Trainingsbeispiele - ig

Trainingsbeispiele
1.
A, B
und C seien Aussagen. Formalisieren sie die folgenden umgangssprachlich
formulierten Verknüpfungen der Aussagen A, B und C im aussagenlogischen Kalkül.
a) „ A oder
b)
c)
d)
e)
f)
g)
B ist falsch“.
„ A und B schließen einander aus“.
„ A oder B gilt aber A und B schließen einander aus“
„Aus B folgt, dass sowohl A als auch B gilt.“
„ A gilt genau dann, wenn B nicht gilt.“
„Weil sowohl A als auch B nicht gelten, muss C zutreffen.“
„Unter der Bedingung dass A oder B zutrifft, schließen wir, dass C keinesfalls
gelten kann.“
A noch B ist eine notwendige Bedingung für C .“
„ C trifft zu obwohl weder A noch B gelten.“
„ C kann nicht zutreffen wenn sowohl A als auch B wahr sind.“
„Aus A folgt C und aus B folgt C .“
„Sowohl A als auch B sind hinreichend für C .“
„Es ist hinreichend für C , wenn sowohl A als auch B (d.h. beide gleichzeitig)
h) „Weder
i)
j)
k)
l)
m)
gelten.“
n) „Es ist notwendig für
C , dass sowohl A als auch B gelten.“
Bemerkung: Die Formalisierung ist nicht immer eindeutig.
2. Formalisieren sie die folgenden umgangsprachlichen Verknüpfungen der Aussageformen A(x), B (x) und C (x) mit Hilfe von Quantoren.
x so dass sowohl A(x) als auch B (x) zutreffen.“
„ A(x) und B (x) sind beide für zumindest ein x wahr.“
„Es gibt kein x für welches sowohl A(x) als auch B (x) zutreffen.“
„Für jedes x ist A(x) oder B (x) falsch.“
„Wenn für alle x die Aussage A(x) wahr ist, dann gilt die Aussage B .“ (B ist
hier eine Aussage, deren Wahrheitsgehalt unabhängig von x bestimmt werden
a) „Es gibt ein
b)
c)
d)
e)
kann.)
x für welches A(x) gilt ist immer auch ein x für welches B (x) gilt.“
„Jene x für die A(x) zutrifft sind genau die x für die B (x) gilt.“
„Für alle x für die A(x) und B (x) wahr sind, gilt auch C (x).“
f) „Ein
g)
h)
1
i) „Man kann ein
gilt.“
x finden, sodass zwar A(x) und B (x) gelten, aber C (x) nicht
j) „Die Gültigkeit von A(x) und B (x) impliziert die Gültigkeit von
hängig davon, wie x gewählt wird.“
k) „Wenn ein x gefunden werden kann, für das weder
gilt für alle y die Aussage C (y ).“
C (x) unab-
A(x) noch B (x) gilt, dann
A(x) nicht für alle x falsch ist, so ist B (y) zumindest für ein y richtig.“
„Für alle x gilt, dass A(x) und C (x) einander ausschließen.“
l) „Falls
m)
3. Formalisieren sie die umgangssprachlichen Sätze und bilden sie auch die Negation.
x so dass die Aussage P (x; y) für alle y zutrifft.
Zu jedem y lässt sich ein x finden, so dass die Aussage P (x; y ) zurtrifft.
Es gilt für alle x, dass P (x; y ) zutrifft und zwar unabhängig davon, wie y
a) Es gibt zumindest ein
b)
c)
gewählt wird.
y gilt P (x; y) für alle x.
Zu jedem y existiert ein x so dass P (x; y ) nicht zutrifft.
Alle x haben die Eigenschaft, dass P (x; y ) nicht für alle y wahr sein kann.
d) Für kein
e)
f)
2
4. Rechenregeln für Mengenoperationen
Sei X eine Menge und A; B; C Teilmengen von X . Zeigen Sie mit Hilfe der logischen
Tautologien folgende Mengengleichheiten:
a)
b)
c)
d)
e)
A \ B = B \ A,
A [ A = A,
c
c
c
(A \ B ) = A [ B ,
A \ (B [ C ) = (A \ B ) [ (A \ C ),
A [ Ac = X .
