Kapitel 6 R lft dflü i Kö Realefesteund - IAP TU

Kapitel 6
R l feste
Reale
f t und
d flüssige
flü i Körper
Kö
1
Reale Körper
Materie ist aufgebaut
g
aus Atomkern und Elektronen-Hülle
Verlauf von potentieller Energie Ep(r)
und Kraft F(r) zwischen zwei Atomen
als Funktion des Kernabstands r
typische Dimensionen :
Atomkern : ∼fm (10-15 m)
Hülle : ∼ Å (10-10 m)
Abstände im Molekül (Gleichgewichtsabstand) : ∼ Å
Abstände im Festkörpers : ∼ pm (10-12 m)
2
Anmerkungen : Zu Aufbau und geometrischer Beschreibung eines Kristalls
t pischer kristalliner Aufbau
typischer
A fba :
beachte : die Atome sind identisch,
wenn auch in der Skizze
unterschiedlich markiert, um die
Ebenen besser sichtbar zu machen
c
b
a
Einheitszelle
Vorgehen : Koordinaten-Ursprung in irgendein Atom legen,
Ö Ortsvektoren zu den anderen
Atomen ist gegeben durch:
r
r
r
r
ri = na ,i a + nb ,i b + nc ,i c
mit den Basis-Vektoren a,b,c
Größe und Richtung der Basisvektoren legen Art des Kristall-Aufbaus fest
Ö mechanische, elektronische und sonstige physik. Eigenschaften bestimmt
3
Anmerkungen : Zur Beschreibung einer Flüssigkeit
(links) Wahrscheinlichkeit W(r), dass ein Atom A0 einen Abstand r von einem beliebig herausgegriffenen
anderen Atom Ai einer Flüssigkeit hat : breite Verteilung Ö keine Fernordnung; aber : ausgeprägtes
Maximum bei einem Abstand r0, der annähernd dem Gleichgewichtsabstand im Festkörper entspricht Ö
Nahordnung; (rechts) Während man den kristallinen Festkörper durch das Federmodell annähernd
beschreiben kann, lassen sich viele Eigenschaften von Flüssigkeiten durch ein Modell beschreiben, in dem
die Atome bzw. Moleküle durch Fäden miteinander verbunden sind, deren Länge konstant gehalten wird,
deren Richtung jedoch beliebig geändert werden kann (Fadenmodell). Die Kugeln in diesem Modell können
sich in etwa so bewegen wie die Flüssigkeitsmoleküle (freie Verschiebbarkeit der Atome bei vorgeg. Abstand).4
Anmerkungen : Wechsel des Aggregatzustandes
kristalliner Festkörper : wohldefinierte Nahordnung und Fernordnung
Erhöhung der Temperatur (Energiezufuhr)
Ö mittl.
ittl kin.
ki Energie
E
i ⟨ Ekin ⟩ = ½ kT pro Freiheitsgrad
F ih it
d (dazu
(d
später)
ä ) steigt
t i t
sobald : ⟨ Ekin ⟩ ≥ E* Ö Kristall schmilzt
(E* ist charakteristisch für das Material)
flü i
flüssiger
Körper
Kö
: Nahordnung
N h d
vorhanden,
h d kkeine
i Fernordnung
F
d
mehr
h
weitere Erhöhung der Temperatur bewirkt :
sobald ⟨ Ekin ⟩ ≥ EBindung Ö Flüssigkeit verdampft
gasförmige
fö i Substanz
S bt
: weder
d Nahordnung
N h d
noch
hF
Fernordnung
d
vorhanden
h d
Ö isolierte, individuelle, untereinander stoßende Teilchen
Ö die Atome/Moleküle werden völlig frei bewegbar,…
bewegbar
…bilden ein Gas, das jeden ihm angebotenen Raum einnimmt.
5
Deformierbare feste Körper : Elastische Eigenschaften
► mechanisch-elastische Eigenschaften mit dem Feder-Modell beschreibbar
Definitionen :
reversible Verformung Ö elastisch
irre ersible Verformung
irreversible
Verform ng Ö plastisch
Vergleiche Hook
Hook‘sches
sches Gesetz für einzelne Feder :
F = −D x
bei Festkörpern : viele Federn (parallel und seriell geschaltet)
Phänomenologischer Ansatz (wie Hook‘sches Gesetz, gilt für kleine Dehnung) :
F ∝ ΔL / L
F∝A
K ft proportional
Kraft
ti l zur relativen
l ti
Dehnung
D h
:
Kraft proportional zum Querschnitt :
6
Ö
ΔL
F=EA
L
mit dem Elastizitätsmodul
Elasti itätsmod l E
Dimension des Elastizitätsmoduls :
N
[E ] = 2
m
techn. Angaben in 109 Nm-2
E groß Ö viel Kraft nötig für Längenänderung Ö„harte“ Federn
E klein Ö wenig Kraft nötig für Längenänderung Ö„weiche “ Federn
Elastizitätsmodule (und verwandte Größen)
für verschiedene Materialien; Beispiele :
Stahl ist härter als Aluminium, lässt sich also
schwerer ziehen; Blei ist relativ weich, lässt
gut fformen;; VA-Stahl ist sehr hart (f
(für
sich g
