Theoretische Physik 2: Elektrodynamik

Theoretische Physik 2: Elektrodynamik
Technische Universität München, Wintersemester 2007/08, Harald Friedrich
1. Elektrostatik
elektrische Ladung, elektrisches Feld, elektrostatisches
Potenzial, dielektrisches Medium
2. Magnetostatik
magnetische Kräfte, Magnetfeld, Magnetostatik im Medium
3. Zeitabhängige Felder
Maxwellgleichungen, Wellen, Strahlung
4. Relativistische Formulierung der Elektrodynamik
Lorentz-Transformation, 4-er Vektoren, Feldtensor
Mathematische Ergänzungen
Deltafunktion, Differentiation und Integration von
Vektorfeldern, Sätze von Gauß, Kugelflächenfunktionen
Lehrbücher
• J. D. Jackson, Klassische Elektrodynamik (4. Aufl.), Walter de
Gruyter, Berlin 2006 (sehr umfassend)
• W. Nolting, Elektrodynamik, Verlag Zimmermann-Neufang,
Ulmen, 1990 (ausführlich)
• T. Fließbach, Elektrodynamik, (4. Aufl.), Spektrum
Akademischer Verlag, Heidelberg, 2004 (kompakt)
• E. Rebhan, Theoretische Physik: Elektrodynamik, Spektrum
Akademischer Verlag, Heidelberg, 2006 (neu)
1. ELEKTROSTATIK
Es gibt zwei Arten elektrischer Ladung, “positiv” und “negativ”.
Die Einheit: ein “Coulomb” (C) = 1 Ampere × 1 Sekunde. Ein
Ampere ist die Stärke des elektrischen Stroms, der in zwei dünnen
unendlichen parallelen Drähten im Abstand von 1 m fließt, wenn
diese sich dadurch mit einer Kraft von 2 × 10−7 Newton pro Meter
der Drähte anziehen (s. S. 27).
Ladung tritt nur in ganzzahligen Vielfachen der Elementarladung
e0 = 1, 602176462(63) × 10−19 C auf. Ladung eines Elektrons: −e0 .
Die Kraft F~12 , die eine Ladung q1 am Ort ~r1 durch eine Ladung q2
am Ort ~r2 erfährt, ist
F~12 =
q1 q2
~r1 − ~r2
1
.
4πǫ0 |~r1 − ~r2 |2 |~r1 − ~r2 |
Coulombsches Gesetz
Dielektrizitätskonstante des Vakuums (s. auch S. 27, 36):
ǫ0 = 8, 854187817 . . . × 10−12 C/(Vm); [1 V (Volt)=1 Joule/C]
2
7A
4πǫ0 = 10
1
,
2
N c0
c0 = 2, 99792458×108
m
s
(Lichtgeschwindigkeit)
Elektrisches Feld: Sei F~q (~r) die Kraft, welche eine kleine Probe~ an diesem Ort
ladung q am Ort ~r erfährt. Das elektrische Feld E
~ r) = limq→0 F~q (~r)/q. [Einheit: N/C=V/m]
ist definiert als E(~
Das elektrische Feld einer bei ~r = 0 ruhenden Punktladung q folgt
aus dem Coulombschen Gesetz:
~ r) =
E(~
q 1 ~r
.
2
4πǫ0 r r
Superpositionsprinzip: Mehrere (ruhende) Ladungen qi an den
Orten ~ri
X qi ~r − ~ri
~
.
E(~r) =
3
4πǫ
|~
r
−
~
r
|
0
i
i
Elektrostatisches Potenzial
~ r) = −∇Φ(~
~ r ) : “Φ(~r) ist das elektrostatische Potenzial zu E(~
~ r)”.
E(~
1 q
Beispiel 1, Punktladung q am Ursprung: Φ(~r) =
+Konstante ,
4πǫ0 r
1 X qi
+Konstante ,
Beispiel 2, Punktladungen qi bei ~ri : Φ(~r) =
4πǫ0 i |~r − ~ri |
Z
′
1
ρ(~
r
) 3 ′
′
kontinuierliche Ladungsverteilung ρ(~r ): Φ(~r) =
d r +Konstante .
4πǫ0
|~r − ~r ′ |
Elektrisches Feld einer kontinuierlichen Ladungsverteilung:
Z
′
′
ρ(~
r
)(~
r
−
~
r
) 3 ′
1
~ r) =
d r .
E(~
′
3
4πǫ0
|~r − ~r |
~ auf Punktladung Q am Ort ~r:
Kraft durch elektrostatisches Feld E
~ r) .
F~ = Q E(~
Bestimmungsgleichungen für elektrostatische Felder
ρ(~r ′ )(~r − ~r ′ ) 3 ′
~ · E(~
~ r) = ρ(~r) .
∇
d
r
=⇒
|~r − ~r ′ |3
ǫ0
I
Z
~ · d~ω = Q , Q =
E
Integrale Form :
ρ(~r)d3 r .
ǫ0
Ω(V )
V
~ r) = 1
E(~
4πǫ0
Z
~ = −∇Φ
~ =⇒ ∇
~ ·E
~ = −∆Φ ,
E
ρ
∆Φ +
Poissongleichung
=0,
Potenzialgleichung :
ǫ0
Allgemeine Lösung der Potenzialgleichung,
Z
1
ρ(~r ′ ) 3 ′
Φ(~r) =
d r + Φhom ,
4πǫ0
|~r − ~r ′ |
Φhom ist eine (beliebige) Lösung der homogenen Gleichung: ∆Φhom = 0.
σ
.
Wichtiges Beispiel : ρ(~r) = σδ(z) =⇒ lim Ez − lim Ez =
z→0−
z→0+
ǫ0
Leiter, Randbedingungen
~ = 0 =⇒ ρ = 0,
Im Inneren eines idealen Leiters ist E
Φ = const.
~ auß = σên /ǫ0 .
An der (äußeren) Oberfläche eines Leiters gilt: E
Für einen Leiter mit Ladung Q und endlichem Volumen V gilt:
I
I
I
Q
1
~ auß · d~ω = −
~
E
(∇Φ)
· d~
ω.
=
σ|d~ω | =
ǫ0
ǫ0 Ω(V )
Ω(V )
Ω(V )
Mehrere Leiter Li im Raum, für elektrostatisches Feld dazwischen:
ρ
~
~
;
(∗)
∇ · E = −∆Φ =
ǫ0
ist der Raum zwischen den Leitern ladungsfrei, dann ist ρ = 0.
Mögliche Randbedingungen:
(i)
(ii)
Ladung auf Li ist Qi
Potenzial auf Li ist Φi
Die Differenzialgleichung(en) (*) und die Randbedingung (i) oder
~ bzw. Φ (bis auf globale Konstante) eindeutig.
(ii) bestimmen E
Ein Kondensator besteht typischerweise aus zwei voneinander
isolierten Leitern L1 und L2 , welche die elektrische Ladung Q bzw.
−Q tragen. Die Potenzialdifferenz U = ΦL1 − ΦL2 hängt von der
geometrischen Anordnung und dem elektrischen Feld zwischen den
Z L2
|Q|
~ r.
E·d~
Die Kapazität ist: C =
Leitern ab, U =
.
U
L1
Beispiel, Plattenkondensator: Zwei Platten, Abstand d,
~
Fläche S, Ldg Q (⇒ σ = Q/S) → (fast) homogenes Feld E,
~ =
|E|
σ
Q
~ = Qd ;
⇒ U = |E|d
=
ǫ0
ǫ0 S
ǫ0 S
C=
Q
ǫ0 S
=
.
U
d
Q′
Arbeitsaufwand beim Aufladen: dA = U (Q )dQ =
dQ′ ;
C
Z Q ′
1 Q2
1
1
Q
′
dQ =
= QU = CU 2 .
gespeicherte Energie: A =
C
2 C
2
2
0
′
−Q
+Q
E
S
′
d
Methode der Spiegelladungen
−Q
d
+Q
Betrachte eine (positive) Punkt 
x0
ladung Q am Ort ~r0 =  y0 
d
im Abstand d von einem Leiter,
der den Halbraum z ≤ 0 füllt;
x-y-Ebene ist Leiteroberfläche.
Die Spiegelladung ist die Punkt-

x0
ladung −Q am Ort ~rs =  y0 , und das elektrische Feld, das von
−d
~r − ~r0
~r − ~rs
Q
~
−
.
Ladung und Spiegelladung ausgeht ist E(~r) =
4πǫ0 |~r − ~r0 |3
|~r − ~rs |3
~ ·E
~ = ρ/ǫ0 ; an Leiteroberfläche ist Ex = Ey = 0.
Für z > 0 gilt ∇
Die durch die Punktladung Q influenzierte Ladungsdichte σ(x, y)
erzeugt außerhalb des Leiters (z > 0) dasselbe Feld wie die Spgldg.

Die Methode der Spiegelladungen kann in machen Anordnungen
geeigneter Symmetrie genutzt werden, um das elektrische Feld im
Raum außerhalb der Leiter zu berechnen. Weiteres Beispiel:
Rechtwinkelige Ecke, Leiter füllt Dreiviertelraum x ≤ 0 oder y ≤ 0:
y
Punktladung +Q am Ort ~r0 im leiterfreien
Viertelraum x > 0 und y > 0, Spiegelung
an y-z-Ebene → SpLdg −Q bei ~r1 ,
+Q
−Q
Spiegelung an x-z-Ebene → weitere
r0
r1
SpLdgn: +Q bei ~r2 und −Q bei ~r3 .
x
r2
~ = 0;
im Leiter: E
r3
+Q
−Q
Q
~
E(~r) =
4πǫ0
Elektrisches Feld:
im Viertelraum x ≥ 0 und y ≥ 0:
~r − ~r0
~r − ~r1
~r − ~r2
~r − ~r3
−
+
−
|~r − ~r0 |3
|~r − ~r1 |3
|~r − ~r2 |3
|~r − ~r3 |3
.
Multipolkomponenten des elektrostatischen Feldes
Räumlich begrenzte Ladungsverteilung: ρ(~r ′ ) = 0 f. |~r ′ | > d.
r´
r
1
Potenzial: Φ(~r) =
4πǫ0
′
Z
ρ(~r ′ ) 3 ′
d r
′
|~r − ~r |
′ 2
2 ′2
1 ~r · ~r 3(~r · ~r ) − r r
1
= + 3 +
Taylor-Entwicklung:
|~r − ~r ′ |
r
r
2r 5
1
+ O
r
Entsprechende Entwicklung des Potenzials: Φ(~r) = Φ0 +Φ1 +Φ2 +O
1
r4
′
r
r
3 !
.
1 Q
, Q = ρ(~r ′ ) d3 r ′ (Q = Gesamtladung) ,
4πǫ0 r
Z
1 ~r · p~
′
′
3 ′
Dipol-Term: Φ1 (~r) =
,
p
~
=
~
r
ρ(~
r
)
d
r (~
p = Dipolmoment) ,
3
4πǫ0 r
p~
(~r · p~) ~r
1
~
~
− 3 .
3
Elektrisches Dipolfeld: E1 (~r) = −∇Φ1 (~r) =
4πǫ0
r5
r
Monopol-Term: Φ0 (~r) =
Z
Quadrupolfeld
1 1
Φ2 (~r) =
4πǫ0 2r 5
Z
2
ρ(~r ′ ) 3(~r · ~r ′ )2 − r 2 r ′ d3 r ′ =
1
4πǫ0
2r 5
×
h
i
Q̃xx (3x2 − r 2 ) + Q̃yy (3y 2 − r 2 ) + Q̃zz (3z 2 − r 2 ) + 6xy Q̃xy + 6yz Q̃yz + 6zxQ̃zx ,
Z
Z
2
wobei Q̃xx = x ′ ρ(~r ′ ) d3 r ′ , etc., Q̃xy = x ′ y ′ ρ(~r ′ ) d3 r ′ , etc.
Q̃ij ist ein zweistufiger Tensor, wie auch der zweistufige Ortstensor


