Physik II ***ENTWURF***

Physik II
Prof. G. Dissertori
Vorlesungsskript SS 2003
***E N TWU RF ***
PHYSIK II – SS 2003 – PROF. G. DISSERTORI
Simon Bucheli – [email protected]
1. Gravitationstheorie: Fortsetzung aus WS
1.2 Die Kepler-Gesetze
B) Ableitung der Bahnkurven von 2 massiven Körpern
Betrachten des 2-Teilchenproblem.
Zuerst nur die Relativbewegung:
dr
r := r12 ; r = r ;
= v12 =: v ; v = v
dt
m m2
m m2
reduzierte Masse: µ = 1
= 1
m1 + m2
M tot
1
mm
s
Interne Gesamtenergie: E int = E kin + U int = µv 2 + G 1 2
2
r
1 2
1
E int = µv
GM tot µ
2
r
2
2GM tot
2
(a )
v = E int +
µ
r
dr
de siehe VL
Nun: r = r e3 ; v =
= rer + r r = rer + r et
dt
dt
v 2 = r 2 (er2 ) + 2r r
e r et + r 2 2 (et2 ) er et
v 2 = r 2 + r 2 2 (b )
2
2GM tot
Aus (a) und (b)
r 2 + r 2 2 = E int +
µ
r
2
2GM tot
2
2 2
(c )
bzw.: r = E int +
r
µ
r
( )
Beachte nun: Gravitationskraft ist Zentralkraft
Eigendrehimpuls erhalten
Ls = µr12 × v12 = µrer × (rer + r et )
er × er = 0;er × et = e (senkrecht auf Bahnebene)
Ls = µr 2 e
Ls =: Ls = µr 2
r2
e =1
2
=
L2s
2 2
r
Ls = const
(d )
Aus (c) und (d):
2
2GM tot
L2s
E int +
Differentialgleichung für r (t ) . Hängt ab von r (t ) und
µ
r
µ 2r 2
Konstanten. E int , Ls , µ,G , M tot !
Nun: Lösung der Dgl.
Suchen r als Funktion von !
dr
dr d
dt
=
=
Kettenregel: r =
dt
d
dt
d
Ls
Ls dr
Aus (d) folgt: = 2
r= 2
r
r d
Ls dr
=
Auflösen nach r ( ) : Separation der Variablen
µr 2 d
Ls
dr
=
=d
2
µr
2
2GM tot
L2s
E int +
µ
µ2r 2
r
r=
Ls r dr
µ r0 r 2
Lösung für r (
2
=
d
0
0
=
0
) = rp ..P[...]abstand
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= arccos
L2s
r
G µ2M tot
L2s
µ2r 2
2
2GM tot
E int +
µ
r
1
L2s
r G µ2M tot
= arccos
1+
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1
2
Ls
E int
µ
G µM tot
Einführung folgender Beziehungen:
a :=
G µM tot
2
Ls
; := 1 + E int
2µE int
µ
G µM tot
= arccos
Einsetzen in (e):
r( )=
a (1
2
1 + cos
)
a (1
2
)
2
r
r
b2
a
=
1 + cos
für
(
a )2 = a 2
b2
Polargleichung eines Kegelschnittes!
C) Bemerkungen
I) Für E int < 0 und E int > µ
3G 2r 2
2L2s
ist a > 0 und < 1
Gleichung einer Ellipse
Bahnkurve der Relativbewegung ist eine Ellipse.
G µM tot
Grosse Halbachse: a =
2 E int
Kleine Halbachse: b = Ls
1
L
= s
µ
2µ E int
a
GM tot
s
Beachte: E int < 0 : Man spricht von gebundenem System. D.h. E kin
< E pot = U (r ) r
( )
II) Falls m2
m1 z.B. m1 = mErde ,m2 = mSonne oder m1 = mSatellit ,m2 = mErde
µ = m1 ,M tot = m2
und der gemeinsame Schwerpunkt fällt mit Mittelpunkt von m2 zusammen
ist im Brennpunkt der Ellipse.
III) Beweis des 2. Kepler’schen Gesetzes. Siehe frühere VL
IV)
dA
=
dt
dA =
Ls
2µ
Sonne
Drehimpulserhaltung
A : überstrichene Fläche
Ls
dt
2µ
A
T
Ls
L
dt = s T
2
µ
2
µ
0
0
T..Totale Umlaufzeit
A..Totale Fläche der Ellipse
dA =
3
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Fläche einer Ellipse: A = a b =
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Ls
1 GM tot
T =
bT
2µ
2
a
a3
= T bzw.
GM tot
4 2 3
T12
a13
a =T2
=
3. Kepler’sches Gesetz!
GM tot
T12
a23
Halbachse a die Masse M tot !
2
V) Spezialfall: E int < 0 und
2
Ls
1 + E int
µ
G µM tot
a =b ; r( )=a
2
= 0 , d. h.
=0
Kreisbahn!
VI) Spezialfall: (siehe Übung) E int = 0
L2s
1
Gleichund einer Parabel
2
G µ M tot 1 + cos
1
L2s
r ( = 0) =
= minimale Abstand vom Brennpunkt
2 G µ 2M tot
r( )=
VII) E int > 0 (siehe Übung)
2
> 1 a < 0 a (1
)> 0
Gleichung einer Hyperbel
1.3 Das effektive Potential
1
1
E int = µv 2 + E pot = µ (r 2 + r 2 2 ) + E pot
2
2
µM tot
= G
r
1
1
E int = µr 2 + µr 2 2 + E pot
2
2
eff
+E pot
L2
1 L2s
eff
Betrachte weiter: r 2 2 = 2 s 2
E pot
=
+ E pot
µr
2 µr 2
Betrachten der radialen Bewegung
1.4 Gravitationsfeld ausgedehnter Körper
A) Warum nimmt die Kraft innerhalb einer homogenen Kugel linear mit r zu?
konstant ist:
Falls die Dichte
4 3
M (r ) =
r
3
M (r )
Andererseits: F (r ) = G
r2
(
)
(
)
M r in F r einsetzen
F (r ) = const r
B) Rotationskurven in Galaxien
Kern der Glaxie habe eine Masse M Gal , Stern: M S , rs rs ..Abstand vom Zentrum
Wir vernachlässigen den Einfluss weiterer Sterne am Galaxienrand und die Masse im Kern
sei gleichförmig (sphärisch symmetrisch verteilt)
I) Gravitationiskraft auf Stern knapp innerhalb des Kerns:
4
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M Gal
M s rs
R 3Kern
M
vs2 = G 3Gal rs2
R Kern
FG = G
Stern rotiert
ums Zentrum
=
Ms
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vs2
rs
vs = C 1 rs
II) Gravitationskraft ausserhalb des Kerns:
M
vs2
FG = G Gal
M
=
M
s
s
rs2
rs
1
1
vs2 = GM Gal
= vs = C s
rs
rs
III) Erklärungsansatz:
Es gibt „dunkle Materie“ (d. h. Materie die nicht leuchtet), welche um die Galaxie
verteilt ist, mit bestimmter Dichtenverteilung DM .
Berechnung von DM werden so angepasst, dass vs (rs ) an die Beobachtung passt!
z. B. Falls die dunkle Materie weit über Galaxien hinaus verteilt ist, mit
1
DM = 0
r2
4
M DM (r ) =
0
3
Gravitationskraft auf Stern innerhalb dieser Dark-Matter Halo:
1
4
1 Zentripetalkraft
vs2
FGDM = GM DM (rs ) M s 2 =
GM
=
M
0
s
s
rs
3
rs
rs
vs = const als Funktion von rs ! (leuchtende Masse vernachlässigt!)
C) Beliebige Massenverteilungen (z. B. Dichteverteilung der Erde)
I) Bisher: Körper mit homogener Dichteverteilung:
Masse M, Dichteverteilung .
Gravitationskraft auf m ist Zentralkraft, d. h. hängt nur von r ab.
II) Nun: Inhomogene Dichteverteilung
Kraft von 1 ausgeübt > jene von 2
Resultierende Kraft ist nicht notwendigerweise zum Ursprung gerichtet.
III) Allgemeiner Fall:
FG (x , y, z ) = Gm
dx dy dz
V
(x , y , z )
x
x
2
x
x
x
x
Einheitsvektor
in Richtung x x
i. a. hängt FG von (x , y, z ) ab, und nicht nur von x = r !
z. B. Beobachtung der genauen Satellitenbahnen:
Drehimpuls nicht notwendigerweise erhalten.
Falls FG nicht Zentralkraft
kleinere Abweichungen von den idealen Orbits (Ellipsenbahnen)
Aufschluss über (x ) !
IV) Beispiel einer Berechnung:
Günstiger: Zuerst Potential U (x ) (oder E p(x ) ) berechnen, und dann:
FG (x ) =
U (x ) (siehe frühere VL)
U (x ) = Gm
d 3x
V
(x )
x
x
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Betrachten radial-symmetrische Massenverteilung, also
(x ) = ( r ) ; (r > R ) = 0
Können z -Achse so wählen, dass sie zu x parallel ist!
Def: x = r , x = r
Volumenselement d 3x = dV = dx dy dz
in Kugelkoordinaten: d 3x = r 2dr sin d d
R
VKugel =
2
r 2dr
dV =
V
sin d
0
0
4
R3
3
=
d
0
a) Für r > r : (m ausserhalb von V)
d
0
(x
x =
r 2dr
sin d
0
x
(r )
R
2
U (x ) = Gm
x
x
0
) (x
)=
x
x
x2 +x
..Winkel zwischen x und x =
2
2x x = r 2 + r
2
..wegen Wahl der z -Achse
2
r
r
2
cos
r
r
Beachte: sin d = d cos
= r 1+
bzw.
d (cos
=
sin d
0
)
0
Führen nun Integration über
U (x ) =
1
dx
r
1
Gm 2
r
r 2dr
1
x := cos
=
dx =
und
(r )
0
1
1
dx
aus:
1
1
dx
1+a
1
2
2ax
a :=
r
r
=2
1
U (x ) = Gm
4
r
R
(r
(r ) =
FG (x ) =
0
dr
0
fällt mit
Falls
(r ))
2
1
ab.
r
U (x ) = G
= const
U (x ) =
G
mM
r
m4
R3
r 3
siehe frühere VL
=
G
0
= G
mM
er
r2
mM
r
b) Für r < r ?
Im Tipler gezeigt: Für Hohlkugel mit Radius R gilt:
FG (r ) = 0 für r < R
mM
U (r ) = const für r < R . Da U (r ) = G
für r > R .
r
Aus Stetigkeitsbedingung:
!
M
U (r R ) =U (r R ) const = Gm
R
Für unseren Fall:
U (x ) = Gm 4
U (x ) =
F (r ) =
6
1
0
r
GmM 2
(r
2R 3
U =
r
R
r 2dr +
4
0Gm
r
0
1 2
r dr
r
entspricht Fall der Kugelschale
3R 2 )
GmM
rer
R3
2 x x x cos
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1.5 Anmerkungen zur Allgemeinen Relativitätstheorie (ART)
A) Spezielle Relativitätstheorie (SRT)
- macht nur Aussage über Inertialsysteme (IS)
- v Licht = c , unabhängig von IS
v c , bel. Geschwindigkeit eines Massenpunktes
- Transformation zwischen ISen: Lorentztransformation
Für kleine Geschwindigkeiten der IS relativ zueinander geht die Lorentztransformation
in die Galileotransformation über.
- Keine absolute räumliche und zeitliche Abstände mehr.
- OK für Mechanik und Elektrodynamik
ABER
Newton’sches Gravitationsgesetz:
mM
FG = G 2
r
Fragen:
- r zu wählen in welchem IS?
- Gesetz ist nicht invariant unter Lorentztransformation!