starke Belastungen geeignet); Eis ist weich
im Vergleich zu Metallen
7
ΔL
F=EA
L
Umschreiben liefert :
F
ΔL
=E
A
L
(Geometrie-unabhängige Form)
Zugkraft pro Fläche = mechanische Zugspannung σ
ΔL
ΔL
=ε
L
Ö
σ = Eε
relative Längenänderung (Dehnung) ε
Hook‘sches Gesetz : Die für Längenänderungen
erforderliche Zugspannung σ steigt linear ε
Anmerkung : gilt für ε << 1, d.h. kleine Längenänderungen
8
Irreversible Dehnung
bei kleinen Dehnungen gilt das lineare Hook‘sche Gesetz (Punkt A bis P :
Proportionalitätsbereich);
i li b i h) bei
b i größeren
ß
Dehnungen
h
k
kommt
es zu einem
i
nicht-linearen
i h li
Zusammenhang zwischen Zugspannung und relativer Dehnung Ö Fließen des Materials
(Punkt P bis F : Fließgrenze); bei noch größeren Dehnungen beginnt das Material zu
reißen (Punkt F bis Z : Zerreißgrenze)
Reversible
R
ibl Verformung
V f
: Elastische
El ti h Dehnung
D h
Irreversible (plastische) Verformung : Fliessen, Reissen
9
Mikroskopisches Bild des Fließ-Prozesses: (links) Während bei der elastischen Dehnung die Abstände r
zwischen allen Nachbaratomen um Δr ≈ (ΔL/L)r0 vergrößert werden, kann man den Fließvorgang z. B. durch
eine Verschiebung der Netzebenen gegeneinander erklären. (rechts) Dies kann man sich im atomaren Modell
klar machen, in der die potentielle Energie eines Atoms A einer Ebene im Kristall dargestellt ist als Funktion
der Verschiebung Δs dieser Ebene; gegenüber der Nachbarebene. Um von einem Potentialminimum in das
Nachbarminimum zu gelangen, muss die angreifende äußere Kraft so groß sein, dass alle Atome einer
solchen Netzebene über das dazwischenliegende Maximum kommen können. Da man den Abstand zwischen
den Atomen bei einer solchen Verschiebung von Netzebenen nicht sehr stark ändert, sind die Minima
10
wesentlich flacher als das Potentialminimum bei der Bindung zweier Atome.
Weg der elastischen Verformung
σ (ε = 0) ≠ 0
ε (σ = 0) ≠ 0
plastische Verformung
Anmerkung : Hysterese bei der Verformung, verbunden mit Erwärmung durch
Verschiebung von Netzebenen Ö Verluste durch Reibung
11
Konsequenz der Hysterese :
Ö bei periodischer Dehnung
/Stauchung wird Arbeit geleistet
ΔL
ΔL
0
0
W = ∫ F dL =
∫ Aσ dL
ε
= ∫ A σ L dε
0
ε
= V ∫ σ dε
0
solange
l
die
di Verformung
V f
elastisch
l ti h ist,
i t gilt
ilt :
Ö
1
2
W = V Eε
2
σ = Eε
Ö für
fü geschlossenen
hl
Weg
W :
W = V ∫ σ dε = 0
12
aber : plastische Verformung (große Dehnung,
Dehnung
d.h. Abweichung vom Hook‘schen Gesetz) ergibt :
W = V ∫ σ dε ≠ 0
Ö es wird Arbeit geleistet bei periodischer Dehnung/Stauchung
Ö Wärme
Ö Materialermüdung
13
mathematische Zwischenbemerkung : Taylor-Entwicklung
Approximation einer Funktion um eine Stelle x0 :
df
f ( x) ≈ f ( x0 ) + ( x − x0 )
dx
y
f(x)
bei linearem Verlauf f(x) ist die Näherung exakt
bei beliebiger Funktion kann der Fehler
(d.h. Abweichung der Näherung von f(x))
reduziert werden durch Berücksichtigung
höherer Ableitungen (Krümmung etc.) :
α
x0
x
df ( x0 )
1 d 2 f ( x0 )
2
f ( x) ≈ f ( x0 ) +
( x − x0 ) +
(
x
−
x
)
+ ...
0
2
dx
2 dx
∞
allgemein
ll
i :
n
1 d f
f ( x) = ∑
n
n = 0 n ! dx
( x − x0 )
x0
n
TaylorReihe
14
Beispiel : Entwicklung eines (z.B. in analytischer Form unbekannten)
Potentials um den Gleichgewichtsabstand
betrachte z.B. das Potential zwischen zwei Teilchen in deformierbaren Körper
∞
Ö Taylor-Reihe
Taylor Reihe :
1 d n EP
n
EP (r ) = ∑
(
r
−
r
)
0
n
n = 0 n ! dr
r
0
15
o.B.d.A. legen wir den Energie-Nullpunkt in das Minimum bei r0
0
Ö 0. Term :
1 d EP
0
(r − r0 ) = EP
0
0! dr r
r0
≡0
0
1. Term :
1 dEP
(r − r0r )1 = E ' P r (r − r0 ) = 0
0
0
1! dr r0
da die Funktion EP(r) bei r = r0 ein Minimum hat
2
2. Term :
1
1 d EP (r0 )
2
2
(r − r0 ) = E ' ' P (r − r0 )
2
2! dr
2
r0
… und höhere Terme…
Ö Taylor
Taylor-Reihe
Reihe zur
Näherung von EP(r) :
1
EP (r ) ≈ E ' ' P
2
(r − r0 )
2
r0
+ ...
