Stochastik Prof. Dr. I. Veselic Hausaufgabe 13

Stochastik
Prof. Dr. I. Veselić
Hausaufgabe 13
Abgabe bis 12. Juli 13:00 Uhr
Aufgabe 1. Sei X1 , X2 , . . . eine Folge von Zufallsvariablen mit E(Xi ) = m und Var(Xi ) = σ 2
für i ∈ N. Es gelte
|Cov(Xi , Xj )| ≤ r(|i − j|)
für eine Funktion r : N → (0, ∞). Zeigen Sie, daß unter der Bedingung
n−1
1 X
(n − k)r(k) → 0
n2
für n → ∞
(1)
k=1
an das Abklingen“ der Korrelationen das schwache Gesetz der großen Zahlen gilt, d. h.
”
X1 + X2 + . . . + Xn
− m > ε = 0 ∀ ε > 0.
lim P n→∞
n
Zeigen Sie, um einen Zusatzpunkt zu bekommen, daß die Bedingung limk→∞ r(k) = 0 die Bedingung (1) impliziert.
Hinweis: Definieren Sie sich die Zufallsvariable Sn = X1 +. .P
.+Xn . Für eine reelle Zufallsvariable
2
X gilt E((X − E(X)) ) = Var(X). Beachten Sie Var(Sn ) = ni,j=1 Cov(Xi , Xj ).
Aufgabe 2. (a) Eine Münze wird wiederholt geworfen. Bei jedem Wurf fällt Zahl“ mit Wahr”
scheinlichkeit p und Kopf“ mit Wahrscheinlichkeit 1 − p. Seien Kn und Zn die Anzahlen von
”
Kopf“ beziehungsweise Zahl“ bei den ersten n Würfen. Zeigen Sie für ε > 0
”
”
1
P 2p − 1 − ε ≤ (Zn − Kn ) ≤ 2p − 1 + ε = 1.
n
Hinweis: Nutzen Sie das schwache Gesetz der großen Zahlen.
(b) Beim asymmetrischen random walk Sn , n ∈ N0 , auf Z wird vor jedem Bewegungsschritt
eine Münze mit Wahrscheinlichkeit p 6= 1/2 für Zahl“ und 1 − p für Kopf“ geworfen. Fällt
”
”
Kopf“ bzw. Zahl“, dann fällt bzw. steigt die Position im nächsten Schritt um eine Einheit.
”
”
Zeigen Sie, daß Sn mit Wahrscheinlichkeit 1 nur endlich oft zum Startpunkt zurückkehrt.
Hinweis: Die Stirling-Formel könnte nützlich sein.
Definition. Sei µ ein endliches Maß auf R. Dann heißt
Z
Φ = Φµ : R → C, Φ(t) =
eitx dµ(x)
R
charakteristische Funktion von µ.
Aufgabe 3. Beweisen Sie die folgende Aussage. Sei µ ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf R und Φ
dessen charakteristische Funktion. Dann gilt
(1) |Φ(t) − Φ(s)|2 ≤ 2(1 − <(Φ(t − s))) für alle s, t ∈ R.
(2) t 7→ Φ(t) ist gleichmäßig stetig auf R.
Definition. Seien (Ω, A, P),(Ωn , An , Pn ), n ∈ N Wahrscheinlichkeitsräume. Seien X : Ω → R
und Xn : Ωn → R Zufallsvariablen. Wir bezeichnen mit µ = P ◦ X −1 und µn = Pn ◦ Xn−1 deren
Verteilungen (also Wahrscheinlichkeitsmaße auf R). Dann konvergiert die Folge der ZufallsvariaD
blen Xn gegen X in Verteilung, kurz Xn → X, falls für alle beschränkten, gleichmäßig stetigen
Funktionen f auf R gilt
Z
Z
f dµ.
f dµn →
S
S
Aufgabe 4. Beweisen Sie die folgende Aussage. Sei (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Seien
weiterhin X, Xn : Ω → R, n ∈ N Zufallsvariablen. Dann gilt
P
Xn → X
⇒
D
Xn → X.
Zusatzaufgabe. Martin und Fabian gehen neue Bürostühle kaufen und stellen sich an unterschiedlichen Kassen an. X und Y seien die zufälligen Wartezeiten von Martin und Fabian. Wir
nehmen an, dass X und Y stochastisch unabhängig und jeweils exponentialverteilt mit Parameter 1 sind; die Wahrscheinlichkeitsdichte von X bzw. Y ist also f (x) = exp(−x) für x > 0, und
f (x) = 0 für x ≤ 0.
(a) Martin muss dringend auf Toilette. Er kann es gerade noch 2 Zeiteinheiten anhalten. Er fragt
sich: Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist meine Wartezeit größer als 2?“ Helfen Sie Ihm!
”
(b) Geben Sie die gemeinsame Dichte von X und Y , also die Wahrscheinlichkeitsdichte des Vektors (X, Y ), an.
(c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Wartezeit sowohl von Martin als auch von
Fabian größer als 2 ist?
(d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die längere der beiden Wartezeiten größer als 2 ist?
(e) Fabian hat draußen einen Eistand entdeckt der von alten Bekannten betrieben wird. Nun
möchte er heimlich zwei Softeis kaufen und Martin damit überraschen. Er fragt sich: Wie
”
groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Martin mindestens doppelt so lange wie ich wartet?“
Helfen Sie Ihm!
(f) Wie schnell fahren die neuen Stühle?
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Das
StochastikTeam wünscht
gutes
Gelingen
für die anstehenden
Prüfungen und eine
schöne vorlesungsfreie
Zeit.
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