- Kraftübermittlung instantan, d. h. > c
B) Allgemeine Relativitätstheorie
Versuch, SRT auf beliebige Bezugssysteme zu erweitern, und Theorie der Gravitation zu
finden, welche die obigen Fragen löst.
a) Träge Masse mT = schwere Masse mG
m M
F = mT a
FG = mg g = G G 2
RE
Gemessen: mT mG (Fehler ~ 10 12 )
FG = mT a = mg g
a = g Körper (Beschleunigung hängt nicht von der Masse ab)
Einstein: Postuliert mT mG
b) Äquivalenzprinzip (schwachen)
Es existiert kein Experiment, das unterscheiden könnte, ob man sich in einem
beschleunigten Bezugssystem befindet oder in einem Gravitationsfeld.
Fall I)
In IS, aber in einem Gravitationsfeld:
Fext = ma
IS a = x
Fext = FG + Fsonstige = mg + Fsonstige = mx
x =g +
1
Fsonstige
m
Fall II)
In beschleunigtem Bezugssystem (Beschleunigung = g ), aber sonst keine
Gravitation!
Fext = ma , beschleunigten BS.
a = x +A = x g
1
Fext = Fsonstige = m x g
x = g + Fsonstige !
m
Ein frei fallendes BS und ein IS (ohne Gravitationseinwirkung) sind nicht unterscheidbar!
(
)
c) Einstein’sches Äquivalenzprinzip (starkes)
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“Äquivalenzprinzip“ gilt für alle physikalischen Kräfte, d. h. für alle beliebige Fsonstige .
Konsequenzen:
I) Licht wird in einem Gravitationsfeld abgelenkt.
II) Rotverschiebung (siehe u. a. Tipler. S1184)
III) Zeitdilatation in Gravitationsfelder! (siehe Tipler, 1184)
d) SRT: Licht (Photonen) bewegen sich auf „geraden“ Linien, d. h. auf Geodäten, der
kürsten Verbindung zwischen 2 Punkten.
Falls weiterhin gelten soll, dass sich Licht auf Geodäten bewegt und mit Lichtablenkung.
Gravitation modifiziert die Geometrie (die Raum-Zeit)
ART:
Geometrie der Raum-Zeit = const Masse/Energie
e) Experimentelle Befunde:
I) Ablenkung des Sternlichts bei Sonnenfinsternis
II) Merkur-Bahn (Periheldrehung)
III) Gravitationswellen (indirekt nachgewiesen)
A) Homogenes, isotropes Universum, Newton’sche Gravitation
Betrachten Galaxie/Stern mit Masse ms , im Abstand R.
Masse innerhalb der Kugel: M, konstant.
1
mM
Totale Energie der Galaxie: E tot = ms v 2 G s
2
R
Betrachten radiale Bewegung nach aussen: v = R
E
1 2 GM
Definiere: tot =:
R =
+
ms
2
R
1
für R
: R2 =
2
Fall a)
> 0 : R > 0 für R
Ewig expandierende Kugel
Fall b)
=0:R
0 für R
2GM
R=
ˆ Fluchtgeschwindigkeit :
R
Fall c)
< 0 : R = 0 für R <
Dann später R < 0 Kontraktion
4
R3
Beachte: M =
3
8
R2 =
G R2 + 2
3
B) Ergebnis in ART:
8
R2 =
G R 2 kc 2 (Friedmanngleichung)
3
R..Skalenparameter: Beschreibt die Ausdehnung des Raumes selbst.
k..Krümmungsparameter
+1
k= 0
flaches
1
8
hyperbolisches
sphärisches
Universum
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Lösung der Friedmanngl. für gewähltes ,k :
Modell des Universums.
Im allgemeinen bremst Gravitation die Ausdehnung.
R<0
z. Z. beobachtet man eine Ausdehnung des Universums: R > 0
Hubble: vGalaxie = H dGalaxie (H..Hubblekonstante)
R = 0 für bestimmte Zeit t0 .
Da R < 0 , R > 0
R (0) = 0
Big Bang!
R = 0 : d. h. der Big Bang passierte „überall gleichzeitig“.
2. Dynamik des starren Körpers
Definition: Starrer Körper: Viel-Teilchen-System, bei dem sich der Abstand der Massenpunkte
voneinander nicht ändert, wenn externe Kräfte auf den Körper einwirken.
2.1. Kräfte und Drehmomente
A) Wirkungslinie
(Skizze siehe 1.4.2003)
Der Angriffspunkt P der Kraft F kann beliebig entlang der Wirkungslinie verschoben
werden.
B) Addition von Kräften
a) Kräfte greifen im selben Punkt an: Kräfteparallelogramm
b) Kräfte greifen nicht im selben Punkt an: Nutzen die Wirkungslinie aus.
Hilfskraft einführen.
c) Kräfte greifen nicht im selben Punkt an sind aber parallel.
C) Drehmoment
Beachte:
a) M ist axialer Vektor, d. h. r
r
r,F
F
M =M
M = M
r
b) Drehmoment ändert sich nicht bei Verschiebung des Kraftangriffpunktes entlang der
Wirkungslinie.
(
)
(
)
M = r ×F = r + b ×F = r ×F + b ×F = M
0, da parallel
c) Drehmoment hängt von Drehpunkt (oder Bezugspunkt) ab!
d) Drehmoment bei Neulegung des Angriffpunktes:
(
M = r ×F = r +
= r ×F +
( b ))× F =
( b ) × F = M (b × F )
e) Drehmoment mehrer in einem Punkt angreifenden Kräfte:
M =r×
!F
i
i
(
)
= ! r × Fi = ! M i
i
f) Kräftepaar
9
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Kräftepaar: Zwei gleich grosse, aber entgegengesetzt wirkende Kräfte: F +
M = r1 ×
( F ) + r × F = (r
2
( F) = 0 .
r1 ) × F = d × F
2
das Drehmoment eines Kräftepaars hängt nur vom Relativabstand der beiden
Angriffspunkte ab, aber nicht vom Ort der Drehachse.
g) Reduktion räumlicher Kraftgruppen (Anwendung von f) )
Beachte Einzelkraft Fi , die in P angreift. Im Punkt O können wir 0 = F +
( F)
addieren, ohne was zu ändern.
Nun haben wir ein Kräftepaar.
Wirkung der Kraft F in P kann beschrieben werden durch das Drehmoment des
(
)
Kräftepaares F , F , M = r × F , und einer äquivalenten Kraft, die in O angreift.
h) Drehmoment der Schwerkraft:
N
N
"N
M = ! (ri s × &mi g ) = ! (&miri s × g ) = $ ! (&miri s
$' i =1
i =1
i =1
( )
( )
( )
#
)%% × g
(
0
Die Schwerkraft übt kein Drehmoment auf den Schwerpunkt aus.
Wirkung der Schwerkraft kann dargestellt werden als resultierende Kraft Mg , die im
Schwerpunkt angreift: m =
N
! &m
i
i =1
2.2. Das statische Gleichgewicht
Körper ist im statischen Gleichgewicht, wenn er sich unter dem Einfluss der angreifenden Kräfte
nicht in Bewegung setzt.
a) keine translatorische Bewegung: Fres = 0
b) keine Rotation (Drehbewegung): M res = 0
N
N
i =1
i =1
(
)
d. h. a) Fres = ! Fi = 0 und M res = ! ri × Fi = 0
Beachte: Die Bedingung b) hängt nicht vom Bezugspunkt ab, falls a) gilt.
zu Aufgabe 9.4.1:
Betrachten Situation, in der Normalkraft FN gerade noch ein Drehmoment bzgl. S ausüben kann.
D. h. A ist effektiver Angriffspunkt der Normalkraft.
!
a) Summe der kräfte senkrecht zur schiefen Ebene = 0
!
FG cos
FN = 0
FN = mg cos
b) Summe der Kräfte parallel zur schiefen Ebene:
Z + FR
!
mg sin = 0
Z = mg sin
FR
Z = mg cos (tan
µH )
c) Summe der Drehmomente bzgl. S = 0!
FG übt kein Drehmoment aus.
rZ × Z + rA × FN + rA × FR = 0
b
rZ × Z = Z , Richtung: In Ebene hinein!
2
a
rA × FN = rA FN sin = FN
Richtung: Aus Ebene heraus!
2
b
rA × FR = µFN
, Aus Ebene heraus.
2
Richtung in Ebene hinein sei positive Richtung:
b
a
b
Z
FN
µH FN
=0
2
2
2
Einsetzen von FN und Z ergibt:
10
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a
tan = + 2µH
b
b
Für a = , und µH = 0.8
4
a
Falls µH
0 : tan =
b
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= 61.6°
= 14°
2.3 Lineare und Drehbewegung, Trägheitstensor
a) Die Beschreibung der Lage eines Körpers (im Raum)
Ein Massenpunkt: 3 Freiheitsgrade (3 Ortskoordinaten)
Starrer Körper: 6 Freiheitsgrade d. h. es braucht 6 linear unabhängige Koordinaten.
Eine mögliche Wahl:
3 Ortskoordinaten eines ausgezeichneten Punktes O z. B. Schwerpunkt
3 Winkel, welche Orientierung beschreiben, z. B. Euler-Winkel
Allgemeine Beschreibung der Bewegung
I) Bewegung von O („Translation“): x (t ), y (t ), z (t )
II) Drehung um O („Rotation“, „Kreiselung“): (t ), (t ), (t )
Beachte: Wird O festgehalten
keine Translation möglich
3 Freiheitsgrade der
Rotation.
Erfolgt Rotation um eine raumfeste Achse
1 Freiheitsgrad, z. B. (t ) .
b) Translation und Rotation
Translation im Laborsystem: Gesamtimpuls des starren Körpers:
N
p = ! &mivi
i =1
Starrer Körper
N
! &m
i
vS = MvS
i =1
v (x )dm =
oder auch: p =
dp
= Fextern
dt
=
V
v (x ) (x )dV =
V
(x )dV = MvS
V
N
Kinetische Energie: E kin = ! 12 &mivi2 =
i =1
1
MvS2
2
Drehimpuls: L = LS + rS × pS
( LS ..Eigendrehimpuls, rS × pS ..Drehimpuls der Schwerpunktsbewegung)
dL
= M ext
dt
Geschwindigkeit des i-ten Massenpunktes
vi = vS + ( × ri (S ) )
c) Rotation um eine fixe Achse
Rotation um eine raumfeste Achse A. Drehimpuls für das i-te Massenelement &mi :
Li (&mi ) = ri × pi = &mi (ri × i ) = &miri 2 da vi = × ri = ri
ri ..senkrechter Abstand zur Drehachse
I) Gesamter Drehimpuls
N
N
L = ! Li = ! &miri 2
i =1
i =1
N
=
! &m r
i i
2
=: I A
i =1
N
wobei I A := ! &miri 2 (Trägheitsmoment)
i =1
11
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Beachte: I A hängt vom Ort der Drehachse ab!
r 2dm =
Verallgemeinerung: I A =
M
r 2 dV
V
II) kinetische Energie:
1
1
E kin = (&mi ) = mivi2 = &miri 2 2
2
2
Totale kinetische Energie der Rotation =
ˆ Rotationsenergie
N
1
E kin = E rot = ! E kin (&mi ) = ! &mi ri 2 2
2 i =1
i
E rot =
1
IA
2
2
III) Drehmomente, Bewegungsgleichung:
dLi
dv
dp
= &mi ri × i = ri × i = ri × Ft = M i || (parallel zu )
dt
dt
dt
(const )
d
dt
Tangentiale Komponente der Kraft. Andere Kraft-Komponenten müssen durch
die Achsenlagen kompensiert werden.
