5. Übungsblatt – Quantenmechanik II
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Technische Universität Berlin – Institut für Theoretische Physik
11. November 2015
Prof. Dr. Sabine Klapp
Dr. Judith Lehnert,
Dr. Marten Richter,
Dr. Torben Winzer
5. Übungsblatt – Quantenmechanik II
Abgabe: Do. 26. November 2015 bis 8:30 Uhr im Hörsaal
Bei den schriftlichen Ausarbeitungen werden Zwischenschritte und ausführliche Kommentare
zum Vorgehen erwartet. Dafür gibt es Punkte! Die Abgabe soll in 3er-Gruppen erfolgen. Bitte
geben Sie Ihre Namen, Matrikelnummern und die Übung an!
Aufgabe 1 (10 Punkte): Heitler–London-Theorie des Wasserstoffmoleküls (3+4+3=10 Punkte)
Wir betrachten zwei wechselwirkende Elektronen, welche durch den Hamiltonian H = Ha +
Hb + HW beschrieben werden. Hier sind die Ein-Teilchen-Hamiltonians durch Hα (α = a, b)
und der Zwei-Teilchen-Wechselwirkungs-Hamiltonian durch HW gegeben. Für die normierten
Ein-Elektronen-Ortswellenfunktionen φα (r) gilt
H0 φα (r) = α φα (r),
H0 = Ha + Hb .
Als Ansatz für den Zwei-Elektronen-Zustand betrachten wir die Variations-Wellenfunktion
Ψ(r1 , r2 ) = c1 Ψ1 (r1 , r2 ) + c2 Ψ2 (r1 , r2 ),
Ψ1 (r1 , r2 ) ≡ φa (r1 )φb (r2 ),
Ψ2 (r1 , r2 ) ≡ φa (r2 )φb (r1 )
aus der Heitler–London-Theorie.
(a) Drücken Sie die Variations-Energie E ≡ hΨ| H |Ψi /hΨ|Ψi mit Hilfe der Coulomb- (V ≡
hΨ1 | HW |Ψ1 i = hΨ2 | HW |Ψ2 i), Austausch- (U ≡ hΨ1 | HW |Ψ2 i = hΨ2 | HW |Ψ1 i), und
Überlapp- (l ≡ hφa |φb i = hφb |φa i) Integrale aus. Hierfür können Sie annehmen, daß
a = b gilt.
(b) Leiten Sie aus der Bedingung, dass die Variationsenergie ein Minimum haben sollte, die
zwei Lösungen c1 = c2 , Ψsymm ∝ Ψ1 + Ψ2 und c1 = −c2 , Ψantisymm ∝ Ψ1 − Ψ2 liefert.
Finden Sie die entsprechenden Energien Esymm und Eantisymm .
(c) Mit Berüchsichtigung des Elektron-Spins, lassen sich vier antisymmetrische Zustände
aus diesen zwei Bahn-Wellenfunktionen konstruieren (1 Singulett und 3 Tripletts):
1
|Ψs i = |Ψsymm i ⊗ √ [|↑↓i − |↓↑i]
2
|Ψt,1 i = |Ψantisymm i ⊗ |↑↑i
1
|Ψt,0 i = |Ψantisymm i ⊗ √ [|↑↓i + |↓↑i]
2
|Ψt,−1 i = |Ψantisymm i ⊗ |↓↓i
Drücken Sie diese vier Zustände als Linearkombinationen von Slater-Determinanten aus.
1
5. Übung TPV WS2015/16
Aufgabe 2 (11 Punkte): Spin eines Zweiteilchensystems
Betrachten Sie den Hilbertraum H = H1 ⊗H2 des Zwei-Spin-Systems. |iik ∈ Hk , k ∈ {1, 2} ist
dabei die Basis der Spin-Einteilchen-Wellenfunktion des k-ten Einteilchen-Hilbertraums und
i ∈ {1/2 ≡ ↑, −1/2 ≡ ↓}. D.h. für |iik gelten die bekannten Eigenwertgleichungen Ŝkz |iik =
2 |ii . Wir entwickeln den Zwei-Teilchen-Zustand
~mk,i |iik , mk,i ∈ { 21 , − 12 } und Ŝ2k |iik = 43 ~P
k
|φi nach den Einteilchenfunktionen |φi = i,j ai,j |ii1 |ji2 , i, j ∈ {↑, ↓}. Und wir definieren
einen neuen Operator Ŝ = Ŝ1 +Ŝ2 . Zur Erinnerung, die Spinleiteroperatoren der Einzelsysteme
ist definiert durch Ŝk± = Ŝkx ± iŜkyq
. und hat folgende Wirkung auf die Einteilchenbasis |iik :
±
±
Ŝk± |iik = fk,i
|i ± 1ik mit fk,i
=~
3
4
− mk,i (mk,i ± 1). (Beweis im Tutorium).
1. Berechnen Sie die Wirkung des neuen Operators Ŝz auf den Zustand |ii1 |ji2 .
+/−
2. Stellen Sie Ŝ2 nur mit der Hilfe der Operatoren Ŝ2k , Ŝzk und Ŝk
der Einzelsysteme dar.
3. Berechnen Sie Wirkung des neuen Operators Ŝ2 auf den Zustand |ii1 |ji2 und reproduzieren Sie:
3
+ −
− +
·f2,j |i + 1i1 |j − 1i2 +f1,i
·f2,j |i − 1i1 |j + 1i2 .
Ŝ2 |ii1 |ji2 = ~2 ( +2m1,i m2,j ) |ii1 |ji2 +f1,i
2
Hinweis: Benutzen Sie die Darstellung aus der vorherigen Teilaufgabe.
Sind die Zustände |ii1 |ji2 Eigenzustände von Ŝ2 ?
4. Kann der Zustand |↑i1 |↓i2 ununterscheidbaren Teilchen beschreiben?
5. Wir suchen jetzt eine Zweiteilchenbasis |S, MS i, die Eigenzustände der neuen Operatoren Ŝz und Ŝ2 sind. Dabei sind S, MS zwei neue Quantenzahlen, anstatt der zwei alten
Quantenzahlen m1,i , m2,i ∈ {± 12 } der Einzelsysteme. Geben Sie kurz den Zusammenhang zwischen den neuen und alten Quantenzahlen an.
6. Wir betrachten die folgenden vier Zweiteilchenzustände: i) |↓i1 |↓i2 , ii)|↑i1 |↑i2 , iii)
√1 (|↓i |↑i + |↑i |↓i ), iv) √1 (|↓i |↑i − |↑i |↓i ). Zeigen Sie nun unter Benutzung
1
2
1
2
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2
1
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2
der vorhergehenden Ergebnisse, dass die Zustände i)-iv) Eigenzustände von Ŝz und Ŝ2
sind. Identifizieren Sie zugehörigen Elemente der Basiselemente |S, MS i zu (i-iv). Welche
nennt man davon Triplett- welche Singulettzustände und warum? Welche Zustände
davon sind symmetrisch, welche antisymmetrisch?
7. Erklären Sie kurz, was man unter guten Quantenzahlen versteht.
2
