Elemente der Algebra - Didaktik der Mathematik (Sekundarstufen)

Dr. Jürgen Roth
Fachbereich 6: Abteilung
Didaktik der Mathematik
Elemente der Algebra
Dr. Jürgen Roth
1.1
Organisatorisches
1 Programm
& Grundlagen
2
Funktionen (Fkt.)
3
Lineare
Fkt./Gleichungen
4
Quadrat.
Fkt./Gleichungen
5
Exponentialfkt.
Informationen und
Materialien
http://www.juergenroth.de Ö Lehre
Abgabe der bearbeiteten
Übungsblätter
Bis Donnerstag, 12:00 Uhr
in meinem Fach am ENC
Neu: Abgabetermin für
das 1. Übungsblatt:
Donnerstag, 30.10.2008
bis 12:00 Uhr in mein Fach
am ENC
Klausur: Keine Hilfsmittel
Dr. Jürgen Roth
1.2
„Scheinkriterien“
„Kleiner Schein“ 4 KP
30% der erreichbaren BE
in den Übungen
40% der in der Klausur
am Ende des Semesters
erreichbaren BE
„Großer Schein“ 6 KP
50% der erreichbaren
BE in den Übungen
60% der in der Klausur
am Ende des Semesters
erreichbaren BE
Inhaltsverzeichnis
1 Programm
& Grundlagen
Elemente der Algebra
2
Funktionen (Fkt.)
1
3
Lineare
Fkt./Gleichungen
3 Lineare Funktionen, Gleichungen
und Gleichungssysteme
4
Quadrat.
Fkt./Gleichungen
5
Exponentialfkt.
Dr. Jürgen Roth
1.3
Programm & Argumentationsgrundlagen
2 Funktionen
4 Quadratische Funktionen
und Gleichungen
5
Exponentialfunktionen
Dr. Jürgen Roth
Fachbereich 6: Abteilung
Didaktik der Mathematik
1 Programm
& Grundlagen
2
Funktionen (Fkt.)
3
Lineare
Fkt./Gleichungen
4
Quadrat.
Fkt./Gleichungen
5
Exponentialfkt.
Dr. Jürgen Roth
1.4
Elemente der Algebra
1 Programm und
Argumentationsgrundlagen
Inhaltsverzeichnis
1 Programm
& Grundlagen
2
Funktionen (Fkt.)
3
Lineare
Fkt./Gleichungen
4
Quadrat.
Fkt./Gleichungen
5
Exponentialfkt.
Dr. Jürgen Roth
1.5
1 Programm und Argumentationsgrundlagen
1.1 Algebra?!
1.2 Mengen und Aussagenlogik
1.3 Beweistechniken
Dr. Jürgen Roth
Fachbereich 6: Abteilung
Didaktik der Mathematik
1 Programm
& Grundlagen
2
Funktionen (Fkt.)
3
Lineare
Fkt./Gleichungen
4
Quadrat.
Fkt./Gleichungen
5
Exponentialfkt.
Dr. Jürgen Roth
1.6
1 Programm und Argumentationsgrundlagen
1.1 Algebra?!
Algebra?!
1 Programm
& Grundlagen
2
Funktionen (Fkt.)
3
Lineare
Fkt./Gleichungen
4
Quadrat.
Fkt./Gleichungen
5
Exponentialfkt.
Dr. Jürgen Roth
1.7
al-Kitāb al-muhtasar fī hisāb al-ğabr wa-l-muqābala
„Das umfassende Buch vom Rechnen
durch Ergänzung & Ausgleich“
„Algebra“ entstammt obigem Titel des Rechen-Lehrbuchs
von Al-Hwārizmī (Mohammed ben Musa)
persischer Mathematiker ca. 780 – ca. 850 n. Chr.
Bedeutung von al-ğabr
Wörtlich: „Ausüben von Zwang”
in der Gleichungslehre: „Ergänzen” einer Gleichung
durch Addition negativer Glieder auf beiden Seiten
Algebra?!
1 Programm
& Grundlagen
2
Funktionen (Fkt.)
3
Lineare
Fkt./Gleichungen
4
Quadrat.
Fkt./Gleichungen
5
Exponentialfkt.
Dr. Jürgen Roth
1.8
Leonhard Euler (1707-1783):
„Vollständige Anleitung zur Algebra“, 1770
„Der Hauptzweck der Algebra sowie aller Theile der Mathematik
besteht darin, den Werth solcher Größen zu bestimmen, die
bisher unbekannt gewesen, was aus genauer Erwägung der
Bedingungen geschieht. Daher wird die Algebra auch als die
Wissenschaft definirt, welche zeigt, wie man aus bekannten
Größen unbekannte findet.“
Euler, Leonhard: Vollständige Anleitung zur Algebra.
Neue Ausgabe, Reclam Verlag, Leipzig, o. J., S. 217
Algebra?!
1 Programm
& Grundlagen
2
Funktionen (Fkt.)
3
Lineare
Fkt./Gleichungen
4
Quadrat.
Fkt./Gleichungen
5
Exponentialfkt.
Dr. Jürgen Roth
1.9
(klassische) Algebra
Lösen allgemeiner
algebraischer Gleichungen
(reelle oder komplexe
Zahlen)
zentrales Resultat:
Fundamentalsatz
der Algebra
(abstrakte) Algebra
Grundlagendisziplin der
modernen Mathematik
algebraische Strukturen
(Gruppen, Ringe, Körper)
& deren Verknüpfung
Computeralgebra
symbolische Manipulation
algebraischer Ausdrücke
sucht effiziente Algorithmen
& bestimmt die Komplexität
(Ö CAS)
(elementare) Algebra
Algebra im Sinne der
Schulmathematik
Umgang mit
natürlichen, ganzen, gebrochenen & reellen Zahlen
Termen und Funktionen
Wege zur Lösung einfacher
algebraischer Gleichungen
Dr. Jürgen Roth
Fachbereich 6: Abteilung
Didaktik der Mathematik
1 Programm
& Grundlagen
2
Funktionen (Fkt.)
3
Lineare
Fkt./Gleichungen
4
Quadrat.
Fkt./Gleichungen
5
Exponentialfkt.
Dr. Jürgen Roth
1.10
1 Programm und Argumentationsgrundlagen
1.2 Mengen und Aussagenlogik
Was ist eine Menge?
1 Programm
& Grundlagen
2
Funktionen (Fkt.)
3
Lineare
Fkt./Gleichungen
„Unter einer ‚Menge‘ verstehen wir
jede Zusammenfassung M von
bestimmten wohlunterschiedenen
Objekten m unserer Anschauung
oder unseres Denkens (welche
die ‚Elemente‘ von M genannt
werden) zu einem Ganzen.“
Georg Cantor (in: Beiträge zur Begründung der transfiniten
4
Quadrat.
Fkt./Gleichungen
5
Exponentialfkt.
Dr. Jürgen Roth
1.11
Mengenlehre (1895 und 1897), Math. Annalen, S. 481)
Bemerkung:
Intuitiv kann man sich eine Menge als Zusammenfassung
von Objekten (den Elementen der Menge) vorstellen, die
durch bestimmte Eigenschaften ausgezeichnet sind.
Beschreibung von Mengen
1 Programm
& Grundlagen
2
Funktionen (Fkt.)
3
Lineare
Fkt./Gleichungen
4
Quadrat.