Totales Drehmoment:
= &miri 2
d
d
d2
= IA
=I
=e
dt
dt
dt
N
M || = ! &miri 2
i =1
=I e
(=ˆ F = ma )
IV) Berechnung von Trägheitsmomenten:
Beispiel für dünne homogene Scheibe, d. h.
a) Rotationsachse in z-Richtung
(x 2 + y 2 )
Iz =
(x 2 + y 2 )dV
dV =
V
= const
V
b) Rotationsachse in x-Richtung
(y 2 + z 2 )dV
Ix =
y 2dV falls h
V
c) Analog in y-Richtung:
V
x 2dV
Iy
für z
y max
V
x, y
Iz
Ausdehnungen
Ix + Iy
Falls Körper Rotationssymmetrie um die z-Achse hat:
1
Ix = Iy
Iz
2
Für Kreisscheibe:
(x 2 + y 2 )dV
Iz =
(x 2 + y 2 )dx dy dz
=
V
x = r cos
y = r sin
z =z
Frage: dV in Zylinderkoordinaten.
R
V =
dV =
V
12
r dr d dz =
V
0
h
2
r dr
dz =
d
0
0
R2
2
2
h = R2
h
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Simon Bucheli – [email protected]
Allgemein: dx dy dz = J dr d dz
J =
*x
*r
*x
*r
*z
*r
*x
*
*y
*
*z
*
*x
*z
*y
*z
*z
*z
cos
=
sin
r sin
0
0 = r cos2
r cos
0
0
+ r sin2
=r
1
dx dy dz = J dr d dz = r dr d dz
R
2
Iz =
2
r dV =
V
r r dr d dz =
V
h
2
3
r dr
0
dz =
d
0
0
R4
1
2 h = (
4
2
R 2h ) R 2
1
I z = MR 2
2
V) Satz von Steiner
Einfache Berechnung des Trägheitsmomentes bzgl. beliebiger Achse parallel zur
Achse durch den Schwerpunkt.
r =a +r
r 2dm =
IA =
2
(a + r )
2
a +2ar +r
M
dm =
a 2dm + 2a
r dm +
r 2dm
2
=0
Schwerpunktsdef.
IA = a
2
M + IS
Trägheitsmoment bzgl. Achse
durch den Schwerpunkt
VI) Rollende Körper
Rollbedingung:
vS = R = R
d
dt
d2
=R
dt 2
vS , aS ..Geschwindigkeit und Beschleunigung des Schwerpunktes
aS = R
VII) Beispiele:
Beispiel a:
Bewegungsgleichung des Schwerpunktes:
MaS = FG + 2FL + FZ = 0
1
FG + FZ
2
Bewegungsgleichung für die Rotation
I S ..Trägheitsmoment bzgl. Achse durch den Schwerpunkt
M = Fz R = I S
F R
2F
1
= Z
= Z da I S = MR 2
IS
MR
2
2F
d2
d
(t ) =
= 2 =
dt + 0 = Z t + 0
dt
dt
MR
Rotationsgeschwindigkeit der Scheibe nimmt linear mit t zu.
Beispiel b:
Bewegungsgleichung der Masse m:
ma = mg FS
Bewegungsgleichung für die rotierende Scheibe ist:
IS
= FS R
FL =
(
)
13
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„Rollbedingung“ a = R
IS
mR = mg
R
1
I S = MR 2
=
2
=
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mgR
I S + mR 2
mg
M
m+
R
2
(Bsp. 1)
FZ + mg
Hier wird gesamte Energie aufgeteilt in Rotationsenergie der Scheibe und
kinetische Energie von m.
Nebenrechnung zu Versuch:
1
1
2
2
m 0gh = m 0v max
+ I S max
2
2
2
2
2
max x = v max
Radius des rotierenden Zylinders
2m 0gh
max =
m 0x 2 + I S
Beispiel 3: Aufgabe 8.84 im Tipler
Berechnen zuerst das Drehmoment, erzeugt durch den Kraftstoss
(Impulsübertragung) des Queue auf die Kugel =: F
2
M = F
R = IS
3
2
Siehe Tipler: I S ür Kugel I S = mR 2
5
5 F
=
3 mR
Kraftstoss erfolgt im Zeitraum &t .
Kugel anfangs in Ruhe, d. h. 0 = 0 .
Winkelgeschwindigkeit nach dem Stoss:
5 F
&t
(&t ) = &t + 0 =
3 mR
Bewegungsgleichung für den Schwerpunkt der Kugel:
F
Beachte:
= as (Beschleuningung des Kugelschwerpunktes)
m
Geschwindigkeit des Kugelschwerpunktes nach Stoss:
F
v (&t ) =
&t v 0 = 0
m
5 v (&t )
v
+
(&t ) =
3 R
R
nach &t ist Rollbedingung nicht erfüllt.
Nach welcher Zeit gilt die Rollbewegung?
FR
t; FR ..Reibungskraft
Geschwindigkeit nach Zeit t: v(t ) = v&t
m
2
d
M = FRR = I S
FR R = mR 2
5
dt
5 FR
5 FR
d
(t ) =
=
t
(&t )
dt
2 mR
2 mR
Rollbedingung: R = r
5 FR
!
FR
R (troll ) =
troll R (&t ) = v (&t )
troll
2m
m
16 m
troll =
v (&t )
21 FR
14
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2.4 Rotation um eine freie Achse: Kreiselbewegung
Bisher: Rotationsachse fixiert, d. h. Richtung konstant.
Nun: Betrachten beliebige Rotationsachsen, die auch mit der Zeit variieren können.
Aber: Rotationsachse durch Schwerpunkt.
I)
LS = ! &mi (ri s × vi s
( )
i
Beachte: vi s =
( )
( )
× ri s
( )
! &m r
LS =
)
(s )
i i
× ( × ri s
( )
)
i
= (ri s ri s
( )
( )
)
(ri s
) ri s
( )
( )
Beachte: Im Limit &mi
(r ( )
) ri )dm
(ri s
S
LS =
0, N
( )
i
M
Lassen nun „ (S ) “ weg.
xi
Nun: Separieren nach Komponenten: ri =
LSx = ! &miri 2
(x i
x
x i2 )
x
x
+ yi
y
+ zi
yi
zi
z
;
=
x
y
z
) xi
i
= ! &m "$'(ri 2
yi x i
zi xi
y
i
z
#
%(
ri 2 x i2 = yi2 + z i2
Definieren nun:
N
xx
= ! &mi (yi2 + z i2 )
i =1
xy
N
! &m x y
=
i i i
i =1
N
&mi x i z i
!
xz =
i
=
1
Beachte: Manchmal auch Notation
LSx = xx x + xy y + xz z
Analog ergibt sich:
LSy = yx x + yy y + yz z
LSz = zx x + zy y + zz
kompakte Schreibweise:
LS = ˆ
z
xy
xy
xz
yx
yy
yz
zx
zy
zz
Beachte: ˆ ist symmetrisch, d. h.
In Integralschreibweise:
(r 2
=
= I ab
(a)
Trägheitstensor ˆ =
xx
ab
(symmetrischer Tensor
xy
=
yx
lässt sich diagonalisieren)
(analog für andere Komponenten)
x 2 )dm
M
xy
=
yz
=
xy dm
M
Wichtig: Aus (a) sieht man:
15
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Der Eigendrehimpuls LS ist im allgemeinen nicht parallel zu
.
: Hauptträgheitsmomente
xy = yx , xz , yz : Deviationsmomente
Falls die Koordinatenachsen mit den Trägheitsachsen übereinstimmen, dann gilt:
xx
.
yy
,
zz
a
0
ˆ=
0
i. a.
a
+
0
0
b
0
0
xx
(Diagonaltensor)
c
,...
Es gilt aber auch hier nicht: L ||
Lx = a x , Ly = b y , Lz = c z
, weil i. a.
+
a
+
c
+2
yz
b
.
II) Rotationsenergie (bzgl. Schwerunkt)
N
N
vi = ×ri
1
1
E kin = ! &mivi2 = ! &mi ( × ri ) ( × ri )
2
2
i =1
i =1
2
2 2
E kin = E rot
"
1
= ! &mi $$ri 2
2 i =1
$'
N
#
2
ri ) %%
%(
(
2
(
x x i + y yi + z z i
1"
2
2
2
xx x + yy y + zz z + 2
'
2
Kann auch geschrieben werden:
E rot =
E rot =
1
2
T
=
xy
x
ri
( r)
2
)
y
+2
x
T
y
xy
x
z
=(
x
,
z
y
+
)
,
z
+
xy
y
#
(
y
z
Beispiel:
bx
by
a T = (ax , ay , az ), b =
bz
a T b = (axbx + ayby + a zbz )
xx
= ( x,
ˆ
T
y
,
z
xy
)
xz
xy
x
y
x
xz
z
=
z
cos , y = cos , z = cos
1
E rot = Qs 2 (Qs ist eine skalare Grösse: skalares Trägheitsmoment)
2
2
+ cos2 + zz cos2 +
s = xx cos
d. h.
x
=
+2
xy
cos cos
+2
xz
cos cos + 2
yz
cos cos
Falls Koordinatenachsen =
ˆ Hauptträgheitsachsen:
2
2
+ b cos + c cos2
s = a cos
In den Beispielen der vergangenen VL hatten wir folgende Spezialfälle:
xy
=
yz
=
yz
= 0,
0
0
|| Hauptträgheitsachse
z
Lx = Ly = 0; Lz = zz z =
ˆ Iz z
d
Iz
= I z = M ext
dt
Sei R ein Vektor in Richtung der Drehachse, d. h. R ||
x = R cos , y = R cos , z = R cos
16
, mit
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2
2
2
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2
= xx x + yy y + zz z + 2 xy xy + 2 xz xz + 2 yz yz
(x , y, z ) für die gilt: R 2 s = k = const
(x , y, z ) liegen auf einem Ellipsoid
(Trägheitsellipsoid, je kleiner R, desto grösser s )
R
s
IV) Der kräftefreie Kreisel
dL
L = const
dt
korrekt wäre: „Drehmomentfreie“ Kreisel.
Hier gilt: L ist fix im Raum (raumfest).
nicht notwendigerweise.
L fix
bei Rotation führen
und die Figurenachse (HTA) eine Nutationsbewegung
aus.
Kräftefrei: M ext = 0 =
V) Präzession des symmetrischen Kreisels
Nun wirke ein äusseres Drehmoment auf den Kreisel!
dL
L nicht mehr raumfest!
dt
Änderung von L erfolgt in Richtung des Drehmomentes M .
keine Nutation.
Vereinfachter Fall: Rotationsachse parallel zu HTA
Falls der Rotationspunkt + Schwerpunkt
M = r × mg (vgl. Abb. 5.37)
M ext =
Sei L
M bewirkt nur eine Richtungsänderung von L , aber L = const
M
dL = LD
M L
d
=: L
dt
p
M = L× p
p ..Präzessionsfrequenz
mgr
im Falle der Abb. 5.37: p =
s
Falls Kreisachse im Winkel
mgr sin
p =
zur Senkrechten:
s
VI) Allgemeine Kreiselbewegung:
Überlagerung von Nutation und Präzession
Schwingungen
3.1 Harmonische Schwingungen, Tipler Kap. 12
Beispiel
Molekül mit 2 Atomen: r = Atomabstand, r0 =Zustand niedrigster Energie
U (r0 + &r ) in der Nähe von r0
Taylorentwicklung
f (x 0 + &x ) = f (x 0 ) + &x
U (r0 + &r ) = U (r0 ) + &r
U0
df
dx
dU
dr
x0
2
1
2 d f
+ (&x )
2
dx 2
x0
2
r0
1
2 d U
+ (&r )
2
dr 2
r0
k
&r = x
r0 = U (r0 ) = Minimum
+ O (&x 3 )
dU
dr
=0
r0
17
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1
2
U 0 + k (&r ) (in der Nähe von r0 gibt es immer eine Parabel)
2
Kraft auf Atom bei kleinen Auslenkungen
(2-Atom System: relative Masse m, relativer Abstand r0 + x )
F (x ) = mx kx Hook’sches Gesetz (Feder)
k
x+ x=0
m
U (r0 + &r )
2
0
x+
x =0
=
0
k
m
Atome schwingen mit Frequenz
0 um den Ruheabstand r0 .
