Foundations: Logik und Beweise, Mengen, Funktionen

Foundations: Logik und Beweise, Mengen,
Funktionen
Josef F. Bürgler
Abt. Informatik
HTA Luzern, FH Zentralschweiz
HTA.MA+INF
Josef F. Bürgler (HTA Luzern)
Foundations
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Outline
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2
3
4
5
6
Logik
Einführung
Propositionen
Implikationen
Bikonditional
Priorität logischer Operatoren
Selbststudium
Logische Puzzles
Propositionale Äquivalenzen
Prädikate und Quantoren
Einführung
Quantifikatoren
Verschachtelte Quantoren
Beweise
Mengen
Funktionen
Josef F. Bürgler (HTA Luzern)
Foundations
Ziele
Ziele
Die Studierenden verstehen die Grundlagen der Logik und
können sie in einfachen Beispielen anwenden.
Sie erkennen propositionale Äquivalenzen und können mit ihnen
rechnen.
Sie können mit Prädikaten und Quantoren umgehen.
Sie kennen die grundlegenden Operationen auf Mengen, die
entsprechenden Rechenregeln und können diese anwenden.
Die Studierenden verstehen den Begriff der Funktionen und
können damit umgehen.
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Logik
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Einführung
Einführung
Die Regeln der Logik geben mathematischen Aussagen eine
präzise Bedeutung.
Diese Regeln werden verwendet, um zwischen gültigen und
ungültigen mathematischen Argumenten zu unterscheiden.
Ein grosser Teil dieses Moduls beschäftigt sich mit der
Konstruktion korrekter mathematischer Argumente.
Logik hat zahlreiche Anwendungen in der Informatik (Design
logischer Schaltungen, Computer Programme, Verifikation von
Programmen, etc.).
Aristoteles (−384 bis −322) legte in seinen Arbeiten die
Grundsteine der Logik.
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Logik
Propositionen
Propositionen (Aussagen)
Example (Propositionen)
Bern ist die Hauptstadt der Schweiz.
1 + 1 = 2.
1 + 2 = 4.
Example (Keine Propositionen)
Wie spät ist es?
x + 1 = 2.
Dieser Satz ist falsch.
Goldbachsche Vermutung: Jede gerade natürliche Zahl grösser
als 2 ist die Summe zweier Primzahlen. Man ist bisher nicht in der
Lage, die Wahrheit oder Falschheit zu beweisen!
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Logik
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Propositionen
Propositionen (Definition)
Grundeigenschaft von Aussagen: Jede Aussage ist entweder wahr
oder falsch.
Definition (Proposition (Aussage))
Eine Proposition (Aussage) ist ein Satz, der entweder wahr
(Wahrheitswert w) oder falsch (Wahrheitswert f) ist.
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Logik
Propositionen
Propositionen (Fort.)
Bezeichnung:
p, q, r, s, . . .
Wahrheitswerte: t (oder w oder 1) für wahr und f (oder f oder 0)
für falsch.
Propositionale Logik heisst das Gebiet der Logik, welches sich
mit Propositionen befasst.
Im folgenden werden wir aus Proposition durch Verknüpfungen
neue Propositionen erzeugen: dadurch entstehen
zusammengesetzte Propositionen!
Diese Methoden wurden bereits 1854 von George Boole im Buch
The Laws of Thought publiziert.
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Logik
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Propositionen
Negation
Definition
Ist p eine Propostion, dann ist die Proposition “Es ist nicht der Fall,
dass p gilt” die Negation von p; man schreibt ¬p und liest “nicht p”.
Example
Die Negation der Proposition
p = “Heute ist Freitag”
wird wie folgt beschrieben:
¬p = “Es ist nicht der Fall, dass heute ist Freitag”
¬p = “Heute ist nicht Freitag”
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Logik
Propositionen
Wahrheitstabelle
Definition (Wahrheitstabelle)
Die Wahrheitstabelle stellt die Beziehungen zwischen den
Wahrheitswerten von Propositionen dar. Sie ist vor allem dann nützlich,
wenn Propositionen aus einfachen Propositionen konstruiert werden.
p
t
f
¬p
f
t
Tabelle: Die Wahrheitstabelle der Negation
Der Negationsoperator ¬ wirkt auf die Proposition p. Es handelt sich
um einen unären (einstelligen) Operator, weil er nur auf einen
einzigen Operanden, nämlich die Proposition p wirkt!
