Zusammenfassung K it l 6 apitel 6 Reale feste und flüssige Körper
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Zusammenfassung K it l 6 Kapitel Reale feste und flüssige g Körper p 1 Reale Körper Materie ist aufgebaut g aus Atomkern und Elektronen-Hülle Verlauf von potentieller Energie Ep(r) und Kraft F(r) zwischen zwei Atomen als Funktion des Kernabstands r typische Dimensionen : Atomkern : ∼fm (10-15 m) Hülle : ∼ Å (10-10 m) Abstände im Molekül (Gleichgewichtsabstand) : ∼ Å Abstände im Festkörpers : ∼ pm (10-12 m) 2 Deformierbare feste Körper : Elastische Eigenschaften ΔL F=EA L mit dem Elastizitätsmodul E Dimension des Elastizitätsmoduls : Ö σ = Eε N [E ] = 2 m Hook sches Gesetz : Die für Längenänderungen Hook‘sches erforderliche Zugspannung σ steigt linear ε 3 Irreversible Dehnung bei kleinen Dehnungen gilt das lineare Hook‘sche Gesetz (Punkt A bis P : Proportionalitätsbereich); i li b i h) bei b i größeren ß Dehnungen h k kommt es zu einem i nicht-linearen i h li Zusammenhang zwischen Zugspannung und relativer Dehnung Ö Fließen des Materials (Punkt P bis F : Fließgrenze); bei noch größeren Dehnungen beginnt das Material zu reißen (Punkt F bis Z : Zerreißgrenze) Reversible R ibl Dehnung D h : Fließen Fli ß Plastische Verformung : Reissen 4 Weg der elastischen Verformung σ (ε = 0) ≠ 0 ε (σ = 0) ≠ 0 plastische Verformung Anmerkung : Hysterese bei der Verformung, verbunden mit Erwärmung durch Verschiebung von Netzebenen Ö Verluste durch Reibung 5 mathematische Zwischenbemerkung : Taylor-Entwicklung Beispiel : Entwicklung eines (z.B. (z B in analytischer Form unbekannten) Potentials um den Gleichgewichtsabstand ∞ Ö Taylor-Reihe Taylor Reihe : 1 d n EP n EP (r ) = ∑ ( r − r ) 0 n n = 0 n ! dr r 0 6 1 EP (r ) = E ' 'P 2 Ö Kraft : ist die niedrigste, mögliche Näherung für das Potential EP(r); (r − r0 ) 2 gilt für kleine Auslenkungen (r-r0) r0 r r F = −∇EP (r ) Ö F = − E ' 'P r (r − r0 ) ≡ − D Δr 0 Hook‘sches Hook sches Gesetz mit der Feder-Konstanten Feder Konstanten : D = E ' 'P r0 7 Querkontraktion ► wenn ein deformierbarer Körper gedehnt wird, wird führt die Längenzunahme durch die Zugspannung ((meist)) zu einer Reduktion des Durchmessers wir definieren die Querkontraktionszahl : Δd µ =− d Ö ΔL L ΔV σ = (1− 1 2µ) V E 8 Kompression ► wir betrachten jetzt statt einer Zugspannung σ an einem Körper einen Druck p (Kraft pro Fläche) auf alle Seiten des Körpers Ö Kompression mathematisch ähnlich wie beim Hook‘schen Gesetz setzen wir eine lineare Variation des Vl Volumens mit it dem d Druck D k an : p = F/A ΔV 1 = − Δp V K mit dem Kompressionsmodul K 9 Scherung und Torsion bisher betrachtet : senkrecht zu Fläche wirkend Kraft Ö Dehnung/Kompression ► tangential zur Fläche A wirkende Kraft F bewirkt Scherung, d.h. Parallel-Verschiebung g gegenüber g g liegender g Seiten Ö Verschiebung von Netzebenen Scherspannung : F τ= A d.h. parallel zur Fläche wirkende Kraft unter Einfluß einer Scherspannung werden die Kanten eines Quaders um einen Winkel α verkippt (und die Netzebenen verschoben) für kleine Winkel α können wir einen linearen Zusammenhang ansetzen : τ = Gα Mit dem Schubmodul G (auch Scher- oder Torsionsmodul) 10 Reibung ► Reibung basiert auf Kräften bei der relativen Bewegung zweier Körper, Körper deren Oberflächen sich berühren Ö Mikrostruktur (Rauigkeit) der Oberfläche determiniert Reibungskräfte g Haftreibung : es wird eine bestimmte Mindest-Kraft benötigt wird, um einen auff einer i Ob flä h ruhenden Oberfläche h d Körper Kö i Bewegung in B zu setzen; t b i geringerer bei i Kraft bleibt der Körper auf der Oberfläche haften (s.o. Verhakungsmodell) Gleitreibung : es wird eine Kraft benötigt wird, um einen bewegten Körper bei konstanter Geschwindigkeit zu halten; ohne zusätzliche Kraft kommt ein gleichförmig l i hfö i bewegter b t Körper Kö aufgrund f d Energie-Verlusten E i V l t durch d h Gleitreibung Gl it ib irgendwann zur Ruhe FH = µH FN mit der