(als seien sie verbunden durch eine Feder mit Federkonst. k)
Herleitung: Lösung der Schwingungsgleichung
x + 02 = 0
Ansatz: x (t ) = Ce t C , ,
(
t
2
x=
Ce
2
2
0
+
)Ce t
=0 t
!
=0
2
=±
0
= ± 1 02 = ±i 0
2 linear unabhängige Lösungen.
Allgemeine Lösung: Superposition
x (t ) = C 1e +i 0t + C 2e i 0t
x (t ) soll reell sein.
(x
!
x
x * = Im (x ) = 0
x
x * = (C 1e i
= (C 1
0t
i
+ C 2e
C 2* )e i
0t
0t
* Notation
= x
) (C 1*e i
+ (C 2
!
0t
C 1* )e
)
+ C 2*e
i
0t
!
=0
!
=0
=0
C 1 = C 2* =: C
x (t ) = Ce i 0t + C *e i 0t
C ,
C = C ei
(
x (t ) = C e
(i 0t + )
+e
( ..Phase)
C, ,
i ( 0t + )
)
ix
e = cos x + i sin x
e ix = cos x i sin x
x (t ) = 2 C cos ( 0t + ) A..Amplitude
A
x (t ) = A cos ( 0t + )
:Eigenheit des Systems
A, : Anfangsbedingungen
0
x (t0 ) = x 0 = A cos
x (t0 ) = v 0 = A 0 sin
v0
=
x0
cos =
0
tan
x0
A
cos2 + sin2
18
= arctan
v0
A
x 2
=1= 0 +
A
v0
0x 0
sin =
v0
A 0
2
i
0t
)
t
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2
0
A= x +
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2
v0
0
2
=
: Man sieht T ist unabhängig von A, .
T
0
Beispiele
Federpendel
F (x ) = kx
mx + kx = 0
k
x+ x=0
m
=
T =
k
m
2
m
=2
k
=2
0
Fadenpendel
F(
0
)
=
g
l
=
mg
sin
l
T =
mg
l
2
=2
0
l
g
l
g
Schwingungsdauer des physikalischen Pendels
M = mg sin l
d2
d2
mgl
M = J = J 2 = mg l
=
2
dt
dt
J
T =2
J
mgl
Energiebilanz eines harmonischen Oszillators
m xx + m
1 d
2 dt (x 2 )
2
0
xx = 0
1d 2
(x )
1 dt
"1
1
2
2 2#
$ mx + m 0 x % = 0
$' 2
%(
2
1
1
mx 2 + m 02x 2 = const
2
2
d
dt
E kin
E pot
x (t ) = A cos ( 0t + )
x (t ) = A 0 sin ( 0t + )
x (t ) maximal?
x (tA ) = 0
=n
0t A +
E kin (tA ) = 0
1
E pot (tA ) = E tot = m 02A2
2
1
E kin = E pot = E tot
2
n,
(
=Durchschnitt)
Linearer Oszillator
Bewegungsgleichung
mx = F + FR + Fext
F = kx ; k ..Federkonstante
Drehschwingung
= M + M R + M ext
s
M = ..Richtmoment/
FR . x , FR =
/
MR =
2m µx
/
Torsionskonstante
2 s µ (Drehmoment der Reibung)
Elektrischer Schwingkreis
Summe der Spannungen:
U L + U R + UC = U ext
L
dI
dt
Q =I
Q
C
RI
/
LQ + RQ +
1
Q = U ext
C
19
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x + 2µx +
2
0
Fext
m
x=
=
M ext
Q+
s
Diffgl. des gedämpften
erzwungenen schwingenden
Oszillators
k
0 =
m
x
2
0
+ 2µ +
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0
=
,[
]=
s
k, µ
Nm
rad
0
,µ
Q
R
Q+
L
=
2
0
Q=
U ext
L
1
LC
µ
R
3.2. Gedämpfte freie Schwingung (harmonische Schwingung)
x + 2µx + 02x = 0
Klassischer Lösungsansatz: Exponentialansatz: x (t) = C e
Einsetzen: Ce
2
t
(
2
0
+ 2µ +
Lösungen:
1,2
2
+ 2µ +
)= 0
= µ ± µ2 +
(
= µ±
2
0
:=
C, ,
t
2
0
; µ,
,
0
µ2 ) = µ ± i
2
0
µ2 .. Kreisfrequenz der gedämpften Schwingung
1t
x (t) = C 1e
+ C 2e
µt i t
= C 1e
=e
!
= 0 charakteristische Gleichung
Fallunterscheidung
Fall a: Schwingfall: µ <
1,2
2
0
t
e
2t
+ C 2e
µt i t
"C 1e i t + C 2e
'
µt
e
i t
#
(
aus Bedingung, dass x (t) reell
x (t) = e
µt
(siehe harmon. Oszillator)
A cos ( t + )
exponentielle
Dämpfung
A, ..aus Anfangsbedingungen!
Energiebilanz der gedämpften Schwingung
x + 2µx + 02x = 0 | x , m à la harmon. Oszillators
d "1
1
2
2 2#
2
$ mx + m 0x % = 2µmx
dt '$2
2
(%
d "
E kin + E pot (# = 2µmx 2 = PR
dt '
Änderung der Energie des Oszillators = Leistung, die die Reibungskraft dem
System entzieht!
Sei nun µ (µ
0 ) klein, d. h. schwache Dämpfung
1
1
es gilt weiterhin in guter Näherung: m x 2 = E kin T
E tot
2
2
1
ersetze PR durch 2µ 2 m x 2 = 2µE tot
2
b
Beachte: In Notation vom Tipler, S.405: 2µ
m
20
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d
E tot =
dt
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2µE tot
t
2 µt
E tot (t) = E tot (t = 0)e
= E 0e ;
1
2µ
=
Gütefaktor (Q-Faktor)
t
E (t)
Q =2
=2
E (t) E (t + T )
Q =2
z. B. µ
T
E 0e
t
T
E 0e
1
e
" T
T
1 $$1
+O
$'
ex =1+ x +O (x 2 )
für
T
Q
Energieverlust
2
#
%
%
%(
Fall b: Kritische Dämpfung (aperiod. Grenzfall): µ = 0
µ
1 = 2 =
1. Lösung? Wir müssen 2 linear unabhängige Lösungen finden:
Erweitere Lösungsansatz: x (t) = C (t)e µt
x (t) = Ce
µt
µCe
µt
x (t) = Ce
µt
µCe
µt
µCe
µt
+ µ2Ce
µt
Einsetzen in Diff.gleichung:
e
µt
"
$
$
$C
$
$
$
'
#
%
%
2
2 %
2µ C + 0C = 0
%
%
%
(
2µC + +µ2C +2µC
C +(
µ2 )C
2
0
0
e µtC = 0
C =0
t
x (t) = (C 1 + C 2t )e
C (t) = C 1 + C 2t
µt
C 1,C 2 bestimmen aus Anfangsbedingungen, x (t = 0) = x 0 , x (t = 0) = v 0
Fall c: Überkritische Dämpfung µ > 0
1,2
= µ ± µ2 +
2
0
= µ±
,
!
=:
3.3) Erzwungene Schwingung, Resonanz:
Jetzt: Fext + 0; Fext (t) = F0 cos t F0 ,
F
Nun: x + 2µx + 02x = ext (t)
m
x hom (t) +
Allgemeine Lösung: x (t) =
allg. Lös. der hom Gl
x hom (t) = A0 e
µt
.. Kreisfrequenz der ext. periodischen Kraft.
x part (t)
spezielle Lös. der inhom. Gl.
cos ( t + )
fällt exp.
ab
1
gilt x hom (t) 0
µ
1
nach t
Einschwingvorgang
x (t) x part (t)
µ
Partikuläre Lösung. Oszillator schwingt gerade mit der Eigenfrequenz
x (t) = x p (t) = x 0 cos ( t + )
Setzen ein:
nach t
. D. h.
21
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i t
x (t) = x 0e , x 0 ,
x p (t) = Re (x (t))
Einsetzen von x (t) in DGL:
" 2 + 2i µ + 02 # x 0e i t = F0 e i
'
(
m
F0
m
x0 = 2
2
( 0
) + 2i µ
2
x0
a0
1
=
(
2 2
)
2
0
+ 4µ 2
2
t
( Fext = Re "'F0e i t #( = F0 cos t )
, a0 =
F0
= x0
m
=0
x 0 = x 0 ei 0
x0 ,
"
= arctan $
$
'
2µ
2
0
2
#
% Winkel zwischen Re x 0 zu x 0
%
(
(
Vergrösserungsfunktion V (µ, ,
:=
, :=
0
)=
)
x0
a0
µ
0
0
V ( , )=
1
1
2
0
(1
2 2
)
+4
2
2
Energiebilanz der erzwungenen Schwingung
Bewegungsgleichung:
mx + 2µmx + m 02x = F0 cos t = Fext (t) | x
d "1
1
2
2 2#
2
$ mx + m 0 x % = 2µmx + Fext (t) x
2
dt $'2
(%
/
Im Stationären Fall, d. h. wenn sich Energie des Oszillators nicht ändert, gilt:
Fext (t) x = 2µmx 2
zugeführte Leistung
Reibleistung
Beschreibung der mittleren zugeführten Leistung, für eine Schwingungsperiode:
T
1
2
Fext (t) x dt, T =
T 0
(
)
x t = x 0 cos ( t + 0 ) ; Fext (t ) = F0 cos t
Mittlere Leistung P =
1
P=
T
1
T
F0 cos t ( 1) x 0
sin ( t + 0 )dt
0
T
cos t sin ( t + 0 )dt
T
0
Ausführen des Integrals:
1
P = F0 x 0 sin 0
2
Beachte. x 0 = e i 0 x 0
Im x 0 = x 0 sin 0
1
P=
F0 Im (x 0 )
2
Einsetzen von Im (x 0 ) (siehe letzte VL)
=
22
F0 x 0
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P=
ma 02
4µ
Simon Bucheli – [email protected]
1
2
0
1+
2 2
2µ
Beachte:
P hat ein Maximum bei
res
=
0
!
„Leistungsresonanz“ (Folie
)
Anmerkung zum Versuch: 2 gekoppelte Pendel.
k
I) x 1 + 02x 1 + (x 1 x 2 ) = 0
m
k
2
II) x 2 + 0x 2
(x 1 x 2 ) = 0
m
k .. Federkonstante
g
0 =
Lösung:
Vortrag (siehe
a) Methode der Auffindung der Eigenfrequenzen und Eigenvektoren
Blätter)
b) für 2 Pendel noch machbar:
Einführung der „Normalkoordinaten“: z1 := x 1 x 2 ; z 2 := x 1 + x 2
I) + II): z 2 + 02z 2 = 0
k
I)
II): z1 + 2z 1 = 0, 2 := 02 + 2
m
k
z1, z 2 : Harmonische Schwingungen mit den Eigenfrequenzen: 02 und 2 = 02 + 2
m
Allgemeine Lösung:
1
x 1 (t) = (z1 + z 2 )
2
1
x 2 (t) = (z1 z 2 )
2
Anregung der 2. Eigenmode bedeutet z 2 + 0, z1 = 0
z1 = 0 2 x 1 (t) = x 2 (t) t (Massen schwingen parallel mit
0
)
Anregung der 1. Eigenmode bedeutet z 2 = 0, z1 + 0
z 2 = 0 2 x 1 (t ) = x 2 (t) t (Massen schwingen antiparallel mit
)
3.4) Überlagerung von Schwingungen
In Natur: meistens nicht-harmonische Schwingungen.
Aber: Auch nicht-harmonische Schwingungen lassen sich darstellen als Summe von harmonischen
Schwingungen.
