Vektoren und Matrizen - WWZ

Universität Basel
Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum
Vektoren und Matrizen
Dr. Thomas Zehrt
Inhalt:
1. Vektoren
(a) Einführung
(b) Linearkombinationen
(c) Länge eines Vektors
(d) Skalarprodukt
(e) Geraden und Ebenen
2. Matrizen
(a) Einführung
(b) Invertierbare (quadratische) Matrizen
(c) Die Transponierte einer Matrix
(d) Determinanten
2
Vektoren: Einführung
3
Ein Vektor mit zwei oder drei (oder auch
mehr) Komponenten
 
v1
u1
u =  v2 
v=
u2
v3
kann geometrisch gedeutet werden:
• als Punkt P in der Ebene bzw. im 3dimensonalen Raum
• als ,,Pfeil“ vom Ursprung 0 nach P
• als Klasse der ,,Pfeile“ der entsprechenden Länge und Richtung (freie Vektoren)
4
P
5
Vektoren: Linearkombinationen
6
k ∈ R,
u=
u1
u2
ku =
ku1
ku2
k1 u
k2u
u
−u
k1 > 1
Streckung
0 < k2 < 1 Stauchung
k = −1
Spiegelung
7
Addition von zwei Vektoren
u=
u1
u2
, v=
v1
v2
, u+v =
u1 + v1
u2 + v2
u+v
v
u
8
Linearkombinationen
gegeben: u, v Vektoren und a, b ∈ R
w = au + bv
heisst Linearkombination der Vektoren u
und v.
au
v
u
w
bv
9
Aufgabe 1




1
2
Es seien a =  −3  und b =  0 .
−2
1
Berechnen Sie a + b, −3a und 3a − 2b.

 
 

3
−6
4
Lösungen:  −3  ,  9  ,  −9  .
−1
−3
7
10
Verallgemeinerung:
gegeben: Vektoren u1, u2, . . . , uk und
reelle Zahlen a1, a2, . . . , ak
z=
k
P
i=1
aiui = a1u1 + a2u2 + . . . + ak uk
heisst Linearkombination der Vektoren
u1, u2, . . . , uk.
11
Vektoren: Länge eines Vektors
12
Durch ||u|| sei die Länge oder der Betrag
des Vektors u bezeichnet.
u1
u=
u2
y
u2
u
u1
||u||2 = u21 + u22 ||u|| =
q
u21 + u22
x
13


u1
u =  u2 
u3
z
u
u3
y
d
u1
u2
x
d2 = u21 + u22
||u||2 = u21 + u22 + u23
||u||2 = u23 + d2
q
||u|| = u21 + u22 + u23
14
Analog


u1
 u2 

u=
 .. 
un
||u||2 = u21 + u22 + · · · + u2n
q
||u|| = u21 + u22 + · · · + u2n
15
Aufgabe 2


−2
Es sei a =  1  .
2
1. Bestimmen Sie die Länge des Vektors a.
2. Bestimmen Sie einen Vektor a0 der Länge 1,
der die selbe Richtung wie a hat.
Der Übergang von a zu a0 heisst Normierung
von a.


−2/3
Lösung: 3, a0 =  1/3  .
2/3
16
Vektoren: Das Skalarprodukt
17
u=
u1
u2
, v=
v1
v2
u • v = u1v1 + u2v2
Mit dem Winkel γ zwischen den beiden
Vektoren u und v gilt:
u • v = ||u|| ||v|| cos(γ)
18
Beweis
y
u
u2
γ
v
v2
v1
u1
α
x
β
cos(γ) = cos(α − β)
= cos(α) cos(β) + sin(α) sin(β)
u1
v1
z }| { z }| {
||u|| ||v|| cos(γ) = ||u|| cos(α) ||v|| cos(β) +
sin(β)}
||u||
sin(α)} ||v||
| {z
| {z
u2
v2
19
Aufgabe 3
Bestimmen Sieden Winkel
zwischen
 den
 beiden

