Mathematischer Vorbereitungskurs für das MINT

Mathematischer Vorbereitungskurs für das
MINT-Studium
Dr. B. Hallouet
[email protected]
SS 2017
Vorlesung 2
MINT Mathekurs
SS 2017
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Vorlesung 2 (Lecture 2)
Einführung in die Mengenlehre.
Introduction to set theory.
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Menge (set)
Definition: (nach Cantor)
Eine Menge M ist eine Zusammenfassung von bestimmten wohlunterschiedenen
Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkes zu einem Ganzen.
Die Objekte nennen wir die Elemente der Menge M.
A set M is any collection of certain distinct objects of our thought or intuition into a
whole. The objects are called elements of the set M
Bsp.:
Menge der natürlichen Zahlen N : {0, 1, 2, 3, 4...}
Menge der Primärfarben (primary colors): {blau, rot, gelb}
Menge der Einwohner in Saarbrücken.
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Menge (set)
Bezeichnung: (Notation)
Ist x ein Element der Menge M, so schreibt man x ∈ M (gesprochen „x ist Element
von M“)
Gehört x nicht zu der Menge M, schreibt man x ∈
/ M (¬(x ∈ M )) (gesprochen „x
ist kein Element von M“)
Bsp.:
M = {3, 5, 7}, 3 ∈ M, 8 ∈
/ M.
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Darstellung von Mengen (Representation of sets)
Bezeichnung: (Notation)
aufzählende Darstellung (explizit): Auflistung der einzelnen Elemente der Menge
in geschweiften Klammern {}.
Bsp: M = {0, 4, 8, 12, 16....}
beschreibende Darstellung (implizit): eindeutige Charakterisierung ihrer Elemente
mittels eines definierenden Ausdrucks: M = {x | x hat die Eigenschaft}
Bsp: M = {x | x = 4n , n ∈ N}
Bsp.: alle ungerade natürliche Zahlen
M = {1, 3, 5, 7, 9 . . .}
M = {x ∈ N | „x ist ungerade“} (gesprochen „M ist die Menge aller x ∈ N
mit (der Eigenschaft), dass x ungerade ist.“)
M = {x | x = 2n + 1, n ∈ N}
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Zahlenmengen (set numbers)
Die Menge aller natürlichen Zahlen N (set of natural numbers):
N = {0, 1, 2, 3, 4...}
N∗ = {1, 2, 3, 4...}
Die Menge aller ganzen Zahlen Z (set of integers):
Z = {... − 3, −2, −1, 0, 1, 2, 3...}
Die Menge aller rationalen Zahlen Q (set of rational numbers):

m 
 m , n ∈ Z und n 6= 0
Q=
n 
Die Menge aller irrationalen Zahlen I (set of irrational numbers):
√ Zahlen, die nicht
als Brüche ganzer Zahlen geschrieben werden können. Bsp.: 2, π .
Die Menge aller reellen Zahlen R (set of real numbers): alle rationale und
irrationale Zahlen.
Die Menge aller komplexen Zahlen C (set of complex numbers).
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Menge (Set)
Leere Menge: (empty set)
∅ oder {} ist die leere Menge. Sie ist die Menge, die kein Element enthält.
Grundmenge: (Universe)
Die Menge aller betrachteten Objekte wird Grundmenge genannt. Als Bezeichnung wird der griechische Buchstabe Ω verwendet.
Bsp:
Beim einfachen Würfelwurf: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Ω = N, L = {x ∈ N | x + 5 = 3} = {}
Ω = Z, L = {x ∈ Z | x + 5 = 3} = {−2}
L heißt die Lösungsmenge der Gleichung x + 5 = 3 in N bzw. in Z.
Ω = Z, L = {x ∈ Z | x + 0 = x } = Ω
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Teilmenge (Subset)
Teilmenge: (subset)
Seien A,B Mengen. Eine Menge B heißt Teilmenge (Untermenge) von A, in
Zeichen: B ⊆ A (gesprochen „B ist Teilmenge von A“), wenn jedes Element von B
auch Element von A ist.
B ⊆ A ⇔ (∀x (x ∈ B) → (x ∈ A)).
Welche Mengen sind Teilmengen der Menge A = {−1, 0, 1, 2, 3}?
a) B1 = {0} X
c) B3 = ∅ X
e) B5 = {3, 0, 2, −1, 1} X
b) B2 = {1, 2, 3, 4} ×
d) B4 = {0, −1} X
f) B6 = {1, 0, −2} ×
Für nicht-leere Mengen gilt: A ⊆ A, ∅ ⊆ A.