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Logik
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Propositionen
Konjunktion
Definition (Konjunktion)
Die Propositionen p ∧ q (gelesen: “p und q”) heisst Konjunktion der
Propositionen p und q, falls diese genau dann wahr ist, wenn p und q
wahr sind; andernfalls ist sie falsch.
Example
Die Konjunktion der Propositionen
p = “Heute ist Freitag”
q = “Es regnet heute”
ist
p ∧ q = “Heute ist Freitag und es regnet”
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Logik
Propositionen
Disjunktion
Definition (Disjunktion)
Die Propositionen p ∨ q (gelesen: “p oder q”) heisst Disjunktion der
Propositionen p und q falls diese wahr ist, wenn mindestens eine der
Propositionen p oder q wahr ist; andernfalls ist sie falsch.
Example
Die Disjunktion der Propositionen
p = “Heute ist Freitag”
q = “Es regnet heute”
ist
p ∨ q = “Heute ist Freitag oder es regnet heute”
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Logik
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Propositionen
Konjunktion und Disjunktion
Konjunktion und Disjunktion werden auch UND- und
ODER-Verknüpfung genannt.
Beachte: Mit oder ist hier nicht ein exklusives oder gemeint. Die
exklusive ODER-Verknüpfung wird weiter unten gezeigt!
Es gilt folgende Wertetabelle
p
t
t
f
f
q
t
f
t
f
p∧q
t
f
f
f
p∨q
t
t
t
f
Tabelle: Wahrheitstabelle der Konjunktion u. Disjunktion
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Logik
Propositionen
EXOR-Verknüpfung
Definition (EXOR)
Die Propositionen p ⊕ q (gelesen: “p exor q”) heisst
EXOR-Verknüpfung der Propositionen p und q, falls diese genau dann
wahr ist, wenn genau eine der Propositionen p oder q wahr ist (aber
nicht beide gleichzeitig); ansonsten ist sie falsch.
p
t
t
f
f
q
t
f
t
f
p⊕q
f
t
t
f
Tabelle: Die Wahrheitstabelle der EXOR-Verknüpfung
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Logik
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Propositionen
Zusammenhang mit logischen Schaltungen
Logische Gatter: AND-, OR-, EXOR-Gatter; Inverter (Negation).
Eingänge werden mit x, y etc. bezeichnet.
Ausgänge sind dann x · y (AND), x + y (OR), x ⊕ y (EXOR) oder x
(NEG).
Zusammensetzung von Gattern führt zu komplexen logischen
Ausdrücken, die man mit Hilfe geeigneter Rechenregeln
vereinfachen kann.
Entwerfen sie einen Halbaddierer.
Entwerfen sie einen Volladdierer (welcher also den vorherigen
Übertrag ebenfalls berücksichtigt).
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Logik
Implikationen
Implikationen
Definition
Die Implikation p → q (gelesen “p impliziert q” oder “falls p, dann q”)
ist die jenige Proposition, die genau dann falsch ist, wenn p wahr und q
falsch ist; anderenfalls ist die Implikation wahr.
Example
if 2 + 2 = 4 then
{
x := x + 1
}
Weil 2 + 2 = 4 wahr ist, wird das Statement x := x + 1 immer
ausgeführt und damit der Wert von x um Eins erhöht.
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Logik
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Bikonditional
Bikonditional
Definition
Das Bikonditional p ↔ q (gelesen “p genau dann, wenn q” ist die
jenige Proposition, die wahr ist, wenn p und q die selben
Wahrheitswerte haben und sonst falsch.
Example
Falls p = “Sie können den Flug nehmen” und q“Sie kaufen ein Ticket” zwei
Aussagen sind, dann gilt sicher p ↔ q was in Umgangssprache auch
sinnvoll ist und etwa so lautet: “Sie können den Flug nehmen genau
dann, wenn sie ein Ticket kaufen”.