16
1
EP (r ) = E ' 'P
2
Ö Kraft :
ist die niedrigste, mögliche Näherung
für das Potential EP(r);
(r − r0 )
2
gilt für kleine Auslenkungen (r-r0)
r0
r
r
F = −∇EP (r )
Ö
F = − E ' 'P r (r − r0 ) ≡ − D Δr
0
Hook‘sches
Hook
sches Gesetz
mit der Feder-Konstanten
Feder Konstanten :
D = E ' 'P
r0
17
Querkontraktion
► wenn ein deformierbarer Körper gedehnt wird,
wird
führt die Längenzunahme durch die Zugspannung
((meist)) zu einer Reduktion des Durchmessers
Ö Volumenänderung
ΔV = (d + Δd ) (L + ΔL ) − d 2 L
2
Ö
ΔV = d L + 2 d Δd L + Δd L − d L
2
2
2
+ d ΔL + 2 d Δd ΔL + Δd ΔL
2
2
die markierten Terme enthalten je zwei Faktoren von kleinen
Änderungen Δd ΔL, d.h. diesen Terme sind sehr klein
Ö
ΔV ≈ 2 d Δd L + d 2 ΔL
Ö relative Volumenänderung :
ΔV
Δd ΔL
=2
+
V
d
L
18
wir definieren die Q
Querkontraktionszahl ((Poissonzahl)) :
Δd
µ =−
d
ΔL
L
als material
material- und geometrie
geometrie-variables
variables Maß für die Stärke der Querkontraktion
in Abhängigkeit von der Längsdehnung
mit :
Ö
σ
ΔL
=ε =
L
E
ΔV σ
= (1− 2µ)
V
E
wenn Querkontraktion vernachlässigbar ist ( μ → 0), dann gilt :
σ
ΔV
→
=ε
V
E
d.h. Volumenänderung kommt lediglich
durch Längenänderung ε = σ/E
19
Kompression
► wir betrachten jetzt statt einer Zugspannung σ an einem Körper einen Druck
p (Kraft pro Fläche) auf alle Seiten des Körpers Ö Kompression
p = F/A
mathematisch ähnlich wie beim Hook‘schen
Gesetz setzen wir eine lineare Variation des
Vl
Volumens
mit
it dem
d Druck
D k an :
ΔV
1
= − Δp
V
K
mit dem Kompressionsmodul K
oder:
1 ΔF
1
ΔV
=−
= − Δσ
V
K A
K
Vergleich mit Querkontraktion zeigt :
Druck von 3 Seiten
1 3
= (1 − 2µ)
K E
20
Scherung und Torsion
bisher betrachtet : senkrecht zu Fläche wirkend Kraft Ö Dehnung/Kompression
► tangential zur Fläche A wirkende Kraft F bewirkt Scherung,
d.h. Parallel-Verschiebung
g gegenüber
g g
liegender
g
Seiten
Ö Verschiebung von Netzebenen
Scherspannung :
F
τ=
A
d.h. parallel zur Fläche wirkende Kraft
unter Einfluß einer Scherspannung werden
die Kanten eines Quaders um einen Winkel α
verkippt (und die Netzebenen verschoben)
für kleine Winkel α können wir einen
linearen Zusammenhang ansetzen :
τ = Gα
Mit dem Schubmodul G (auch Scher- oder Torsionsmodul)
21
Beispiel : Verdrillung eines Drahtes = Scherung der Drahtsegmente
F
F
Verdrillung eines Drahtes bei Wirkung einer tangentialen Kraft; Zerlegung des Drahtes in Zylinder-Segmente
22
und Wirkung der Kraft zur Verformung des Drahtes in Querschnitt-Ebene und in Längsrichtung Ö Torsion
betrachte „geringe“
geringe“ Scher
Scherung
ng mit kleinem Winkeln α
gilt für :
ϕ r << L
d.h. Änderung der horizontalen Ausdehnung
<< vertikale
tik l Ausdehnung
A d h
(Länge)
(Lä )
Ö
r
π
α = ϕ << 1 ≈
L
3
Ö Scherspannung :
r
τ = Gα = Gϕ
L
Betrag zur Scherung der Zylinderhülse mit dr :
2π r
dF = τ ⋅ 2π r dr =
dr ϕ G
L
Fläche des Kreisrings
2
23
Ö Beitrag zum Drehmoment :
2πr 3
dD = r ⋅ dF =
dr ϕ G
L
Ö gesamtes Drehmoment :
πGR
2π
3
D=
ϕ G ∫ r dr =
ϕ
L
2L
0
R
4
d.h. Drehmoment proportional zum Winkel
(wie erwartet, äquivalent zum Hook‘schen Gesetz)
Ö je dicker der Draht,
Draht umso grösser wird das Drehmoment bei Verdrillung
(wie erwartet, da mehr Kraft nötig bei dickem Draht)
24
Ö Schwingung eines Drehpendels
(z.B. Körper mit Trägheitsmoment an verdrilltem Draht) :
Rückstellendes
Drehmoment :
D=−
Schwingungsgleichung :
Lösung :
π G R4
2L
ϕ ≡ − DR ϕ
Iϕ&& − DR ϕ = 0
ϕ (t ) = ϕ0 cos (ω0 t )
mit der Eigenfrequenz der Schwingung :
Ö Schwingungsperiode :
ωo =
DR
I
2π
I
2π
T=
= 2π
= 2
ω
DR
R
2LI
1
∝ 2
πG
R
d.h. je dicker der Draht, umso kürzer die Schwingungsperiode
25
Anmerkung : Zur Arbeit von Drehmomenten
F
betrachte Drehung um Achse ⊥ Zeichenebene
Ö Arbeit :
r r
dW = F dr = F dr
r
dϕ
beachte : für infinitesimal kleine Winkeländerungen ist F in Richtung dr (tangential)
mit :
Ö
dW = F r dϕ
aus :
Ö
dr = r dϕ
Drehachse
D =Fr
W = ∫ D(ϕ ) dϕ
Fixierungg
Feder
äquivalent zur Translationsbewegung
26
Zusammenhänge zwischen den Modulen
Elastizitätsmodul E
Kompressionsmodul K
Schermodul G
Querkontraktion (Poissonzahl) µ
E
= (1 + µ)
2G
E
= (1 − 2µ)
3K
2 G 1 − 2µ
=
3 K 1+ µ
27
Reibung
► Reibung basiert auf Kräften bei der relativen Bewegung zweier Körper,
Körper
deren Oberflächen sich berühren Ö Mikrostruktur (Rauigkeit) der Oberfläche
determiniert Reibungskräfte
g
Oberfläche, abgebildet
Oberfläche
mit Mikroskop
Haftreibung durch Verzahnung
f
mit Mikro-Rauigkeiten
g
einer Oberfläche
„Verhakungs-Modell“ für die
Wechselwirkung von Oberflächen
(Vorstellung: zwei Bürsten)
28
Haftreibung : es wird eine bestimmte Mindest-Kraft benötigt wird, um einen
auf einer Oberfläche ruhenden Körper in Bewegung zu setzen; bei geringerer
Kraft bleibt der Körper auf der Oberfläche haften (s.o. Verhakungsmodell)
Gleitreibung
g : es wird eine Kraft benötigt
g wird,, um einen bewegten
g
Körper
p bei
konstanter Geschwindigkeit zu halten; ohne zusätzliche Kraft kommt ein
gleichförmig bewegter Körper aufgrund Energie-Verlusten durch Gleitreibung
irgendwann zur Ruhe
exp.