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Intervall (Interval)
Intervall
Intervalle sind Teilmengen der reellen Zahlen R.
Seien a , b ∈ R mit a ≤ b,
das offene (open) Intervall (a , b) (oder ]a , b[ ) ist die Menge:
( a , b ) = {x ∈ R | a < x < b }
das geschlossene Intervall [a , b] ist die Menge:
[a , b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}
das halboffene (half open) Intervall (a , b] (oder ]a , b] ) ist die Menge:
(a , b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}
Analog für [a , b)
Bsp.: ]0, 7[∩[3, 5] = [3, 5],
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[a , b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}
[−2, 0[∪[0, 2[= [−2, 2[
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Gleichheit von Mengen (identity of sets)
Gleichheit von Mengen: (Identity of sets)
A und B heißen gleich (identisch), A = B, wenn sie dieselben (the same)
Elemente enthalten.
A = B ⇔ (∀x (x ∈ B) ↔ (x ∈ A)) ⇔ (A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A)
Welche Mengen sind gleich?
a) A1 = {x |x ∈ N, x · x = 4} c) A3 = ∅
b) A2 = {x |x ∈
/ Q, x ∈ Z}
e) A5 = {−2, 2}
d) A4 = {x |x ∈ Z, x · x = 4} f) A6 = {2}
Antwort: A1 = A6 , A2 = A3 , A4 = A5
B ⊂ A bedeutet B ⊆ A und B 6= A. B heißt dann echte Teilmenge von A.
Bemerkung: Die Reihenfolge der Elemente und die Häufigkeit ihrer Auftreten
spielen keine Rolle. Die Menge {1, 2, 3} ist gleich der Menge {2, 3, 1} und gleich
der Menge {2, 1, 2, 3, 1, 3, 1}.
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Mächtigkeit und Potenzmenge (Cardinality and power set )
Def.: Mächtigkeit einer Menge (Cardinality of a set)
Die Anzahl der Elemente einer Menge M heißt Mächtigkeit von M und wird mit
|M | bezeichnet.
Bsp: •A = {1, 2, 3, 5}, |A| = 4,
•B = {1, 2, 3, 1, 3}, |B| = 3
Def.: Potenzmenge (power set)
Sei M eine beliebige Menge. Die Menge aller Teilmengen von M heißt die
Potenzmenge P(M ) von M.
P(M ) := {A | A ⊆ M }
Bsp.: Bestimmen Sie die Potenzmenge von A = {a , b, c } . Geben Sie ihre
Mächtigkeit an.
Antwort: P(A) = {∅, {a }, {b}, {c }, {a , b}, {a , c }, {b, c }, {a , b, c }},
|P(A)| = 8 = 2|A| = 23
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Venn-Diagramm (Venn-diagram)
In einem Venndiagramm werden Mengen durch Flächen ( z.B. Kreise oder Ellipsen)
dargestellt.
Ω
Die Grundmenge Ω wird
üblicherweise durch einen
Rechteck dargestellt.
A
Mengeninklusion (echte
Teilmenge): A ⊂ Ω
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Ω
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Komplement (complement)
Komplement: (complement)
Sei A eine Teilmenge der Grundmenge Ω. Das Komplement von A in Ω ist die
Menge A (gesprochen „A quer“):
A = {x ∈ Ω|x ∈
/ A}
∀x ∈ Ω x ∈ A ⇔ ¬(x ∈ A)
Bsp.: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6},
A = {x ∈ Ω | x ist gerade}, A = {1, 3, 5}
Es gilt:
Ω = ∅,
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∅ = Ω,
A
A
A = A.
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Schnittmenge ((set) intersection)
Schnittmenge: (intersection)
Seien A, B, Teilmengen von Ω.
Die Schnittmenge von A und B (A ∩ B, gesprochen „A geschnitten (mit) B“)
besteht aus allen Elementen, die gleichzeitig in A und B liegen.