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Logik
Priorität
Priorität von Logischen Operatoren
Example
Wie ist ¬p ∧ q zu verstehen?
Damit möglichst wenig Klammern gesetzt werden müssen, hat jeder
Operator eine gewisse Priorität, die entscheidet, wann der Operator
angewandt wird.
Operator
¬
∧
∨
→
↔
Priorität
1
2
2
3
3
Tabelle: Priorität logischer Operatoren
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Logik
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Selbststudium
Selbststudium
Lesen und versuchen sie den Abschnitt TRANSLATING
SENTECES zu verstehen.
ENGLISH
Dito mit den Abschnitten SYSTEM SPECIFICATIONS und BOOLEAN
SEARCHES . Letzteres kann für viele Suchmaschinen verwendet
werden.
Dito mit den Abschnitten LOGICAL
OPERATIONS .
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PUZZLES
Foundations
und LOGIC
AND BIT
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Logik
Logische Puzzles
Logische Puzzles
Example
Ein Vater schickt seine beiden Kinder (Sohn und Tochter) in den Garten zum
Spielen: dabei sollen sie sich aber nicht schmutzig machen.
Beide werden aber trotzdem im Gesicht schmutzig. Deshalb sagt der Vater:
“Wenigsten einer von beiden hat ein schmutziges Gesicht” und bittet die
Kinder auf folgende Frage sofort und gleichzeitig (ohne zu lügen) entweder
mit “Ja” oder mit “Nein” zu antworten: “Weisst du, ob du ein schmutziges
Gesicht hast”?
Der Vater stellt diese Frage zwei Mal hinter einander. Was werden die Kinder
jeweils antworten, falls sie sich gegenseitig sehen können, sich selber aber
nicht?
Lösung: Betrachte die beiden folgenden Aussagen und überlege, was
die Kinder aus der Antwort auf die erste Frage schliessen können:
s = “Sohn hat eine schmutzige Stirn”.
d = “Tochter hat eine schmutzige Stirn”.
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Propositionale Äquivalenzen
Tautologie und Widerspruch
Definition (Tautologie,Widerspruch)
Eine zusammengesetzte Aussage, die immer wahr (falsch) ist heisst
Tautologie (Kontradiktion oder Widerspruch).
Example
Was kann man über die beiden folgenden Propositionen sagen: p ∨ ¬p
und p ∧ ¬p? Tipp: betrachten sie die Wahrheitstabelle!
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Propositionale Äquivalenzen
Logische Äquivalenzen
Definition (Logische Äquivalenz)
Die Aussagen p und q heissen logisch äquivalent, falls p ↔ q eine
Tautologie ist. Man schreibt dann p ⇔ q (oder auch p ≡ q bzw. p ∼ q).
Example
Zeigen sie, dass p ∨ (q ∧ r) und (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) logisch äquivalent sind,
indem sie eine geeignete Wahrheitstabelle betrachten.
Merken sie sich die logischen Äquivalenzen auf Seite 24 in Discrete
Mathematics and Applications von Kenneth Rosen. Diese Regeln
gelten entsprechend auch in der Mengenlehre und der boolschen
Algebra!
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Prädikate und Quantoren
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Einführung
Einführung
Example
Aussagen wie
P(x) = “x > 3”
enthalten eine Variable (hier x): sie haben aber nur dann einen
eindeutigen Wahrheitswert, wenn man für diese Variable einen
bestimmten Wert einsetzt.
Man kann also nach den Wahrheitswerten von P(4) und P(2) fragen.
Lösung: P(4) = “4 > 3” ist wahr, während P(2) = “2 > 3” falsch ist.
Definition
Man nennt die Aussage P(x) auch den Wert der propositionalen
Funktion P. P selber wird auch Prädikat genannt.
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Prädikate und Quantoren
Quantifikatoren
Quantifikatoren
Definition (Allquantor)
Ist P(x) wahr für alle x aus einer bestimmten Universalmenge, dann
schreibt man ∀x P(x) und liest: “für alle x P(x)”.