xx xy xz
R̃ij =  yx yy yz  .
zx xy zz
Ein zweistufiger Tensor ist durch das Transformationsverhalten
seiner Komponenten bei Drehungen im dreidemensionalen Raum
charaktisiert.
Bei einer Drehung wird das Verhalten der Komponenten
eines
 
vx
einstufigen Tensors — also eines Vektors ~v =  vy  — durch
vz
3
X
Oij vj .
eine orthogonale 3×3-Matrix O bestimmt: vi → vi′ =
j=1
Das Transformationsverhalten der Komponenten eines zweistufigen
Tensors T̃ ist entsprechend: T̃ij → T̃ij′ =
P
3
X
k,l=1
Oik Ojl T̃kl . Dabei bleibt
die Spur i T̃ii konstant, d.h. die Spur ist ein Skalar. Wenn man
1
3 δij Spur(T̃ ) von T̃ abzieht, erhält man den spurlosen zweistufigen
3
1 X
Tensor T mit denselben Nichtdiagonalelementen wie T̃ : Tij = T̃ij − δij
T̃ll .
3
3
X
3
Q̃ij Rij
Φ2 (~r) =
5
8πǫ0 r i,j=1
l=1
2
r
mit dem spurlosen Ortstensor Rij = R̃ij − δij .
3
Der Ausdruck für Φ2 ändert sich nicht, wenn man Q̃ durch den
!
Z
2
r′
′ ′
ρ(~r ′ ) dr ′ ersetzt:
spurlosen Quadrupoltensor Qij =
xi xj − δij
3
3
X
3
Φ2 (~r) =
Qij Rij .
5
8πǫ0 r i,j=1
Da Qij symmetrisch ist, gibt es eine Drehung der Koordinaten im
3-dimensionalen Raum, welche den Quadrupoltensor diagonalisiert:
3
X
′
T
Qij → Qij =
Oik Ojl Qkl = OQO ij = Qii′ δij
k,l=1
Bei entsprechender Wahl des Koordinatensystems, sind nur die drei
Diagonalelemente Qxx , Qyy , Qzz des Quadrupoltensors von Null
verschieden, und Qxx + Qyy + Qzz = 0. Bei Axialsymmetrie, oBdA
Qxx = Qyy = − 21 Qzz , ist nur ein Quadrupolmoment wichtig (Qzz ),
3
2
Q
(3
cos
θ − 1) .
mit z = r cos θ : Φ2 (~r) =
zz
3
16πǫ0 r
z
Kugelkoordinaten
x = r sin θ cos φ, y = r sin θ sin φ, z = r cos θ
θ
r
Orthogonale Einheitsvektoren:
  

y
x
sin θ cos φ
1  
~r
y = sin θ sin φ  ,
êr = =
φ
r
r
x
z
cos θ

 