Fkt./Gleichungen
5
Exponentialfkt.
Beschreibung durch (angedeutete) Aufzählung
Menge der Farben rot, blau, gelb und grün
{rot, blau, gelb, grün}
Menge der Zahlen 1, 2, 3, 4 und 5
{1, 2, 3, 4, 5}
Leere Menge
{} = ∅
Menge N der natürlichen Zahlen
N = {1, 2, 3, 4, 5, …}
Menge N0 der natürlichen Zahlen einschließlich Null
N0 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}
Menge Z der ganzen Zahlen
Z = {0, 1, –1, 2, –2, 3, –3, 4, –4, 5, –5, …}
Dr. Jürgen Roth
1.12
Beschreibung von Mengen
1 Programm
& Grundlagen
Beschreibung durch
charakterisierende
Eigenschaft(en)
2
Funktionen (Fkt.)
Menge Q+ der positiven
rationalen Zahlen
(Bruchzahlen)
3
Lineare
Fkt./Gleichungen
Q+ = {
4
Quadrat.
Fkt./Gleichungen
5
Exponentialfkt.
Dr. Jürgen Roth
1.13
z
| z ∈ N und n ∈ N}
n
N
Z Q
R
C
…
Menge Q der rationalen
Zahlen
Q={
z
| z ∈ Z und n ∈ N}
n
Menge R der reellen
Zahlen
Menge aller Punkte der
lückenlos besetzten Zahlengeraden (Im Wesentlichen.)
x ∈ M : „x ist Element von M.“
x ∉ M : „x ist nicht Element von M.“
Aussage, Aussageform
1 Programm
& Grundlagen
2
Funktionen (Fkt.)
3
Lineare
Fkt./Gleichungen
4
Quadrat.
Fkt./Gleichungen
5
Exponentialfkt.
Dr. Jürgen Roth
1.14
Aussage p
Aussageform p(x)
Formulierung, die
entweder wahr oder
falsch ist.
Formulierung, die beim
Einsetzen eine Aussage
ergibt.
Beispiele:
Beispiele:
x ist eine Primzahl.
13 ist eine Primzahl.
(in R erfüllbar)
(wahr)
4 ist eine Primzahl.
2+x=5
(in R erfüllbar)
(falsch)
2+3=5
(wahr)
2+3=6
(falsch)
x + x = 2x
(in R allgemeingültig)
x+1=x+2
Aussagen?
„Schnee ist weiß.“
„Alle Kreter lügen.“
(in R unerfüllbar)
Beschreibung von Mengen
1 Programm
& Grundlagen
2
Funktionen (Fkt.)
3
Lineare
Fkt./Gleichungen
4
Quadrat.
Fkt./Gleichungen
5
Exponentialfkt.
Dr. Jürgen Roth
1.15
Angabe einer Grundmenge G und einer Aussageform p(x)
Ist P die Menge der Elemente x mit der Eigenschaft p,
so schreibt man
P = {x | p(x)}.
Dabei bedeutet p(x), dass die Aussage p für x wahr ist.
Beispiele:
P = {n ∈ N | n ist eine Primzahl.} ⊂ N
Grundmenge Aussageform p(n)
P ist die Erfüllungsmenge der
Aussageform p(n) über der
Grundmenge N.
{n ∈ {1, 2, 3, 4} | n ist eine Primzahl}
= {2, 3}
{(x, y) ∈ R × R | x2 + y2 = 4} ⊂ R × R
p(x) ⇔ x ∈ P
¬p(x) ⇔ x ∉ P
Beschreibung von Mengen
1 Programm
& Grundlagen
2
Funktionen (Fkt.)
Definition:
Die Aussageformen p(x) und q(x) heißen äquivalent über der
Grundmenge G, wenn gilt
P = {x ∈ G | p(x)} = {x ∈ G | q(x)} = Q.
Man schreibt
und spricht
p(x) ⇔ q(x)
p(x) genau dann, wenn q(x).
3
Lineare
Fkt./Gleichungen
4
Quadrat.
Fkt./Gleichungen
5
Exponentialfkt.
Dr. Jürgen Roth
1.16
Beispiel:
{x ∈ R | |x| ≤ 2} = {x ∈ R | –2 ≤ x ≤ 2}
also
|x| ≤ 2 ⇔ –2 ≤ x ≤ 2
Quantoren
1 Programm
& Grundlagen
2
Funktionen (Fkt.)
Allquantor ∀
Ist die Erfüllungsmenge einer Aussageform p(x) gleich der
Grundmenge G, ist die Aussage p(x0) also für jedes Element
x0 ∈ G wahr, dann heißt p(x) allgemeingültig über G.
{x ∈ G | p(x)} = G
Man schreibt
3
Lineare
Fkt./Gleichungen
4
Quadrat.
Fkt./Gleichungen
5
Exponentialfkt.
und spricht
1.17
„Für alle x ∈ G gilt p(x).“
Beispiel:
∀x∈G x + x = 2x
Existenzquantor ∃
Existiert für eine Aussageform p(x) ein Element x0 der
Grundmenge G, so dass die Aussage p(x0) wahr ist,
dann heißt p(x) erfüllbar über G.
{x ∈ G | p(x)} ≠ ∅
Man schreibt
und spricht
Dr. Jürgen Roth
∀x∈G p(x)
∃x∈G p(x)
„Es existiert ein x ∈ G,
so dass gilt p(x).“
Beispiel:
∃x∈G 2 + x = 5
Quantoren
1 Programm
& Grundlagen
2
Funktionen (Fkt.)
3
Lineare
Fkt./Gleichungen
4
Quadrat.
Fkt./Gleichungen
5
Exponentialfkt.
Dr. Jürgen Roth
1.18
Man darf die Reihenfolge von Quantoren nicht vertauschen!
Beispiel:
∀n∈N ∃m∈N m > n
Für jede natürliche Zahl n gibt es eine
natürliche Zahl m die größer als n ist.
Diese Aussage ist sicher wahr.
Man wähle etwa m := n + 1.
∃m∈N ∀n∈N m > n
Es existiert eine natürliche Zahl m, so dass für jede
natürlichen Zahlen n gilt: m ist größer als n.
Diese Aussage ist falsch, denn es gibt keine natürliche Zahl,
die größer als alle anderen natürlichen Zahlen ist.
(Gäbe es eine solche Zahl, müsst man nur 1 addieren
um zu einer größeren natürlichen Zahl zu kommen.)
Präsenzaufgabe
1 Programm
& Grundlagen
2
Funktionen (Fkt.)
3
Lineare
Fkt./Gleichungen
4
Quadrat.
Fkt./Gleichungen
5
Exponentialfkt.
Dr. Jürgen Roth
1.19
Drücken Sie folgende Aussagen in einfachen Worten aus:
a)
∃x∈G ∀y ∈G x ≤ y
b)
∀y ∈G ∃x∈G x ≤ y
c)
∃x∈G ∀y ∈G x ⋅ y = 1
d)
∀y ∈G ∃x∈G x ⋅ y = 1
Untersuchen Sie welche der Aussagen jeweils in den
Grundmengen G = N, G = Z und G = Q+ wahr ist.
Junktoren: Operationen für Aussagen
1 Programm
& Grundlagen
2
Funktionen (Fkt.)
3
Lineare
Fkt./Gleichungen
4
Quadrat.
Fkt./Gleichungen
5
Exponentialfkt.