p Beobachtungg : Haftreibungskraft
g
ist pproportional
p
zur Kraft ((z.B. Gewicht),
), mit der
der Körper auf die Oberfläche drückt (d.h. in Richtung der Normalen zur Oberfläche)
Ö
FH = µH FN
mit der Normalkraft FN auf die Oberfläche
und dem Haftreibungskoeffizienten µH
äquivalent gilt für die Gleitreibungskraft :
mit dem Gleitreibungskoeffizienten µG
FG = µG FN
29
Um den Haftreibungskoeffizienten zu bestimmen,
eignet sich eine schiefe Ebene mit einem verstellbaren
Neigungswinkel α.
α Man vergrößert den Winkel α so
lange, bis der Körper bei α = αmax zu gleiten beginnt.
Ö
FH = m g sin α max = FN tan α max
Vergleich mit :
Ö
FH = µH FN
µH = tan α max
Anmerkung : Reibungskraft zwischen festen Oberflächen ist näherungsweise
g g von der Geschwindigkeit;
g ; später
p
werden wir sehen : Reibungskraft
g
unabhängig
in Flüssigkeiten und Gasen ist proportional zur Geschwindigkeit (bzw. zum
30
Quadrat der Geschwindigkeit)
Anmerkung : Gleitreibung ist stets schwächer als Haftreibung
Erklärung : Wenn zwei Oberflächen relativ zueinander ruhen,
ruhen verzahnen sich die
Spitzen und Täler der Oberflächen so ineinander, dass ein relatives Minimum des
mittleren Abstands beider Grenzflächen auftritt, weil dies einem relativen Minimum der
Energie entspricht. Bei der Gleitbewegung gleiten die Flächen so aneinander vorbei,
dass dieses Minimum nicht eingenommen wird. Beim Gleitvorgang wird vor allem von
den Spitzen des „Rauigkeitsgebirges
Rauigkeitsgebirges“ Material abgetragen.
abgetragen
Rollreibung : Die Rollreibung ist wesentlich kleiner als die Gleitreibung, weil beim
Abrollen die Unebenheiten im Rauigkeitsgebirge teilweise „übersprungen
übersprungen“ werden.
werden
Ö Kugellager zur möglichst reibungsfreien Bewegung
31
Hydrostatik : Verhalten ruhender Flüssigkeiten
Vergleich mit festen Körpern :
► Beschreibung der Kompression (z.B. mit Kompressionsmodul) in
Flüssigkeiten ähnlich wie bei festen Körpern Ö K ≠ 0
aber : in (idealen) Flüssigkeiten sind die Moleküle frei beweglich Ö keine
Kraft nötig zur Formänderung Ö Schermodul G = 0
FT
FN
F
ÖKonsequenz : die Oberfläche wird bei Wirkung einer Kraft so verschoben,
verschoben
dass es nur eine Normalkomponente der Kraft gibt (stationärer Zustand) Ö die
Oberfläche verändert ihre Form und p
passt sich der Richtung
g der Kraft an
32
(a) betrachte die Oberfläche einer ruhenden Flüssigkeit : wirkt nur die Gewichtskraft, so
ist die Oberfläche horizontal orientiert; (b) betrachte die Oberfläche einer rotierenden
Flü i k it : durch
Flüssigkeit
d h kombinierte
k bi i t Wirkung
Wi k
d Schwerkraft
der
S h
k ft (in
(i z-Richtung)
Ri ht
) undd der
d
Zentrifugalkraft (in r-Richtung) wird die horizontale Form modifiziert, so dass der
Normalenvektor der Gesamtkraft senkrecht auf der Oberfläche steht
33
Form der rotierenden Oberfläche :
Volumenelement dV
für den Neig
Neigungswinkel
ngs inkel ergibt sich :
FZ dm ω 2 r ω 2 r
tan α =
=
=
FG
dm g
g
FZ
FG
α
FN
Ö Bestimmungsgleichung
für die Form der Oberfläche z(r) :
dz ω r
=
dr
g
2
Ö Integration liefert :
z (r ) = ∫
ω r
2
g
dr =
ω
2
2g
r + z0 ∝ r
2
2
d.h. die Form einer rotierenden Oberfläche ist ein Paraboloid
34
Statischer Druck in Flüssigkeiten
z
FN
F
y
dA
Fx
Fy
mit der Normale des
Flächenelementes dA
im stationären Fall stellt sich die
Richtung der Oberfläche so ein,
dass F = FN in Richtung dA wirkt
x
Ö Druck an der Oberfläche :
p=
F
A
35
betrachte den Druck auf ein Volumenelement in der Flüssigkeit
(bei Vernachlässigung des Eigengewichts Ö kein Auftrieb)
Normalenvektor
z.B. Variation des Drucks von z über Strecke dz
dV = dx dy dz
dA = dy dz
∂p ⎤
⎡
⎢⎣ p + ∂z dz ⎥⎦
in Richtung -zz
36
für die Variation des Drucks
in einer Richtung(z.b.