−y
− sin φ
cos θ cos φ
1 
x  =  cos φ  ,
êθ = êφ ×êr =  cos θ sin φ  .
êφ =
r sin θ
0
0
− sin θ
~ = ∂f êr + 1 ∂f êθ + 1 ∂f êφ .
Gradient: f (~r) = f (r, θ, φ) ⇒ ∇f
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂φ
~ = Ar (r, θ, φ)êr + Aθ (r, θ, φ)êθ + Aφ (r, θ, φ)êφ ⇒
Divergenz: A
∂
∂A
∂
1
1
φ
2
~ ·A
~=
(sin
θ
A
)
+
.
r
A
+
∇
θ
r
r 2 ∂r
r sin θ ∂θ
∂φ
~ · ∇f
~ in
Der Laplace-Operator lässt sich nun leicht über ∆f = ∇
Kugelkoordinaten umrechnen:
∂2
∂
1 ∂
1
∂
1
2 ∂
∆= 2
.
r
+ 2
sin θ
+ 2 2
2
r ∂r
∂r
r sin θ ∂θ
∂θ
r sin θ ∂φ
Sphärische Tensoren
Zerlegung des Laplace-Operators in Radial- und Winkelanteil:
∂
1 ∂2
.
sin θ
− 2
2
∂θ
∂φ
sin θ
L2 ist eine lineare Abbildung im Raum aller Funktionen der Winkel
θ und φ (0 ≤ φ < 2π, 0 ≤ θ < π).
Wir suchen nach Eigenfunktionen Yλ dieser Abbildung, L2 Yλ = λYλ .
1 ∂
∆f = 2
r ∂r
∂f
1 2
2
r
− 2 L f (r, θ, φ) ,
∂r
r
Y = const ⇒ L2 Y = 0; Y =
1 ∂
2
L =−
sin θ ∂θ
x ± iy
z
= cos θ oder Y =
= sin θ e±iφ ⇒ L2 Y = 2Y ;
r
r
(x ± iy)z
z2
±iφ
=
sin
θ
cos
θ
e
Y = 3 2 − 1 = 3 cos2 θ − 1 oder Y =
r
r2
x2 − y 2 ± 2ixy
2
±2iφ
2
oder Y =
=
sin
θ
e
=⇒
L
Y = 6Y .
r2
Allgemein: L2 Ylm (θ, φ) = l(l+1)Ylm (θ, φ) , l = 0, 1, 2, . . . , m = −l, . . . l−1, l.
Ylm (θ, φ) sind die Kugelflächenfunktionen (s. S. 68).
l
l
r Ylm (θ, φ) sind harmonische Funktionen: ∆ r Ylm (θ, φ) = 0.
Eigenfunktionen eines Differentialoperators wie L2 eignen sich als
Basis des Vektorraums aller Funktionen der Winkel θ und φ.
Jede Funktion von θ und φ lässt sich nach den Ylm entwickeln:
∞ X
l
X
Y (θ, φ) =
clm Ylm (θ, φ) .
l=0 m=−l
Die Koeffizienten ergeben sich aus der Orthogonalitätsrelation:
Z
Z 2π Z π
def
∗
∗
Ylm
(θ, φ)Yl′ m′ (θ, φ)dΩ =
dφ
sin θdθYlm
(θ, φ)Yl′ m′ (θ, φ) = δl,l′ δm,m′ ,
Z 0
0
∗
clm = Ylm
(θ, φ)Y (θ, φ)dΩ .
Die Tensor-Eigenschaften einer mehrkomponentigen Funktion F (i)
sind durch das Transformationsverhalten der Komponenten bei
Drehungen im Raum gegeben. Für eine Funktion des Ortsvektors ~r
wirken die Drehungen nur auf die Orientierung — d.h. auf die
Winkel — von ~r, nicht auf seine Länge, r. Eine Entwicklung nach
∞ X
l
X
(i)
Kugelflächenfunktionen, F (i) (~r) =
Flm (r)Ylm (θ, φ) , hilft,
die Radialanteile
(i)
Flm (r)
l=0 m=−l
von den Winkelanteilen zu trennen.
Die 2l + 1 Kugelflächenfunktionen Ylm (θ, φ) zu gegebenem Index l
sind Eigenfunktionen des Winkelanteils L2 des Laplace-Operators
zum Eigenwert l(l + 1). Diese Eigenschaft bleibt bei Drehung O des
Koordinatensystems erhalten. Die Winkel θ ′ , φ′ sind im gedrehten
Koordinatensystem anders definiert, und es gibt eine wohldefinierte
Transformation der Kugelflächenfktn: Ylm′ (θ ′ , φ′ ) =
l
X
m=−l
l
Dm
′ ,m (O)Ylm (θ, φ) .
Ein (2l + 1)-tupel von Größen Fm (m = −l, −l + 1, . . . , l − 1, l),
dessen Komponenten bei einer Drehung O des Koordinatensystems
dasselbe Transformationsverhalten haben wie die Kugelflächenfktn,
′
Fm → Fm
′ =
l
X
l
Dm
′ ,m (O)Fm ,
m=−l
bilden einen sphärischen Tensor l-ter Stufe. Zwei wichtige
Unterschiede zum kartesischen Tensor N -ter Stufe, Ti1 i2 ...iN sind:
1. Alle 2l + 1 Komponenten eines sphärischen Tensors l-ter Stufe
werden durch einen weiteren Index m erfasst.
2. Irreduzibilität: Es gibt keine Linearkombinationen der
Komponenten eines sphärischen Tensors l-ter Stufe, die sich
unter allen Drehungen wie die Komponenten eines Tensors
niederer Stufe verhalten — im Gegensatz z.B. zum kartesischen
Tensor zweiter Stufe, dessen Spur ein skalar ist.
Wenn wir die räumlich begrenzte Ladungsverteilung ρ(~r ′ ) nach
Kugelflächenfunktionen entwickeln,
Z
X
ρ(~r ′ ) =
ρl′ m′ (r ′ )Yl′ m′ (θ ′ , φ′ ) , ρl′ m′ (r ′ ) = Yl∗′ m′ (θ ′ , φ′ )ρ(~r ′ )dΩ′ ,
l′ ,m′
dann ist mit Hilfe der Zauberformel,
∞
l
l
X
r<
4π X
1
∗
′
′
′
′
=
Y
(θ,
φ)Y
(θ
,
φ
),
(r
=
min{r,
r
},
r
=
max{r,
r
})
lm
<
>
lm
l+1 2l + 1
|~r − ~r ′ |
r>
l=0
m=−l
das elektrostatische Potenzial Φ(~r) für r > d
r
l
∞
X
1
4π X ∗
1
Qlm Ylm (θ, φ)
Φ(~r) =
4πǫ0
r l+1 2l + 1
l=0
m=−l
mit den sphärischen Multipolmomenten der Ladungsverteilung:
r
r
Z ∞
Z
4π
4π
l
l
2
r ′ Ylm (θ ′ , φ′ )ρ(~r ′ )d3 r ′ .
r ′ dr ′ r ′ ρlm (r ′ ) ⇒ Qlm =
Q∗lm =
2l + 1 0
2l + 1
Für
l=0:
Q00 =
Z
ρ(~r ′ )d3 r ′ = Q ;
das sphärische Monopolmoment
ist gerade die Gesamtladung Q.
Z
Für l = 1 : Q10 = z ′ ρ(~r ′ )d3 r ′ = pz ,
Z
1
1
′
′
′ 3 ′
(x ± iy )ρ(~r )d r = ∓ √ (px ± ipy ) .
Q1±1 = ∓ √
2
2
Die drei Komponenten des sphärischen Dipolmoments sind, bis auf
Linearkombinationen, die drei Komponenten des Dipolvektors p~ der
Ladungsverteilung.
Für l = 2 sind die Ql=2,m die fünf Komponenten des sphärischen
Quadrupoltensors. Das entspricht den fünf Komponenten einer
spurlosen symmetrischen 3 × 3 Matrix, die den Quadrupol-Tensor
kartesisch darstellt.
Z
1
3
′2
′2
′ 3 ′
Die m = 0 Komponente ist: Q20 =
(3z −r )ρ(~r )d r = Qzz .
2
2
Dielektrisches Medium
Ein (nichtleitendes) dielektrisches Medium enthält auf mikroskopischer Skala viele negative und positive Ladungen, die unter dem
Einfluss eines elektrischen Feldes etwas verschoben werden, das
Medium wird polarisiert. Dadurch entsteht im Medium eine induzierte Dipoldichte P~ = n~
p (n = Dichte der Dipole, p~ = mittleres
Dipolmoment eines davon), und an der Oberfläche ensteht eine
induzierte Flächenladungsdichte σP .
E
−
−
−
−
−
−
+
+
+
+
+
+
−
−
−
−
−
−
+
+
+
+
+
+
−
−
−
−
−
−
+
+
+
+
+
+
−
−
−
+
+
+
−
−
−
+
+
+
−
−
−
+
+
+
Medium
E
Das elektrostatische Potenzial ΦP (~r), das von den induzierten
Ladungen und Dipolen ausgeht, ist (vgl. S. 11):
Z
(~r − ~r ′ ) · P~ (~r ′ ) 3 ′
1
d r
ΦP (~r) =
′
3
4πǫ0 Vol(Medium)
|~r − ~r |
I
Z
′
~
~ · P~ (~r ′ )
1
P (~r ) · d~ω
1
∇
3 ′
=
−
d
r .
′
′
4πǫ0 Ofl.(Medium) |~r − ~r |
4πǫ0 Vol(Medium) |~r − ~r |
ΦP ist also das Potenzial, das von einer Flächenladung σP = P~ · ên
auf der Oberfläche des Mediums (ên ist Einheitsvektor normal zur
~ · P~ im
Oberfläche) und einer Polarisationsladungsdichte ρP = −∇
Medium hervorgerufen wird.
~ gehen wir von einer
Für kleine Stärken des elektrischen Feldes E
~ = (ǫ−1)ǫ0 E
~ ;
linearen Abhängigkeit der Polarisation aus: P~ = χǫ0 E
χ ist die dielektrische Suszeptibilität, ǫ = 1 + χ ist die relative
Dielektrizitätskonstante des Mediums. χ und ǫ sind allgemein
zweistufige Tensoren; nur im isotropen Medium sind es Skalare.
Elektrostatische Grundgleichungen im Dielektrikum
~ ·P
ρfrei + ρP
ρfrei − ∇
~
~
~ · (ǫ0 E
~ + P~ ) = ρfrei
∇·E =
=
⇒∇
ǫ0
ǫ0
~ = ǫ0 E
~ + P~ = ǫǫ0 E
~ erfasst im Mittel
Die elektrische Verschiebung D
die mikroskopischen Effekte der Ladungsverschiebungen und erfüllt
~ ·D
~ = ρfrei .
die Gleichung ∇
An Grenzfläche ohne freie Oberflächenladungen:
dω
H
(1)
~ · d~o = 0
~
~
D
∇ · D = 0 ⇒ Ofl(Kasten) D
n
dω
(2)
~ =0
~ n(1) − D
~ n(2) ) · dω
Dicke(Kasten)→ 0 ⇒ (D
D
n
(1)
2
(2)
Et
1
dl
(1)
(1)
dl
Et
(2)
Also: Dn = Dn
H
~ · d~r = 0
~
~
∇ × E = 0 ⇒ Rd(Rechteck) E
~ =0
~ t(2) ) · dl
~ t(1) − E
Breite(Rechteck)→ 0 ⇒ (E
Also: Et
(2)
= Et
2. MAGNETOSTATIK
Grunderfahrung: Auf eine bewegte elektrische Ladung q wirkt,
~ .
auch ohne elektrisches Feld, eine Kraft:
F~ = q ~v × B
~ r ) ist das Magnetfeld, oft magnetische Induktion genannt.
B(~
Einheit: 1 Volt Sekunde/ Meter2 ≡ 1 Tesla.
Die Stromdichte ~j setzt sich aus der Dichte ρ+ der positiven Ladungen, die sich lokal mit Geschwindigkeit ~v+ bewegen, und der
Dichte ρ− der negativen Ladungen (ρ− ≤ 0) zusammen, die sich
lokal mit Geschwindigkeit ~v− bewegen: ~j = ρ+~v+ + ρ−~v− .
∂ρ
~
~
Kontinuitätsgleichung:
∇·j+
=0,
ρ = ρ+ +ρ− .
∂t
~ · ~j = 0. Der Gesamtstrom
Im stationären Fall ist also ∇
R
I = Querschnitt ~j · d~ω , der einen (nichtidealen) Leiter durchfließt, ist
im stationären Fall konstant.
~ r) .
Kraftdichte auf Stromdichte im Magnetfeld: ~k(~r) = ~j(~r) × B(~
e
I
r − r (Draht)
Im idealisierten dünnen Draht
ist die (Draht)
.
Stromdichte: ~j(~r) = I êk δ ~r⊥ − ~r⊥
~
Kraft auf ein Drahtelement: dF~ = I d~r × B.
Kraft auf Drahtschleife in einem homogenen
H
H ~
~
~ =0.
Magnetfeld: F = dF = I
d~r × B
Drehmoment auf Drahtschleife in einem homogenen Magnetfeld:
I
I
~ = I ~r × d~r × B
~ = IS
~ ×B
~ , S