Eindimensionale Überlagerung:
x (t) = ! x n (t) = ! an cos ( nt +
n
I)
n
n
) = ! (an cos nt + bn sin nt )
n
2 Schwingungen, gleiche Schwingungsrichtung, gleiche Frequenz, verschiedene Amplituden,
verschiedene Phasen:
x 1 (t) = A1 cos ( t + 1 )
x 2 (t) = A2 cos ( t + 2 )
x 1 (t) + x 2 (t) = ?
a)
Verwendung der Additionstheoreme
oder
23
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b)
i
Simon Bucheli – [email protected]
i t
x 1 (t) = Ae
e , A1 ,
1
i 2 i t
x 2 (t) = A2e e , A2 ,
1
=:Aei
i 2#
"Ae
' 1 + A2e (
=: Ae i e i t
Neue Phase, neue Amplitude
x 1 (t) + x 2 (t) = e
i t
i
1
A = A12 + A22 + 2A1A2 cos (
tan =
Im Ae i
A sin
= 1
i
Re Ae
A1 cos
1
1
1
2
)
+ A2 sin
+ A2 cos
2
2
x (t) = Re (x (t)) = A cos ( t + )
Spezialfälle:
a)
1 = 2 (gleichförmig)
A = A1 + A2 , = 1 = 2
b)
(gleichförmig)
1
2 =
A = A1 A2
c)
„Phasenorthogonalität“:
1
2
A = A12 + A22
II)
=
2
2 Schwingungen, gleiche Richtung, gleiche Amplitude, verschiedene Frequenz
x 1 (t) = A cos ( 1t ) = Re (Ae i 1t )
x 2 (t) = A cos ( 2t ) = Re (Ae i 2t )
"
" + 2 #
2 #
x 1 (t) + x 2 (t ) = A "'cos ( 1t ) + cos ( 2t )#( = 2A cos $ 1
t % cos $ 1
t%
$' 2
%(
$' 2
%(
+
2
x (t) = A (t) cos 1
t
2
"
2 #
A (t ) := 2A cos $ 1
t % (zeitlich variabele, langsam oszillierende Amplitude
Schwebung)
'$ 2
(%
1 1
2
Schwebungsfrequenz: S = S =
2
2
2
T
12
2
Halbe Schwebungsperiode: := =
Zeit zwischen 2 Stillständen (A = 0) .
=
2
2 S
1
2
Übergang der Energie von 1. Oszillator auf den 2.
Erinnerung: 2 gekoppelte Pendel
1
x 1 (t) = (z1 + z 2 ) z1 = A1 cos 1t
2
1
x 2 (t) = (z1 z 2 ) z 2 = A2 cos 2t
2
k
2
; 2= 0
1 =
0 +2
m
Sei A1 = A2 = A; x 1 (0) = A; x 1 (0) = 0, x 2 (0) = 0, x 2 (0) = 0
x 1 (t) = A cos
x 2 (t) = A sin
1
2
2
1
t cos
2
2
t sin
1
+ 2
t
2
1 + 2
t
2
Umkehrung:
Gegeben sei Schwebung,
x (t) = C cos ( 2t ) cos ( 1t ) mit
24
2
1
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Simon Bucheli – [email protected]
C
# C "( 1 + 2 )t #
cos "'( 1
2 )t ( +
(
2
2'
Überlagerung von 2 harmonischen Schwingungen.
Amplitudenspektrum:
Anderes Beispiel:
x (t) =
x (t) = (A0 + a cos
t ) cos ( 1t ) kann geschrieben werden als 3 harmonische Schwingungen:
2
Träger
Modulation
a
x (t) = A0 cos 1t + cos ((
2
1
2
a
2
)t ) + cos (( 1 +
2
)t )
III) Orthogonale Schwingungen, gleiche Frequenz: Lissajous-Figuren
x (t) = x 0 cos ( t) ; y (t) = y 0 cos ( t + )
x
x0
2
2
y
+
y0
2 cos
xy = sin2
x 0y 0
Ellipsengleichung
Falls
1
+
Lissajous-Figuren
2
3.5) Fourieranalyse (Diskrete Fourier Transformation)
I)
Was passiert bei der Überlagerung von beliebig vielen harmonischen Schwingungen, mit
= n 0 n = 1,2, 3,...
Jede periodische Funktion f (t) , mit Periode T, d. h. f (t + T ) = f (t) , kann geschrieben
werden als:
f (t) = ! An cos ( nt +
oder
f (t) =
! "'a
n =0
n
n
)
n =0
n
cos ( nt ) + bn sin ( nt )#(
2
.. Frequenz der Grundschwingung.
T
cos ( nt ) : „Basisvektoren“ im Raum der „geraden“, periodischen Funktionen mit Periode
2
(„gerade“: fg (t) = fg ( t) )
T=
=n
0
.. Frequenz der Oberschwingungen
0
=
0
sin ( nt ) : „Basisvektoren“ im raum der „ungeraden“, periodischen Funktionen mit Periode
2
(„ungerade“: fg (f ) = fg ( t ) )
T =
0
d. h. aber
fg (t) = ! an cos ( nt ) = a 0 + ! an cos ( nt )
n =0
n =1
fu (t) = ! bn sin ( nt )
n =1
Nun: Wie erhält man Koeffizienten an , bn falls f (t) bekannt?
entspricht einer Projektion auf den Unterraum zur Frequenz
n
.
N
Vergleich: v , V , v = ! anen
sei ei e j = 0
en ..Basis
n =1
i, j , i + j und ei ei = 1 (orthonormale Basis)
N
N
n =1
n =1
ak = ek v = ! anek en =! an
Äquivalent: ak =
2
T
kn
= ak
T
f (t ) cos ( k t )dt f (t)
0
v, cos ( k t )
ek ,
2
T
T
dt
Skalarprodukt
0
25
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2
T
bk =
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T
f (t) sin ( k t )dt (Beweis: Übung)
0
Beispiel: Mäanderfunktion
A
f (t) =
A
f (t) =
0
t<
T
2
T
2
t
T
f (t) ! bk sin ( k t )
f ( t)
k
=k
0
k =1
2
T
bk =
f (t) sin ( k t )dt
0
T
3
sin ( k t )dt4
T
2
5
T
2
sin ( k t )dt
0
b
sin (k 0t )dt =
0
b
1
k
a
2
cos (k 0t )
0
a
"
1 $$
sin (k 0t ) dt =
1
k 0 $$
'
bk =
2
T
T
2A
=
T
T
=k
T
cos k 0
2
k
4A 1
k
( 1) )#% =
( k 0
2A 1 "
2 (1
T k 0 '$
#
%
% = 1 "1 ( 1)k #
%(
% k $'
0
%
(
k ungerade
k gerade
41
sin (k 0t )
k
k =1,3,5...
f (t ) = A
!
Bei Sprungstellen schiesst die Fourierreihe um 0, 089A über Ziel hinaus. Math. Kuriosum,
„Gib’sches“ Phänomen.
Amplitudenspektrum.
II)
Komplexe Darstellung
Sei f (t) stückweise stetig, periodisch, komplex
t , , f (t) = f (t + T )
+
2
f (t) = ! ane in 0t , 0 =
, an ,
T
n=
Falls an = a 6 n
reelle Fourierreihe
1
1
a0 = a0
an = (an ibn ) a n = (an + ibn )
2
2
f (t) reell, f (t) = a 0 + ! "'an cos (n 0t ) + bn sin (n 0t )#(
n =1
2
0
Umkehrung: an =
f (t)e
0
2
in
0t
dt
0
III) Fourier-Transformation
Falls f (t) nicht periodisch?
Entspricht: Periode T
26
, bzw.
0
=
2
T
0
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Simon Bucheli – [email protected]
Spektrum besteht nicht aus diskreten Linien, sondern ist kontinuierlich!
Koeffizienten: an werden ersetzt durch eine Funktion A ( ) .
Reihe
!
wird ersetzt durch ein
d
n
+
1
2
Also. Fourier-Transformation: f (t) =
A ( )e i t d
(
1
=Konvention).
2
Inverse Fourier Transformation:
A(
)
=
+
1
2
Beispiele:
1)
Spektrum A (
f (t) =
A(
)
i t
f (t)e
=
1
2
dt
eines Knalls
f0
t
)
0
f (t)e
2 f0 sin (
2
Beachte: A ( ) = A6 (
A(
)
sonst
+
=
i t
f
dt = 0
2
e
i t
f 1 i
"e
dt = 0
2 i '
2i sin(
e
)
i
#
(
)
)
f (t) ,
Wichtig: Die grössten Beiträge von A (
.
„Breite des Spektrums“
)
kommen von Frequenzen
1
Breite des Signals
"
,$
'$
#
, %
(%
4. Mechanische Wellen
4.1) Wellengleichung, Seilwelle, harmonische Welle
I)
Betrachten zunächst Ausbreitung (z. B. Seil)
In S: Störung breitet sich mit Geschwindigkeit v aus.
Sei S das bewegte System. in dem gilt: System in Ruhe!
= f (x )
Störung:
Koordinatentransformation (Galileitransformation)
=
x =x v t
Störung in S:
= f (x ) = f (x
vt)
Relevantes
Argument für
Wellenherleitung!
Betrachte: Sei u := x v t
Partielle Ableitung nach x
*
*f Kettenregel *f *u
*f
1
=
=
=f =
*x
*x
*u *x
*u
*2
* *
*
*u *
=
=
(f 1) =
(f
2
*x
*x *x
*x
*x *u
1) = 1 f
(a )
Partielle Ableitung nach t
27
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*
*f
*f *u
=
= f ( v)
=
*t
*t
*u *t
*2
*
*u *
=
( v f) =
( v f
2
*t
*t
*t *u
) = v2
f
Simon Bucheli – [email protected]
(b)
v
Vergleiche (a) und (b) :
1
(a) =
(b)
v2
*2
1 *2
=
Wellengleichung
*x 2
v 2 *t 2
Jede Funktion (zweimal differentierbar) vom Typ = f (x vt) ist Lösung der
= f (x + vt) (eine Störung, die sich in die andere Richtung
Wellengleichung! Damit auch
verbreitet)
Allgemeine Lösung: = f1 (x vt) + f2 (x + vt)
*2
1 *2
*2
Anmerkung: Licht; v = c ;
= 2 2 =
2
*x
c *t x 0 =ct *x 02
*2
*2
Für Licht hat man dann:
=0
*x 02 *x 2
Frage: Was ist v für konstante Wellen? v hängt vom Medium ab.
II)
Seilwelle (siehe Tipler 13.2, 13.8 Demtröder 11.9.5,d)
Ergebnis.
*2
µ *2
=
(gute Näherung für kleine Auslenkungen)
*x 2
F *t 2
!
=
1
v
v=
F
µ
µ.. Massenbelegung
Masse
F .. Seilspannung
"kg #
Länge $' m %(
Longitudinalwellen im Messingstab
E
v=
E = Elektrizitätsmodul
Hook’sches Gesetz:
F
&
=E
A
R T
Masse M [g/mol ]
M
III) Harmonische Welle
harmonische Welle d. h. für
Falls f (x vt) sinusförmig
t = t0 : (x , t0 ) = sinusförmig in x
Für Gase: v =
x = x 0 : (x 0 , t ) = sinusförmig in t
kann durch harmon. Schwingung angezeigt werden.
Ansatz. (x , t ) = A sin ( (x vt))
(
t = t0 : (x , t0 ) = A sin 2 x +
(x , t 0 ) = (x + , t0 ) !
Definition: Wellenzahl k :=
Phase
x
x
)
..Wellenlänge
2
(x , t 0 ) = A sin (kx + x )
hängt von t ab.