Richtung(z b Koordinate x) gilt :
∂p
p( x + dx ) = p( x) + dx
∂x
Ö Kraft auf Volumenelement dV :
∂p
∂p
Fx = [ p( x) − p( x + dx )]dyy dz = − dx dyy dz = −
dV
∂x
∂x
…entsprechend für Fy und Fz :
Ö
r
F = − grad p dV
∂p
Fy = −
d
dV
∂y
∂p
; Fz = −
d
dV
∂z
da die Flüssigkeit sich im stationären Zustand befindet (bzw. befinden soll), gilt :
r
F= 0
Ö
grad p = 0
Ö
p( x, y, z ) = const.
d.h. in einer idealen Flüssigkeit ist (bei Vernachlässigung des Eigengewichts)
37
der Druck in alle Richtungen gleich (isotrope Druckverteilung)
betrachte den Druck auf ein Volumenelement in der Flüssigkeit
unter Berücksichtigung des Eigengewichts (ohne äußeren Druck)
Gewicht eines
Vol elements dV :
Vol.elements
Ö Druck :
z
dF = ρ g A dz
dF
dp =
= ρ g dz
A
A
H
Ö Integration liefert :
p( z ) =
dz
dV = A dz
∫ ρ g dz = ρ g z
x
oder :
p( H ) = ρ g H =
ρ g AH
A
=
ρ gV
A
MH g
=
A
der Druck auf die Fläche A ist gegeben durch das Gewicht
der über der Fläche liegenden Flüssigkeitssäule mit dem Querschnitt A
38
Beispiel : Kraft auf Staudamm (Höhe H, Länge L) :
H0
(links)Wasserdruck p(z) auf eine Staumauer;
(rechts) Abführen der Kräfte auf die Bergwände bei einer zum Wasser hin gewölbten Mauer
Kraft wächst quadratisch mit der Höhe
dF = p( z ) dA = p( z ) L dz
Ö
d = L ρ g z dz
dF
d
Lρ g 2
F = ∫ L ρ g z dz =
H
2
0
H
Ö
39
Anmerkung : in den obigen Rechnungen haben wir angenommen, dass die
Variation der Dichte ρ(z) mit der Höhe z (bzw. dem Druck p) klein ist
Ö geringe Kompressibilität der Flüssigkeit (gilt für nicht zu hohe Drücke)
1 dV
κ =−
V dp
p
Kompressibilität κ
Variation des Volumens mit dem Druck (vergleiche Gasgesetze)
für geringe Kompressibilität ist dV/dp = 0 und es folgt in Näherung :
dρ
ρ ( z) = ρ0 +
dp ≈ ρ 0
dp
bei nicht vernachlässigbarer
g
Kompressibilität
p
muss in allen bisherigen Gleichungen auch über ρ(z) integriert werden
z.B.
B darf
d f die
di Kompressibilität
K
ibilität in
i Gasen
G
nicht
i ht vernachlässigt
hlä i t werden
d
in Gasen gilt nicht mehr der einfache Zusammenhang p = ρ g h
40
Anmerkung : Zum Gleichgewicht der Kräfte
betrachte : Wasservolumen-Element, umgeben von Wasser
F ( h) = p ( h) A
F(h+Δh)
F (h + Δh) = p(h + Δh) A
mit :
p( z ) = ρ g z
Ö Differenz :
z
ΔF
p(h+Δh)
p(h)
ΔF = ρ g Δh A = g ρ V = m g
Ö ΔF
= FG
FG
F(h)
Ö Gleichgewicht
41
Kommunizierende Röhren
betrachte zwei miteinander verbundene Flüssigkeitssäulen
im stationären Fall (Flüssigkeit im
Verbind ngsrohr in Ruhe)
Verbindungsrohr
R he) ist die Kraft
im Verbindungskanal Null
r
r r
Fges = F + F ' = 0
r
r
F = F'
Ö
Ö
mit :
H
ρ
H‘
ρ‘
F = M Fl g = ρ A H g
F ' = M Fl ' g = ρ ' A H ' g
F
F‘
(mit dem Rohrquerschnitt A)
Ö
ρ H = ρ' H '
Ö bei gleicher Dichte sind die Steighöhen in den beiden Rohren gleich
42
Beispiel : Hydrostatisches Paradoxon (Pascal‘sches Paradoxon)
Der Druck auf die Bodenfläche eines Gefäßes ist bei gleicher Füllhöhe H für
alle
ll Gefäße
G fäß gleich
l i h (obwohl
( b hl sich
i h die
di Wassermengen
W
stark
t k unterscheiden)
t
h id )
43
Konsequenz des Paradoxons : Füllt man einen Hohlwürfel (V = 1 m3) durch ein Loch in der Oberseite voll
mit Wasser, so wirkt auf den Boden ein Schweredruck von 0,1 bar. Steckt man jetzt ein dünnes Steigrohr mit 1
Querschnitt in das Loch und ffüllt es bis 10 m Höhe mit Wasser ((ΔV = 1 Liter),
) so steigt
g der Druck im
cm2 Q
Würfel um 1 bar, also um das 10fache, obwohl das Gewicht der Flüssigkeit nur um 1‰ zugenommen hat.