Dr. Jürgen Roth
1.20
¬p
(Nicht p.) (Das Gegenteil von p.)
Konjunktion
p∧q
(p und q.) (Sowohl p als auch q.)
Disjunktion
p∨q
(p oder (auch) q) (p oder q oder beide)
Implikation
p⇒q
(Wenn p, dann q.)
Koimplikation
p⇔q
(p genau dann, wenn q.)
Negation
Wahrheitstafel
p
q
¬p
p∧q
p∨q
p⇒q
¬p∨q
w
w
f
w
w
w
w
w
f
f
f
w
f
f
f
w
w
f
w
w
w
f
f
w
f
f
w
w
Junktoren: Operationen für Aussagen
1 Programm
& Grundlagen
2
Funktionen (Fkt.)
3
Lineare
Fkt./Gleichungen
4
Quadrat.
Fkt./Gleichungen
5
Exponentialfkt.
Dr. Jürgen Roth
1.21
¬p
(Nicht p.) (Das Gegenteil von p.)
Konjunktion
p∧q
(p und q.) (Sowohl p als auch q.)
Disjunktion
p∨q
(p oder (auch) q) (p oder q oder beide)
Implikation
p⇒q
(Wenn p, dann q.)
Koimplikation
p⇔q
(p genau dann, wenn q.)
Negation
Wahrheitstafel
p
q
p⇒q
q⇒p
p⇔q
(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)
w
w
w
w
w
w
w
f
f
w
f
f
f
w
w
f
f
f
f
f
w
w
w
w
Implikation: p ⇒ q
1 Programm
& Grundlagen
2
Funktionen (Fkt.)
3
Lineare
Fkt./Gleichungen
4
Quadrat.
Fkt./Gleichungen
5
Exponentialfkt.
Sprechweisen
Wenn p, dann q.
q, wenn p.
q mindestens dann, wenn p.
p nur dann, wenn q.
p höchstens dann, wenn q.
Aus p folgt q.
q folgt aus p.
p impliziert q.
p ist hinreichend für q.
q ist notwendig für p.
q ist mindestens so wahr wie p.
Dr. Jürgen Roth
1.22
Beispiel:
p : Herr Roth ist
Dozent im
Fachbereich 6.
q : Herr Roth ist
Dozent der
Universität
Siegen.
Koimplikation: p ⇔ q
1 Programm
& Grundlagen
2
Funktionen (Fkt.)
3
Lineare
Fkt./Gleichungen
4
Quadrat.
Fkt./Gleichungen
5
Exponentialfkt.
Dr. Jürgen Roth
1.23
Sprechweisen
p genau dann, wenn q.
Wenn p, dann q und umgekehrt.
p dann und nur dann, wenn q.
Beispiel:
p : Tobias ist mein
Sohn.
q : Tobias ist der
Aus p folgt q und umgekehrt.
Bruder meiner
Tochter Mareike.
p impliziert q und umgekehrt.
p und q implizieren sich gegenseitig.
p ist notwendig und hinreichend für q.
p ist äquivalent zu q.
p ist gleichbedeutend/gleichwertig zu q.
p ist genauso wahr oder falsch wie q.
Bemerkung:
Hier kann
überall p mit q
vertauscht
werden.
Negation von Aussagen
1 Programm
& Grundlagen
¬ ( ∀x∈G p(x) ) ⇔ ∃x∈G ¬ p(x)
Es gibt eine Katze die
bellen kann.
¬ ( ∃x∈G p(x) ) ⇔ ∀x∈G ¬ p(x)
2
Funktionen (Fkt.)
Negationen
¬ (p ∧ q) ⇔ ¬ p ∨ ¬ q
3
Lineare
Fkt./Gleichungen
4
Quadrat.
Fkt./Gleichungen
Alle Grundschullehrkräfte
sind Frauen.
Negation mit Quantoren
Tertium non datur.
Entweder ist p wahr, oder
¬ p ist wahr, eine dritte
Möglichkeit gibt es nicht.
¬ (p ∨ q) ⇔ ¬ p ∧ ¬ q
¬ (¬ p) ⇔ p
Wahrheitstafel
p q ¬ p ¬ q p ∧ q ¬ (p ∧ q) p ∨ q ¬ (p ∨ q) ¬ p ∧ ¬ q
¬p∨¬q
w w
f
f
w
f
w
f
f
f
5
Exponentialfkt.
w f
f
w
f
w
w
f
f
w
f w
w
f
f
w
w
f
f
w
Dr. Jürgen Roth
f f
w
w
f
w
f
w
w
w
1.24
Einige äquivalente Aussagen
1 Programm
& Grundlagen
(p ⇒ q) ⇔ (¬ p ∨ q)
(p ⇒ q) ⇔ (¬ q ⇒ ¬ p)
2
Funktionen (Fkt.)
5
Exponentialfkt.
Dr. Jürgen Roth
1.25
Wenn der Tank leckt, bekommen Sie einen neuen.
Negation
¬ (p ⇒ q) ⇔ (p ∧ ¬ q)
3
Lineare
Fkt./Gleichungen
4
Quadrat.
Fkt./Gleichungen
Beispiele:
Wenn Herr Roth kommt,
dann ist er pünktlich.
Implikation
Wahrheitstafel
p q ¬p
¬q
p⇒q
¬p∨q ¬q⇒¬p
¬ (p ⇒ q)
p∧¬q
w w
f
f
w
w
w
f
f
w f
f
w
f
f
f
w
w
f w
w
f
w
w
w
f
f
f
w
w
w
w
w
f
f
f
q ⇒ p ist die Umkehrung von p ⇒ q
1 Programm
& Grundlagen
Es gilt:
(p ⇔ q) ⇔ [(p ⇒ q)∧(q ⇒ p)]
2
Funktionen (Fkt.)
3
Lineare
Fkt./Gleichungen
4
Quadrat.
Fkt./Gleichungen
5
Exponentialfkt.
Dr. Jürgen Roth
1.26
Wahrheitstafel
p⇒q
q⇒p
(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)
p⇔q
w w
w
W
w
w
w
w
f
f
W
w
f
f
f
w
w
Ff
f
f
f
f
w
w
w
w
p
q
Kontraposition contra Umkehrung
1 Programm
& Grundlagen
2
Funktionen (Fkt.)
3
Lineare
Fkt./Gleichungen
4
Quadrat.
Fkt./Gleichungen
5
Exponentialfkt.
Dr. Jürgen Roth
1.27
Eine Implikation p ⇒ q hat immer denselben Wahrheitsgehalt
wie ihre Kontraposition ¬ q ⇒ ¬ p . (p ⇒ q) ⇔ (¬ q ⇒ ¬ p)
Achtung: Eine Implikation p ⇒ q und ihre Umkehrung q ⇒ p
können unterschiedlichen Wahrheitsgehalt haben.
Beispiel:
p(n): „n ist durch 10 teilbar“
q(n): „n ist durch 5 teilbar“
p(n) ⇒ q(n): „Ist n durch 10 teilbar, dann
ist n auch durch 5 teilbar“
9
¬q(n) ⇒ ¬p(n): „Ist n nicht durch 5 teilbar, dann
ist n auch nicht durch 10 teilbar“
q(n) ⇒ p(n): „Ist n durch 5 teilbar, dann
ist n auch durch 10 teilbar“
9
0 Gegenbeispiel 25
Mengen vergleichen
1 Programm
& Grundlagen
2
Funktionen (Fkt.)
