Simulation der Himmelsmechanik

Simulation der Himmelsmechanik
18.5.2009 Dr. Christian Anders,
AG Computersimulation und Materialwissenschaften
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Simulation der Himmelsmechanik
1. Keplers and Newtons Gesetze
2. Numerische Lösung: Runge-Kutta-Algorithmus
3. Bahntypen
4. Eingeschränktes Dreikörperproblem
5. Interaktive Simulation des Dreikörperproblems
Trojaner im Sonnenystem, der „2. Mond der Erde”
Kometeneinfang, Voyager
Doppelsternsysteme, Stabilität und Chaos
6. Literatur
2
1. Theorie der Himmelsmechanik:
Keplers Gesetze
Abgeleitet aus Beobachtungen
von Tycho Brahe
I+II [Astronomia nova, 1609]
I.
Die Planeten bewegen sich
auf Ellipsen mit der Sonne
in einem der Brennpunkte. Film der Keplerbewegung auf CD in [2]
II. Der Fahrstrahl eines Planeten überstreicht
in gleichen Zeiten gleiche Flächen
(<=> Drehimpulserhaltung)
III. [Harmonices mundi, 1619]
a3/ T2 = const (genähert für mp « Ms)
3
1
3
2
2
1
2
2
T ( M S + m1 )
a
=
a
T ( M S + m2 )
(exakt)
3
Theorie der Himmelsmechanik:
• Gravitationsgesetz [Newton, 1687]:
F = -GMm/r2 , F = ma
r r
m j ( xi − x j )
d² r
• Beschleunigung r
ai =
xi = −G
r
r
von Objekt i:
dt ²
i ≠ j | xi − x j | ³
• n Himmelskörper: System von
n Differentialgleichungen 2. Ordnung (xyz->3n)
• Phasenraum: Ort x und Geschwindigkeit v
als unabhängige Variablen,
r r r zusammengesetzter
r r
r r Vektor:
r
r
∑
y ≡ ( x , v ), x = ( x1 ,..., xn ), v = (v1 ,..., vn )
• 2n Differentialgleichungen 1. Ordnung (xyz->6n)
r
r
r
dx
dy  dt   v  r r
=  dvr  =  r r  ≡ g ( y )
dt  dt   a ( x ) 
für zusammengesetzte Ableitung g(y)
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2. Numerische Lösung
• Einfache
Euler-Rekursion
r
r
r r mit Zeitschritt h:
y (t + h) = y (t ) + hg ( y (t )) + o(h ²)
• Runge-Kutta-Algorithmus
[Press
et
al.,
Numerical
Recipes]
r
r r
k1 = h ⋅ g ( y (t ))
r
r
r r
k 2 = h ⋅ g ( y (t ) + 12 k1 )
r
r
y(t)
r r
k3 = h ⋅ g ( y (t ) + 12 k 2 )
r
r
r r
k 4 = h ⋅ g ( y (t ) + k3 )
r
r
r r
r
r
4
1
y (t + h) = y (t ) + 6 k1 + 2k 2 + 2k3 + k 4 + o(h )
[
y(t+h)
]
Genauigkeit o(h4) durch Zwischentangenten k1- 4
Erde-Sonne: h = 2d (ohne ,h=T/180, T: Jahr, MD: h=T/50)
• Weitere Verbesserung: adaptiver Zeitschritt h
bei hoher Exzentrizität, Geschwindigkeit und Nähe (Kometen)
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3. Bahntypen
• Energie eines Planeten im Zweikörpersystem
GMm µ = Mm
1
m: Planet, M: Stern
E = 2 µv ² − r
m+M
• Große Halbachse (vis viva Satz) a = - ½GMm/E
• Bahntyp
E > 0 => Hyperbel (nicht gebunden)
E = 0 => Parabel (Grenzfall)
E < 0 => Ellipse
E = − 1 GMm => Kreis für v ⊥ r und
2
r
µv ² GMm
GM
=
⇒v=
für m « M
r
r²
r
• Kreis für m→ M im
GM M
Gm m
vp =
, vS =
Schwerpunktssystem
r m+M
r m+M
Planetennachweis: vs des Sterns via Dopplereffekt
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4.Eingeschränktes Dreikörperproblem
• [Lagrange 1772] analytisch lösbar
zwei schwere Massen M1 und M2
mit M2 < 38,5‰ (M1+M2)
und m « (M1+M2)
• Betrachtung im mit Basislinie M1-M2
mitrotierenden Bezugssystem
• Effektives Potential:
r
GM 1
GM 2
ω ²r ²
V (r ) = − r r − r r −
2
| r − R1 | | r − R2 |
Equipotentiallinien
• r: Vektor vom Schwerpunkt (COM) zu m
ω: Winkelgschwindigkeit,
G: Gravitationskonstante
R1, R2 Orte von M1 und M2
• Instabile Punkte: L1, L2, L3
• Stabile Punkte: L4, L5
Korrioliskraft hält Objekt in der Nähe
• [Davies & Greenberg 1978]:
Stability at potential maxima
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Bilder: gnuplot
Trojaner
L4
L3
L1
L2
L5
M1, M2 und m in L4 bzw. L5 bleiben auf gleichseitigem Dreieck, Bild aus [3]
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Ausnutzung der Lagrangepunkte
• Mars + Eureka + 3 weitere Trojaner
• Trojaner von Jupiter (N>2000)
• Saturns natürliches Laboratorium:
Thetys (Ø = 1060 km)
+ Telesto, Calypso (Ø je 26 km),
Dione (1118 km) + Helene (32 km),
Janus + Epimetheus (Hufeisenbahn)
• Neptun + 5 Trojaner
• Asteroid 3753: weiterer „Mond“
der Erde auf Hufeisenbahn:
Nature 387 (1997) Seite 651f und 685f
+2002AA29
Bilder von Wikipedia
und [7] (SuW 1/2008)
• Raumsonden:
(Dauerbeleuchtung oder Schatten)
SOHO (L1), WMAP (L2),
HERSCHEL+PLANCK (L2), JWST (L2),
DARWIN (L2 ?)
• Exoplaneten an Trojanerpositionen in
Doppelsternsystemen: zusätzliche Transite
bei bedeckungsveränderlichen Sternen ?
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Simulation im mitrotierenden Bezugssystem
• Gelb: Sonne, weiß: Jupiter, violett: gestörtes Objekt bei L4,
blau, weiß, rot: Objekte in verschiedenen Abständen zu L5
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5. Simulation
http://www.physik.uni-kl.de/urbassek/research/anders/Gravity/Gravitation.html
6. Literatur
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Richard Greenberg & Donald Davis: 'Stability at potential maxima:
The L4 and L5 points of the restricted three-body problem' in
American Journal of Physics, 46, Vol 10, Oct. 1978. p 1068 ff
CD mit Film von Keplerbahn in Kaufmann and Freedmann,
Universe,1999
Keller, Kompendium der Astromomie, Stuttgart 2008
Oliver Montenbruck, Grundlagen der Ephemeridenrechnung,
Heidelberg 2001 (Praktische Berechnung von Bahnelementen)
Nature 387 (1997) p 651f, p 685f
Asteroid 3753 als Begleiter der Erde
Press et al., Numerical Recipes in C, Cambridge 1992,
Reprint 1999
Sterne und Weltraum 1/2008
(Planck + Herschel Mission)
Vorlesung Prof. Urbassek Sonnensystem WS 06/07
Trojan Exoplanets: http://www.trojanplanets.appstate.edu
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