Examples
(a) Steht P(x) für die Aussage x + 1 > x, dann kann man sofort
nachprüfen ∀x P(x).
(b) Steht Q(x) für die Aussage x < 2, dann gilt sicherlich nicht ∀x Q(x).
(c) Was ist der Wahrheitswert von ∀x (x2 ≥ x) falls die Universalmenge
(1) gleich R ist, bzw. (2) gleich Z ist?
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Prädikate und Quantoren
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Quantifikatoren
Quantifikatoren (Fort.)
Definition (Existenzquantor)
Ist P(x) wahr für mindestens ein x aus einer bestimmten
Universalmenge, dann schreibt man ∃x P(x) und liest: “es existiert ein x
für welches P(x) wahr ist”.
Examples
(a) Steht P(x) für die Aussage x2 − 1 < 0, dann kann man sofort
nachprüfen ∃x P(x) (beachte x = 0).
(b) Steht Q(x) für die Aussage x + 1 = x, dann kann man sofort
nachprüfen, dass ∃x Q(x) falsch ist (Es gibt keine reelle Zahl, die um
eins vergrössert sich selber ist).
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Prädikate und Quantoren
Quantifikatoren
Quantifikatoren (Fort.)
Wird ein Quantor auf die Variable x angewandt, dann nennt man diese
Variable gebunden, ansonsten frei.
Examples
(a) In ∀xQ(x, y) ist die Variable x gebunden, die Variable y aber frei.
(b) In ∃x(P(x) ∧ Q(x)) ∨ ∀xR(x) sind alle Variablen gebunden.
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Prädikate und Quantoren
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Quantifikatoren
Quantifikatoren (Fort.)
Die Negation von Ausdrücken mit Quantoren führt auf folgende
Regeln:
Negation
äquivalent
¬∃xP(x)
∀x¬P(x)
¬∀xP(x)
∃x¬P(x)
Negation ist wahr
für alle x ist
P(x) falsch
Es gibt ein x, für welches P(x) falsch ist
Negation ist falsch
Es gibt ein x, für welches P(x) wahr ist
P(x) ist wahr
für alle x
Tabelle: Negationen von Quantoren
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Prädikate und Quantoren
Quantifikatoren
Quantifikatoren (Fort.)
Example
Drücken sie “some student in this class has visited Mexico” und “every
student in this class has visited either Canada or Mexico” indem sie
Prädikate und Quantoren verwenden.
Lösung: Wir definieren:
M(x) = “x has visited Mexico”
C(x) = “x has visited Canada”
S(x) = “x is a student in this class”
Damit kann man die beiden Sätze wie folgt mathematisch
beschreiben: ∃x(S(x) ∧ M(x)) und ∀x (S(x) → (C(x) ∨ M(x))).
Warum ist im ersten Ausdruck ∃x (S(x) → M(x)) nicht korrekt? Antwort:
die Implikation ist auch dann richtig, wenn S(x) falsch ist!
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Prädikate und Quantoren
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Quantifikatoren
Quantifikatoren (Fort.)
Example
Es seien die folgenden Aussagen gegeben: “All hummingbirds are
richly colored”, “No large birds live on honey”, “Birds that do not live on
honey are dull in color” und “Hummingbirds are small”.
Wir verwenden die Prädikate
P(x) = “x is a hummingbird”
Q(x) = “x is large”
R(x) = “x lives on honey”
S(x) = “x is richly colored”
um diese Aussagen mittels Quantoren wie folgt auszudrücken:
∀x (P(x) → S(x)), ¬∃x (Q(x) ∧ R(x)), ∀x (¬R(x) → ¬S(x)) und
∀x (P(x) → ¬Q(x))
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Prädikate und Quantoren
Verschachtelte Quantoren
Verschachtelte Quantoren
Example
Übersetzen die Aussage
∃x∀y∀z ((F(x, y) ∧ F(x, z) ∧ (y 6= z)) → ¬F(y, z))
in die englische Sprache, falls folgendes Prädikate verwendet wird:
F(a, b) = “a und b sind Freunde”
und falls die Universalmenge (aus der x, y und z kommen) die Menge
aller Studenten dieser Schule ist.