3
Lineare
Fkt./Gleichungen
M=N
M ist gleich N.
M und N enthalten
dieselben Elemente.
M⊆N
Dr. Jürgen Roth
1.28
Teilmenge
M ist Teilmenge von N (oder gleich N).
M enthält nur Elemente von N.
10
9
1
4 8
M
3
2
5
6
7
N
Mögliche Extremfälle:
M=∅
4
Quadrat.
Fkt./Gleichungen
5
Exponentialfkt.
M=N⇔
∀x∈M x∈N ∧ ∀x∈N x∈M
M=N
M⊂N
Venn-Diagramm
echte Teilmenge
M ist echte Teilmenge von N.
M enthält nur Elemente von N,
aber nicht alle.
M⊆N⇔
∀x∈M x∈N
M⊂N⇔
∀x∈M x∈N ∧ ∃x∈N x∉M
Mengen verknüpfen
1 Programm
& Grundlagen
2
Funktionen (Fkt.)
3
Lineare
Fkt./Gleichungen
4
Quadrat.
Fkt./Gleichungen
5
Exponentialfkt.
Dr. Jürgen Roth
1.29
M∪N
M∪N
Vereinigungsmenge
M ∪ N enthält alle Elemente
aus M und alle Elemente aus N.
Beispiel: M = {2, 3, 5, 7}; N = {2, 4, 6, 8}
M ∪ N = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
M∩N
4 8
2
5
6
7
N
3
M vereinigt mit N.
M
M∪N
= {x∈G | x∈M ∨ x∈N}
Schnittmenge
M∩N
M geschnitten mit N.
M ∩ N enthält alle Elemente, die
sowohl in M als auch in N enthalten sind.
Beispiel: M = {2, 3, 5, 7}; N = {2, 4, 6, 8}
M ∩ N = {2}
4 8
2
5
6
7
N
3
M
M∩N
= {x∈G | x∈M ∧ x∈N}
Mengen verknüpfen
1 Programm
& Grundlagen
M\N
M\N
4 8
2
5
6
7
N
3
M ohne N.
2
Funktionen (Fkt.)
3
Lineare
Fkt./Gleichungen
Restmenge
M\N enthält alle Elemente aus M,
die nicht Element von N sind.
M
Beispiel: M = {2, 3, 5, 7}; N = {2, 4, 6, 8}
M\N = {x∈M | x∉N}
M\N = {3, 5, 7}
M
Komplement von M bzgl. G
M = {x∈G | x∉M}
4
Quadrat.
Fkt./Gleichungen
M ist das Komplement von M bzgl. der Grundmenge G.
5
Exponentialfkt.
M = G\M, wenn M ⊆ G.
Dr. Jürgen Roth
1.30
M enthält die Elemente der Grundmenge G, die nicht in M enthalten sind.
Beispiel: G = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10};
M = {2, 3, 5, 7} ⇒ M = {1, 4, 6, 8, 9, 10}
10
9
1
4 8
3
2
5 7 M 6
M
G
Mengen verknüpfen
1 Programm
& Grundlagen
2
Funktionen (Fkt.)
3
Lineare
Fkt./Gleichungen
4
Quadrat.
Fkt./Gleichungen
Kartesisches Produkt
Sind M1 und M2 zwei nichtleere Mengen (M1, M2 ≠ ∅), dann ist
das kartesische Produkt M1 × M2 die Menge aller geordneten
Paare (m1, m2) mit m1 ∈ M1 und m2 ∈ M2.
M1 × M2 = {(m1, m2) | m1 ∈ M1 ∧ m2 ∈ M2}
Sind M1, M2, … , Mn nichtleere
Mengen, dann ist das kartesische
Produkt M1 × M2 × … × Mn dieser
Mengen definiert durch
Die Bezeichnung „kartesisch“ geht auf
den Mathematiker und Philosophen
René Descartes (1596-1650) zurück.
Er hat z. B. die Punkte der Ebene
durch Paare von Zahlen dargestellt.
M1 × M2 × … × Mn = {(m1, m2, … , mn) | ∀k∈{1, 2, … , n} mk ∈ Mk}.
Beispiel:
5
Exponentialfkt.
Dr. Jürgen Roth
1.31
M1 = {1, 2, 3}, M2 = {a, b}
⇒ M1 × M2 = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}
Achtung: (a, 1) ∉ M1 × M2
Präsenzübung
1 Programm
& Grundlagen
2
Funktionen (Fkt.)
3
Lineare
Fkt./Gleichungen
4
Quadrat.
Fkt./Gleichungen
5
Exponentialfkt.
Dr. Jürgen Roth
1.32
Geben Sie folgende Mengen an:
–1
G∪M
P∩G
G\N
P
10
9
1
N
4 8
3
2
5
M
6
7
G
G\P
N (bzgl. G als Grundmenge)
G \ (M ∪ N)
P\G
G∩N
M×N
G = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
M = {x ∈ G | x ist Primzahl.}
N = {x ∈ G | ∃n∈N x = 2n ∧ x ≠10}
P = {x ∈ Z | |x| = 1}
Mächtigkeit von Mengen
1 Programm
& Grundlagen
2
Funktionen (Fkt.)
3
Lineare
Fkt./Gleichungen
|M|
Mächtigkeit der Menge M
N
|M| beschreibt die
Anzahl der Elemente von M.
Beispiel: M = {0, 1, 2, 3, 4, 5};
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
|M| = 6
|N| = 9
Mächtigkeit von Mengen vergleichen
4
Quadrat.
Fkt./Gleichungen
5
Exponentialfkt.
Wenn es gelingt, die Elemente
zweier Mengen M und N paarweise
einander zuzuordnen, dann sind
die Mengen M und N gleichmächtig,
also |M| = |N|.
Für M ⊆ N gilt |M| ≤ |N|
Dr. Jürgen Roth
1.33
9
8
0
1
7
M
4
3
6
5
2
Mächtigkeit von Mengen
1 Programm
& Grundlagen
2
Funktionen (Fkt.)
3
Lineare
Fkt./Gleichungen
4
Quadrat.
Fkt./Gleichungen
5
Exponentialfkt.
Dr. Jürgen Roth
1.34
Welche Menge ist mächtiger, besitzt also mehr Elemente?
Menge der natürlichen Zahlen N
Menge der geraden natürlichen Zahlen G = {n∈N | ∃k∈N n = 2k}.
G ⊂ N,
k∈N
1
2
3
4
5
6
7
8
9
…
n = 2k ∈G
2
4
6
8
10
12
14
16
18
…
|G| = |N|
Die Menge der geraden natürlichen Zahlen und die Menge der
natürlichen Zahlen sind gleichmächtig, weil man die Elemente
dieser Mengen paarweise einander zuordnen kann.
Definition:
Einen Menge M heißt endlich, wenn es
eine natürliche Zahl n gibt mit |M| = n.
Abzählbare Mengen
1 Programm
& Grundlagen
2
Funktionen (Fkt.)
3
Lineare
Fkt./Gleichungen
4
Quadrat.
Fkt./Gleichungen
5
Exponentialfkt.
Definition:
Einen Menge M heißt unendlich, wenn sie eine
echte Teilmenge T besitzt (T ⊂ M), zu der sie
gleichmächtig ist, für die also gilt |T| = |M|.