1
2
Vektoren a =  −1  und b =  2 .
−1
3
Lösung: 109.11◦
20
Orthogonalität von Vektoren
Für zwei Vektoren u 6= 0 und v 6= 0 gilt
u ⊥ v ⇔ u • v = 0 ⇔ cos(γ) = 0
u
γ
v
21
Vektoren: Geraden und Ebenen
22
Vektorielle Darstellung einer Geraden g
u Ortsvektor eines Punktes auf g
v Vektor in Richtung von g
g : z = u + tv
t∈R
z
g
u
v
x
y
23
Aufgabe 4
 
3
1
Liegen die Punkte P1 =  2  und P2 =  8 
  4
10
1
1
auf der Geraden g : z =  0  + t  4 ?
1
2

Lösung: nein, ja

24
Vektorielle Darstellung einer Ebene E
u Ortsvektor eines Punktes auf E
v, w zwei nicht in einer Geraden liegende
Vektoren der Ebene E
E : z = u + t1v + t2w
t1, t2 ∈ R
z
u
v
y
w
x
25
Aufgabe 4
 
0
Liegen der Punkt P =  1  auf der Ebene
  1  


0
1
2
g : z =  −1  + t1  1  + t2  1 ?
2
1
1
Lösung: nein
26
Matrizen: Einführung
27
Definition
Ein rechteckiges Schema von reellen Zahlen


a11 a12 . . . a1n
 a21 a22 . . . a2n 


.
.
.
 .
. ... . 


A=

a
ij


.
.
.
 .
. ... . 
am1 am2 . . . amn
heisst Matrix.
Eintrag aij
• Index i: Zeilennummer
• Index j: Kolonnen- oder Spaltennummer
Bezeichnungen:
A = Amn = Am×n = (aij )
28
Spezialfälle:

x1
x2
..






Am×1 = x = 


 xm−1 
xm
Kolonnen- oder Spaltenvektor.
A1×n = yT = (y1, y2, . . . , yn−1, yn)
Zeilenvektor.
29
Gleichheit zweier Matrizen
Zwei Matrizen A und B heissen gleich,
wenn folgendes gilt:
• sie haben gleiche Zeilenzahl,
• sie haben gleiche Kolonnenzahl und
• die entsprechenden Elemente sind gleich:
Am×n = Bm×n
wenn aij = bij für alle i und alle j.
30
Addition und Subtraktion
Zwei Matrizen gleicher Dimension (d.h.
mit gleicher Zeilen- und Kolonnenzahl)
können addiert und subtrahiert werden:
Am×n ± Bm×n =

a11 ± b11
a21 ± b21
..
a12 ± b12
a22 ± b22
..
...

...


...


aij ± bij

..
..

...
am1 ± bm1 am2 ± bm2
...
a1n ± b1n
a2n ± b2n
..
..
amn ± bmn








31
Multiplikation mit einer reellen Zahl
Jede Matrix kann (von links) mit einer
reellen Zahl (einem sogenannten “Skalar”)
multipliziert werden:


c a11 c a12 . . . c a1n
 c a21 c a22 . . . c a2n 


..
.. 
 ..
.
.
.

c Am×n = 


c aij


.
.
.
 .
.
...
. 
c am1 c am2 . . . c amn
Distributives Gesetz (Skalar mal Matrix)
c (A ± B) = c A ± c B
32
Skalarprodukt zweier Vektoren
Das Skalarprodukt zweier Vektoren mit
gleich vielen Komponenten


a1
 a2 

a = 
.
 . 
an


n
X
aibi
b1
 b2 

b = 
.
 . 
bn
ist definiert als
a • b := aT b =
i=1
= a1b1 + a2b2 + . . . + anbn
∈ R.
33
Produkt einer Matrix mit einem Vektor
Seien
• A = Am×n eine (m × n)-Matrix
• x = xn×1 ein (n × 1)-Vektor.
Dann ist das Produkt Ax ein (m×1)-Vektor

a11
 a21
Ax = 
 ..
am1

a12
a22
..
am2


x1
. . . a1n
 x2 
. . . a2n 
 
.
. . . .   .. 
xn
. . . amn

a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn
 a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn 

= 
.


