A Analysis I - Fachbereich Mathematik

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A
Technische Universität Darmstadt
Fachbereich Mathematik
Analysis I
Prof. Dr. Burkhard Kümmerer
Katja Lengnink, Lisa Steiner, Florian Haag
6. November 2002
für M, HLM und PH
WS 2002/2003
2. Tutorium
T1 Zum Aufwärmen: Ein Sprichwort sagt: In einen vollen Koffer paßt immer noch ein Taschentuch.“
”
Nehmen Sie dazu Stellung.
T2 Im folgenden Bild sind für n = 0, 1, 2 und 3 sogenannte Schneeflocken-Kurven Sn gezeichnet. Aus
wieviel Strecken besteht für beliebiges n ∈ N die zugehörige Schneeflockenkurve“?
”
Beweisen Sie Ihre Vermutung.
S0
S1
S2
S3
T3 Die Stuttgarter Assistenten behaupten voller Überzeugung: Alle Tiere im Frankfurter Zoo sind Affen.
Und als Mathematiker beweisen sie diese These natürlich auch.
Beweis:
Sie stellen fest, daß es im Frankfurter Zoo Affen gibt.
Sie betrachten nun einen Affen, und beweisen die Behauptung durch vollständige Induktion in der
folgenden Form: Jede Gruppe von n Tieren, die einen Affen enthält, besteht ausschließlich aus Affen.
i) Die Behauptung ist offensichtlich richtig für n = 1.
ii) Die Behauptung sei schon erwiesen für jede Gruppe, die aus n Tieren besteht.
Hat man nun eine Gruppe von (n+1) Tieren vor sich, so entfernt man vorübergehend ein Tier aus
dieser Menge. Nach Induktionsvoraussetzung besteht die verbleibende Gruppe aus lauter Affen.
Bringt man nun dieses eine Tier zur Gruppe zurück und entfernt statt dessen ein anderes, so bleibt
nach Induktionsvoraussetzung wiederum eine Gruppe aus Affen zurück, so daß das vorher entfernte
Tier ebenfalls ein Affe sein muß.
Mit diesem Verfahren läßt sich also zeigen, daß auch jedes Tier aus der Gruppe mit (n+1) Tieren ein
Affe ist. Q.e.d.
Was machen die Schwaben falsch?
T4 Weisen Sie nach, daß für die Addition von natürlichen Zahlen n, m, k ∈ N das Assoziativgesetz gilt,
d.h.
(n+m)+k = n+(m+k).
T5 Zeigen Sie: Die Anzahl aller Teilmengen B ⊆ A einer n-elementigen Menge A beträgt 2n .
T6 Ein 2er Team Ihrer Tutoriumsgruppe bereite einen etwa 10-minütigen Vortrag zum Thema das Prinzip
der vollständigen Induktion vor.
Im Rahmen dieses Vortrags soll insbesondere eine Antwort auf die Aussage: Ich hab nie verstanden,
”
warum mit vollständiger Induktion die Behauptung jetzt wirklich für alle (natürlichen) Zahlen gilt“,
gegeben (Stichwort: Peano Axiome), und wenigstens zwei Anwendungsbeispiele, die weder aus der
Vorlesung noch aus den Übungen stammen, präsentiert werden.
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