Sei x = x 0 : (x 0 , t ) = A sin ( t + t )
(x , t ) = A sin [ (x
28
vt)]
= k;
=
x
2
=2
T
= vt0 ;
..Frequenz
t = vt
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=v; v =
k
k
=
(x , t ) = A sin (kx
2
t)
= 2
2
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=
4.2) Wellentypen und Wellenausbreitung
a) Ebene Wellen
Die Punkte konstanter Auslenkung liegen in einer Ebene.
b) Transversale Wellen
Fortpflanzungsrichtung.
Auslenkung
z. B. Welle bewege sich entlang z, Auslenkung sei entlang x.
Auslenkung = &x ex , Richtung ex
(z , t ) = (Aex ) f (e
(z , t ) = Af (z
vt)
vt)
Falls harmonische Welle:
= Aex sin (kz
t)
c) Longitudinale Wellen
Auslenkung Ausbreitungsrichtung.
z. B. Schallwellen
= &z ez
(z, t ) = Aez f (z vt)
d) Polarisation
Betrachtet Transversale Wellen:
Falls die Auslenkungsrichtung fixiert im Raum.
aex + bey
en =
a, b ,
a 2 + b2
(z, t ) = Aen f (z vt)
Können dies im allgemeinen darstellen als Superposition zweier transversale polarisierten
Wellen. (linear polarisiert)
Überlagerung zweier harmonischer Wellen:
x
= Aex sin (kz
t)
y
= Bey sin (kz
t +& )
& ..Phasenunterschied
I) & = 0 : = (Aex + Bey ) sin (kz
t)
II) & + 0 : siehe frühere VL: Überlagerung von Schwingungen in 2 Dimensionen.
z. B. bei z = z 0 = 0 : (z = 0, t ) = Aex sin ( t) + Bey sin ( t + & )
früher gesehen: Überlagerung ergibt eine Ellipse: Der Polarisationsvektor überstreicht eine
Ellipse.
Speziell: & =
2
"
(0, t ) = A $ex sin (
$'
,A=B
t) + ey sin
t+
#
% = A "'ex sin ( t) + ey cos ( t)#(
%
2(
e (t ): Radiale Einheitsvektor, rotiert
r
mit Kreisfrequenz .
Für t = t 0 = 0
"
#
(z , t = 0) = A $ex sin (kz ) + ey sin kz + %
$'
2 %(
= A "'ex sin (kz ) + ey cos (kz )#(
er (z ): rotiert mit "Kreisfrequenz" k =
2
29
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Allgemein: komplexe Darstellung
= Ae i(kz t)
i&
)e i(kz
x + y = (Aex + Bey e
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t)
e) Ausbreitung entlang beliebiger Richtung
k Vektor in Ausbreitungsrichtung k =
kx
ky
kz
k = k ek
Sei t = t0 : Für alle Punkte auf einer Phasenebene gilt:
k r = const
Denn: k r2 k r1 = k (r2
r1 ) = 0
k
(r2
r1 )
k r2 = k1 r1 = k r ; r beliebig
=A e
Wellenfunktion.
Ortsvektor: r =
x
(
ikr
t
)
ebene Welle.
= (x , y, z ; t )
y
z
Die Wellengleichung lautet jetzt:
*2
*2
*2
1 *2
+ 2 + 2 = 2 2
2
*x
*y
*z
v *t
Einsetzen:
i (k r
*2
*2
=
Ae
2
2
*x
*x
t
)
v=
=
(+ikx )(+ikx ) Ae (
ik r
t
)
kx2
*2
*2
*2
+
+
=
*x 2 *y 2 *z 2
*2
=
*t 2
k r =kx x +ky y +kz z
(kx2 + ky2 + kz2 )
=
k
2
2
k
k =
2
Kompakte Schreibweise:
*
*x
Zur Erinnerung:
=
*
*y
*
*z
=
*2
*2
*2
+
+
=: & (Laplace Operator)
*x 2 *y 2 *z 2
Wellengleichung: & =
1 *2
v 2 *t 2
f) Kugelwellen
Nun: Welle, Ausbreitung vom Ursprung. Flächen konstanter Phasen
30
Kugelflächen.
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Simon Bucheli – [email protected]
Günstige Wahl der Koordinaten: Kugelkoordinaten (r , , )
&=
*2
2 *
1
+
+ 2
2
*r
r *r r sin
Es gilt:
*
sin
*
Richtung k : k
*2
* 2
*
1
+ 2
*
r sin2
Kugeloberfläche
k r = k r =: k r
Lösungen der Wellengleichung vom Typ:
(r , t ) = A (r ) f (kr
t)
d. h. für t = t0 : nur radiale Abhängigkeit
*2
2 *
+
2
*r
r *r
& =
Lösung vom Typ:
=
1 *2
v 2 *t 2
C
f (kr
r
1
f (kr
r
g) Energietransport
(r , t ) = C 1
t ) , C ..const
t) + C 2
1
f (kr
r
t)
I) Energiedichte
Betrachten longitudinale, ebene Welle in einem Stab:
(x , t ) = f (x
vt )
Geschwindigkeit eines Massenelementes der Länge *x :
* (x , t )
*t
2
1 *
E kin
:
,
(
)
W
x
t
=
=
kin
Volumen
2 *t
&l
*
Elastische Energie:
l
*x
E
v=
E = v2
1 2
v (f
2
+Welast
Wkin = Welast =
Wtot = Wkin
= v 2 (f
2
)
= E (f
2
)
(x , t )
2
)
Fs
µ
Wellen in einem Seil: Seilspannung FS , v =
23
1 2
µv (f )
E tot
2
= µv 2 (f
4Wtot =
2
E elast
1
= Fs (f )
Welast =
2
5
II) Intensität (siehe Tipler 13.4, 14.3)
Wkin =
E kin
=
2
)
Nun: Longitudiale harmonische Welle in einem elastischen Medium:
(x , t ) = C cos (kx
t)
Wtot = v 2C 2k 2 sin2 (kx
= EC k sin (kx
2 2
2
t)
t)
Zeitlicher Durchschnitt der Energie:
31
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Durchschnittliche Energiedichte: W = w t =
W =
1
T
Simon Bucheli – [email protected]
T
Wtotdt
0
1
EC 2k 2
2
Läuft mit Geschwindigkeit v =
k
E
=
Durchschnittliche Energie durch Einheitsfläche pro Sekunde:
J m W
=
P = W v "'$P #(% = 3
m s
s
2 v=
1
1
k 1
P = EC 2k 2 = EC 2
= v 2C
2
2
v
2
C
A
Bemerkung: Kugelwellen: C =
(Definition von C ). (r , t ) = f (kr
4 r
r
C
f (kr
t)
(r , t ) =
4 r
1
C 2
1
Intensität einer Kugelwelle: P = v 2
const
2
2
4 r
4 r2
Energie, die durch eine Kugelwelle S mit Radius r geht:
P r 2 sin d d = 4
PS =
const
S
1
= const
4
4.3.1) Überlagerung (Superposition), Interferenz (Tipler 13.5)
a) Überlagerung von zwei parallelen Wellen mit der gleichen Amplitude
1
= A cos (kx
t)
2
= A cos (kx
t +& )
& ..Phasendifferenz
Überlagerung von 2 Oszillationen (Schwebung)
cos
+ cos
= 2 cos
cos
2
&
:= 1 + 2 = (2A) cos
cos kx
2
& = (2n 1)
n = 1, 2, 3, …
=0
Intensität I .
&
2
die Amplituden summieren sich
2
2
= (2A) cos2
&
2
Durchschnitt über Periode T: I
t
t+
destruktive Interferenz
& =n 2
I
+
2
cos2 kx
t
=
1
T
t+
konstruktive Interferenz
&
2
T
Idt
0
1
&
2
= I . (2A) cos2
2
2
b) Überlagerung von 2 Wellen in umgekehrter Richtung
32
t)
PHYSIK II – SS 2003 – PROF. G. DISSERTORI
=
1
= A cos (kx
2
= A cos (kx + t + & )
1
+
P= I
t
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t)
&
&
cos t +
2
2
1
&
2
2
k=
. (2A) cos2 kx +
2
2
2
= (2A) cos kx +
Falls & = 0 : Minima bei x = (2n
1)
: Minima bei x = (n
1)
Falls & =
4
n = 1,2, 3, …
2
c) Verschiedene Wege
r1
; k2 = k
r1
k1 = k
im P (r0 ) =
1
2
r2
;k =
r2
v
(
= A cos (k
)
)
= A cos k1 r0
t+
1
r0
t+
2
2
&
"
1
1
$
= 1 + 2 = 2A cos $ k1 k2 r0 + ( 1
2
$2
'
"1
1
&
2
I t . 2 t = (2A) cos2 $ k1 k2 r0 +
$'2
2
2
(
)
(
(k
)
k2 r0 =
1
r1
r1
1
k
2
#
)
"1
'$2
%
2 )% cos $ (k1 + k2 ) r0
%
(
1
t+ (
2
1
+
2
#
%(
)%
#
%
%(
r2
.r0
r2
=:&S ..Wegunterschied
"1 2
1
2
I . (2A) cos2 $
$'2
2
&s +
& #
%
2 %(
Falls & = 0 : Minima für &s = (2n + 1) , n = 1,2, 3, …
2
Maxima für &s = n , n = 0,1, 2, …
Interferenzmuster!
Beachte: Falls & + const , sondern & = f (t) , rasch oszillierend:
(= Fall der nicht-kohärenten Überlagerung)
keine Interferenzstruktur.
d) Allgemeiner Fall (siehe Übungen)
1
= A1 cos (k1x
1
2
= A2 cos (k2x
2
Es gilt: I = E
t + 1)
t + 2)
* *
*x *t
t
für longitudinale Wellen in Isotropes Medium
= 1+ 2
I
I1
t
t
= I 1 t + I 2 t + 2 I 12
=
1
EA12k1 1, I 2
2
t
=
t
1
EA22k2
2
2
33
PHYSIK II – SS 2003 – PROF. G. DISSERTORI
2 I 12
t
1
= EA1 A2 (k1
2
Fall 1)
1
+
2
Fall 2)
1
=
2
2
" cos "(k k ) x (
2
1
$
' 1
k2 1 ) $
$ cos "(k1 + k2 ) x (
'
'$
I 12 = 0
=
Simon Bucheli – [email protected]
#
%
%
# %
1 + 2 ) t + ( 1 + 2 )( %
t(
2
)t + ( 1
2
)#(
t
= I1 + I 2
I
2 k1 = k2 = k
v1 =v2
2 I 12 = EA1A2k cos (
Fall 2a)
1
Fall 2b)
1
=
2
=
I
=
I
2
2
1
)
1
2
E (A1 + A2 ) k
2
1
2
E (A1 A2 ) k
2
4.3.2) Reflexion und Transmission
.
Wellen mit Frequenz
k=
.. kann verschieden sein für verschiedene Wellen
v
falls v verschieden:
E
v=
Auftreffend:
Reflektiert:
= Ae i(k1x
A
= Rei (
R
Transmittiert:
Fs
µ
oder v =
T
t+
A
)
t+
R
)
k1x
= Te i(k2x
Beachte: a) A, R,T ,
70
b) am Ende:
c) Setzen
t+ r)
= Re (..e i
A,R,T
()
)
=0
A
Die Randbedingungen bei x = 0 :
A) lim (
x
0
A
+
R
) = lim
x 0
T
B) Bei Seilwelle: Kraft von Seil in auf Seilelement im Medium 2 = Kraft von Seil in Medium 2 auf
Seilelement im Medium 1.
Resultierte Kraft auf Punkt im Seil: F = FS
FS1
* A
*x
i t
aus A) Ae
x =0
+ FS1
+ Re
* R
*x
i( t
R
)
x =0
= FS2
i( t
= Te
*T
*x
T
*
*x
x =0
)
A + Rei R = Te i T
A,
Im A = T sin
R sin
T
!
R
=0
T sin
aus B) AFS1 k1 = TFS2 k2e i T + RFS1 k1e i R
Im A = T sin
T
wegen (a) T sin
34
FS2 k2
+ R sin
FS1 k1
!
