Hausaufgabe 13 Abgabe am 8. Juli bzw. am 10. Juli

Technische Universität Chemnitz
Fakultät für Mathematik
Prof. Dr. I. Veselić, C. Schumacher, F. Schwarzenberger, M. Tautenhahn
Stochastik
Hausaufgabe 13
Abgabe am 8. Juli bzw. am 10. Juli in der Übung
Aufgabe 1. Martin und Fabian gehen neue Bürostühle kaufen und stellen sich an unterschiedlichen Kassen an. X und Y seien die zufälligen Wartezeiten von Martin und
Fabian. Wir nehmen an, dass X und Y stochastisch unabhängig und jeweils exponentialverteilt mit Parameter 1 sind; die Wahrscheinlichkeitsdichte von X bzw. Y ist also
f (x) = exp(−x) für x > 0, und f (x) = 0 für x ≤ 0.
(a) Martin muss dringend auf Toilette. Er kann es gerade noch 2 Zeiteinheiten anhalten.
Er fragt sich: „Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist meine Wartezeit größer als 2?“
Helfen Sie Ihm!
(b) Geben Sie die gemeinsame Dichte von X und Y , also die Wahrscheinlichkeitsdichte
des Vektors (X, Y ), an.
(c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Wartezeit sowohl von Martin als auch
von Fabian größer als 2 ist?
(d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die längere der beiden Wartezeiten größer
als 2 ist?
(e) Fabian hat draußen einen Eisstand entdeckt der von alten Bekannten betrieben wird.
Nun möchte er heimlich zwei Softeis kaufen und Martin damit überraschen. Er fragt
sich: „Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Martin mindestens doppelt so lange
wie ich wartet?“ Helfen Sie Ihm!
Aufgabe 2. Seien X1 , X2 , . . . unabhängig und exponentialverteilt mit Parameter λ > 0.
Zeigen Sie
Xn
1
lim sup
=
P-fast sicher.
λ
n→∞ log n
Aufgabe 3. Die i-te Randverteilung der gemeinsamen Verteilung µ(X1 ,...,Xn ) von X1 , . . . , Xn :
Ω → R ist die Verteilung µXi von Xi .
Es seien X und Y zwei reellwertige Zufallsvariablen über einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P) mit der gemeinsamen Dichtefunktion f : R2 → [0, ∞),
(
2e−x−y falls 0 < x < y,
f (x, y) =
0
sonst.
Bestimmen Sie die Randverteilungsdichten. Sind X und Y unabhängig?
Aufgabe 4. Sei p ∈ [0, 1] und Γ = (Z2 , I) mit
I := {x, y} | x, y ∈ Z2 , kx − yk1 = 1
der Gittergraph über Z2 , wobei die Norm definiert ist durch kx1 k := |x1 | +N
|x2 |. Weiter
I
sei ein Wahrscheinlichkeitsraum
(Ω, A, P) gegeben durch Ω = {0, 1} , A := I P({0, 1})
N
und P = I µ, wobei µ : P({0, 1}) → [0, 1] mit µ({1}) = p. Für i ∈ I sei Xi : Ω → {0, 1}
die Koordinatenprojektion, d.h., es gilt
P(Xi = 1) = µ({1}) = p
(i ∈ I).
Falls Xi (ω) = 1 gilt, nennen wir die Kante i in ω aktiv. Wir definieren nun einen zufälligen
Teilgraphen von Γ. Zu jedem ω ∈ Ω sei Γω = (Z2 , Iω ) der Teilgraph von Γ mit
Iω := {i ∈ I | Xi (ω) = 1}.
Die Knotenmenge des Graphen Γω ist also Z2 , und die Kantenmenge von Γω ist die
Menge aller in ω aktiven Kanten.
ω
Für x, y ∈ Z2 mit x =
6 y und ω ∈ Ω schreiben wir x ! y, falls es einen Pfad von in ω
aktiven Kanten gibt, der x und y verbindet. D.h., es existieren i1 , . . . , in ∈ Iω mit x ∈ i1 ,
y ∈ in und ij−1 ∩ ij =
6 ∅ für j ∈ {2, . . . , n}. Für x = y ∈ Z2 und ω ∈ Ω schreiben wir
ω
ebenfalls x ! x.
ω
(a) Zeigen Sie, dass für jedes ω ∈ Ω durch ! eine Äquivalenzrelation definiert wird.
ω
Wir bezeichnen mit Cx (ω) die Äquivalenzklasse von x ∈ Z2 bezüglich ! und nennen
Cx (ω) das in ω aktive Cluster, in dem x liegt.
(b) Zeichnen Sie eine(n Ausschnitt einer) Konfiguration ω ∈ Ω, bei der der Ursprung
von Z2 in einem aktiven Cluster der Größe 6 liegt.
Sei A ⊂ Ω das Ereignis, dass ein Cluster mit unendlich vielen Knoten existiert, also
A := {ω ∈ Ω | ∃x ∈ Z2 mit |Cx (ω)| = ∞}.
Wir definieren für r ∈ N0 die σ-Algebren
Ar = σ(Xi , i ∈ Ir )
mit Ir := {x, y} ∈ I | {kx1 k, ky1 k} = {r, r + 1} .
Zeigen Sie:
(c) A ∈ A,
(d) A ∈ τ∞ := τ∞ (Ar , r ∈ N0 ),
(e) P(A) ∈ {0, 1}.