~ = 1 ~r × d~r .
M
2
~ ist
Das Produkt aus Stromstärke I und orientierter Oberfläche S
~
das magnetische Dipolmoment der Stromschleife: µ
~ = I S.
Nach dem Ampereschen Durchflutungsgesetz sind Ströme auch
Z
I
~ · d~r .
~j · d~ω = 1
Quellen des Magnetfeldes:
B
µ0 Rd(Fläche)
Fläche
Satz von Stokes
−→
~ ×B
~ = µ0~j
∇
~ ·B
~ = 0) .
(keine magnetischen Monopole → ∇
Magnetfeld eines stromdurchflossenen dünnen Drahts:
z
~ = µ0 I
B
2π R
êz ×
~r
r
I
B
p
, R = x2 + y 2 .
R
(µ0 = “Permeabilität des Vakuums”)
y
x
I
I’
Kraft zwischen zwei parallelen Drähten:
L
D
Magnetfeld durch I im Abstand D :
~ =
|B|
µ0 I
.
2π D
′
µ
II
0
~ L=
Kraft auf Länge L im 2. Draht: |F | = |B|I
L.
2π D
Definition der SI-Einheiten (S. 3, Ampere → Coulomb, Volt):
|F~ |
−7 N
−7 Vs
′
= 2×10
; also: µ0 = 4π×10
.
I = I = 1 A, D = 1 m ⇒
L
m
Am
′
Vektorpotenzial
~ ·B
~ = 0 =⇒ es gibt ein Vektorfeld A
~ mit B
~ =∇
~ ×A
~.
∇
~→A
~ + ∇f
~ , ändert B
~ nicht. In
Eine Eichtransformation, A
~ ·A
~ = 0, ist ∇
~ ×B
~ = −∆A
~ und die GleiCoulomb-Eichung, ∇
Z ~ ′
j(~r ) 3 ′
µ
0
~
~
~
chung −∆A = µ0 j hat die explizite Lösung: A(~r) =
d r .
4π
|~r − ~r ′ |
~ =∇
~ ×A
~ folgt (“Biot-Savart-Gesetz”):
Für B
Z ~ ′
′
µ
j(~
r
)
×
(~
r
−
~
r
) 3 ′
0
~ r) =
B(~
d r .
′
3
2π
|~r − ~r |
Felder eines magnetischen Dipols µ
~ am Koordinatenursprung
µ0 ~µ × ~r
~
,
ADip (~r) =
4π r 3
µ0
~
~
~
BDip (~r) = ∇×ADip =
4π
(vgl. S. 11 für elektrisches Dipolfeld)
µ
~
(~
µ · ~r) ~r
− 3
3
r5
r
.
2. Magnetostatik im Medium
In einem magnetisierbaren Medium entseht unter dem Einfluss eines
~ = nm;
magnetischen Feldes eine Magnetisierung M
~ n ist die Dichte
magnetischer Dipole, m
~ ihr mittleres magnetisches Dipolmoment.
m
m
B
m
mm
m
m
m m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
B
m
m
m
Medium
~ m (~r) der Dipoldichte M
~ ist (vgl. S. 28),
Das Vektorpotenzial A
Z ~ ′
Z ~
′
~ (~r ′ )
′ × M
M
(~
r
)
×
(~
r
−
~
r
)
∇
µ
µ
0
0
~
r
3 ′
3
′
~ m (~r) =
d
r .
d
r
=
A
′
3
′
4π
|~r − ~r |
4π
|~r − ~r |
Der Beitrag der Magnetisierung zum Vektorpotenzial entspricht
~ ×M
~ . Das zugehörige
einer Magnetisierungsstromdichte: ~jm = ∇
~ m erfüllt ∇
~ ×B
~ m = µ0~jm = µ0 ∇
~ ×M
~ ⇒B
~ m = µ0 M
~.
Magnetfeld B
Das Feld, das nur die freien Ströme ~jfrei = ~j − ~jm als Quelle hat, ist
~ − µ0 M
~ . Als Magnetfeld im Medium definiert man,
B
def 1 ~
~
~ , B
~ = µ 0 (H
~ +M
~).
H =
B−M
µ0
~ ×H
~ = ~jfrei .
Amperesches Durchflutungsgesetz im Medium: ∇
~ bzw. des
Für kleine Stärken der magnetischen Induktion B
~ gehen wir von einer linearen Abhängigkeit aus:
Magnetfeldes H
~ = χm H
~ ⇒B
~ = µ0 (1 + χm )H
~ = µµ0 H
~ , µ = 1 + χm .
M
χm ist die magnetische Suszeptibilität des Mediums,
µ = 1 + χm ist die relative Permeabilität. χm und µ sind nur im
isotropen Medium Skalare, sonst zweistufige Tensoren.
Paramagnetismus: χm > 0, µ > 1; Diamagnetismus: χm < 0, µ < 1 .
Der Fall des Ferromagnetismus entspricht χm , µ ≫ 1.
Felder:
Elektrostatik
~ Polarisation P~ ,
elektrisches E,
~
elektrische Verschiebung D
~
~ = ε0 E
~ + P~ = ǫǫ0 E
D
Quellen:
Φ(~r) =
~ =
E
gleichungen:
~ =
H
~ = −∇Φ
~
E
Potenziale:
Maxwell-
Magnetostatik
~ Magnetisierung M
~,
Induktion B,
~
Magnetfeld H
1
4πε0
R
~ =
−M
1 ~
µµ0 B
~ =∇
~ ×A
~
B
ρ(~r)
R ρges (~r ′ )
1
4πε0
1 ~
µ0 B
|~
r−~
r ′|
d3 r ′
ρges (~
r ′ )(~
r−~
r ′) 3 ′
d r
|~
r −~
r ′ |3
~ ·D
~ = ρfrei
∇
nur für
~ r) =
A(~
~ =
B
µ0
4π
R
~j(~r)
R ~jges (~r ′ )
µ0
4π
|~
r −~
r ′|
d3 r ′
~jges (~
r ′ )×(~
r−~
r ′) 3 ′
d r
|~
r −~
r ′ |3
~ ·B
~ =0
∇
zeitunabhängige Felder :
~ ×E
~ =0
~ ×H
~ = ~jfrei
∇
∇
~ → B,
~ ǫ0 → 1 , ρ → ~j, · → ×
Elektrostatik → Magnetostatik (im Vakuum): E
µ0
Ohmsches “Gesetz”: In einem nicht-idealen Leiter besitzen
elektrische Ladungen eine begrenzte Mobilität. Unter dem Einfluss
~ r ) stellt sich eine
eines zeitlich konstanten elektrischen Feldes E(~
Stromdichte ~j(~r) ein. Für einen Ohmschen Leiter hängt ~j linear
~ ab: ~j = σ E.
~ σ ist die Leitfähigkeit; sie ist nur im isotropen
von E
Medium ein Skalar, sonst ein zweistufiger Tensor.
Ein Draht mit konstantem Querschnitt S liege parallel zur z-Achse;
im Draht fließt unter dem Einfluss eines homogenen elektrischen
R
~
~
~
Feldes E = Eêz die Stromdichte j = σ E, I = S ~j · d~
ω = σzz SE.
Über eine Strecke des Drahts zwischen z0 und z0 + L ist die
Potenzialdifferenz, die sog. elektrische Spannung U ,
Z z0 +L
~ r = Φ(z0 )−Φ(z0 +L) = EL ⇒ I = σzz S U , U = IR .
U=
E·d~
L
z0
Dabei ist R = L/(σzz S) der elektrische Widerstand für dieses Stück
Draht. N.B. Das “Ohmsche Gesetz” U = IR gilt nur unter der
~
Annahme des linearen Zusammenhangs: ~j = σ E.
3. ZEITABHÄNGIGE FELDER
Eine zeitliche Veränderung des Magnetfeldes induziert eine elektrische Spannung. In einer (nicht-idealen) Leiterschleife, welche die
~ umschließt, fließt dadurch ein Strom proorientierte Oberfläche S
portional zur Zeitableitung des magnetischen Flusses Φmag ,
Z
Z
Z
~
∂
B
1
dΦ
d
mag
~ ω , |Iind | =
~ ω=−
Φmag =
B·d~
, Uind = Iind R = −
B·d~
·d~ω .
R dt
dt S~
~
~ ∂t
S
S
Im Gegensatz zum statischen Fall ist die elektrische Spannung über
H
~ r, nicht Null, und aus
die geschlossene Kurve, Uind = Rd(S)
~ E · d~
Z
I
Z
~
~
∂B
∂B
~
~
~
~
~
E·d~r = (∇×E)·d~ω = −
Uind =
·d~
ω folgt ∇ × E = −
.
∂t
∂t
~
~
~
Rd(S)
S
S
Lenzsche Regel: Magnetfeld des von der induzierten Spannung verursachten
Stroms wirkt der Änderung des magnetischen Flusses entgegen.
~ ×E
~ = −∂ B/∂t
~
gilt unabhängig vom Ohmschen Gesetz.
N.B.: ∇
Maxwellsche Ergänzung des Ampereschen Durchflutungsgesetzes:
~ · ~j + ∂ρ/∂t = 0 besagt, dass ∇
~ · ~j im
Die Kontinuitätsgleichung ∇
stationären Fall Null sein muss, aber im zeitabhängigen Fall kann
~ · ~j von Null verschieden sein. Da ∇
~ · (∇
~ × . . .) immer Null ist,
∇
muss das Amperesche Durchflutungsgesetz (S. 26, 31) durch den
Verschiebungsstrom ~jV ergänzt werden, z.B. im Medium:
~ ×H
~ = ~jfrei + ~jV . Aus ∇
~ · (∇
~ × H)
~ =∇
~ · (~jfrei + ~jV ) = 0 folgt
∇
~
~
∂ρ
∂
∂
D
∂
D
frei
~ · ~jV = −∇
~ · ~jfrei =
~ ·D
~ =∇
~ ·
∇
= ∇
⇒ ~jV =
.
∂t
∂t
∂t
∂t
Maxwellgleichungen für zeitabhängige Felder:
~
∂
B
~ ·D
~ = ρfrei
~ ×E
~ =−
∇
∇
∂t
~
∂
D
~
~
~
~
∇·B =0
∇ × H = ~jfrei +
∂t
~ = ǫ0 E
~ + P~ = ǫǫ0 E
~ ,
Dabei ist: D
~ −M
~ = 1 B
~ .
~ = 1B
H
µ0
µµ0
Wellengleichung
~
~
∂
B
∂
E
~
~
~
~
Im Vakuum, ρ = 0 , ~j = 0 : ∇×E = −
, ∇×B = µ0 ǫ0
.
∂t
∂t
~ und B:
~
Entkopplung der Gleichungen für E
2~
∂
∂
E
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
∇×(∇× E) = ∇(∇· E)−∆E = −∆E = − (∇× B) = −µ0 ǫ0 2 ,
∂t
∂t
2~
∂
∂
~ E)
~ = −µ0 ǫ0 B .
~ ∇×
~ B)
~ = ∇(
~ ∇·
~ B)−∆
~
~ = −∆B
~ = µ0 ǫ0 (∇×
∇×(
B
∂t
∂t2
~ B
~ lösen die homogene Wellengleichung
Die Komponenten
von
E,
1 ∂
1
∆ − 2 2 f (~r, t) = 0 , c0 = √
.
(HWG)
c0 ∂t
ǫ0 µ 0
Jede Funktion der Form f (~r, t) = f (~k · ~r − |~k|c0 t) erfüllt die Wellengleichung (HWG). Da die Funktionswerte von ~k · ~r abhängen, sind
sie zu einem gegebenen Ortsvektor ~r0 in der ganzen Ebene, die
durch ~r0 geht und senkrecht zu ~k ist, gleich. Der Funktionswert
f (~r0 , t0 ) wandert bis zur Zeit t > t0 zur Ebene durch ~r weiter,
~k · ~r − |~k|c0 t = ~k · ~r0 − |~k|c0 t0 , d.h. (~r − ~r0 ) · ~k = c0 |~k|(t − t0 ) .
Die Ebenen gleicher Funktionswerte wandern also mit Geschwindigkeit c0 , der Lichtgeschwindigkeit c0 = 299792458 m/s , in Richtung
des Wellenvektors ~k. (Mit µ0 von S. 27 folgt ǫ0 = 1/(µ0 c20 ), s. S. 4.)
~ r, t) = E
~ 0 cos ~k · ~r − ωt .
Beispiel einer ebenen Welle: E(~
Zu gegebener Zeit ist die Welle in Richtung von ~k periodisch;
die Periode im Ortsraum ist die Wellenlänge λ =
2π
.
|~k|
An einem gegebenen Ort ist die Welle periodisch in der Zeit mit
2π
ω
der Periode T =
, was einer Frequenz ν =
entspricht .
ω
2π
Die Kreisfrequenz ω und der Betrag des Wellenvektors ~k sind über
die Dispersionsrelation verknüpft: ω = c0 |~k|.
h i
~ r, t) = E
~ 0 exp i ~k · ~r − ωt ;
Komplexe Schreibweise: E(~
physikalische Bedeutung hat nur der Realteil.
h i
~ r , t) = E
~ 0 exp i ~k · ~r − ωt
Polarisation: Für ebene Welle E(~
gibt es zu gegebenem Wellenvektor ~k noch verschiedene
 