Eine Menge M die gleichmächtig zur Menge
der natürlichen Zahlen N ist, für die also gilt
|M| = |N|, heißt abzählbar (unendlich).
Man schreibt
auch |M| = ∞.
|N| = ℵo
ℵo: „Aleph Null“
Welche Menge ist mächtiger, besitzt also mehr Elemente?
Menge der ganzen Zahlen Z
Menge der natürlichen Zahlen N ⊂ Z
k∈N
1
2
3
4
5
6
7
8
9
…
z∈Z
0
1
–1
2
–2
3
–3
4
–4
…
|Z| = |N|, die Menge der ganzen Zahlen ist also abzählbar.
Dr. Jürgen Roth
1.35
Abzählbare Mengen
1 Programm
& Grundlagen
Welche Menge ist mächtiger, besitzt also mehr Elemente?
Menge der rationalen Zahlen Q
Menge der natürlichen Zahlen N ⊂ Q
2
Funktionen (Fkt.)
Diagonalverfahren von Cantor
Die Pfeile deuten an,
wie die Nummerierung
erfolgen soll.
3
Lineare
Fkt./Gleichungen
Schon erfasste Zahlen
werden übersprungen.
4
Quadrat.
Fkt./Gleichungen
5
Exponentialfkt.
Dr. Jürgen Roth
1.36
|Q| = |N|, die Menge
der rationalen Zahlen ist
also abzählbar.
n∈N
1
2
3
4
5
6
7
8
9
…
q∈Q
0
1
–1
2
–2
1/2
–1/2
1/3
–1/3
…
Nicht abzählbare Mengen
1 Programm
& Grundlagen
2
Funktionen (Fkt.)
3
Lineare
Fkt./Gleichungen
4
Quadrat.
Fkt./Gleichungen
5
Exponentialfkt.
Dr. Jürgen Roth
1.37
Potenzmenge ℘(N) von N
Die Menge ℘(N) aller Teilmengen der
natürlichen Zahlen ist nicht abzählbar unendlich.
Man sagt auch ℘(N) ist überabzählbar.
Beweis folgt später.
ℵ: „Aleph“
|N| = ℵo
Es gibt also verschiedene Stufen von unendlich! (ℵ0, ℵ1, …)
℘({1}) = {∅, {1}}
℘({1, 2}) = {∅, {1}, {2}, {1, 2}}
|℘({1})| = 2 = 21
|℘({1, 2})| = 4 = 22
℘({1, 2, 3}) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}
|℘({1, 2, 3})| = 8 = 23
℘(N)
Menge der reellen Zahlen R
R ist überabzählbar!
|℘(N)| = 2ℵ0
Mächtigkeit abgeleiteter Mengen
1 Programm
& Grundlagen
2
Funktionen (Fkt.)
3
Lineare
Fkt./Gleichungen
4
Quadrat.
Fkt./Gleichungen
5
Exponentialfkt.
Dr. Jürgen Roth
1.38
Mächtigkeit des Komplements
Ist G eine endliche Menge und
M eine Teilmenge von G, dann
gilt: |M| = |G\M| = |G| – |M|
10
9
1
4 8
3
2
5 7 M 6
G
Summenformel
M∪N
Sind M1 und M2 zwei endliche
Mengen, dann gilt:
|M1 ∪ M2| = |M1| + |M2| – |M1 ∩ M2|
Produktformel
M
4 8
2
5
6
7
N
3
M
Sind M1 und M2 zwei nichtleere endliche Mengen, dann gilt:
|M1 × M2| = |M1| ⋅ |M2|
Sind M1, M2, … , Mn nichtleere endliche Mengen, dann gilt:
|M1 × M2 × … × Mn | = |M1| ⋅ |M2| ⋅ … ⋅ |Mn|
Dr. Jürgen Roth
Fachbereich 6: Abteilung
Didaktik der Mathematik
1 Programm
& Grundlagen
2
Funktionen (Fkt.)
3
Lineare
Fkt./Gleichungen
4
Quadrat.
Fkt./Gleichungen
5
Exponentialfkt.
Dr. Jürgen Roth
1.39
1 Programm und Argumentationsgrundlagen
1.3 Beweistechniken
Beweistechniken für p ⇒ q
1 Programm
& Grundlagen
2
Funktionen (Fkt.)
3
Lineare
Fkt./Gleichungen
4
Quadrat.
Fkt./Gleichungen
5
Exponentialfkt.
Dr. Jürgen Roth
1.40
Direkter Beweis
Man geht von der Voraussetzung p aus und argumentiert
durch eine Kette logischer Schlüsse so lange, bis man bei
der Behauptung q ankommt.
Indirekter Beweis
Man nimmt ¬ q an und schließt dann auf ¬ p, man zeigt also
in Wirklichkeit die Kontraposition ¬ q ⇒ ¬ p.
Widerspruchsbeweis
Hier führt man die Negation der zu beweisenden Aussage
p ⇒ q, also die Aussage p ∧ ¬ q, zum Widerspruch. Man
nimmt also sowohl p als auch ¬ q an und schließt dann
solange weiter, bis man auf einen Widerspruch stößt.
Direkter Beweis
1 Programm
& Grundlagen
2
Funktionen (Fkt.)
3
Lineare
Fkt./Gleichungen
4
Quadrat.
Fkt./Gleichungen
5
Exponentialfkt.
Dr. Jürgen Roth
1.41
Behauptung 1:
Für natürliche Zahlen n gilt:
Ist n ungerade, dann ist auch n2 ungerade.
p(n) ist die Aussage „n ist ungerade“ und q(n) ist die
Aussage „n2 ist ungerade“. Zu zeigen ist p(n) ⇒ q(n).
Beweis (direkt):
n ungerade ⇔ ∃k∈N n = 2k + 1
0
⇒ n2 = (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 = 2(2k2 + 2k) +1
∈ N0
⇒ n2 ungerade
Damit ist die Implikation p(n) ⇒ q(n),
also die Behauptung bewiesen.
#
Indirekter Beweis
1 Programm
& Grundlagen
2
Funktionen (Fkt.)
3
Lineare
Fkt./Gleichungen
4
Quadrat.
Fkt./Gleichungen
5
Exponentialfkt.
Behauptung 2 (Umkehrung der Behauptung 1):
Für natürliche Zahlen n gilt:
Ist n2 ungerade, dann ist auch n ungerade.
p(n) ist die Aussage „n ist ungerade“ und q(n) ist die
Aussage „n2 ist ungerade“. Zu zeigen ist q(n) ⇒ p(n).
Beweis (indirekt):
Aus der Annahme ¬ p(n) ist ¬ q(n) zu folgern. Wir zeigen also die
zur Behauptung 2 äquivalente Behauptung ¬ p(n) ⇒ ¬ q(n). Dies
bedeutet: Ist n gerade, dann ist auch n2 gerade.
n gerade ⇔ ∃k∈N n = 2k
⇒ n2 = (2k)2 = 4k2 = 2(2k2)
⇒ n2 gerade
∈N
Damit ist ¬ p(n) ⇒ ¬ q(n), also auch Behauptung 2 bewiesen.
Dr. Jürgen Roth
1.42
#
Widerspruchsbeweis
1 Programm
& Grundlagen
2
Funktionen (Fkt.)
3
Lineare
Fkt./Gleichungen
4
Quadrat.
Fkt./Gleichungen
5
Exponentialfkt.