Lösung: ”there is a student none of whose friends are also friends
with each other” (es gibt eine Studierende wobei ihre Freunde
untereinander nicht befreundet sind)
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Prädikate und Quantoren
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Verschachtelte Quantoren
Verschachtelte Quantoren (Fort.)
Die Reihenfolge der Quantoren ist wesentlich; ausser alle Quantoren
sind vom gleichen Typ (also Allquantoren oder Existenzquantoren)!
Example
Schreiben sie die Negation der folgenden Aussage ohne
Negationszeichen:
∀x∃y (xy = 1)
Lösung: Wenden sie nacheinander die Regeln für das Negieren von
Ausdrücken mit Quantoren an und übersetzen sie dann die Negation
des innersten Ausdruckes. Dadurch erhalten sie:
∃x∀y (xy 6= 1)
Was muss hier für die Universalmenge gelten? (R \ {0}).
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Prädikate und Quantoren
Verschachtelte Quantoren
Verschachtelte Quantoren (Fort.)
Oft ist es sinnvoll, verschachtelte Quantoren mit mehr als zwei
Variablen als verschachtelte Schlaufen zu betrachten!
Example
Falls ∀x∀yP(x, y) wahr ist, kann man in einer äusseren Schlaufe über
alle x gehen und dann für ein festes x über alle y.
Falls P(x, y) für alle durchlaufenen Werte von x und y wahr ist, dann
gilt: ∀x∀yP(x, y) ist wahr!
Falls wir aber einen Wert x und für diesen auch nur einen einzigen
Wert y finden, für den P(x, y) falsch ist, dann gilt: ∀x∀yP(x, y) ist falsch!
Betrachten sie dazu die Tabelle 1, p50 im Kenneth Rosen.
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Beweise
Beweise
Ein Satz (Theorem) ist eine Aussage, von der man zeigen kann,
dass sie wahr ist.
Um zu zeigen, dass ein Satz wahr ist, verwendet man eine
Abfolge (Sequenz) von Aussagen, die zusammen ein Argument,
genannt Beweis ergeben.
Aussagen können Axiome oder Postulate enthalten
(grundlegende Annahmen der mathematischen Strukturen).
Aussagen können auch Hypothesen des zu beweisenden Satzes
aber auch Aussagen von früheren Sätzen sein.
Durch logisches (also gewissen Regeln gehorchendes) Schliessen werden Folgerungen gemacht, die zusammen den Beweis
ergeben.
Man muss inkorrektes Schliessen (Irrglaube) vermeiden!
Ein Lemma ist ein einfacher Satz, der in Beweisen von komplizierteren Sätzen verwendet wird. Ein Korollar ist eine einfache
Folgerung eines Satzes.
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42 / 51
Beweise
Beweise
Es gelten die auf der Seite 58 im K. Rosen gezeigten Regeln des
(logischen) Schliessens.
Example (6, p59)
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43 / 51
Beweise
Beweise (Fort.)
Verschiedene Methoden einen Beweis zu führen:
Direkter Beweis: Die Implikation p → q kann bewiesen werden
indem zeigt, dass aus der Richtigkeit von p sofort die Richtigkeit
von q folgt.
Indirekter Beweis (oder Beweis durch Kontraposition: Statt p → q
verwendet man die logisch äquivalente Aussage ¬q → ¬p.
Beweis durch Kontradiktion (Widerspruch): Falls ein
Widerspruch q gefunden werden kann, für den ¬p → q (also
¬p → f) wahr ist, dann muss ¬p falsch und damit p wahr sein.
Äquivalenzbeweis: Wird beispielsweise verwendet, um zu
zeigen, dass die quadratische
Gleichung x2 + px + q = 0 die
p
Lösungen x1,2 = −p/2 ± (p/2)2 + 1 hat. Man verwendet dazu
die quadratische Ergänzung.