T
( + 1) = 0
R
=
FS2 k2
=
FS1 k1
FS2 µ2
FS1 µ1
T
= R sin
R
(a )
PHYSIK II – SS 2003 – PROF. G. DISSERTORI
!
sin
T
T
=
=0
T
= 0 oder
ist keine Lösung, weil im Limes:
FS2 , µ2
FS1
Simon Bucheli – [email protected]
Also: sin
sin
T
,
µ1
R = 0,
=0
R
Re A = T cos
T
= 0 , es kann kein Phasensprung geben.
= 0 oder
+ R cos
T
1
A = T ±R
T
=0
T
!
R
A
+1
1
R
R =0
R=
(b)
aus A) Re A = T cos T R cos
A = T R (c)
R
aus (b) und (c) folgt:
1
R=±
A
1+
2
T=
A
1+
Fall 1) = 1
FS k
2 2 2 =1
FS1 k1
R = 0, T = A
> 1 , z. B. FS2 > FS1
Fall 2)
da R , , 7 0
R
R=
negatives Vorzeichen
=
1
A
+1
T=
2
1+
A
1 1
A
A
T =0
1+ 1
müssen positives Vorzeichen wählen
:R =
lim
<1
Fall 3)
µ2 > µ1
=0
1
R=
A
1+
lim : R
A
R
0
4.4) Stehende Wellen
Allgemeine Bewegung der Saite,
(x , t ) , muss die Wellengleichung erfüllen.
FS
*
*
= v2
; für eine Saite: v =
2
2
*t
*x
µ
d. h. aber auch, dass eine Normalschwingung (Eigenmode) die Wellengleichung erfüllt. Eigenmode:
Nur eine Frequenz .
Ansatz:
(x , t ) = u (x ) cos ( t
) Einsetzen in Wellengleichung
2
2
2
du
2
+
u
=
0;
k
=
dx 2
v2
v2
2
2
35
PHYSIK II – SS 2003 – PROF. G. DISSERTORI
Simon Bucheli – [email protected]
2
du
+ k 2u = 0
dx 2
Allgemeine Lösung: u (x ) = uo cos (kx
) oder u (x ) = A cos (kx ) + b sin (kx )
Wie erhält man die Konstanten A, B? aus „Randbedingungen“
Fall I) Fest eingespannte Saite
Randbedingungen: u (x = 0) = 0 und u (x = ) = 0
..Saitenlänge
u (x = 0) = 0
A = 0!
u (x = ) = 0
B = sin k
!
k =n
n = 1, 2, 3, …
n
Nur diskrete Werte kn möglich. kn =
.. „Eigenwerte“
n
=
2
2
=
kn
n
(Wellenlänge)
Eigenfunktion: un (x ) = Bn sin
Eigenfrequenzen:
= kn v =
n
n
x
FS
µ
n
=
n
n
2
“die Harmonischen“
1. Harmonische:
1
FS
µ
=
Normalschwingung:
n
(x , t ) = Bn sin
n
(x , t ) = an sin
n
x cos (n 1t
n
n
) oder
x cos (n 1t ) + bn sin
n
x sin (n 1t )
an , bn : Aus Anfangsbedingungen (z. B Zupfen einer Saite)
Fall II) Falls ein Ende offen
u (x = ) = maximale Auslenkung
!
sin k = 1 n = 1, 3, 5, 7, …
n
, n ungeradzahlig
kn =
2
FS
n
1
oder: n =
;
n =
2
µ
2
FS
µ
4.4.1) Allgemeine Schwingungen der Saite
Allgemeine Lösung:
n
x "'an cos (n 1t ) + bn sin (n 1t )#(
d. h. (x , t ) = ! sin
n =1
Beispiel
gezupfte Saite
bei t = 0 : (x , 0) = ! an sin
n
!
x = (Dreiecksfunktion )
n =1
“räumliche“ Fourierreihe mit Periode
1
;
2
8
n
=n
Frage: Was sind die Koeffizienten an ?
Haben früher gesehen: lässt sich schreiben als:
8A "
1
3
1
5
sin
x + 2 sin
(x , 0) = 2 $1 sin x
2
$'
3
5
8A 1
an = 2
, n..ungerade
n2
36
,
x
=2
#
%
%(
PHYSIK II – SS 2003 – PROF. G. DISSERTORI
Simon Bucheli – [email protected]
Koeffizienten bn ?
*
!
(x , 0) = 0
*t
Seite ist in Ruhe zur Zeit t = 0 !
*
n
!
x n 1 =0 x
bn = 0 n
(x , t ) = ! bn sin
*t
n =1
t =0
"
#
$
%
8A
1
3
%
+
(x , t ) = 2 $$sin x cos 1t
sin
x
cos
3
t
(
)
%
1
2
3
$
%
$ erste Harmonische
%
Oberwellen, höhere Harmonische!
'
(
2. Anfangsbedingung:
4.5) Akustik (Tipler, Kap 14)
Schallwellen: Longitudinale Wellen in Medien; Luft: Akustik
Druckvariation, Druchwelle
p (x , t ) = pa + ps (x , t ) = pa + pmax sin (kx
pmax
t+ )
ath.
Druck
5
3 10 Pa
30Pa
Hörschwelle
Schmerzgrenze
101kPa
k=
2
; vS =
k
343 m s
Beachte: Druckschwankungen:
phasenverschoben zur Auslenkung!
2
Beachte: Überlagerung von Tönen wird als angenehm (harmonisch) empfunden, falls die Klänge
viele gemeinsame Oberwellen haben.
n
x "$an cos (n
'
t
n =1
n
x "$an cos (n
2 (x , t ) = ! sin
'
t
n =1
a
1,2
= a, p ,
p
1,1
1
(x , t ) = ! sin
t)#%
(
t) + bn sin (n
1,1
t) + bn sin (n
1,2
1,1
1,2
t)#%
(
Beugung, Brechnung, Dispersion
Brechung: n1 sin 1 = n2 sin 2
c 1
c 1
sin 1 =
sin
v1
v2
n1 sin = n2 sin 2
?
v med = f ( )
c
n = n( )=
71
v med ( )
Beugung: sin
k
=k
Dispersion
1
a
Phasengeschw. vm =
k
*
Gruppengeschw. v p =
*n
(
: B sin (k x
Ai : A sin k1x
Bi
2
t
1
)
t
2
)
37
PHYSIK II – SS 2003 – PROF. G. DISSERTORI
= 2 sin ( +2 ) cos ( 2 )
a
&
2 1a
= =
a sin
Spaltenbreite a, & = sin , k
2
2
2
22
A (x ) = A0 sin (k
t)
A + B : sin
Simon Bucheli – [email protected]
+ sin
sin(k (l0 x sin )
a
a
A (x ) dx = A0
0
=
sin
2
=
a
t)
sin (k [l0
t) dx
x sin ]
f = kl 0
t
g = k sin
0
a
sin (f + gx )dx
= A0
0
1
g [cos(f ga ) cos f ]
1
sin u
ga
a
g sin f + 2 sin 2 = u
2
Maxima:
1
ka sin
2
= (2n + 1)
Minima:
12
a sin
2
= ±n
Phasengeschwindigkeit: k =
sin (kx
sin
8
sin
=n
,
= c,
2
t ) + sin ((k + &k ) x
=
u=
1
ka sin
2
2n + 1
2 a
a
=2
=
2 c
( + & ) t ) = 2 sin k +
= ck
&k
x
2
c = vPh =
+
k
&
t cos
2
h
&k
x
2
dx
vgr =
dt
zu Dispersion, Gruppengeschwindigkeit
Annahme: Wellenbuckel ergibt sich aus Überlagerung von harmonischen Wellen mit
k , [k0
, k0 + ],
k0
Allgemein gilt:
(x , t ) =
1
2
+
A (k )e (
i kx
(k )t )
dk
Fouriervariable zu t :
Fouriervariable zu x : k
Da k + 0 nun in kleinem Intervall
(x , t )
1
2
k0 +
A (k )e (
i kx
(k )t )
(6)
dk
k0
Dispersionsrelation: = (k )
zu Erinnerung: Dispersionfrei: (k ) = v k , v = const (eine Gerade)
Nicht dispersionsfrei, falls Geschwindigkeit von der Frequenz abhängt
Taylorentwicklung:
klein, da
d
+ O(
(k )
(k0 ) +
dk k =k0
können (6) schreiben als:
38
klein
2
)
&
t
2
vgr =
*
*k
PHYSIK II – SS 2003 – PROF. G. DISSERTORI
(x , t ) =
=
1
2
A (k 0 +
1 i(k0x
e
2
(k0 )t )
)e ((
)x
i k0 +
A (k 0 +
(k )t)
d
)e
(
G x
(x , t ) =
vG :=
d
dk
i
d
x
dk
(k0 ) +
(k )
mit
Simon Bucheli – [email protected]
d
dk
k =k0
t
d
k =k0
t
d
dk k =k
0
)
1 i(k0x (k0 )t)
e
G (x vG t )
2 harmon. Welle Modulation
: Gruppengeschwindigkeit
k =k0
Modulation: „Wellenbuckel“, der mit Geschwindigkeit vG =
4.7.1) Nicht-relativistischer Dopplereffekt
d
dk
nach „rechts“ läuft.
k =k0
d.h. mechanische Wellen in einem Medium
a) Quelle bewegt sich relativ zum Medium. Beobachter in Ruhe.
v..Wellengeschwindigkeit im Medium
Falls Medium sich bewegt, mit Geschwindigkeit vM , v
v + vM (z. B. Wind)
0 ..Frequenz des Senders
uQ ..Geschwindigkeit der Quelle relativ zum Medium
Beobachter misst Frequenz:
=
0
1
1
uQ (A)
v
: Quelle nähert sich
+ : Quelle entfernt sich
= 0
b) Quelle relativ zu Medium, Beobachter bewegt, uE
u
= 0 1± E
(B)
v
: Empfänger nähert sich
+ : Empfänger entfernt sich
Beachte:
uQ
1
"
uQ
uQ 2
uQ 3 #
1
v
$
%
O
1
= v0
±
+
+
(A) :
0 $
ua
%
v
v
v
1
'
(
v
uQ 2
d. h. (A) und (B) unterscheiden sich um
v
u 2
d. h. falls Korrektur
messbar
unterscheidbar, ob Quelle in Ruhe oder in Bewegung
v
relativ zum Medium.
Falls sich Quelle und Beobachter bewegen:
Quelle bewegt sich auf Beobachter zu:
1
=
1
01
1
ua
v
39
PHYSIK II – SS 2003 – PROF. G. DISSERTORI
Beobachter bewegt sich auf Quelle zu:
1+
02
=
1
;
01
=
0
2
=
0
1
1
=
uE
1+
02
Simon Bucheli – [email protected]
uE
v
uQ
v
4.7.2) Relativistischer Dopplereffekt
Elektromagn. Welle: Kein Äther
=
0
=
0
=
u
c
1
, entfernen
1+
1+
, nähern
1
u..Relativgeschwindigkeit c..Lichtgeschwindigkeit
Rotverschiebung: Quelle entfernt sich:
0
es zählt nur Relativgeschw. Q 9 E
kein Medium
= c3
4
0 =c
5
=
=
0
1
1+
1+
1
0
Anwendung
1+
1+
=
1
1
b) Rotverschiebung des Lichtes von Sternen
a) Radar:
=
0
=
0
0
1+
1
1
0
(1 + 2 )
5. Thermodynamik
der mittlere Molekülabstand ist also
Beachte: Typisch gilt: Gas 10 3 Festkörper
1
d Gas <
d Festkörper .