Dr. Jürgen Roth
1.43
Behauptung 2 (Umkehrung der Behauptung 1):
Für natürliche Zahlen n gilt:
Ist n2 ungerade, dann ist auch n ungerade.
p(n) ist die Aussage „n ist ungerade“ und q(n) ist die
Aussage „n2 ist ungerade“. Zu zeigen ist q(n) ⇒ p(n).
Widerspruchsbeweis:
Die Negation ¬ (q(n) ⇒ p(n)) der zu beweisenden Aussage,
also q(n) ∧ ¬ p(n), das ist die Aussage „n2 ist ungerade und
n ist gerade.“ wird zum Widerspruch geführt.
(*) n2 ungerade und n gerade ⇔ ¬(∃i∈N n2 = 2i ) ∧ (∃k∈N n = 2k )
⇒ (∀i∈N n2 ≠ 2i ) ∧ (∃k∈N n2 = (2k)2)
⇒ (∀i∈N n2 ≠ 2i ) ∧ (∃k∈N n2 = 2(2k2))
0Widerspruch!
Damit ist (*) falsch und folglich die Behauptung 2 richtig.
∈N
#
Widerspruchsbeweis
1 Programm
& Grundlagen
Satz:
2
Funktionen (Fkt.)
Beweis (Widerspruchsbeweis):
3
Lineare
Fkt./Gleichungen
4
Quadrat.
Fkt./Gleichungen
5
Exponentialfkt.
Dr. Jürgen Roth
1.44
Die Menge ℘(N) aller Teilmengen von N ist nicht abzählbar.
Annahme: ℘(N) ist abzählbar.
⇒ Man kann die Teilmengen von N durchnummerieren
M1, M2, M3, M4, M5, … und damit ℘(N) darstellen als
℘(N) = {M1, M2, M3, M4, M5, …}.
Wir betrachten die Teilmenge M von ℘(N), für die gilt:
M = {n∈N | n∉Mn}
Diese Menge besteht also aus den natürlichen Zahlen, die
nicht in der Teilmenge vorkommen, dessen Nummer sie sind.
⇒ ∀n∈N M ≠ Mn
0 Widerspruch zur Annahme ℘(N) = {M1, M2, M3 , M4, M5, …}
o. B. d. A. heißt
„ohne Beschränkung
der Allgemeinheit“.
1 Programm
& Grundlagen
Existenz irrationaler Zahlen
Definition:
Eine reelle Zahl x heißt
rational, wenn sie sich in
m
der Form x = n mit m ∈ Z
und n ∈ N schreiben lässt,
2
Funktionen (Fkt.)
andernfalls irrational.
3
Lineare
Fkt./Gleichungen
Satz:
4
Quadrat.
Fkt./Gleichungen
Beweis (Widerspruchsbeweis):
5
Exponentialfkt.
Es gibt keine rationale
Zahl x mit x2 = 2.
„Wenn x2 = 2 ist, dann gilt
für alle Lösungen x dieser
Gleichung x ∉ Q.“
Annahme: p(x) ∧ ¬q(x)
Dr. Jürgen Roth
1.45
⇒ Es gibt o. B. d. A. einen
m
Bruch n mit m, n ∈ N
für den gilt: ⎛ m ⎞2
⎜ ⎟ =2
⎝n⎠
⇒ m2 = 2n2
⇒ m⋅m = 2⋅n⋅n
In der Primfaktorzerlegung von
m⋅m tritt die Zahl 2 in einer
geraden Anzahl auf, in der von
2⋅n⋅n tritt die Zahl 2 dagegen in
einer ungeraden Anzahl auf .
0Widerspruch zur Eindeutigkeit
der Primfaktorzerlegung!
Dieser Widerspruch zeigt, dass
es keine rationale Zahl x mit
x2 = 2 geben kann.
#
Existenz irrationaler Zahlen
1 Programm
& Grundlagen
Die reellen Zahlen entsprechen
eineindeutig den sämtlichen
Punkten der Zahlengeraden.
2
Funktionen (Fkt.)
Arnold Kirsch
3
Lineare
Fkt./Gleichungen
4
Quadrat.
Fkt./Gleichungen
5
Exponentialfkt.
Dr. Jürgen Roth
1.46
2
0
1
2
2
Beweismethode: Vollständige Induktion
1 Programm
& Grundlagen
2
Funktionen (Fkt.)
Idee: Man möchte zeigen, dass eine Aussageform p(n) für alle
natürlichen Zahlen zu einer wahren Aussage wird: ∀n∈N p(n)
Beispiel: Dreieckszahlen
3
Lineare
Fkt./Gleichungen
4
Quadrat.
Fkt./Gleichungen
5
Exponentialfkt.
Satz:
Für alle natürlichen Zahlen n gilt:
Dr. Jürgen Roth
1.47
1+2+…+n=
n ⋅ (n + 1)
2
Schema der vollständigen Induktion
1 Programm
& Grundlagen
Induktionsanfang:
p(1)
Zu zeigen: p(n) ist für alle
natürlichen Zahlen n wahr.
Vorgehensweise:
• Beweisen: p(1) ist wahr.
• Beweisen: Wenn p(n) für
ein n ∈ N wahr ist, dann
ist es auch für n + 1 wahr.
1
2
Funktionen (Fkt.)
3
Lineare
Fkt./Gleichungen
4
Quadrat.
Fkt./Gleichungen
5
Exponentialfkt.
Dr. Jürgen Roth
1.48
n
Induktionsschritt:
∀n∈N p(n) ⇒ p(n + 1)
Induktionsschluss:
∀n∈N p(n)
n+1
Man geht hier von der
Induktionsannahme
„p(n) ist wahr“ aus.
⇒
1
2
3
4
5
⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒
∀n∈N p(n)
6
…
⇒
n
k = 1 + 2 + ... + n
∑
k
Beispiel
=1
1 Programm
& Grundlagen
Satz:
2
Funktionen (Fkt.)
Beweis (vollständige Induktion):
3
Lineare
Fkt./Gleichungen
4
Quadrat.
Fkt./Gleichungen
5
Exponentialfkt.
Dr. Jürgen Roth
1.49
1+2+…+n=
Für alle natürlichen Zahlen n gilt:
Induktionsanfang p(1):
1=
1 ⋅ (1 + 1)
2
n ⋅ (n + 1)
2
9
Induktionsschritt p(n) ⇒ p(n + 1):
1 + 2 + … + n + (n + 1)
Induktions −
annahme
=
=
n ⋅ (n + 1)
2
+ (n + 1) =
n ⋅ (n + 1) + 2 ⋅ (n + 1)
2
Induktionsschluss:
=
n ⋅ (n + 1) 2 ⋅ (n + 1)
2
+
2
(n + 1)⋅ (n + 2) = (n + 1)⋅ [(n + 1) + 1]
2
2
∀n∈N 1 + 2 + ... + n =
n ⋅ (n + 1)
2
#
Beispiel
1 Programm
& Grundlagen
2
Funktionen (Fkt.)
3
Lineare
Fkt./Gleichungen
4
Quadrat.