Weitere Beweismethoden sind Beweis durch
Fallunterscheidung, Kombinatorischer Beweis und Beweis
durch Gegenbeispiel.
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Mengen
Mengen
Definition
Eine Menge ist eine ungeordnete Zusammenfassung wohldefinierter,
unterscheidbarer Objekte, genannt Elemente, zu einem Ganzen.
Für irgend ein Objekt x gilt dann bezüglich der Menge A entweder
x ∈ A oder dann x ∈
/ A.
Example
Endliche Mengen lassen sich durch Aufschreiben der in ihnen
enthaltenen Elemente beschreiben; z.B. die Menge aller natürlichen
Zahlen kleiner als 100:
A = {1, 2, . . . , 99, 100}
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Mengen
Gleichheit, elementare Mengen
Definition
Zwei Mengen A und B sind gleich, falls sie die selben Elemente
enthalten.
Example
Einige bekannte Mengen sind:
N = {1, 2, . . .} ,
N0 = {0, 1, 2, . . .}
Z = {. . . , −1, 0, 1, 2, . . .}
Z+ = {1, 2, . . .}
Q = {p/q |p ∈ Z ∧ q ∈ N }
R:
die Menge der reellen Zahlen
C:
die Menge der komplexen Zahlen
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Mengen
Spezielle Mengen
Teilmenge: A ist Teilmenge von B, geschrieben A ⊂ B, genau dann,
wenn ∀x(x ∈ A → x ∈ B): Es gilt A ⊂ A!
Leere Menge ∅: Für jede Menge A gilt: ∅ ⊂ A.
Kardinalität: Ist S eine endliche Menge, dann bezeichnet |S| die
Kardinalität (Anzahl Elemente) von S. Eine nicht endliche
Menge heisst unendliche Menge.
Potenzmenge: Die Potenzmenge P(S) der Menge S besteht aus der
Menge aller Teilmengen A ⊂ S.
Kreuzprodukt: (oder kartesisches Produkt) zweier Mengen A und
B, bezeichnet mit A × B ist die Menge aller geordneten
Paare (a, b), wobei a ∈ A und b ∈ B, d.h.
A × B = {(a, b) |a ∈ A ∧ b ∈ B }
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Mengen
Mengenoperationen
Die StudentIn ist sicher mit den folgenden Rechenoperationen vertraut
und kann diese auch mathematisch beschreiben.
Vereinigung: A ∪ B enthält alle Elemente aus A oder B, d.h.
A ∪ B = {x |x ∈ A ∨ x ∈ B }.
Durchschnitt: A ∩ B analog!
Differenzen: A \ B
Komplement: A - hier ist es wichtig zu wissen, bezüglich welcher
Menge das Komplement gilt!
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48 / 51
Mengen
Regeln für das Rechnen mit Mengen
Für das Rechnen mit Mengen gelten die Regeln auf Seite 89 im
Kenneth Rosen!
Behandelt man mehr als drei oder vier Mengen, verwendet man
die Schreibweise mit Indizes.
Es gibt verschieden Möglichkeiten, Mengen mit dem Computer
darzustellen (Beispiel 17, p93).
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49 / 51
Funktionen
Funktionen
Der Funktions- oder Abbildungsbegriff wird erweitert.
Bild, Bildbereich, Wertemenge, Urbild und Urbildbereich.
Injektive, surjektive und bijektive Funktionen.
Die inverse Funktion und die Zusammensetzung von Funktionen.
Der Graph einer Funktion.
Einige oft verwendete Funktionen (Betrags-, Floor- und
Ceiling-Funktion - als bekannt werden vorausgesetzt: Polynome,
Winkelfunktionen und Exponentialfunktion sowie deren Inverse).
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50 / 51
Zusammenfassung
Zusammenfassung
Wir haben in dieser Woche die Fundation eines Gebäudes erstellt.
Es wurde also der Baugrund gefestigt, Pfähle wurden
eingeschlagen, Spundwände geschlagen, etc.
In der nächsten Woche folgt das Fundament des Gebäudes.
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