Normalkraft FN auf die Oberfläche und d ddem Haftreibungskoeffizienten H f ib k ffi i µH FG = µG FN mit dem Gleitreibungskoeffizienten µG 11 Anmerkung : Gleitreibung ist stets schwächer als Haftreibung Rollreibung : Die Rollreibung ist wesentlich kleiner als die Gleitreibung, weil beim Abrollen die Unebenheiten im Rauigkeitsgebirge teilweise „übersprungen“ werden. Ö Kugellager zur möglichst reibungsfreien Bewegung 12 Hydrostatik : Verhalten ruhender Flüssigkeiten Vergleich mit festen Körpern : ► Beschreibung der Kompression (z.B. mit Kompressionsmodul) in Flüssigkeiten ähnlich wie bei festen Körpern Ö K ≠ 0 aber : in (idealen) Flüssigkeiten sind die Moleküle frei beweglich Ö keine Kraft nötig zur Formänderung Ö Schermodul G = 0 FT FN F ÖKonsequenz : die Oberfläche wird bei Wirkung einer Kraft so verschoben, verschoben dass es nur eine Normalkomponente der Kraft gibt (stationärer Zustand) Ö die Oberfläche verändert ihre Form und p passt sich der Richtung g der Kraft an 13 Statischer Druck in Flüssigkeiten (ohne Eigengewicht) r F = − grad p dV da die Flüssigkeit sich im stationären Zustand befindet (bzw. befinden soll), gilt : r F= 0 Ö grad p = 0 Ö p( x, y, z ) = const. d.h. in einer idealen Flüssigkeit ist (bei Vernachlässigung des Eigengewichts) d Druck der D k in i alle ll Richtungen Ri ht gleich l i h (isotrope Druckverteilung) Dr ck erteil ng) 14 betrachte den Druck auf ein Volumenelement in der Flüssigkeit unter Berücksichtigung des Eigengewichts (ohne äußeren Druck) z A H dz p( z ) = dV = A dz ∫ ρ g dz = ρ g z x oder : p( H ) = ρ g H = ρ g AH A = ρ gV A MH g = A der Druck auf die Fläche A ist gegeben durch das Gewicht der über der Fläche liegenden Flüssigkeitssäule mit dem Querschnitt A 15 Kommunizierende Röhren : Hydrostatisches Paradoxon Der Druck auf die Bodenfläche eines Gefäßes ist bei g gleicher Füllhöhe H für alle Gefäße gleich (obwohl sich die Wassermengen stark unterscheiden) 16 Steigen (Auftrieb), Schweben & Sinken betrachte einen Körper p ((Dichte ρ2) in einer Flüssigkeit g ((Dichte ρ1) ► die vertikale Bewegung des Körpers ist durch die Relation zwischen den Kräften in der Flüssigkeit und der Gewichtskraft bestimmt Fhydro = ρfl A Δh g = MFl g Archimedisches Prinzip : Durch den Auftrieb verliert ein eingetauchter Körper (scheinbar) so viel Gewicht, wie die verdrängte Flüssigkeit wiegt. 17 Phänomene an Flüssigkeitsgrenzflächen betrachte Anziehungskräfte an der Grenzfläche (Oberfläche) einer Flüssigkeit : Ö offensichtlich ff i htli h ist i t die di Anziehungskraft A i h k ft zwischen i h den Molekülen in der Flüssigkeit größer als zwischen den Molekülen der Flüssigkeit g und Teilchen im Gas über der Oberfläche Ö wenn die Oberfläche vergrößert werden soll, müssen mehr Teilchen aus dem k äft f i IInneren an di kräftefreien die Ob Oberfläche flä h gebracht b ht werden d Ö Arbeit A b it erforderlich f d li h Ö linearer Ansatz : ΔW = ε ⋅ ΔA mit der spez. spez Oberflächenenergie ε ► Konsequenz der Oberflächenspannung : Bei positiver Oberflächenenergie ε sucht jede Flüssigkeit bei vorgegebenem Volumen eine Form mit minimaler Oberfläche einzunehmen. Ö Die Kugel besitzt die kleinste Oberfläche bei vorgegebenem Volumen 18 Ö Flüssigkeiten versuchen stets Tropfenform (Kugel) anzunehmen Grenzflächen und Haftspannung (a) Konkave Flüssigkeitsfläche, z.B. für Wasser–Glas (σ1,3 > σ1,2); (b) konvexe Fläche z.B. Fläche, z B für Hg–Glas Hg Glas (σ1,3 < σ1,2); (c) vollständige Benetzung bei σ1,3−σ σ1,2 > σ2,3σ1,3 > σ1,2. Beachte : Verhalten bei „Benetzung“ hängt von Eigenschaften aller drei Materialen ab : σ1,3 „benetzend“;; σ1,3 1 3 < σ1,2 1 2 Ö nicht „benetzend 1 3 - σ1,2 1 2 > σ2,3 23 Ö vollständig „benetzend; es gilt dann : cos ϕ > 1 Ö auch bei ϕ = 0 kein 19 Gleichgewicht möglich (die Flüssigkeit „kriecht“ die gesamte Wand hoch) Kapillarkräfte Ö Steighöhe : 1 h∝ r d.h. je kleiner der Durchmesser der Kapillare, umso größer die Steighöhe Ö Kapillarität 20