A ∩ B = {x ∈ Ω | x ∈ A ∧ x ∈ B }
∀x x ∈ (A ∩ B) ⇔ (x ∈ A) ∧ (x ∈ B)
Bsp.: A = {1, 3, 4, 5, 7}, B = {1, 2, 6, 7, 8}
A ∩ B = {1, 7}
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A
B
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Eigenschaften der Schnittsmenge (Properties of the set intersection)
Eigenschaften: (properties)
Seien A, B, Teilmengen von Ω. Es gilt:
•A∩A =A
•A∩A =∅
•A∩Ω=A
• (A ∩ B) ⊆ A, (A ∩ B) ⊆ B
•A∩∅=∅
Disjunkte Mengen: (disjoint sets)
Zwei Mengen A, B heißen disjunkt, wenn ihre Schnittmenge die leere Menge ist:
„Die Mengen A und B sind disjunkt“ ⇔ A ∩ B = ∅
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Vereinigungsmenge ((set) union)
Vereinigungsmenge: (union)
Seien A, B, Teilmengen von Ω.
Die Vereinigungsmenge von A und B (A ∪ B, gesprochen „A vereinigt (mit) B“)
besteht aus allen Elementen, die in A oder B enthalten sind.
A ∪ B = {x ∈ Ω | x ∈ A ∨ x ∈ B }
∀x x ∈ (A ∪ B) ⇔ (x ∈ A) ∨ (x ∈ B)
Bsp.: A = {1, 3, 4, 5, 7}, B = {1, 2, 6, 7, 8}
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
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A
B
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Eigenschaften der Vereinigungmenge (Properties of the set union)
Eigenschaften: (properties)
Seien A, B, Teilmengen von Ω. Es gilt:
•A∪A =A
•A∪A =Ω
•A∪Ω=Ω
• A ⊆ (A ∪ B), B ⊆ (A ∪ B)
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•A∪∅=A
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Differenzmenge ((set) difference)
Differenzmenge: (difference)
Seien A, B Teilmengen von Ω.
Die Differenzmenge von A und B (A \ B, gesprochen „A ohne B“) besteht aus
allen Elementen, die in A, aber nicht in B liegen.
A \ B = {x ∈ Ω | x ∈ A ∧ x ∈
/ B}
∀x x ∈ (A \ B) ⇔ (x ∈ A) ∧ ¬(x ∈ B)
Bsp.: A = {1, 3, 4, 5, 7}, B = {1, 2, 6, 7, 8}
A \ B = {3 , 4 , 5 }
A
B
Seien A, B Teilmengen einer Grundmenge Ω.
Es gilt: A = Ω \ A
A\B =A∩B
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Rechenregeln für Mengenoperationen (Set operations)
Eigenschaften: (properties)
Seien A, B und C Teilmengen von Ω. Es gilt:
1
2
3
4
A ∩ B = B ∩ A,
A∪B =B∪A
(Kommutativität)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C), (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
(Distributivität)
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
(A ∩ B) = A ∪ B, (A ∪ B) = A ∩ B
(De Morgan)
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(Assoziativität)
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Beispiel:Example
Gegeben sind die Mengen A und B sowie eine Grundmenge Ω . Vereinfachen Sie:
(A \ B) ∪ (A ∪ B)
(A \ B) ∪ (A ∪ B) = (A ∩ B) ∪ (A ∪ B) Eigenschaft der Differenzmenge
= (A ∩ B) ∪ (A ∩ B) De Morgan
= B ∩ (A ∪ A) Distributivität
=B
Eigenschaft der Schnittmenge und der Vereinigungmenge
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Beispiel mit Venn-Diagrammen: Example
Gegeben sind die Mengen A und B sowie eine Grundmenge Ω . Beweisen Sie:
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
A
B
C
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A
A∩B
B
C
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(A ∩ B) ∩ C
A
B
C
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21 / 23
Beispiel mit Venn-Diagrammen: Example
Gegeben sind die Mengen A und B sowie eine Grundmenge Ω . Beweisen Sie:
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
A
B
C
Vorlesung 2
A
B∩C
B
C
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A ∩ (B ∩ C)
A
B
C
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Beispiel: Example
Gegeben sind die Mengen A und B sowie eine Grundmenge Ω . Beweisen Sie:
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
∀x x ∈ ((A ∩ B) ∩ C) ⇔ ((x ∈ A) ∧ (x ∈ B)) ∧ (x ∈ C) Def. von ∩
⇔ (x ∈ A) ∧ ((x ∈ B) ∧ (x ∈ C)) Assoziativität von ∧
⇔ (x ∈ A) ∧ ((x ∈ (B ∩ C)) Def. von ∩
⇔ (x ∈ (A ∩ (B ∩ C)) Def. von ∩
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