Steigrohr
Querschnitt 1 cm2 = 10-4 m2
Volumen VSteig = 10-3 m3
10 m
Ö VSteig = 10-3 VB
aber : ΔpS = 1 bar
z.B.: Volumen VB = 1 m3
1m
Δ B+S = 1.1
Δp
1 1 bar
b
ΔpB = Druck zusätzlich
zum Luftdruck
Δ B = 0.1
Δp
0 1 bar
b
44
Hydrostatisches
y
Paradoxon : Es wird
berichtet Blaise Pascal (1623-1662) habe
ungläubigen Zuschauern vorgeführt, wie
mit wenigen Gläsern Wein ein Fass zum
Platzen gebracht werden kann. Zu diesem
Zweck steckte er ein langes dünnes Rohr
in ein breites volles Fass. Dann stieg er
auf den Balkon eines Hauses und begann,
das Rohr mit Wein zu füllen, bis das Fass
plötzlich mit lautem Knall platzte.
45
Beispiel : Anwendung zur Wasserversorgung über hochgelegenen Druckbehälter
keine Versorgung ohne Pumpen
Druck pL in den Leitungen
pL< ρ g ΔH
Wasserversorgung bis
maximal zu dieser Höhe
(ohne Pumpen)
Wasserspeicher
(Hochbehälter)
ΔH´
ΔH
beachte : Druckverlust durch Reibung und Strömung muss noch berücksichtigt werden
46
Anwendung des hydrostatischen Paradoxons in der Antike : Römisches Äquadukt
Ä
(Segovia,
Spanien); typische Längen 10-100 km; Wasserflusszeiten zur Versorgung Roms ca. 15-30 Std.
47
Beispiel : Hydraulische Presse (Anwendung von kommunizierenden Röhren)
Ziel : Anheben (bzw. Pressen) eines schweren Gegenstands um Höhe H
wir wählen in der Presse die Durchmesser : A1 << A2
wir müssen die Arbeit leisten :
W =M gH
j d h ist
jedoch
i hierzu
hi
nicht
i h unbedingt
b di
die
di Kraft
K f F = Mg
M nötig
öi
48
Druck p ist konstant in
der gesamten Flüssigkeit
Ö
F1 = p A1
allerdings
g :
F1 A2
; F2 = p A2 =
>> F1
A1
W1 = F1 s1 ; W2 = F2 s2
es muss gelten
lt W1 = W2 Ö
F2
A2
s1 =
s2 =
s2 >> s2
F1
A1
d.h. langer Hubweg (kleine Kraft über langem Weg bewirkt dieselbe
Arbeit wie große Kraft über kurzem Weg)
49
Steigen (Auftrieb), Schweben & Sinken
betrachte einen Körper
p ((Dichte ρ2) in einer Flüssigkeit
g
((Dichte ρ1)
► die vertikale Bewegung des Körpers ist durch die Relation zwischen den
Kräften in der Flüssigkeit und der Gewichtskraft bestimmt
Fhydro = Fp(h) – Fp(h + Δh) = ρ1 A Δh g
h + Δh
ρ2
ρ1
h
FGrav. = ρ2 A Δh g
ρ2
ρ2 > ρ1 Ö Sinken
ρ2 = ρ1 Ö Schweben
ρ2 < ρ1 Ö Steigen (Auftrieb)
FΣ = |FGrav | – |F hydro| = (ρ2 - ρ1)A Δh g
Archimedisches Prinzip : Durch den Auftrieb verliert ein eingetauchter
Körper (scheinbar) so viel Gewicht, wie die verdrängte Flüssigkeit wiegt.
50
Beispiel : Cartesischer Taucher
Archimedes : Der Auftrieb
A ftrieb des Körpers hängt
vom Volumen des verdrängten Wassers ab
F
dz
Betrachte einen kleinen, luftgefüllten Hohlkörper
(„Cartesischer Taucher“) in einer Flüssigkeit. Wir
variieren der Druck in der Flüssigkeit durch (externe)
Kraft F auf den Stempel.
Bei höherem Druck (durch externe Kraft) dringt
mehr Flüssigkeit in Luftvolumen des Körpers ein
Ö geringerer
i
Auftrieb
A ft i b
Ö Körper sinkt
(beachte : Masse der Luft unverändert)
Bei geringerem Druck (Reduktion der externen
Kraft) wird
ird Flüssigkeit aus
a s dem Körper durch
d rch die
komprimierte Luft heraus getrieben
Ö mehr Auftrieb
Ö Körper steigt
51
Beispiel : Auftrieb in Luft
Experiment : betrachte zwei Massen an einer Balkenwaage in Glaskolben.
Glaskolben
In Luft erfahren beide Massen Auftrieb.
Auftrieb
Die
Massen
erfahren
aufgrund
unterschiedlichen Volumens (und Dichte)
unterschiedlichen Auftrieb. Die Masse
(rechts, rot) mit dem größeren Volumen
erfährt größeren Auftrieb. Bei Luftdruck
seien die Massen austariert, d.h. die
Drehmomente links und rechts der
Waagenaufhängung gleich.
