3. Minitest 20.01.2016 Σ

3. Minitest
20.01.2016
Pool A
Name:
Matrikelnummer:
Gruppennummer:
1. In einer Schokoladenfabrik werden Schokoladentafeln hergestellt. Im Schnitt besitzt (
jede Tafel ein Gewicht von 100 Gramm. Man nehme an, daß das Gewicht einer
zufällig ausgewählten Schokoladentafel normalverteilt sei mit einer Varianz von σ 2 =
9.
/3.5 Pkt.)
(a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, daß eine zufällig ausgewählte Schokoladentafel ein Gewicht zwischen 98 und 105 Gramm besitzt.
(b) Berechnen Sie ein Intervall der Form [100−c, 100+c], in dem sich zu mindestens
95% das Gewicht einer zufällig ausgewählten Tafel Schokolade befindet.
(c) Es werden n = 10 Tafeln aus der Produktion zufällig ausgewählt. Wie groß
ist die Wahrscheinlichkeit, daß darunter mindestens zwei Tafeln mit einem
Gewicht von mindestens 105 Gramm sind?
(d) Wie viele Tafeln müssen aus der Produktion entnommen werden, damit man
mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 97, 5% mindestens eine Tafel mit
einem Gewicht von höchstens 92 Gramm findet?
2. Ein stetiger Zufallsvektor (X, Y ) besitzt folgende Dichtefunktion:
(
3
xy 3 , falls 0 < y < x ≤ 2
f (x, y) = 8
0,
sonst
(
/2.5 Pkt.)
(a) Berechnen Sie die Randdichten von X und Y .
(b) Bestimmen Sie den Erwartungswert von X.
(c) Sind X und Y stochastisch unabhängig?
3. Ein Würfel besitzt auf seinen sechs Seiten die folgenden Augenzahlen: 1, 1, 2, 2, 2, 4. (
Der Würfel werde nun 100 Mal geworfen und die resultierenden Augenzahlen werden
addiert zu einer Gesamtaugenzahl S100 .
(a) Berechnen Sie mit Hilfe des zentralen Grenzwertsatzes die Wahrscheinlichkeit,
daß sich S100 zwischen 180 und 215 befindet.
(b) Der Würfel wird nun n-fach geworfen und die resultierende Augenzahl sei Sn .
Wie oft muß man den Würfel werden, damit P[| n1 Sn − n1 ESn | > 0.01] ≤ 0.98
gilt?
HINWEIS: Alle Zwischenschritte/Rechnungen sind ausreichend zu begründen!
Σ
/2 Pkt.)
Lösungen für den dritten Minitest Pool A 20.01.2016
Beispiel 1
a) Sei X das Gewicht einer Schokoladentafel, dann ist
98 − 100
105 − 100
√
√
−Φ
P(98 ≤ X ≤ 105) = Φ
9
9
= Φ(1.67) − (1 − Φ(0.67)) = 0.953 − (1 − 0.749)
= 0.702.
b) Wir formen um und erhalten die Bedingung für c
c
− 1 ≥ 0.95
2Φ
3
c
⇔Φ
≥ Φ(1.96) ≥ 0.975
3
c
⇔ ≥ 1.96
3
⇔ c ≥ 5.88.
c) Sei Z die Anzahl der Tafeln mit einem Gewicht von mindestens 105 Gramm, dann ist
p = P(X ≥ 105) = 1 − Φ(1.67) = 0.047
⇒ P(Z ≥ 2) = 1 − P(Z = 0) − P(Z = 1)
= 1 − (1 − p)10 − 10p(1 − p)9
= 0.077.
d) Sei Y die Anzahl der Tafeln mit einem Gewicht von höchstens 92 Gramm, dann ist
p̃ = P(X ≤ 92) = Φ(−8/3) = 1 − Φ(2.67)
= 1 − 0.996 = 0.004
⇒ P(y ≥ 1) = 1 − (1 − p̃)n ≥ 0.975
⇔n≥
log(0.025)
= 920.4
log(1 − p̃)
⇒ nmin = 921.
1
Beispiel 2
a) Man erhält folgende Randdichten
( Rx
3 4 x
3
3 5
yx3 dy = 32
xy 0 = 32
x , 0<x≤2
0 8
fX (x) =
0,
sonst
( R2
3 2 3 2 3 3
3 5
3
3
yx
dx
=
x y y = 4 y − 16
y , 0<y≤2
16
y 8
fY (y) =
.
0,
sonst
b) Der Erwartungswert wird über die bekannte Formel ermittelt und ist
2
Z ∞
Z 2
3
3 5
7
x · xdx =
x
E(X) =
xf (x)dx =
7 · 32
−∞
0 32
0
=
12
.
7
c) Wahle y = 1, x = 2, dann ist
fX,Y (2, 1) =
3
9
27
6= fX (2)fY (1) = 3 ·
=
4
16
16
und somit folgt, dass X und Y abhängig sind.
Beispiel 3
a) Sei Xi die gewürfelte Augenzahl beim i-ten Würfelwurf. Es ist
E(Xi) = 2, E(Xi2) =
5, V ar(Xi ) = 1 ∀i und daher
E(Sn) = nE(Xi) = 2n
V ar(Sn ) = nV ar(Xi ) = n
1
1
1
V ar
Sn = 2 V ar(Sn ) =
n
n
n
E(S100) = 100E(Xi) = 200
V ar(S100 ) = 100V ar(Xi ) = 100.
Nun folgt mit Hilfe des zentralen Grenzwertsatzes
15 + 0.5
−20 − 0.5
P(180 ≤ S100 ≤ 215) = Φ 10
−Φ
10
= Φ(1.6) − Φ(−2) = 0.945 − (1 − 0.977) = 0.922
2
b) Mit der Tschebyscheff-Ungleichung ergibt sich
1
S )
1
n n
≤ 0.99
P(| n1 Sn − n1 E(Sn)| > 0.01) ≤ V ar(
=
2
0.01
0.012 n
⇔ n ≥ 10102.
3