Im Gas: E kin
E pot
~ 10
Ein ideales Gas ist charakterisiert durch 3 Zustandsgrössen:
1) Druck p
zu 1)
2) Volumen [v ] = m 3
Druck p :=
p=
F n
A
[p] = 1Pa =
Kraft F
Fläche A
3) Temperatur T [T ] = K (Kelvin)
(Skalar, hat also keine Richtung!)
n ..Normalvektor auf Fläche A, n = 1
N
m2
(
)
es gilt: p V = const Konstante hängt von T ab
Experiment: p .
1
V
Sei M..Gesamtmasse des Gases
40
=
M
V
[ ] = °C
PHYSIK II – SS 2003 – PROF. G. DISSERTORI
p V =p
p
=
p0
M
p
= const
Simon Bucheli – [email protected]
= const
z. B. p0 ..Atmosphärendruck
0
..Dichte bei Atmosphärendruck
0
5.2.2) Barometrische Höhenformel
Änderung des Druckes bei Anstieg d. h. in Atmosphären:
gAdh
dp = p (h + dh ) p (h ) =
=
gdh
A
Annahme: T = const „isotherme Atmosphäre“
p
p
= 0
dp = 0g dh
p0
p0
dp
=
p
0g
1
dh 2
p0
p
p0
h
dp
p
=
ln p ln p0 = ln
p0
dh =
g
0
0
p0
gh
p
p0
p (h ) = p0e
Beachte:
0
0 gh
p0
S0
hängt von T ab.
p0
0 gh
(h ) =
p0
0e
1
z. B. p = p0 9 h = 5.7km,
2
0
= 1.24 kg m 3 p0 = 1013hPa
5.2.3) Gay-Lussac Gesetz
Isobare Zustandsänderungen, d. h. p = const
1
V = V0 (1 + )
=
273.15°C
Absolute Temperatur: T = 273.15 +
V = V0
T
T0
°C
K
T0 = 273.15K
p0 ,V0 ,T0 : Zustandsgrössen bei „Normalbedingungen“. z. B. p0 = 760Torr , T0 = 273.15K
Analog:
Isochore Zustandsänderung: V = const (Amonton)
T
p = p0 (1 + ) = p0 !
T0
5.2.4) Zustandsgleichung idealer Gase:
41
PHYSIK II – SS 2003 – PROF. G. DISSERTORI
Simon Bucheli – [email protected]
(p1,V1,T1 )
T2 p1 = const
T
p1,V = 2 V1,T2
T1
p1
p2 T2 = const
(p2 ,V2 ,T2 )
T1
Boyle-Mariotte:
p2 T2
= V1
m
m
p2V2
p1V1
p0V0
=
= const =
T2
T1
T0
p2V2 = p1V
V = V2
Andere Schreibweisen:
Rs
p
p0
pV = 0 V0 T =
T0
T0
0
Molare Masse: Masse eines Mols: m mol
molare Masse: n :=
RS ..spez. Gaskonstante RsLuft
M T = MRST
M
m mol
:=R
pV = N
J
kgK
z. B. 12C : 12g / mol
pV = n m mol Rs T = nRT R..universelle Gaskonstante = 8.3143
Andererseits:
N
n=
NA
280
J
mol K
N ..Gesamtzahl der Teilchen im Gas
R
T = NkBT
NA
kB ..Bolzmann-Konstante = 1.38 10
23
J
K
5.3.1) Einschub Wahrscheinlichkeitsrechnung
Sei x ,
eine Zufallsvariable
Wahrscheinlichkeit, einen Wert für x im Intervall [x , x + dx ] zu finden:
n (x )
P (x , [x , x + dx ]) = w (x )dx = lim
w (x ) ..Verteilungsfunktion
N
N tot
n (x ) ..Anzahl der Fälle, wo x , [x , x + dx ]
N tot ..Gesamtzahl der Versuche
Sei g (x ) Funktion von x: Wahrscheinlichkeit, einen Wert in [g (x ), g (x + dx )] zu finden = w (x )dx
Wahrscheinlichkeit, dass
b
x , [a, b] : P (x , [a, b]) =
w (x )dx
w (x ) ..Wahrscheinlichkeitsverteilung, Verteilungsfunktion
a
Mittelwert, Erwartungswert von x. E [x ], x , x
+
Definition des Erwartungswertes: E [x ] =
+
xw (x )dx
+
n-tes Moment: x n =
x n w (x )dx
+
Varianz: V [x ] :=
(x
Standardabweichung
42
2
E [x ]) w (x )dx = x 2
(x ) :=
V [x ]
x
2
w (x )dx = 1
PHYSIK II – SS 2003 – PROF. G. DISSERTORI
Root-Mean-Square RMS: x RMS :=
Simon Bucheli – [email protected]
x2
Diskrete Zufallsvariable (z. B. Würfelzahlen) x i i = 1, …, N dann gilt:
!
N
x = ! x i wi
i =1
5.3.2) Maxwell-Boltzmann-Verteilung
Im Tipler gezeigt:
1
m vx2
2
1
1
36
1
kBT = m vx2
kBT = E kin = m v 2
6 Freiheitsgrade
2
2
2
2
1
Problem: Um E kin = m v 2 zu berechnen
müssen f (v ) kennen, d. h. die
2
Wahrscheinlichkeitsverteilung der Geschwindigkeit der Moleküle:
Für ideales Gas gilt: p V = N kB T = 2N
dN = const f (v )d 3v
dN : Anzahl der Moleküle mit v , d 3v
d 3v : dvx dvydvz
Gesamtzahl der Moleküle n =
const f (v )d 3v
dN =
N
const =
f (v )d 3v
alle v
alle
Teilchen
Wahrscheinlichkeit, Molekül mit v , d 3v
f (v )d 3v
dN
=
N
f (v )d 3v
f (v )d 3v
P [v ,
]=
f (v )d 3v
Frage: f (v ) = ?
3
mv 2
2kBT
2
m
Antwort: Maxwell-Boltzmannverteilung. f (v ) = Ce
C =
2 kBT
Falls nun v = v von Interesse, nicht die Richtung: Integriere über alle Richtungen!
dN (v)
:= f (v = v )dv = C f (v )d 3v
Kugelschale mit Radius v, Dicke dv
N
2
3
3
d v = v dv sin d d
f (v)dv =
d
0
2
f (v) = 4 Cv e
2
sin d v dvCe
mv 2
2kBT
0
4
mv 2
2kBT
5.3.3) Herleitung der Maxwell-Boltzmann-Verteilung
Baromet. Höhenformel:
(h ) =
e
0
0 gh
p0
0
M
=
, p0V0 = NkBT
V0
(h )
N Teilchen der Masse m ergeben M: Teilchenzahldichte n (h ) =
m
E p .. potentielle Energie
Falls Molekül von Höhe z 0 startet:
vz > u : hmax > h + z 0
(h ) =
e
0
Mgh
NkBT
n (h ) = n 0e
mgh
kBT
Ep
= n 0e
kBT
vz < u : hmax < h + z
Zahl der Moleküle, die von z = 0 starten, mit vz > u : N >u (z = 0)
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n>u (z = 0) = N >0 (z = h ) (a)
Andererseits. Zahl der Moleküle, die pro Zeit durch Einheitsfläche fliegen:
N (vz ) = n vz n : Dichte
(
Isotherme Atmosphäre T = const h
)
f (vz ) unabhängig von h!
vz f (vz )dvz
N >0 (z = h ) = n (h )
0
vz f (vz )dvz = N >0 (z = 0)
< n (0)
0
Aus (a) und (b) folgt:
(b)
N >u (z = 0) N >0 (z = h ) n (h )
=
=
N >0 (z = 0) N >0 (z = 0) n (0)
vz f (vz )dvz
Andererseits: n>u (z = 0) = n 0
(c)
(d )
u
Aus (c) und (d ) folgt: (n (0) = n 0 )
n (h )
vz f (vz )dvz =
N >0 (z = 0) = e
n (0)
n0
u
e
vz f (vz )dvz = C 1e
2
mu 2
2kBT
u f (u) =
m
f (u) =
C1 e
kBT
+
!
f (u)du = 1
mu 2
2kBT
mu 2
2kBT
mu 2
kBT
vz f (vz )dvz
n0
0
C1
d
dU
u
m
ue
kBT
mgh
kBT
C1
u 9 vz
m !
m
=
C1
2 kBT
kBT
m
f (v ) = f (vx ) f (vz ) f (vz ) =
2 kBT
3
1
2
e
2
mv 2
2kBT
5.4) Reale Gase, Van-der-Waals-Gleichung
Reale Gase: Teilchen v Ausdehnung und Wechselwirkung
nRT
Ideales Gas: p =
V
1. Teilchen haben Ausdehnung
V
V V 6 <V
nRT
p=
V V6
2. Volumenrand: Anziehung durch die restlichen Teilchen. p
(p + p 6 )(V V 6 ) = nRT V 6 = ? p 6 = ?
p
p6
1 Mol: (n = 1) : VM
VM VM6 , VM6
4N AVa (Va : Molekülvolumen)
6
(p + p )(VM 4N Ava ) = RT
1
a
p6 . 2 . 2
p + 2 (VM b) = RT b = 4N AVa
V
V
an 2
n Mole: p + 2 (V nb) = nRT V = nVM
V
a..Konstante hängt von Substanz ab.
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Beachte: p =
RT
VM b
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a
= p (Vm )
VM2
*p
*2 p
= 0 und
=0
*VM
*VM2
VMKrit = 3b, T Krit =
8 a
27 Rb
6. Wärmelehre (siehe Tiper Kapitel 16)
6.1) Wärmeenergie, spezifische Wärme
Energie
Körper K ::::
Temperaturanstieg &T
Wärme Q, [Q ] = cal = 4.184J
Im Tipler:
Q = C &T = m c &T
Ich ( Dissertori) bevorzuge:
&Q = m c &T
Fallunterscheidungen:
a) Volumen konstant
&Q = m cV &T
&Q verwendet zur Erhöhung von innerer Energie
1 &Q
J
cV =
[cV ] =
m &T V
kg K
b) Druck konstant
1 &Q
cp =
m &T p
&Qp = cp m &T = cV m &T + p &V
Vom Gas verrichtete Arbeit:
W = F &x = p A &x = p &V
Beachte:
p &v
m &T
p V = mRT
s
c p cV = Rs
cp
cv =
p &V = mRs &T
cVmol = R
pro Mol: cpmol
6.1.1) Innere Energie und Freiheitsgrade (siehe Tiper 16.7)
Ideales Gas: E inn
tot
= E kin
V = const : QV = & ( E kin
NB: E tot
L2
=
2I
tot
=N f
)tot = N
f
1
kBT
2
f ..Anzahl der Freiheitsgrade
1
kB &T = cV m &T
2
cV
1
1
1
= Rs f
N kB f
m
2
2
Rs
L .n
n = 1, 2, 3, …
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f +2
Rs
2
c
f +2
Definition: := p =
(Adiabatenkoeffizient)
cV
f
6.1.2) Spezifische Wärme von Festkörpern
Andererseits: cp = Rs + cV
cp =
Erinnerung: Für harmonischen Oszillator gilt:
1
E kin = E pot = E tot
2
Innere Energie von Festkörpern:
E int
tot
= E kin
tot
+ E pot
tot
= 2 E kin
V = const : &Q = cV m &T = & E int
3R
cVmol = m mol cV = 3R
cV =
m mol
3
kBT
2
= 3N kB &T
tot
tot
=2 N
Regel von Dubing-Petit: Spezifische Wärme eines Festkörpers pro mol = 3R
6.1.3) Ergänzung
Mit Quantentheorie: E int
tot
= 3N
1
0
0
e kBT
1
Planckverteilung
Anzahl der angeregten
Oszillatoren bei T .
cV =
1 & E int
m
&T
:=
tot
2
cV = n 3R
T
46
: cV . T 3
kB
eT
(e
)
2
T
Hohe Temperaturen:
T
: cVmol
3R
T
0
1
..Einsteintemperatur
6cal
mol K