FA,2
FA,1
m1,r1
p(h+Δh)
m2,rr2
p(h)
m1 g r1 = m2 g r2 − mluftf g r2
Der Auftrieb FA,1 der linken, blauen Masse
sei vernachlässigbar, da r2 >> r1
Pumpe
p
Wenn der Glaskolben evakuiert wird, dann
entfällt der Auftrieb Ö die Balkenwaage
sinkt
i kt auff eine
i Seite.
S it
52
Anmerkung : Zur Stabilität der Lage eines schwimmenden Körpers
Vergleich : Kraft auf Schwerpunkt SK (Körper)
und auf Schwerpunkt SFl (verdrängter Flüssigkeit)
wenn SK unterhalb von SFl
Ö Drehmoment D = r × F
ist stablisierend
(siehe Abb. b,c)
wenn SK oberhalb von SFl
Ö Drehmoment
D h
tD=r×F
ist destablisierend
(der Körper kippt um
Ö Schiff kentert)
((siehe Abb. a,c))
Metazentrum M
53
Phänomene an Flüssigkeitsgrenzflächen
betrachte Anziehungskräfte an der Grenzfläche
(Oberfläche) einer Flüssigkeit :
Ö offensichtlich
ff i htli h ist
i t die
di Anziehungskraft
A i h
k ft zwischen
i h
den Molekülen in der Flüssigkeit größer als
zwischen den Molekülen der Flüssigkeit
g
und
Teilchen im Gas über der Oberfläche
Ö im Inneren der Flüssigkeit kräftefrei
Ö an der Oberfläche resultierende Kraft F ≠ 0
Ö wenn die Oberfläche vergrößert werden soll, müssen mehr Teilchen aus dem
kräftefreien Inneren an die Oberfläche gebracht werden Ö Arbeit erforderlich
Ö linearer Ansatz :
ΔW = ε ⋅ ΔA
mit der spezifischen Oberflächenenergie ε
Einheit : [ε] = 1 J/m2
54
Konsequenz der Oberflächenspannung :
leichte Insekten laufen über Wasser („Wasserläufer“)
Eine Büroklammer wird durch die Oberflächenspannung gehalten
und sinkt nicht ab. Wenn man Spülmittel hinzufügt, schieben sich die
Moleküle
l k l des
d
Spülmittels
l
l zwischen
h
d Wassermoleküle
die
l k l an der
d
Oberfläche und brechen den Molekülverband auf Ö die
Oberflächenspannung wird reduziert Ö die Büroklammer sinkt
55
Messung der Oberflächenspannung
Zwischen den Schenkeln eines U-förmigen
U förmigen Drahtes wird ein
Querbügel der Länge L verschiebbar angebracht. Wird z. B.
durch Eintauchen des Systems in eine Flüssigkeit eine
Flüssigkeitslamelle mit der Oberfläche A (2 Seiten !) erzeugt,
erzeugt
so muss man die Kraft F aufbringen, um den Bügel um die
Strecke Δs zu verschieben.
Vergrößerung der Oberfläche :
Arbeit :
Kraft :
ΔA = 2 L Δs
ΔW = ε ΔA = 2 ε L Δs
ΔW
F=
= 2ε L
Δs
Ö Messung der Kraft (bzw. der Zugspannung σ = F/2L)
erlaubt direkte Bestimmung der spezifischen Oberflächenenergie
56
Beispiel : Denkwürdiges & Merkwürdiges zu Seifenblasen
Konsequenz aus Oberflächenspannung
Ö Oberfläche soll möglichst klein sein
g g
bringen
g
Ö Kontraktion würde Energiegewinn
pa
pi
aber : kleinere Oberfläche Ö größerer Druck
Ö Expansion würde Energiegewinn bringen
Gleichgewicht :
Druck durch Oberflächenspannung
= Luftdruck (Überdruck !) in der Seifenblase
Energiegewinn
g g
durch Verminderungg der Oberflächenspannung
p
g bei Kontraktion :
(
)
ΔWO = ε dA = 2 ε 4π r − 4π [r − Δr ] ≈ 16 ε π r Δr
2
2
für Δr << r
Arbeit gegen Druck bei Kontraktion :
ΔWD = F Δr = Δp A Δr = 4 Δp π r Δr
2
mit
it dem
d Überdruck
Üb d k
Δp = pi – pa in der Blase
57
Gleichgewicht :
16 ε π r Δr = 4 Δp π r 2 Δr
Ö
4 ε = Δp r
Ö
4ε
Δp =
r
d.h. Überdruck steigt mit 1/r
Apparatur zur Messung des Überdrucks in einer
Seifenblase : Bei Luftdruck (ohne Blase) sind die
Flüssigkeitsspiegel in den kommunizierenden
Röhren gleich hoch; bei höherem Druck (mit
g der Spiegel
p g in der rechten Röhre;;
Blase)) steigt
die Höhendifferenz ist proportional zum
Druckunterschied
58
► Konsequenz der Oberflächenspannung : Bei positiver Oberflächenenergie ε
sucht jede Flüssigkeit bei vorgegebenem Volumen eine Form mit minimaler
Oberfläche einzunehmen.