.
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn
34
Produkt zweier Matrizen
Das Produkt AB zweier Matrizen kann
gebildet werden, wenn die Anzahl der Kolonnen der ersten gleich der Anzahl der
Zeilen der zweiten ist.
Am×n Bn×p = Cm×p
wobei für alle i = 1, . . . , m und alle j =
1, . . . , p gilt:
cij =
n
X
k=1
aik bkj = ai1b1j + ai2b2j + . . . + ainbnj
35
Multiplikationsschema
a 11 a12
a 1n
a i1 a i2
a in
a m1am2
a mn
b11
b 21
b1j
b 2j
b1p
b 2p
b n1
b nj
b np
c ij
36
Die Matrizenmultiplikation ist nicht
kommutativ
Beispiel:
A =
AB =
1 2
0 1
7 10
3 4
B =
1 2
3 4
6= BA =
Im Allgemeinen:
AB 6= BA
1 4
3 10
37
Die Matrizenmultiplikation ist assoziativ
Beispiel: A2×2 =
1 2
0 1
B2×3 =


1 0
C3×2 =  0 3 
2 2
AB =
7 10 −3
3 4 −1
BC =
−1 4
1 10
(AB)C =
A(BC) =
Im Allgemeinen:
(AB)C = A(BC)
1 2 −1
3 4 −1
1 24
1 10
1 24
1 10
38
Die Nullmatrix
Die (m × n)-Matrix 0m×n, deren sämtliche
Einträge 0 sind, heisst Nullmatrix.

0 0 ...
0
0m×n = 
 ..
0 0 ...

0
.. 

.. 
0
Im Allgemeinen:
Am×n + 0m×n = 0m×n + Am×n = Am×n
39
Die Einheitsmatrix
Gibt es eine quadratische Matrix, die die
Rolle der “Eins” übernimmt, d.h. eine
Matrix I, so dass
AI = A und IA = A
für alle quadratischen Matrizen A gilt?
Ja!

1
0

0
I = 
 ..

 ..
0
0 0 0 ...
1 0 0 ...
0 1 0 ...
1
1
0 0 ... 0
I heisst Einheitsmatrix.

0
0

0

.. 

.. 
1
40
Es gibt Nullteiler!
Für reelle Zahlen a und b gilt die Regel:
ab = 0 ⇒ a = 0 oder b = 0
Diese Regel gilt im Allgemeinen nicht für
Matrizen!
2 4
−2 4
A =
B =
1 2
1 −2
AB =
0 0
0 0
=0
A und B heissen Nullteiler.
Im Allgemeinen:
AB = 0 6⇒ A = 0 oder B = 0
41
Für reelle Zahlen gilt die Regel:
Aus cd = ce, c 6= 0 ⇒ d = e
Diese Regel gilt im Allgemeinen nicht für
Matrizen!
2 3
1 1
−2 1
C =
D =
E =
6 9
1 2
3 2
CD = CE =
5 8
15 24
aber D 6= E!
Im Allgemeinen:
CD = CE 6⇒ D = E
42
Matrizen: Invertierbare Matrizen
43
Definition
Es sei eine (quadratische) (n × n)-Matrix
A gegeben. Falls es eine (n×n)-Matrix A−1
mit der Eigenschaft
AA−1 = A−1A = I
gibt, so nennt man A−1 die Inverse von A
und A heisst invertierbar.
Achtung:
Nicht jede quadratische Matrix
besitzt eine Inverse!
44
Die Inverse einer (2 × 2)-Matrix
Die (2 × 2)-Matrix
A =
a b
c d
besitzt eine Inverse, falls
ad − bc 6= 0
und diese ist dann gegeben durch
A−1 =
1
ad − bc
d −b
−c a
45
Eigenschaften invertierbarer Matrizen
1. (A−1)−1 =
A
2. (AB)−1 = B −1A−1
Beweis von 2. Sei C die gesuchte Inverse
von AB. Dann gilt
CAB = I
| · B −1A−1 v. rechts
−1 A−1 = IB −1A−1
CA |BB
{z }
=I
= B −1A−1
−1 = B −1A−1
C |AA
{z }
=I
C = B −1A−1
2
46
Matrizen: Die Transponierte einer Matrix
47
Definition
Die Transponierte einer (m × n)-Matrix