Fkt./Gleichungen
Bernoulli‘sche Ungleichung:
Wenn h eine fest gewählte reelle Zahl mit h > 1 ist, dann
folgende Ungleichung für alle natürliche Zahlen n richtig:
(1 + h)n ≥ 1 + n ⋅ h
Beweis (vollständige Induktion):
Induktionsanfang p(1):
(1 + h)n+1 = (1 + h)n ⋅ (1 + h)
≥ (1 + n ⋅ h) ⋅ (1 + h)
= 1 + h + n ⋅ h + n ⋅ h2
≥ 1+h+n⋅h
= 1 + (n + 1) ⋅ h
Induktionsschluss:
1.50
9
Induktionsschritt p(n) ⇒ p(n + 1):
5
Exponentialfkt.
Dr. Jürgen Roth
(1 + h)1 ≥ 1 + 1 ⋅ h
∀n∈N (1 + h)n ≥ 1 + n ⋅ h
#
Vollständige Induktion
1 Programm
& Grundlagen
2
Funktionen (Fkt.)
3
Lineare
Fkt./Gleichungen
4
Quadrat.
Fkt./Gleichungen
5
Exponentialfkt.
Dr. Jürgen Roth
1.51
Bemerkung:
Nicht immer liefert ein Induktionsbeweis eine
Aussage über alle natürlichen Zahlen.
Manchmal nur über alle natürlichen Zahlen
ab einer gewissen Zahl m.
Diese Zahl m übernimmt dann anstelle der 1
die Rolle des Induktionsanfangs.
Induktionsanfang:
p(m)
Induktionsschritt:
∀n ∈ {n∈N | n ≥ m} p(n) ⇒ p(n + 1)
Induktionsschluss:
∀n ∈ {n∈N | n ≥ m} p(n)
Exkurs: Natürliche Zahlen
1 Programm
& Grundlagen
2
Funktionen (Fkt.)
3
Lineare
Fkt./Gleichungen
4
Quadrat.
Fkt./Gleichungen
5
Exponentialfkt.
Dr. Jürgen Roth
1.52
Grundlage: Was sind natürliche Zahlen?
Mathematiker gehen bei derartigen Fragen axiomatisch vor.
Ein Objekt wird dadurch definiert, dass man angibt, welche
Eigenschaften es besitzen soll.
Charakteristische Eigenschaften der Menge N
Es gibt eine kleinste Zahl in N, genannt „Eins“.
Mit n gehört immer auch n + 1 zu N.
Mit n gehört auch n – 1 zu N, wenn n ≠ 1 ist.
Ist m ≠ n, dann ist auch m + 1 ≠ n + 1.
Es gilt das Prinzip der vollständigen Induktion in N.
Exkurs: Natürliche Zahlen
1 Programm
& Grundlagen
Peano-Axiome
Es seien eine Menge N, ein Objekt 1 und eine auf N definierte
Abbildung ν gegeben, für die gilt:
2
Funktionen (Fkt.)
(P1)
1 ∈ N.
(P2)
Ist n ∈ N, dann ist auch ν (n) ∈ N.
3
Lineare
Fkt./Gleichungen
(P3)
Ist n ∈ N, dann ist ν (n) ≠ 1.
(P4)
Sind n, m ∈ N und ist n ≠ m, dann ist auch ν (n) ≠ ν (m).
(P5)
Ist N ⊆ N, 1 ∈ N und folgt aus n ∈ N stets ν (n) ∈ N,
dann ist N = N.
4
Quadrat.
Fkt./Gleichungen
5
Exponentialfkt.
Dr. Jürgen Roth
1.53
Man bezeichnet die Elemente von N als natürliche Zahlen und
nennt ν (n) den Nachfolger der natürlichen Zahl n.
Giuseppe Peano (* 27. 08.1858; † 20.04.1932)
italienischer Mathematiker
Beispiel: Fibonacci-Zahlen
1 Programm
& Grundlagen
2
Funktionen (Fkt.)
3
Lineare
Fkt./Gleichungen
4
Quadrat.
Fkt./Gleichungen
5
Exponentialfkt.
Dr. Jürgen Roth
1.54
Jemand setzt ein Paar Kaninchen in einen
Garten, der auf allen Seiten von einer Mauer
umgeben ist, um herauszufinden, wie viele
Kaninchen innerhalb eines Jahres geboren
werden. Wenn angenommen wird, dass jeden
Monat jedes Paar ein weiteres Paar erzeugt,
und dass Kaninchen zwei Monate nach ihrer
Geburt geschlechtsreif sind, wie viele Paare
Kaninchen werden dann jedes Jahr geboren?
Aus dem Rechenbuch „Liber Abacci“ (Buch vom Abakus)
des italienischen Mathematikers Leonardo von Pisa, besser
bekannt unter dem Namen Fibonacci (filius Bonacci)
Beispiel: Fibonacci-Zahlen
Enzensberger: Der Zahlenteufel. Hanser, München, 1997
1 Pro-Hasengrammuhr
& Grundlagen
2
Funktionen (Fkt.)
3
Lineare
Fkt./Gleichungen
4
Quadrat.
Fkt./Gleichungen
5
Exponentialfkt.
Dr. Jürgen Roth
1.55
Eltern
Kinder
Enkel
Urenkel
FibonacciPaare
Beispiel: Fibonacci-Zahlen
1 Programm
& Grundlagen
2
Funktionen (Fkt.)
3
Lineare
Fkt./Gleichungen
4
Quadrat.
Fkt./Gleichungen
5
Exponentialfkt.
Dr. Jürgen Roth
1.56
Fibonacci-Folge:
n
1
F(n) 1
2 3 4 5 6
1
2 3
7
8
9
10 11
12
5 8 13 21 34 55 89 144
13
14
15
…
233
377
610
…
Rekursive Definition der Fibonacci-Folge:
F(1) = 1 ∧ F(2) = 1 ∧ F(n+2) = F(n+1) + F(n)
Behauptung (Formel von Binet):
Das n-te Glied der
Fibonacci-Folge gilt:
n
n
⎡
1 ⎛1+ 5 ⎞ ⎛1− 5 ⎞ ⎤
⎟ ⎥
⎟ −⎜
F (n ) =
⋅ ⎢⎜⎜
⎜
⎟
5 ⎢⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎟⎠ ⎥
⎣
⎦
Präsenzaufgabe:
Beweisen Sie jeweils in Dreiergruppen die Formel von Binet
mit Hilfe der vollständigen Induktion.
Beispiel: Fibonacci-Zahlen
n
n
⎡
1 ⎛1+ 5 ⎞ ⎛1− 5 ⎞ ⎤
⎟ ⎥
⎟ −⎜
F (n ) =
⋅ ⎢⎜⎜
⎜
⎟
5 ⎢⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎟⎠ ⎥
⎣
⎦
1 Programm
& Grundlagen
Formel von Binet:
2
Funktionen (Fkt.)
Beweis (vollständige Induktion):
3
Lineare
Fkt./Gleichungen
4
Quadrat.
Fkt./Gleichungen
5
Exponentialfkt.
Dr. Jürgen Roth
1.57
Induktionsanfang F(1) ∧ F(2):
1
1
⎡
1 ⎛1+ 5 ⎞ ⎛1− 5 ⎞ ⎤
⎟⎥
⎟ −⎜
F (1) = 1 =
⋅ ⎢⎜⎜
⎜
⎟
5 ⎢⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎟⎠ ⎥
⎣
⎦
1 ⎡1 + 5 1 − 5 ⎤
=
⋅⎢
−
⎥
2
2
5 ⎣
⎦
1 ⎡2 5 ⎤
=
⋅⎢
⎥
5 ⎣ 2 ⎦
9
Beispiel: Fibonacci-Zahlen
n
n
⎡
1 ⎛1+ 5 ⎞ ⎛1− 5 ⎞ ⎤
⎟ −⎜
⎟ ⎥
F (n ) =
⋅ ⎢⎜⎜
⎜
⎟
5 ⎢⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎟⎠ ⎥
⎣
⎦
1 Programm
& Grundlagen
Formel von Binet:
2
Funktionen (Fkt.)