5. Prädikative Mengen
Finden sie möglichst einfache prädikative Darstellungen der folgenden Mengen:
a) Die Menge aller positiven Lösungen der Gleichung
b) Die Menge aller reellen Zahlen zwischen
1
x
2
.
= 1
und .
c) Die Menge aller rationalen Zahlen, deren Nenner den Faktor
f ; ; ; ; ; ; ; ; g.
Die Menge f ; ; ; ; ; ; : : : g.
d) Die Menge
e)
64
27
8
1 0 1 8 27 64
1 5 9 13 17 21
3
5
enthält.
6. Bild und Urbild
Bestimmen Sie für folgende Funktionen
f (A) und das Urbild f 1 (B ):
a)
b)
c)
f
und Mengen
A und B
jeweils das Bild
f : R ! R, x 7! x + 3, A = f1; 2; 5g, B = fx 2 R : 1 < x < 3g,
f : R ! R, x 7! x 1, A = fx 2 R : 1 < x < 1g, B = f 1; 0g,
f : R ! R, x 7! 3, A = f0g [ fx 2 R : 1 < x < 2g, B = f3g.
2
7. Injektiv, surjektiv, bijektiv
Sind die folgenden Abbildungen injektiv, surjektiv oder bijektiv? Begründen Sie
Ihre Antwort.
a)
b)
c)
d)
f : N ! N, n 7! n ,
f : Z ! Z, n 7! n ,
f : R ! R , x 7! x + 1,
f : R ! R, x 7! 4x + 1,
2
2
+
2
8. Restriktion von Funktionen
Gegeben seien die Mengen X = f1; 2; 3; 4; 5; 6g, Y = f; ; ; ; ; ; ; g und eine
Funktion f : X ! Y mit folgender Zuordnungsvorschrift:
7 ; 7! ; 7! ; 7! !
Geben Sie eine Teilmenge A X mit vier Elementen an, so dass die Restriktion f jA injektiv ist. Gibt es mehr als eine Möglichkeit, A zu wählen?
Geben Sie eine Teilmenge B Y an, so dass g X ! B , x 7! f x eine
1
a)
b)
7! ;
2
7! ;
3
4
5
6
:
(
)
surjektive Funktion definiert.
c) Geben Sie möglichst große Teilmengen A X und B Y an, so dass h :
A ! B , x 7! f (x) eine bijektive Funktion definiert. Geben Sie auch die
Umkehrabbildung an.
4
9. Einfache Relationen
Sei M = f1; 2; 3g. Sind die folgenden Relationen auf
)symmetrisch?
a)
b)
c)
d)
R
R
R
R
1
2
3
4
=
M
reflexiv, transitiv, (anti-
;,
M M,
= f(1; 1); (1; 2); (1; 3)g,
= f(1; 2); (2; 1); (1; 3); (3; 1); (2; 2)g.
=
10. Noch mehr Relationen
Sind die folgenden Relationen reflexiv, transitiv, (anti-)symmetrisch?
a) Sei M die Menge aller HörerInnen dieser Veranstaltung und für x; y 2 M
gelte x R y genau dann, wenn die Körpergröße von x und y höchstens um
2cm differiert.
b) Sei M := f101; 110; 200; 201; 111; 102; 300g und für x; y
dann, wenn x und y die selbe Ziffernsumme haben.
2 M gelte x R y genau
11. Maximale und minimale Elemente
Seien a; b 2 N. Wir sagen a teilt b (kurz: ajb), wenn es ein q 2 N gibt, so dass
aq = b gilt. Dann ist j eine Ordnungsrelation auf N. Geben Sie (falls existent) alle
maximalen Elemente, Maxima, minimalen Elemente und Minima (bezüglich j) der
folgenden Mengen an:
a)
b)
M := fn 2 N : nj24g n f24g,
M := fn 2 N : nj24g [ f5g.
