆
1 + e −2θ0 ∆
∗
v0∗ = 2θ0
,
richtig
wäre
v
=
2θ
.
0
0
1 − e 2θ0 ∆
1 − e −2θ0 ∆
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Anmerkungen II
Es sind folgende Fehler aufgefallen:
(S.160)
f(y,x θ) = 0, richtig wäre F(X obs ,θ) = 0
(S.160) In der Gleichung der ML-Schätzfunktion fehlen
folgende Terme:
8x 2 θ2 ∆ + 8yxθ2 ∆e 3θ∆ − 8yxθ2 ∆e θ∆ − 4x 2 θ2 ∆ .
(S.162) ∆ = 0.4, ∆ = 1.0 and ∆ = 0.5, richtig wäre
∆ = 0.4, ∆ = 1.0 and ∆ = 5.0 .
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Literaturverzeichnis
1. Iacus, S.M.(2008): Simulation and Inference of Stochastic
Differential Equations. With R Examples. Springer, New York.
2. Kessler, M.(2000): Simple and Explicit Estimating Functions for a
Discretely Obsreved Diffusion Prozess. Blackwell, Oxford.
3. Iacus, S.M (2009). sde: Simulation and Inference for Stochastic
Differential Equations. R package version 2.0.10. URL: http:
//http://cran.r-project.org/web/packages/sde/sde.pdf.
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