Beweis (vollständige Induktion):
3
Lineare
Fkt./Gleichungen
4
Quadrat.
Fkt./Gleichungen
5
Exponentialfkt.
Dr. Jürgen Roth
1.58
Induktionsanfang F(1) ∧ F(2):
F (1) = 1
NR :
9
2
2
2
⎡
⎛
⎞
⎛
⎞
1
1+ 5
1− 5 ⎤
⎟ −⎜
⎟ ⎥
⋅ ⎢⎜⎜
F (2) = 1 =
⎟
⎜
5 ⎢⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎟⎠ ⎥
⎣
⎦
=
(
)
(
)
1 ⎡1
1
⎤
⋅⎢ ⋅ 3+ 5 − ⋅ 3− 5 ⎥
2
5 ⎣2
⎦
1
1 ⎡1
1 ⎤
=
⋅ 5
=
⋅⎢ 5 +
5⎥
2 ⎦
5
5 ⎣2
9
⎛1+ 5 ⎞
⎟
⎜
⎜ 2 ⎟
⎠
⎝
1 1
5
5+
= +
4 2
4
6 1
5
= +
4 2
1
= ⋅ 3+ 5
2
(
)
Beispiel: Fibonacci-Zahlen
n
n
⎡
1 ⎛1+ 5 ⎞ ⎛1− 5 ⎞ ⎤
⎟ ⎥
⎟ −⎜
F (n ) =
⋅ ⎢⎜⎜
⎜
⎟
5 ⎢⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎟⎠ ⎥
⎦
⎣
1 Programm
& Grundlagen
Formel von Binet:
2
Funktionen (Fkt.)
Beweis (vollständige Induktion):
3
Lineare
Fkt./Gleichungen
4
Quadrat.
Fkt./Gleichungen
5
Exponentialfkt.
Dr. Jürgen Roth
1.59
Induktionsanfang F(1) ∧ F(2):
F(1) = 1 ∧ F(2) = 1
9
Induktionsschritt F(n) ∧ F(n+1) ⇒ F(n+2):
F (n + 2 ) = F (n + 1 ) + F (n )
n +1
n +1
n
n
⎡
⎡
⎤
⎛1− 5 ⎞
1 ⎛1+ 5 ⎞
1 ⎛1+ 5 ⎞ ⎛1− 5 ⎞ ⎤
⎟ ⎥+
⎟ ⎥
⎟ −⎜
⎟ −⎜
=
⋅ ⎢⎜⎜
⋅ ⎢⎜⎜
⎟
⎟ ⎥
⎟
⎜
⎟
⎜
2
2
2
5 ⎢⎝ 2 ⎠
5
⎢
⎥
⎠ ⎦
⎠ ⎦
⎝
⎠ ⎝
⎣
⎣⎝
n
n
⎡
⎞
⎞
⎛
1 ⎛1+ 5 ⎞ ⎛1+ 5
1 − 5 ⎛ 1 − 5 ⎞⎤
⎟ ⋅⎜
⎟ ⋅⎜
+ 1 ⎟⎟⎥
+ 1 ⎟⎟ − ⎜⎜
=
⋅ ⎢⎜⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
5 ⎢⎝ 2 ⎠ ⎝ 2
⎠⎥⎦
⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2
⎣
n
n
⎡
⎤
⎞
⎞
⎛
⎛
1
1+ 5
1
1− 5
1
⎟ ⋅ 3− 5 ⎥
⎟ ⋅ 3+ 5 −⎜
=
⋅ ⎢⎜⎜
⎟
⎜
2 ⎟⎠ 2
5 ⎢⎝ 2 ⎠ 2
⎥
⎝
⎣
⎦
(
)
(
)
Beispiel: Fibonacci-Zahlen
n
n
⎡
1 ⎛1+ 5 ⎞ ⎛1− 5 ⎞ ⎤
⎟ ⎥
⎟ −⎜
F (n ) =
⋅ ⎢⎜⎜
⎟
⎜
5 ⎢⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎟⎠ ⎥
⎣
⎦
1 Programm
& Grundlagen
Formel von Binet:
2
Funktionen (Fkt.)
Beweis (vollständige Induktion):
3
Lineare
Fkt./Gleichungen
4
Quadrat.
Fkt./Gleichungen
5
Exponentialfkt.
Dr. Jürgen Roth
1.60
Induktionsanfang F(1) ∧ F(2):
F(1) = 1 ∧ F(2) = 1
Induktionsschritt F(n) ∧ F(n+1) ⇒ F(n+2):
F (n + 2 ) = F (n + 1 ) + F (n )
n
n
⎡
⎤
⎛1− 5 ⎞ 1
1 ⎛1+ 5 ⎞ 1
⎟ ⋅ 3− 5 ⎥
⎟ ⋅ 3+ 5 −⎜
=
⋅ ⎢⎜⎜
⎟ 2
⎟
⎜
2
5 ⎢⎝ 2 ⎠ 2
⎥
⎠
⎝
⎣
⎦
⎡⎛ 1 + 5 ⎞n ⎛ 1 + 5 ⎞2 ⎛ 1 − 5 ⎞n ⎛ 1 − 5 ⎞2 ⎤
NR 1
⎟ ⎥
⎟ ⋅⎜
⎟ −⎜
⎟ ⋅⎜
=
⋅ ⎢⎜⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
5 ⎢⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎟⎠ ⎥
⎣
⎦
n +2
n +2
⎡
⎛1− 5 ⎞ ⎤
1 ⎛1+ 5 ⎞
⎟ ⎥
⎟ −⎜
=
⋅ ⎢⎜⎜
⎟ ⎥ 9
⎟
⎜
2
5 ⎢⎝ 2 ⎠
⎠ ⎦
⎝
⎣
(
)
(
)
9
Beispiel: Fibonacci-Zahlen
n
n
⎡
1 ⎛1+ 5 ⎞ ⎛1− 5 ⎞ ⎤
⎟ ⎥
⎟ −⎜
F (n ) =
⋅ ⎢⎜⎜
⎟
⎜
5 ⎢⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎟⎠ ⎥
⎣
⎦
1 Programm
& Grundlagen
Formel von Binet:
2
Funktionen (Fkt.)
Beweis (vollständige Induktion):
3
Lineare
Fkt./Gleichungen
4
Quadrat.
Fkt./Gleichungen
5
Exponentialfkt.
Dr. Jürgen Roth
1.61
Induktionsanfang F(1) ∧ F(2):
F(1) = 1 ∧ F(2) = 1
Induktionsschritt F(n) ∧ F(n+1) ⇒ F(n+2)
9
9
Induktionsschluss:
∀n∈N
n
n
⎡
1 ⎛1+ 5 ⎞ ⎛1− 5 ⎞ ⎤
⎟ ⎥
⎟ −⎜
F (n ) =
⋅ ⎢⎜⎜
⎟
⎜
5 ⎢⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎟⎠ ⎥
⎣
⎦
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