12. Eine geometrische Äquivalenzrelation
Für beliebige Zahlen
R
a; b; c 2 R mit (a; b) 6= (0; 0) nennen wir die Menge f(x; y) 2
g eine Gerade. Es bezeichne G bezeichne die Menge aller
Geraden (in R ). Auf G wird eine Relation k wie folgt definiert: Für g; h 2 G
sei g k h genau dann, wenn g zu h parallel ist. Überprüfen Sie, dass dies eine
Äquivalenzrelation auf G ist, und beschreiben Sie die Äquivalenzklassen!
2
:
ax + by + c
= 0
2
13. Äquivalenzklassen
Wir betrachten auf N die Kongruenzrelation modulo 17. Geben Sie alle Repräsentaten der Äquivalenzklasse von 12 an, die zwischen 100 und 200 liegen.
5
14. Negieren Sie die Formalisierung der folgenden Aussagen:
a) „Es gibt genau eine natürliche Zahl n, die alle natürlichen Zahlen teilt.“
b) „Es gibt genau eine Funktion f
gilt: f g ist injektiv.“
c) „Es gibt genau eine Menge
:
A ! B , so dass für jede Funktion g : B ! A
A, so dass für jede Menge B gilt: A \ B = A.“
In Ihrer Antwort sollte kein Negationszeichen
stehen.
:
direkt vor einem Quantor
15. Überprüfen Sie, ob folgende Relationen reflexiv, transitiv, symmetrisch, antisymmetrisch sind:
a) Auf
Z sei eine Relation R definiert durch
m R n , m und n gerade _ m und n ungerade :
(
b) Auf
c) Auf
)
(
)
R sei eine Relation R definiert durch
x R y , x y 2 Z:
R sei eine Relation R definiert durch
xRy , x y 2 N [ f g
0
16. Seien X; Y Mengen und f
a)
f
:
X!Y
eine Funktion. Beweisen Sie folgende Aussagen:
ist injektiv genau dann, wenn für alle
A; B X
gilt:
f (A n B ) = f (A) n f (B ):
b) Wenn
f
injektiv ist, dann gilt für alle
A; B X :
f (A) \ f (B ) f (A \ B ):
c) Wenn für alle
A; B X
gilt:
f (A \ B ) = f (A) \ f (B );
dann ist
f
injektiv.
6
17. Beweisen Sie: Ist A M , so gilt A \ Ac
Komplement von A in M bezeichnet).
=
; und A [ Ac
=
M
(wobei
Ac
18. Beweisen Sie: Es gibt genau eine Menge A, so dass für jede Menge B gilt: A\B
=
X ! Y eine Funktion und A; B Y . Beweisen Sie, dass aus A \ B
(A) \ f
(B ) = ; folgt.
Gilt auch, dass für A; B X mit A \ B = ; folgt, dass f (A) \ f (B ) = ; ist?
19. Sei f :
auch f
20. Seien
1
A; B; C
das
A.
=
;
1
Mengen. Beweisen Sie:
A n (B n C ) = (A n B ) [ (A \ C )
21. Behauptung: Jede durch 2 teilbare natürliche Zahl ist auch durch 4 teilbar.
Wo liegt der Fehler in dem folgenden „Beweis“ dieser Behauptung?
Angenommen, n 2 N ist nicht durch 2 teilbar. Dann gilt :(9k 2 N : n =
2k ). Das heisst 8k 2 N : n 6= 2k . Insbesondere gilt dies für eine beliebige
gerade natürliche Zahl k = 2` mit ` 2 N. Also gilt 8` 2 N : n 6= 2 (2`),
d.h. 8` 2 N : n 6= 4`.
7
(1)
22. Beweisen Sie, dass für alle
n 2 N mit n 3 gilt:
2
23. Beweisen Sie, dass für alle
n > n(n
:
n 2 N gilt:
n :
n
Beweisen Sie, dass für alle n 2 N mit n gilt:
p
p
n nn
n:
p
1
1
!
24.
1)
(2)
1
2
3
(3)
+
(Hinweis: Sie können verwenden, dass
25. Beweisen Sie, dass für alle
n
X
k
k
3
< 2 gilt.)
n 2 N gilt:
n(2n + 1)(n + 1)(3n
2
4
=
30
=1
26. Beweisen Sie, dass für alle
n 2 N gilt:
n
X
k
=1
k
k
2
= 2
8
n+2
2
n :
+3
n
1)
:
27. Geben Sie jeweils ein Beispiel für f : X ! Y und A X bzw.
folgenden Inklusionen strikt sind (d.h. keine Gleichheit gilt):
a)
b)
A $ f (f (A)).