~
Möglichkeiten für die Polarisation von E.
0
E0x
~ E
~ = i~k·E
~ 0 exp [. . .] = 0 ⇒ ~k·E
~ 0 = 0 . OBdA: ~k =  0  ⇒ E
~ 0 =  E0y  .
∇·
k
0
E0x
ηx
iα
Fall 1:
=e
, ηx , ηy reell .
E0y
ηy
h
i
h
i
Ex = ηx cos ~k · ~r − ω (t − α/ω) , Ey = ηy cos ~k · ~r − ω (t − α/ω) ,
ηy
Ey (t)
~
=
= const. in der x-y-Ebene: lineare Polarisation .
E schwingt mit
E
(t)
η
x x
E0x
η
iα
Fall 2:
, η reell .
=e
E0y
±iη
h
i
h
i
Ex = η cos ~k · ~r − ω (t − α/ω) , Ey = ∓η sin ~k · ~r − ω (t − α/ω) ,
elektrischer Feldvektor kreist im positiven (negativen) Sinn in der
x-y-Ebene; bezogen auf die Ausbreitungsrichtung (+z-Achse) ist
die Welle rechts- bzw. links-zirkular polarisiert.
Im allgemeinen Fall ist E0y /E0x weder reell noch gleich ±i; dann
~
bewegt sich der Feldvektor E(t)
auf einer Ellipse in der x-y-Ebene;
man spricht von elliptisch polarisiertem Licht. Dies ist der
allgemeinste Fall für eine (kohärente) monochromatische Ebene
Welle mit einem gegebenen Wellenvektor ~k.
~
~
Zusammenhang zwischen E-Feld
und B-Feld:
h i
h i
~ r, t) = E
~ 0 exp i ~k · ~r − ωt , B(~
~ r, t) = B
~ 0 exp i ~k · ~r − ωt .
E(~
~
∂
E
~ B
~ = i(~k×B
~ 0 ) exp [. . .] = µ0 ǫ0
~ 0 exp [. . .] ⇒ ~k×B
~0 = − ω E
~0 .
∇×
= −iωµ0 ǫ0 E
2
∂t
c0
~
∂B
~
~
~
~
~ 0 exp [. . .] ⇒ ~k×E
~ 0 = ωB
~0 .
∇×E = i(k×E0 ) exp [. . .] = −
= iω B
∂t
~k
~ 0, B
~ 0 reell ⇒ E
~ 0, B
~ 0 , ~k pw orthogonal; |E
~ 0 | = c 0 |B
~ 0 |, E
~ 0 ×B
~ 0 = |E
~ 0 ||B
~ 0| .
E
k
Im homogenen isotropen Medium erfüllen die Felder die Wellengleichung
c0
1
= √ .
(HWG) mit der Lichtgeschwindigkeit im Medium: c = √
µµ0 ǫǫ0
µǫ
Energie und Impuls des elektromagnetischen Feldes
~ = E×
~ H
~ .
Definition des Poynting-Vektors: S
Für eine ebene Welle
~ =E
~ 0 cos ~k · ~r − ωt , H
~ =H
~ 0 cos ~k · ~r − ωt , E
~ 0, H
~ 0 reell, ist
E
~ 0 ||D
~ 0 |ê~ .
~ 0 ||H
~ 0 |ê~ = c|E
~=S
~0 cos2 ~k · ~r − ωt
~ 0 = |E
~ 0 ||H
~ 0 |ê~ = c|B
S
mit S
k
k
k
~
~
∂
D
∂
B
~ ·S
~ + ~j · E
~ +E
~·
~ ·
Maxwellgln =⇒ ∇
+H
= 0 . (~j ≡ ~jfrei , ρ ≡ ρfrei )
∂t
∂t
~ ≡ (ρE)·~
~ v = (ρE)·
~ d~r ≡ Kraftdichte × Weg = Arbeit/Volumen .
~j·E
dt
Zeit
Zeit
~ beschreibt die mechanische Arbeit, welche das elektrische Feld
~j · E
an den strömenden Ladungen leistet: “Joulesche Wärme”. Wir
~
~
∂D
∂B
~
~
interpretieren E·
+H·
als Änderung der Energiedichte des
∂t
∂t
~ ist die Strömungsdichte der Energie
elektromagnetischen Feldes. S
(Joulesche Wärme+Feldenergie) und die Kontinuitätsgleichung
~ ·S
~ + ∂wJ + ∂wem = 0 .
ist: ∇
∂t
∂t
~ D+
~ H·δ
~ B
~ .
Differential der Feldenergiedichte: δwem = E·δ
NUR im isotropen homogenen Medium
mit konstantem
µ, ǫ
~ ·D
~ +H
~ ·B
~ .
können wir schreiben: wem = 21 E
Impulsdichte des elektromagnetischen Feldes:
wem cêS~
1 ~
wem
~
~
~
~
D × B = ǫǫ0 µµ0 (E × H) = 2 S =
ê ~ .
=
c
c2
c S
~ + ~j × B=
~ zeitliche Änderung der
Mechanische Kraftdichte: f~ = ρE
mechanischen Impulsdichte. Impulserhaltungsgleichung:
3
X
∂
∂
def
~ + ~j × B
~ + (D
~ × B)
~ =∇
~ ·T =
ρE
Tij .
∂t
∂xj
j=1
Dabei ist T der Maxwellsche Spannungstensor:
~ ·D
~ +H
~ · B).
~
[NUR im ..., s. oben]
Tij = Ei Dj + Hi Bj − 21 δi,j (E
Reflexion und Brechung
z
Die x-y-Ebene möge die Grenzfläche
αb
zweier Medien mit den Parametern
kb
ǫ1 , µ1 (z < 0) und ǫ2 , µ2 (z > 0) sein,
ε2 , µ 2
auf der keine freien Ladungen, Ströme sind.
~ in (~r, t) = E
~ i ei(~ki ·~r−ωt)
Eine ebene Lichtwelle E
trifft von Medium 1 auf die Grenzfläche,
ki
wodurch eine reflektierte Welle in Medium 1
kr
αi
ε1 , µ 1
und eine gebrochene Welle in Medium 2 entstehen:
αr
~ refl (~r, t) = E
~ r ei(~kr ·~r−ωt) , E
~ gebr (~r, t) = E
~ b ei(~kb ·~r−ωt) .
E
~
Aus der Stetigkeit der Tangentialkomponente des E-Feldes
an der
Grenzfläche folgt: Frequenzen in reflektierter und gebrochener
Welle = Frequenz der einfallenden Welle (ω), für alle ~r in
x-y-Ebene gilt ~ki · ~r = ~kr · ~r = ~kb · ~r, alle drei Wellenvektoren liegen
in einer Ebene, der Einfallsebene, oBdA der x-z-Ebene. Dann gilt
def
(~ki )y = (~kr )y = (~kb )y = 0 und (~ki )x = (~kr )x = (~kb )x = kx .
x
Dispersionsrelation im Medium 1: ω = c1 |~ki | = c1 |~kr | ⇒ (~kr )z = −(~ki )z ⇒ αr = αi .
“Ausfallswinkel=Enfallswinkel.”
Vergleich der Dispersionsrelationen in beiden Medien:
~kb |
c
|
1
=
ω = c1 |~ki | = c2 |~kb | ⇒
=
~
c2
|k i |
q
kx2 + (~kb )2z
kx
n2
sin αi
=
.
=
sin αb
n1
q
kx2 + (~ki )2z
“Snelliussches Brechungsgesetz”. ni ist der Brechungsindex im
√
Medium i: ni = c0 /ci = ǫi µi .
kx
Die Amplituden der reflektierten und gebrochenen Wellen hängen
von der Polarisation der einfallenden Welle ab. Das wird an zwei
verschiedenen Beispielen linearer Polarisation gezeigt.
~ i liegt in der Einfallsebene, Eiy ≡ (E
~ i )y = 0. Wegen
Fall 1: E
~ gilt Eby = −Ery .
Stetigkeit der Tangentialkomponente von E
kx
kx
Mit Bbz =
Eby , Brz =
Ery , Bbz = Brz folgt Eby = Ery = 0 .
ω
ω
~ r und E
~ b in der Einfallsebene.
Also liegen auch E
Weitere Ausnutzung der Stetigkeiten:
~ k : Eix + Erx = Ebx ; D
~ ⊥ : ǫ1 (Eix + Erx ) = ǫ2 Ebx .
E
~ i | cos α1 , Erx = +|E
~ r | cos α1 ,
Mit Eix = −|E
~ b | cos α2 ⇒ |E
~ b | = (|E
~ i | − |E
~ r |) cos α1 .
Ebx = −|E
cos α2
z
α 2 Bb
ε2 , µ 2
ε1 , µ 1
x
~ i | + |E
~ r |) sin α1
ǫ1 (|E
~
~
.
Eiz = |Ei | sin α1 , etc. ⇒ |Eb | =
ǫ2 sin α2
cos α2 ~
n1 ǫ2 ~
~
~
~
~
|Eb | und |Ei |−|Er | =
|Eb |
Aus |Ei |+|Er | =
n2 ǫ1
cos α1
ǫ1 n2 cos α2
folgt mit F =
:
ǫ2 n1 cos α1
~ r|
1−F
|E
=
,
~ i|
1+F
|E
kb
Eb
Ei
Er
α1 α1
Bi
ki
~ b|
|E
2ǫ1 n2
=
.
~ i|
ǫ2 n1 (1 + F )
|E
Br
kr
Für Polarisation in der Einfallsebene verschwindet die reflektierte Welle, wenn
cos α2
n1 ǫ2
n2
sin α1
F = 1 , d.h. wenn
=
≈
=
, also für sin (2α1 ) = sin (2α2 ) .
cos α1
n2 ǫ1
n1
sin α2
Das passiert nich nur für α1 = α2 , sondern auch für den
z
Brewster-Winkel, α1 = αB , für den α1 + α2 = π2 .
~ i ⊥ Einfallsebene (⇒ E
~ r, E
~ b auch).
Fall 2: E
Stetigkeit von Ey : Eiy + Ery = Eby .
~ i | cos α1 , Brx = +|B
~ r | cos α1 , und
Mit Bix = −|B
~ b | cos α2 folgt aus der Stetigkeit von H
~ k:
Bbx = −|B
cos α1 ~
cos α2 ~
~
(|Br | − |Bi |) = −
|Bb | und, weil
µ1
µ2
~
cos α1 ~
|
E|
~ r |) = cos α2 |E
~ b| .
~ =
folgt
(|Ei |−|E
|B|
c
c 1 µ1
c 2 µ2
~ r|
G−1
|E
n1 µ2 cos α1
=
,
erhalten wir:
Mit G =
~ i|
n2 µ1 cos α2
G+1
|E
Bb
α 2 Eb
kb
ε2 , µ 2
ε1 , µ 1
x
Bi
α1 α1
Ei
Br
Er
ki
~ b|
|E
2G
=
.
~ i|
G+1
|E
kr
Frequenzabhängigkeit der Dielektrizitätskonstanten
Annahme: Polarisierbarkeit des Mediums rührt von der Auslenkung harmonisch gebundener Elektronen (Masse m0 , Ladung −e0 )
mit Reibungskoeffizient γ her. Unter dem Einfluss eines zeitabhän~
gigen äußeren elektrischen Feldes E(t),
das über den Auslenkungsbereich des Elektrons räumlich
konstant
ist, bewegt sich der Ort ~r
~
. Für eine
des Elektrons gemäß m0 ~¨r + γ~r˙ + ω02~r = −e0 E(t)
~
~ 0 e−iωt gibt es stationäre
periodische äußere Kraft E(t)
=E
Lösungen ~r = ~r0 e−iωt ⇒ ~r˙ = −iω~r0 e−iωt , ~¨r = −ω 2~r0 e−iωt , so dass
2
m0 −ω − iωγ +
ω02
~0
~r0 = −eE
−e0 /m0
~0 .
und ~r0 = 2
E
ω0 − ω 2 − iωγ
Das Diplomoment −e0~r eines Atoms hängt über die Dipol-Polari~
sierbarkeit mit dem äußeren Feld zusammen, p~ = p~0 e−iωt = αd E(t),
und die Polarisation des Mediums ist αd N , wobei N die Dichte der
Atome bzw. der harmonische gebundenen Elektronen ist (S. 22).
Die dielektrische Suszeptibilität χ des Mediums (S. 23) ist also:
e20
1
χ=
,
m0 ǫ0 (ω02 − ω 2 − iωγ)
und die relative Dielektrizitätskonst. ist ǫ = 1+χ .
Eine Zerlegung in Real- und Imaginärteil, ǫ = ǫr + iǫi , ergibt
ω02 − ω 2
e20 N
,
ǫr = 1 +
2
2
2
2
2
ǫ0 m0 (ω0 − ω ) + ω γ
ωγ
e20 N
ǫi =
.
2
2
2
2
2
ǫ0 m0 (ω0 − ω ) + ω γ
√
c0
Komplexer Brechungsindex: n =
≈ ǫ,
c
ǫr − 1
nr ≈ +
,
2
ǫi
ni ≈ .
2
Der Imaginärteil des Brechungsindex führt in einer ebenen Welle
(z.B. in z-Richtung) . . . ∝ ei(kz−ωt) = ei(ℜ(k)z−ωt) e−ℑ(k)z ,
ℑ(k) =
zur Absorption der Welle in Ausbreitungdsrichtung; Eindringtiefe:
ω
ωǫi
ℑ(n) ≈
c0
2c0
2c0
1
≈
.
ℑ(k)
ωǫi
Allgemeine inhomogene Wellengleichung
~ = ∇×
~ A
~,
Potenziale im zeitabhängigen Fall: B
~
∂A
~
~
E = −∇Φ−
.
∂t
∂f
.
∂t
Allgemeine inhomogene Wellengleichungen für die Potenziale:
2
1 ∂
∂Φ
1
∂
~ ·A
~ =−ρ .
~ ·A
~+
~ = −µ0~j+∇
~ ∇
∇
∆− 2 2 A
,
∆Φ+
c0 ∂t
c20 ∂t
∂t
ǫ0
~ ·A
~ + 1 ∂Φ = 0 ,
−→
Lorentz-Eichung, ∇
2
c0 ∂t 2
2
1 ∂
ρ
1 ∂
~ = −µ0~j ,
∆− 2 2 A
∆− 2 2 Φ=− .
c0 ∂t
c0 ∂t
ǫ0
~ → A+
~ ∇f
~ ,
Eichtransformation: A
Φ → Φ−
Allgemeine Lösung der inhomogenen partiellen DifferentialR
gleichung Df = g: f = fhom + G(x, x′ )g(x′ )dx′ .
fhom ist eine Lösung der homogenen Gleichung Dfhom = 0 und die
Greensche Funktion G ist definiert durch: Dx G(x, x′ ) = δ(x − x′ ).
2
1 ∂
Für den Differentialoperator D ≡ ∆ − 2 2
c0 ∂t
der Wellengleichung
′
r − ~r |
1
′ |~
′ ′
δ t−t±
.
ist die Greensche Funktion G(~r, t; ~r , t ) = −
4π|~r − ~r ′ |
c0
Formale Lösung der inhomogenen Wellengleichung:
Z
1
ρ (~r ′ , t−|~r − ~r ′ |/c0 ) 3 ′
Φ(~r, t) = Φhom (~r, t) +
d r ,
4πǫ0
|~r − ~r ′ |
Z ~ ′
′
j
(~
r
,
t−|~
r
−
~
r
|/c0 ) 3 ′
µ
0
~ r, t) = A
~ hom (~r, t) +
d r .
A(~
′
4π
|~r − ~r |
Von der Wahlmöglichkeit ± in der Greenschen Funktion haben wir
die gewählt, die in den Lösungen zu t − t′ −|~r − ~r ′ |/c0 als Zeitargument von ρ bzw. ~j führt. Dies ergibt die retardierten Potenziale:
der Wert des Potenzials am Ort ~r zur Zeit t hängt ab von der Ladungs- bzw. Stromdichte an den anderen Orten ~r ′ zu den früheren
Zeiten t′ = t−|~r − ~r ′ |/c0 . Die andere Wahl führt auf die avancierten
Potenziale, die unserem Kausalitätsempfinden widersprechen.
Harmonisch oszillierende Ladung- und Stromverteilung:
~ ~j0 = iωρ0 .
ρ(~r, t) = ρ0 (~r) exp(−iωt) , ~j(~r, t) = ~j0 (~r) exp(−iωt) ⇒ ∇·
~ hom und mit k = ω/c0 sind die Potenziale
Ohne Φhom , A
Z
Z
ik|~
r−~
r ′|
ik|~
r−~
r ′|
e−iωt
e
µ
e
3 ′
3 ′
~ r, t) = 0 e−iωt ~j0 (~r ′ )
Φ(~r, t) =
d
r
,
A(~
d
r .
ρ0 (~r ′ )
4πǫ0
|~r − ~r ′ |
4π
|~r − ~r ′ |
n
o
2π
′
′
′
~
≪ r ⇒ kr ′ ≪ 2π ≪ kr .
Ann: max |~r | : ρ0 (~r ) 6= 0 oder j0 (~r ) 6= 0 ≪ λ =
k
i
ik|~
r−~
r ′|
e
eikr −i~kr ·~r ′
eikr h
~kr · ~r ′ + O (kr ′ )2 , ~kr def
Entwicklung:
≈
e
1
−
i
= kêr .
≈
′
|~r − ~r |
r
r
Z
Z
Z
p0 ;
Es gilt:
ρ0 (~r ′ )d3 r ′ = 0,
~r ′ ρ0 (~r ′ )d3 r ′ = p~0 , ~j0 (~r ′ )d3 r ′ = −iω~
~
Beitrag von −i~kr · ~r ′ in [. . .] zu Φ und von “1” in [. . .] zu A:
ei(kr−ωt) ~
kr · p~0 ,
ΦE1 (~r, t) = −i
4πǫ0 r
~ E1
A
µ0 ei(kr−ωt)
ω~
p0 .
= −i
4π
r
“E1” steht für elektrische Dipolstrahlung und drückt aus, dass das
elektrische Dipolmoment p~0 e−iωt hier entscheidend ist. Die
zugehörigen Felder sind:
i(kr−ωt)
~ E1
∂
A
e
~ E1 (~r, t) = −∇Φ
~ E1 −
E
=
k 2 (êr × p~0 ) × êr ,
∂t
4πǫ0 r
i(kr−ωt) 2
k
e
~ E1 (~r, t) = ∇
~ ×A
~ E1 =
(êr × p~0 ) .
B
4πǫ0 r c0
Die Welle breitet sich in Richtung êr = ~r/r aus, also radial; der
~
E-Vektor
schwingt senkrecht zu êr in der Ebene von êr und p~0 ,
~
während der B-Vektor
senkrecht zu dieser Ebene schwingt. Die
~
maximale Amplitude des E-Feldes
ist k 2 |~
p0 | sin θ/(4πǫ0 r), wobei θ
der Winkel zwischen êr und p~0 ist; die maximale Amplitude des
~
B-Feldes
ist k 2 |~
p0 | sin θ/(4πǫ0 rc0 ).
Der Term −i~kr · ~r ′ in [. . .] auf der vorigen Seite liefert auch einen
Z
i(kr−ωt)
e
1
µ
~: A
~ M1 (~r, t) = i 0
(~kr ×m
~ 0) , m
~0=
Beitrag zu A
~r ′ ×~j0 (~r ′ )d3 r ′ .
4π
r
2
Dieser Beitrag rührt vom magnetischen Dipolmoment her,
R ′
1
m(t)
~
= 2 ~r × ~j(~r ′ , t)d3 r ′ = m
~ 0 e−iωt , und “M1” steht für
magnetische Dipolstrahlung. Die zugehörigen Felder sind:
i(kr−ωt)
µ
e
0
~ M1 (~r, t) = ∇
~ ×A
~ M1 = −
B
k 2 êr × (êr × m
~ 0) ,
4π
r
i(kr−ωt)
~ M1
µ0 e
∂A
~
=−
c0 k 2 (êr × m
~ 0) .
EM1 (~r, t) = −
∂t
4π
r
Orientierung linearpolarisierter Felder
in Dipolstrahlung:
E0
.
E1
c0 B 0
c0 B 0
E0
M1
r
θ
θ
p0
r
m0
Beiträge höherer Terme in [. . .] auf der vorvorigen Seite ergeben
Strahlung, die von höheren Momenten der Ladungs- und Stromverteilung abhängt, z.B. “elektrische Quadrupolstrahlung”.
4. RELATIVISTISCHE FORMULIERUNG
DER ELEKTRODYNAMIK
Für ein Ereignis, das am Ort ~r zur Zeit t stattfindet, wird im
Inertialsystem K der Ort durch die Komponenten x, y, z von ~r
beschrieben. Im Koordinatensystem K’, das sich mit konstanter
Geschwindigkeit ~v relativ zu K bewegt, sind die Komponenten von
~r nach dem “Galileischen Relativitätsprinzip” durch x′ = x − vx t,
etc. gegeben (Annahme: K≡K’ zur Zeit t = 0). Um der Gleichwertigkeit aller Inertialsysteme und der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit c0 Rechnung zu tragen, müssen im Rahmen der speziellen
Relativitätstheorie nicht nur die Komponenten des Orts sondern
auch die Zeit beim Übergang von einem Bezugsystem in ein gleichförmig bewegtes transformiert werden: (x, y, z, t) → (x′ , y ′ , z ′ , t′ ).
Die entsprechende Transformation heißt Lorentz-Transformation.
y’
y
Falls K≡K’ bei t = 0
ist es eine homogene
Lorentz-Transformation,
und für den speziellen
Fall ~v = vêx ist sie:
K’
K
x
x’
v
0’
0
z
z’
t − xv/c20
, y =y, z =z, t = p
.
x = p
2
2
2
2
1 − v /c0
1 − v /c0
Für ein Teilchen, das sich in K entsprechend x = ux t, y = uy t,
z = uz t bewegt, sind die Koordinaten in K’:
(ux − v)t
ux − v
ux − v
t
′ ′
′
p
x′ = p
=
u
t
mit
u
=
,
=
x
x
2
′
2
2
2
2
1 − ux v/c0
1 − v /c0
1 − v /c0 t
p
p
2
2
uy 1 − v /c0
uz 1 − v 2 /c20
t
′
′
′
y = y = uy t ⇒ uy = uy ′ =
, analog: uz =
.
2
2
t
1 − ux v/c0
1 − ux v/c0
Diese relativistische Transformation der Geschwindigkeit gewährleistet,
′
x − vt
′
′
′
im Gegensatz zur Galileischen Kinematik (u′x = ux − v, etc.), dass die
Geschwindigkeit in keinem Inertialsystem c0 überschreitet.
Längenkontraktion: In K ruhe ein Stab der Länge L auf der
x-Achse zwischen seinem Anfangspunkt xAnf = 0 und seinem Endpunkt xEnd = L. In K’, das sich in x-Richtung mit Geschwindigkeit v relativ zu K bewegt, werden Anfangs- und Endpunkt des
Stabs zur gleichen Zeit t′ = 0 gemessen. Die Messung des Anfangspunkts geschieht zur Zeit t = 0 in K ⇒ x′Anf = 0. Die Messung des
t − Lv/c20
Lv
Endpunkts geschieht zur Zeit t = 0 = p
in K ,
,
also
zu
t
=
2
2
2
c0
1 − v /c0
q
2
L
−
vLv/c
0
2 /c2 .
1
−
v
=
L
und der in K’ gemessene Endpunkt ist L′ = p
0
1 − v 2 /c20
′
Zeitdilatation: Zwei Ereignisse passieren am Ort ~r = 0 in K zu
den Zeiten t = 0 und t = T . Im bewegten Bezugsystem K’ werden
p
′
′
die Zeiten t = 0 und t = T / 1 − v 2 /c20 gemessen. Im Ruhesystem
einer Uhr geht die Zeit am langsamsten; der zeitliche Abstand
zweier Ereignisse erscheint im bewegten Bezugsystem um den
p
Faktor 1/ 1 − v 2 /c20 länger.
Die vierdimensionale Raumzeit
Aus den drei Komponenten x, y, z und der Zeit t eines Ereignisses
bilden wir den Vektor x mit den vier kontravarianten Komponenten
x0 = c0 t, x1 = x, x2 = y, x3 = z. Sie sind eng verknüpft mit den
kovarianten Komponenten x0 = c0 t, x1 = −x, x2 = −y, x3 = −z.
Eine homogene Lorentz-Transformation führt die Komponenten
P3
′µ
von x über in die neuen Komponenten x = ν=0 Λµ ν xν , bzw.
P3
′
x µ = ν=0 Λµ ν xν . Für den speziellen Fall der vorvorigen Seite ist
 γ
 γ βγ 0 0 
−βγ 0 0 
 −βγ
 βγ γ 0 0 
γ
0 0
ν
µ
−1 ν