Ö Die
Di K
Kugell bbesitzt
it t die
di kleinste
kl i t Oberfläche
Ob flä h bei
b i vorgegebenem
b
Volumen
Vl
Ö Flüssigkeiten versuchen stets Tropfenform (Kugel) anzunehmen
Quecksilber-Tropfen
59
Grenzflächen und Haftspannung
F⊥,1
F||,links
F ⊥,R
≈F⊥,2
F⊥,2
(a)
F||,rechts
(b)
(c)
Betrachte die Grenzfläche Flüssigkeit – Gas : Die Kräfte auf ein Molekül an der
Oberfläche in die jeweiligen Halbräumen sind isotrop. Komponente F֒ parallel zur
Oberfläche Σ F֒ = 0. Komponente F⊥ senkrecht zur Oberfläche Σ F⊥ ≠ 0. Resultierende
Kraft, Halbraum 1 (Gas) F⊥,1. Resultierende Kraft, Halbraum 2 (Flüssigkeit) F⊥,2. Es
gilt F⊥,1 << F⊥,2 da Dichte ρ1 << ρ2. Resultierende Kraft F⊥,R zeigt in Richtung
Flüssigkeit F⊥(1,2)
Flüssigkeit.
(1 2) bestimmt Form der Oberfläche.
Oberfläche
(a) Kräfte an Oberfläche in Richtung Flüssigkeit; (b) Kräfte in Richtung Gas; (c) Resultierende
60
Gas
F||,links
flüssig
1
F||,rechts
F ⊥,R
≈F⊥,2
3
Gas
flüssig
fest
2
beachte : Kräfte F֒, links und F֒, rechts heben sich auf,
wenn Umgebung
U
b
rechts/links
h /li k physikalisch
h ik li h gleich
l i h ist
i
Die Symmetrie wird zerstört, wenn eine weitere
Grenzfläche eingeführt wird (untere Graphik)
Ö Oberflächenspannungen (bzw
(bzw. Kräfte) auf
Linienelemente parallel zur Oberfläche
zB
z.B.
σ12 : Grenze fest
fest-flüssig
flüssig
σ13 : Grenze fest-gasförmig
σ23 : Grenze flüssig-gasförmig
flüssig gasförmig
(σ1,3, - σ1,2, ) führt zur Bewegung parallel
zur festen Oberfläche (Anheben oder Absenken)
Ö Änderung
Ä d
dder N
Neigung
i
dder Ob
Oberfläche
flä h an G
Grenze
Ö Änderung der Richtung in der Kraft
Gleichgewicht bei : (σ1,3 - σ1,2) = σ2,3 cos ϕ
61
wenn σ1,3
σ1,2
wird Flüssigkeit
g
an der
13 >
12
Grenzfläche hochgezogen; Winkel ϕ am
Ansatzpunkt Flüssigkeit-Wand wird kleiner,
Kraft F2(σ2,3) bleibt tangential zur Oberfläche
Gleichgewicht
g
ist erreicht bei :
(σ1,3 - σ1,2) = σ2,3 cos ϕ
σ2,3 cos ϕ : Komponente vertikal nach unten
((σ1,3
p
vertikal nach oben
1 3 - σ1,2
1 2) : Komponente
Winkel ϕ am Ansatzpunkt (Flüssigkeit-Wand)
ist gegeben durch Zusammenspiel der Kräfte an
den Grenzschichten; beachte : ϕ ist abhängig
von allen drei Oberflächenspannungen
p
g jje nach
Verhältnis von σ1,2, σ1,3,σ2,3 ergibt sich ϕ = 0
(benetzend), ϕ < 90° (konkave Oberfläche), ϕ >
90° (konvexe Oberfläche)
62
(a) Konkave Flüssigkeitsfläche, z.B. für Wasser–Glas (σ1,3 > σ1,2); (b) konvexe
Fläche z.B.
Fläche,
z B für Hg–Glas
Hg Glas (σ1,3 < σ1,2); (c) vollständige Benetzung bei σ1,3−σ
σ1,2 >
σ2,3σ1,3 > σ1,2. Beachte : Verhalten bei „Benetzung“ hängt von Eigenschaften
aller drei Materialen ab : σ1,3
„benetzend“;; σ1,3
1 3 < σ1,2
1 2 Ö nicht „benetzend
1 3 - σ1,2
1 2 > σ2,3
23
Ö vollständig „benetzend; es gilt dann : cos ϕ > 1 Ö auch bei ϕ = 0 kein
63
Gleichgewicht möglich (die Flüssigkeit „kriecht“ die gesamte Wand hoch)
Kapillarkräfte
betrachte eine benetzende Flüssigkeit; wenn Flüssigkeit durch Haftspannung
angehoben wird, muss Arbeit geleistet werden; bei Hub um dh ergibt sich :
dE pot = m g dh
andererseits ändert sich bei der Benetzung
die Oberflächenenergie um :
dEO = σ 23 dA = σ 23 2 π r dh
Gleichgewicht bei :
Ö
m g dh = σ 23 2 π r dh
mit :
Ö
dE pot = dEO
m = ρ π r2 h
ρ π r 2 h g = σ 23 2 π r
64
aus :
ρ π r 2 h g = σ 23 2 π r
Ö Steighöhe :
2 σ 23 1
1
h=
∝
ρg r
r
d.h. jje kleiner der Durchmesser der Kapillare,
p
,
umso größer die Steighöhe Ö Kapillarität
Anmerkung
A
k
: Falls
F ll die
di Flüssigkeit
Flü i k it nicht
i ht
vollständig benetzend ist, ergibt sich :
2 σ 23 cos ϕ 1
1
h=
∝
ρg
r
r
Anmerkung
g : bei nicht-benetzender Flüssigkeit
g
ergibt sich eine Absenkung des Flüssigkeitsspiegels
(Kapillar-Depression, siehe Abb.)
65