B % f (f (B )),
1
1
28. Beweisen Sie durch vollständige Induktion, dass für alle
Pn
k
Pn
b) k
a)
=0
=0
2
k = 2n
(3
+1
k
2) =
1
n
(
,
n
+1)(3
4)
2
Qn
k
Qn
b) k
=2
=2
1
1
1
k
k
=
k
1
n2N
0
gilt:
,
29. Beweisen Sie durch vollständige Induktion, dass für alle
a)
B Y , für die die
n 2 N mit n 2 gilt:
1
n,
=
1
n.
!
30. Beweisen Sie folgende Aussagen:
p 2 N mit p 2. Für alle n 2 N gilt pn > n.
Sei p 2 N mit p 3. Für alle n 2 N gilt pn > n .
a) Sei
b)
2
31. Beweisen Sie durch vollständige Induktion, dass sich eine Pizza durch n geradlinige
Schnitte von Rand zu Rand in höchstens 12 (n2 + n + 2) Stücke teilen lässt.
9
32.
a) Sei
b)
a
1
= 2
und an+1
n 2 N.
Sei a = 2 und an
an = 2 + (n 1)2n
1
= 2
+1
1
an + (n + 1)2n
für alle n 2 N ist.
+1
=
+1
+1
n
an für alle n 2 N. Beweisen Sie: an = n für alle
für alle
n 2 N.
Beweisen Sie:
F (n), n 2 N die Fibonacci-Zahlen. Beweisen Sie folgende Identitäten:
P
Für alle n 2 N ist F (n + 2) = 1 + nk F (k).
P
Für alle n 2 N ist F (n)F (n + 1) = nk F (k) .
33. Seien
a)
b)
=1
2
=1
34. Zeigen Sie mit vollständiger Induktion: Für alle
n
a) k = nn k für alle
P
b) nk=0 nk = 2n .
0
k n,
n2N
0
gilt
35. Ein elektronisches System kann in einem von zwei Zuständen A oder B sein, wobei es einmal pro Sekunde den Zustand wechseln kann (aber nicht muss). Ob es
dies tut, ist zufällig: Befindet sich das System im Zustand A, so beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass es in Zustand B wechselt P (A; B ) = 41 ; befindet es sich im
Zustand B , wechselt es mit einer Wahrscheinlichkeit von P (B; A) = 21 nach A. Zu
Beginn befindet sich das System in Zustand A.
Es bezeichne pi die Wahrscheinlichkeit, dass das System nach i Sekunden im Zustand A ist, und qi = 1 pi die Wahrscheinlichkeit, dass das System nach i
Sekunden im Zustand B ist. Also ist
p
= 1
q
= 0
0
0
Beweisen Sie: pi
=
1
3
(2 + 4
; pi = pi
3
4
; qi = pi
i ), qi =
1
+
1
+
1
4
1
3
(1
10
4
i ).
1
2
1
2
qi ;
(4)
qi :
(5)
1
1
36. Zeigen Sie, dass folgende Mengen abzählbar sind:
a)
b)
f n n2N g[f =
fnk n 2 N; k 2 Qg.
3
:
(1 3)
0
n : n 2 Ng,
:
37. Zeigen Sie, dass die Vereinigung einer abzählbaren Menge mit einer endlichen
Menge abzählbar ist.
38. Zeigen Sie, dass die Menge
1
n
:
n
n 2 N \ x 2 Q : 10
7
x
10
6
o
endlich ist.
R gleichmächtig sind.
Seien A ; A ; B ; B Mengen mit A \ A
B \B
;. Zeigen Sie: Sind A
und B gleichmächtig sowie A und B gleichmächtig, so sind auch A [ A und
B [ B gleichmächtig.
;
39. Zeigen Sie, dass das offene Intervall
(0 1)
40.
1
1
1
(
1
2
1
2
2
und
2
2
2)
11
=
1
2
=
1
(
1
2)