Λ ν =
, Λµ = 
= Λ
,
µ
0
0
1 0
0
0 1 0
0
0
0 1
0
0 0 1
p
wobei γ = 1/ 1 − v 2 /c20 und β = v/c0 . Das Lorentz-invariante
Skalarprodukt zweier Vierer-Vektoren x und x̃ ist:
3 X
3
3
3
X
X
X
xµ gµν x̃ν =
xµ x̃µ =
xµ x̃µ = c20 tt̃ − xx̃ − y ỹ − z z̃ .
µ=0 ν=0
µ=0
µ=0
Der Unterschied zum gewohnten Euklischen Raum drückt sich im
1 0
metrischen Tensor aus,
0
0 
 0 −1 0
0 
µν

 ,
gµν = g = 
0 0 −1 0 
0 0
0 −1
mit dem man u.a. kontravariante Komponenten in kovariante um3
3
X
X
wandeln kann — und umgekehrt: xµ =
gµν xν , xµ =
g µν xν .
eg
el
ν=0
ch
tk
0
Li
ν=0
Die Bewegung eines Massenpunkts in der
c t
4-d Raumzeit wird durch eine Weltlinie beschrieben. Für zwei Ereignisse a und b auf der Weltlinie
gilt: (b − a)(b − a) = c20 (tb − ta )2 − |~rb − ~ra |2 > 0;
d.h. der Vierer-Vektor b − a ist zeitartig.
x x < 0 ⇒ x ist ein raumartiger Vektor.
x x = 0 ⇒ x ist ein lichtartiger Vektor.
Ist der Abstand zweier Ereignisse a und b raumartig,
so ist nach Wahl des Inertialsystems tb > ta , tb < ta oder tb = ta .
.
.
a
b
x
Wichtige Vierer-Vektoren
∂
∂
∂ def
∂ def
1 ∂ def
∂ def
Ableitung:
= ∂0 ,
= ∂1 ,
= ∂2 ,
= ∂3 .
=
=
∂x0
c0 ∂t
∂x1
∂x
∂y
∂z
def ∂
µ def ∂
∂µ =
wegen des Verhaltens bei Lorentz-Trafos:
, ∂ =
∂xµ
∂xµ
′µ
x
=
3
X
Λ
µ
ν
ν
x ,
ν
x =
µ=0
3
X
ν=0
=⇒ ∂ ′ µ
3
X
Λ
−1 ν
′µ
x
µ
,
3
Λ
−1 ν
µ
= Λµ ν
X
∂
∂xν ∂
ν ∂
=
=
=
.
Λµ
′ µ ∂xν
ν
∂x′ µ
∂x
∂x
ν=0
ν=0
Ladungs- und Stromdichte: j 0 = c0 ρ, j 1 = jx , j 2 = jy , j 3 = jz .
3
X
µ
Λµ ν j ν . Die Vierer Divergenz von j µ
Verhalten bei Lorentz-Trafo: j ′ =
3
X
ν=0
∂ρ ~ ~
1 ∂c0 ρ ∂jx ∂jy ∂jz
+
+
+
=
+∇·j = 0 ,
c0 ∂t
∂x ∂y ∂z
∂t
µ=0
P3
und die Kontinuitätsgleichung ist einfach: µ=0 ∂µ j µ = 0.
ist ein Lorentz-Skalar:
∂µ j µ =
Vierer-Potenzial: A0 = Φ/c0 , A1 = Ax , A2 = Ay , A3 = Az .
P3
Lorentz-Eichung: µ=0 ∂µ Aµ = 0.
3
2
2
2
2
2
X
1
∂
∂
∂
∂
∂
1
def
Vierer-Laplace-Operator:
∂µ ∂ µ = 2 2 − 2 − 2 − 2 = 2 2 −∆ = .
c0 ∂t ∂x ∂y
∂z
c0 ∂t
µ=0
~
Die inhomogenen Wellengleichungen für die Potenziale Φ und A
sind in Vierer-Schreibweise einfach: Aµ = µ0 j µ .
Wellenvektor: Der Exponent i(~k · ~r − ωt) in einer ebenen Welle ist
−i mal dem Lorentzinvarianten Skalarprodukt des Vierer-Ortsvektors xµ mit dem Vierer-Wellenvektor k µ :
3
3
X
X
ω
k 0 = , k 1 = kx , k 2 = ky , k 3 = kz ,
kµ xµ =
k µ xµ = ωt−~k·~r .
c0
µ=0
µ=0
Zur Berechnung der Dopplerverschiebung der Kreisfrequenz ω
nutzen wir, dass k 0 die 0-Komponente eines Vierer-Vektors ist:
~k k ~v : ω ′ = ω p1 − v/c0 , ~k ⊥ ~v : ω ′ = p ω
.
2
2
2
2
1 − v /c0
1 − v /c0
Elektromagnetischer Feldstärketensor
Definition: Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ , F µν = ∂ µ Aν − ∂ ν Aµ .
~ =∇
~ ×A
~ ←→ F12 = −Bz , F13 = By und F23 = −Bx .
B
~ = −∇Φ
~ − ∂ A/∂t
~
E
←→ F01 = Ex /c0 , F02 = Ey /c0 , F03 = Ez /c0 .
~ B
~ sind die sechs unabhängigen
Die sechs Komponenten von E,
Komponenten der antisymmetrischen 4 × 4-Matrix:




1
1
1
1
1
1
0
E
E
E
E
−
E
−
E
0
−
c0 x c0 y c0 z
c0 x
c0 y
c0 z
− 1 E
1
0
−Bz +By 
0
−Bz
+By 
 c0 x
 µν  c0 Ex

Fµν =  1
, F =  1
.
 − c0Ey +Bz
 c0Ey
0
−Bx 
+Bz
0
−Bx 
1
0
−By
+Bx
0
− c10 Ez −By +Bx
c0 Ey
3
X
Maxwellgleichungen: (i) ∂λ Fµν + ∂µ Fνλ + ∂ν Fλν = 0 , (ii)
∂µ F µν = µ0 j ν .
µ=0
~ ·B
~ = 0.
(i): OBdA λ < µ < ν. (λ, µ, ν) = (1, 2, 3) liefert ∇
~ ×E
~ = −∂ B/∂t.
~
λ = 0 und 1 ≤ µ < ν liefert ∇
~ E
~ = ρ/ǫ0 ;
(ii): ν = 0 liefert ∇·
~ B
~ = µ0 ~j + ǫ0 ∂ E/∂t
~
ν > 0 liefert ∇×
.
Lorentz-Transformation: F
′ µν
=
3 X
3
X
Λµ η Λν ξ F ηξ .
η=0 ξ=0
Spezialfall, K’ bewegt sich mit Geschw. v in x-Richtg relativ zu K:
E ′ x = Ex
E
′
E
′
y
z
Ey − vBz
= p
1 − v 2 /c20
Ez + vBy
= p
1 − v 2 /c20
B ′ x = Bx
B
′
B
′
y
z
By + Ez v/c20
= p
1 − v 2 /c20
Bz − Ey v/c20
= p
1 − v 2 /c20
~ und B:
~
Lorentz-invariante Kombinationen der Komponenten von E
~′ · B
~′ = E
~ ·B
~ ,
E
~ ′2 − c20 B
~ ′2 = E
~ 2 − c20 B
~2 .
E
~ ·B
~ =0, E
~ 2 > c2 B
~ 2 ⇒ ex. Inertialsystem in dem B
~ ′ = 0,
E
0
~ ·B
~ =0, E
~ 2 < c20 B
~ 2 ⇒ ex. Inertialsystem in dem E
~ ′ = 0.
E
c0 t
Momentane Geschwindigkeit eines Teilchens:
 
vx
.
dx
dy
dz
~v =  vy  , vx =
, vy =
, vz =
.
dt
dt
dt
vz
Eine Uhr im momentanen Ruhesystem des
p
Teilchens misst die Eigenzeit τ : dτ = 1 − v 2 /c20 dt;
dτ ist ein Lorentz-Skalar. Eine Geschwindigkeit wµ , die sich wie
Vierer-Vektor transformiert, erhält man durch Ableitung von xµ
nach der Lorentz-invarianten Eigenzeit:
 c dt/dτ 
c 
0
0
 vx 
dx/dτ 
d µ 
1
µ