a11
 a21

..
A = Am×n = 

 ..
am1
...
...
...
...
...

a1n
a2n 

.. 

.. 
amn
ist die (n × m)-Matrix

a11
..

AT = ATn×m = 
 ..
a1n
a21
..
..
a2n
...
...
...
...

am1
.. 

.. 
amn
Erfüllt eine (quadratische) Matrix A die
Bedingung A = AT , so heisst A symmetrisch.
48
Eigenschaften transponierter Matrizen
1.
(AT )T
=
A
2. (A + B)T = AT + B T
3.
(AB)T
=
B T AT
4. (AT )−1 = (A−1)T
49
Matrizen: Determinanten
50
Die Determinante
Jeder quadratischen Matrix A = An×n soll
eine reelle Zahl zugeordnet werden, die
Determinante von A.
Bezeichnung: det(A) oder |A|
n=2
A =
a11
a21
a12
a22
det(A) = |A| = a11a22 − a21a12
Neue Formulierung für (2 × 2)-Matrizen:
A−1 existiert ⇔ det(A) 6= 0
51
n=3

a11
A =  a21
a31
a12
a22
a32

a13
a23 
a33
det(A) = |A|
= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32
−a31a22a13 − a32a23a11 − a33a21a12
52
n>3

a11
 a21
A=
 ..
an1
a12
a22
..
an2
...
...
...
...

a1n
a2n 

.. 
ann
Abkürzung:
Durch Aij sei die Teilmatrix von A bezeichnet, die durch Weglassen der i-ten
Zeile und der j-ten Kolonne aus A entsteht.
Rekursive Definition (Entwicklung nach
der 1-ten Zeile):
|A| = a11|A11|−a12|A12|+· · ·+(−1)n+1a1n|A1n|
53
Bemerkungen
• Die Determinante einer (n × n)-Matrix
wird auf n Determinanten von (n − 1 ×
n − 1)-Matrizen zurückgeführt.
• Die Determinante kann auch nach einer beliebigen Zeile entwickelt werden:
n
X
(−1)i+j aij |Aij |
|A| =
j=1
• Die reelle Zahl (−1)i+j |Aij | heisst
Kofaktor von aij .
54
Eigenschaften der Determinanten
1. |AB|
= |A| · |B|
2. A invertierbar ⇒ |A| =
6 0
3. |A−1|
=
1
|A|
4. |AT |
=
|A|
55
5. Die Determinantenentwicklung kann auch
nach einer beliebigen Spalte erfolgen.
6. Falls eine Zeile oder Spalte einer Matrix aus Nullen besteht, so ist die Determinante 0.
7. Die Determinante einer Matrix ändert
sich nicht, wenn zu einer Spalte (Zeile)
ein beliebiges Vielfaches einer anderen
Spalte (Zeile) addiert wird.
8. Wird eine Spalte (Zeile) mit einer Zahl
u multipliziert, so resultiert die u-fache
Determinante.
A =
a11
a21
a12
a22
= (a1, a2)
| det(A)| = |a11a22 − a12a21|
∼ Fläche, des von den
Spaltenvektoren aufgespannten
Parallelogramms
| det |
Bemerkung
Für eine beliebige (n × n)-Matrix A entspricht | det(A)| dem Volumen des von den
Spalten aufgespannten Parallelepipeds.