  .
w =
x =
=p

dτ
dy/dτ
1 − v 2 /c2  vy 
Li
ch
tk
eg
el
Relativistische Form von “Kraft=Masse × Beschleunigung”
x
0
dz/dτ
3
X
vz
c20 − v 2
2
=
c
Das Lorentz-Skalarprodukt w mit sich ist:
w wµ =
0 .
2
2
1 − v /c0
µ=0
µ
µ
Multiplikation von wµ mit der Lorentz-invarianten Ruhemasse m0
des Teilchens gibt den Vierer-Vektor für denrelativistischen
Impuls:
c0
m0
µ
µ
.
p = m0 w = p
2
2
~
v
1 − v /c0
Der Vierer-Vektor bµ der relativistischen
Beschleunigung
ist c0
0
dwµ
1
d~v
1
µ
b =
=p
~
v
·
+
.
2
2
2
2
2
2
dτ
c0 (1 − v /c0 )
dt
~v
1 − v /c0 d~v /dt
Eine Lorentz-invariante Form von “Masse×Beschleunigung=Kraft” ist
q
µ
µ
µ
dw
dp
dw
m
0
µ
2 /c2 K µ . (†)
1
−
v
=
K
⇔
m
=
=
m0 bµ = K µ ⇔ p
0
0
dt
dt
1 − v 2 /c20 dt
Der Vierer-Vektor K µ ist die Minkowski-Kraft. Die drei unteren
q
d~
p
m0
d~v
2 /c2 K
~ =K
~N .
Komponenten von (†) sind:
1
−
v
=p
=
0
2 /c2 dt
dt
1
−
v
0
P3
0
µ
2
Komponente K : Aus µ=0 w wµ = c0 = const. folgt
3
3
3
X
X
d X µ
2
~ v ⇒ K 0 c0 = K·~
~ v.
0=
w wµ = 2
K µ wµ ⇒ K 0 w0 = K·~
bµ wµ =
dτ µ=0
m0 µ=0
µ=0
p
N
~ N · ~v ist die Arbeit/Zeit, welche die
~
~
K = K / 1 − v 2 /c20 und K
Newtonsche Kraft K N in das Teilchen steckt, das sich mit
Geschwindigkeit ~v bewegt, = dE/dt.
~ N · ~v
1
dE
1
K
0
p
p
=
K =
.
2
2
2
2
c0 1 − v /c0
c0 1 − v /c0 dt
Die Null-Komponente K 0 = m0 b0 von K µ = m0 bµ lautet:
!
dE
d
m0
c0
dw0
p
p
p
=
m
=
0
2
2
dt
dτ
1 − v 2 /c20 dt
1 − v 2 /c20
c0 1 − v /c0
!
d
dE
m0 c20
m0
2
p
p
=⇒
=
.
.
.
.
−→
.
.
.
E
=
mc
mit
m
=
0
2
2
2
2
dt
dt
1 − v /c0
1 − v /c0
1
~ N = Q(E
~ + ~v × B).
~ Wenn wir in Anlehnung an die
Lorentz-Kraft: K
Stromdichte einen 4-er-Vektor J µ für Ladung und Strom durch die
Punktladung definieren, J 0 = Qc0 , J~ = Q~v , dann ist die LorentzP µν
P µν
µ
Kraft in 4-er-Schreibweise: K = ν F Jν = Q ν F wν .
Mathematische Ergänzungen
Deltafunktion :
Allgemeiner:
R
I
δ(x) =
0 , x 6= 0 ,
sehr ∞, x = 0 ;
Z
ǫ
δ(x)dx = 1 .
−ǫ
δ(x − x0 )f (x)dx = f (x0 ), solange x0 ∈ I.
Explizite Darstellungen:
Z ∞
1
δ(x) =
e±ikx dk ,
2π −∞
1 sin(kx)
,
δ(x) = lim
k→∞ π
x
X
1
δ(x) , δ(f (x)) =
Eigenschaften: δ(cx) =
|c|
f (xi )=0
δ(x) = lim (πb)
−1 −x2 /b2
b→0
e
.
1
δ(x−xi ) .
|f ′ (xi )|
Dreidimensional:
δ(~r) = δ(x)δ(y)δ(z) ,
Z
V
δ(~r)d3 r = 1 solange ~0 ∈ V ,
1
∆
= −4πδ(~r) .
r
Differentiation und Integration von Vektorfeldern
 ∂f 
 ∂ 
∂x
∂x

~ = ∂  ,
~ =  ∂f 
Nabla-Operator : ∇
∇f
∂y  .
∂y
∂f
∂z
∂
∂z
~ (auch “gradf ”) ein Vektorfeld,
Zum skalaren Feld f (~r) definiert ∇f
das Gradientenfeld von f (~r) bzw. den Gradienten von f .
~ r) definiert das Skalarprodukt ∇
~ ·A
~ (auch
Zu einem Vektorfeld A(~
~ ein skalares Feld, die Divergenz von f :
“divA”)
~ ·A
~ = ∂Ax + ∂Ay + ∂Az .
∇
∂x
∂y
∂z
~ ×A
~ (auch “rotA”)
~ definiert ein Vektorfeld,
Das Vektorprodukt ∇
 ∂Az
∂Ay 
∂y − ∂z

~:
~ ×A
~=
die Rotation von A
∇
 ∂Ax − ∂Az  .
∂z
∂Ay
∂x
−
∂x
∂Ax
∂y
Volumenintegral für skalare Felder und Vektorfelder:
R

A
dτ
Z
Z Z Z
Z
RV x
~ dτ = 
A
f (~r)dτ =
f (~r)dx dy dz ,
Ay dτ  .
V
R
V
~
r∈V
V
Az dτ
V
Oberflächenintegral für Vektorfelder:
Z
X
~ r) · d~ω = lim
~ i · ∆ω
~ i.
A(~
A
~
(∆ω)
i →0
Ω
i
~ i nach außen.
Konvention: Für geschlossene Oberflächen zeigt ∆ω
Beispiel: S = Oberfläche einer Kugel um ~0 mit Radius R,
Z
X
X
|∆~ωi | = R 4πR2 = 4πR3 .
~ri · ∆~ωi = R
~r · d~ω =
Ω
i
i
Wegintegral für Vektorfelder: Γ beschreibe einen stetigen und
(fast) überall differenzierbaren Weg ~r(t) von ~r(t1 ) nach ~r(t2 ),
Z
Γ
~ r) · d~r =
A(~
Z
t2
t1
~ r (t)) · d~r dt .
A(~
dt
Sätze von Gauß
Z b
df
Eine Funktion einer Variablen :
dx = f (b) − f (a) .
a dx
(“Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung”)
Allgemeiner: Integral der Ableitung einer Funktion über ein Gebiet
= Summe (mit Orientierung) der Funktionswerte auf dem Rand
I
Z
~ · d~ω .
~ ·A
~ dτ =
A
∇
“Satz von Gauß” :
V
“Satz von Stokes” :
Ω(V )
I
Z ~ ×A
~ · d~ω =
∇
~
Ω
~
Γ(Ω)
~ · d~r .
A
Wichtige Folge des Stokesschen
Satzes:
I
~ · d~r = 0 für alle geschlossene Wege Γ
~ ×A
~ = 0 ⇐⇒
A
∇
⇐⇒
⇐⇒
Z
Γ
~
r2
~
r1
~ · d~r
A
hängt nicht vom Weg ab
~ r) = ∇Φ(~
~ r) .
ex. skalares Feld Φ(~r) mit A(~
Kugelflächenfunktionen: Das lte Legendre-Polynom Pl (x) ist ein
Polynom vom Grade l in x,
1 dl
2
l
Pl (x) = l
(x
−1)
,
2 l! dxl
l = 0, 1, . . .
.
Es hat l Nullstellen im Intervall −1 < x < 1; Pl (−x) = (−1)l Pl (x).
The assozierten Legendre-Funktionen Pl,m (x) , |x| ≤ 1 , sind
Produkte von (1 − x2 )m/2 mit Polynomen vom Grad l − m
(m = 0, . . . , l) :
2 m/2
Pl,m (x) = (1 − x )
dm
Pl (x) .
m
dx
Die Kugelflächenfunktionen Yl,m (θ, φ) für m ≥ 0,
1/2
(2l + 1) (l − m)!
Pl,m (cos θ) eimφ
Yl,m (θ, φ) = (−1)m
4π
(l + m)!
1/2
dm
m
imφ
m (2l + 1) (l − m)!
sin θ
P
(cos
θ)
e
= (−1)
l
4π
(l + m)!
d(cos θ)m
∗
Die Yl,m mit m < 0 erhält man über: Yl,−m (θ, φ) = (−1)m (Yl,m (θ, φ)) .
.
Allgemeine Struktur: Yl,m (θ, φ) = (sin θ)|m| Poll−|m| (cos θ) eimφ
l
0
m
0
Yl,m
1
0
q
√1
4π
3
4π
m
cos θ
∓
3
8π
Yl,m
∓
15
8π
m
sin θ cos θ e±iφ
15
32π
∓
21
64π
sin θ(5 cos2 θ − 1) e±iφ
2
5
(3
cos
16π
sin2 θ e±2iφ
0
q
3
7
(5
cos
16π
105
32π
sin2 θ cos θ e±2iφ
θ − 3 cos θ)
3
±2
q
θ − 1)
3
3
±1
q
sin θ e±iφ
±2
q
3
l
0
q
2
±1
q
2
±1
q
2
l
Yl,m
1
±3
∓
q
35
64π
sin3 θ e±3iφ
ENDE
Letzte Aktualisierung: 07.02.2008