O10a „Michelson-Interferometer“

Fakultät für Physik und Geowissenschaften
Physikalisches Grundpraktikum
O10a „Michelson-Interferometer“
Aufgaben
1. Justieren Sie ein Michelson-Interferometer und bestimmen Sie damit die Wellenlänge der
emittierten Strahlung eines Helium-Neon-Lasers.
2. Messen Sie die Längenänderung eines piezoelektrischen Aktors (Piezoaktor) in Abhängigkeit von
der angelegten elektrischen Spannung (Kennlinie). Es ist zu überprüfen Sie, ob Hysterese auftritt.
Stellen Sie den Stellweg des Aktors in Abhängigkeit von der angelegten elektrischen Spannung
graphisch dar. Ermitteln Sie die Empfindlichkeit des Piezoaktors und die Linearität der Kennlinie.
3. Ermitteln Sie die Brechzahl von Luft für Normbedingungen.
Zusatzaufgabe: Ermitteln Sie den linearen Ausdehnungskoeffizienten eines Metallstabes unter
Verwendung des Michelson-Interferometers.
Literatur
Physikalisches Praktikum, 13. Auflage, Hrsg. W. Schenk, F. Kremer, Optik, 2.0.1, 2.0.2, 2.4
Gerthsen Physik, D. Meschede, 22. Auflage, 10.1.13
Zubehör
He-Ne-Laser, Komponenten mit Magnetfüßen zum Aufbau eines Michelson-Interferometers,
Labornetzgerät, Piezoaktor mit Spiegel, ferromagnetischer Metallstab mit Spiegel, Elektromagnet,
ergänzende Versuchskomponenten, evakuierbare Kammer, Hand-Vakuumpumpe
Schwerpunkte der Vorbereitung
- Konstruktive und destruktive Interferenz, Phasen- und Gangunterschiede
- Kohärentes Licht, Kohärenzbedingung
- Aufbau und Wirkungsweise eines Michelson-Interferometers, Strahlenverlauf, Berechnung des
Gangunterschieds (der Phasendifferenz)
- Erzeugung und Eigenschaften von Laserlicht, Grundprinzip des He-Ne-Lasers
- Michelson-Moreley-Experiment, Konstanz der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum
- Brechzahl, Definition, Dispersion, Messung der Brechzahl mit dem Michelson-Interferometer
- Piezoelektrischer Effekt
- Thermische Ausdehnung
1
Simulationen/Animationen:
http://www.ub.es/javaoptics/index-en.html#Applets
(Michelson-Interferometer)
http://galileoandeinstein.physics.virginia.edu/more_stuff/flashlets/mmexpt6.htm
(Michelson-Moreley-Experiment
In diesem Versuch kommen hochwertige, teure optische Geräte und Komponenten zum Einsatz!
Beim Experimentieren mit dem LASER nie direkt oder indirekt (nach Reflexionen) in den Strahl
sehen!
Grundlagen
Die Zeit-und Ortsabhängigkeit einer sich in positiver (negativer) z-Richtung ausbreitenden ebenen
Welle kann durch
ψ =ψ 0 exp [i(ωt m kz + ϕ )]
(1)
beschrieben werden, wobei ψ z.B. für eine Komponente des elektrischen Feldes stehen kann. Die
Phase der Welle ist durch den Ausdruck (ωt m kz + ϕ ) gegeben, die Kreiswellenzahl durch k = 2π/λ,
die Kreisfrequenz durch ω = 2π/T. ϕ bezeichnet den Nullphasenwinkel. Die Phasengeschwindigkeit
der Welle, vph , im Vakuum gleich der Lichtgeschwindigkeit c0, folgt aus der Bedingung, dass die Phase
(ωt m kz + ϕ ) konstant ist, zu dz / dt = v ph = ω / k .
Interferenzen entstehen, wenn zwei (oder mehrere) Wellenzüge an einem Ort zusammentreffen. Bei
der Superposition verstärken oder schwächen die Wellen einander je nach Phasenlage. Die
wichtigste Voraussetzung für die Beobachtbarkeit von Interferenzen ist, dass die beiden zu
überlagernden Wellenzüge kohärent sind, d. h. eine feste Phasenbeziehung zueinander haben.
Die Phasendifferenz beider Wellen ist unter Berücksichtigung unterschiedlicher Medien (1 und 2)
gegeben durch ΔΦ = (k1 Δz1 + ϕ1 ) − (k2 Δz2 + ϕ2 ) , wobei Δz1 und Δz2 die durchlaufenen geometrischen
Wegdifferenzen sind. Eliminieren sich, wie im vorliegenden Experiment, die paarweise auftretenden
Phasensprünge infolge von Reflexionen am festen Ende, so ist die Ursache für die Phasendifferenz
die Differenz der Größen kz bzw. nz. Letztere wird als optische Weglänge bezeichnet. (n: Brechzahl).
Unter dem Gangunterschied versteht man die Differenz der optischen Weglängen
Δ = n1 Δz1 − n2 Δz2 = (ΔΦ / 2π )λ0 , wobei λ0 die Vakuumwellenlänge bezeichnet.
Überlagern sich zwei Wellen ψ1(z, t) und ψ2(z, t) mit dem Phasenunterschied ΔΦ , so beträgt die
resultierende Intensität I = I1 + I2 + 2 I1I2 cos(ΔΦ) . Man erhält konstruktive Interferenz für ΔΦ = 2nπ
und destruktive Interferenz für ΔΦ = (2n + 1)π .
Bei den bisherigen Überlegungen lagen ideale, d. h. monochromatische sowie zeitlich und räumlich
unbegrenzte Wellen zugrunde. Jedoch hat eine Welle, auch jede emittierte Spektrallinie, aufgrund
ihrer endlichen Bandbreite Δf (bzw. spektralen Breite Δλ ) eine endliche Länge des Wellenzuges, die
Kohärenzlänge Lk , bei entsprechend begrenzter Kohärenzzeit Δt = Lk/c0 . Die Unschärferelation für
Wellen führt zu ΔkΔz ≈ 1 / 2 und Δf Δt ≈ 1 / (4π ) . Daher ist
2
Lk ≈
λ02
1
≈
.
2Δk 4π Δλ
(2)
Die begrenzte Kohärenzlänge bestimmt die maximal möglichen Gangunterschiede in
Interferenzapparaten.
In vielen Geräten wird die Kohärenz der zur Überlagerung kommenden Teilwellen durch Aufspaltung
des Primärstrahls mit Hilfe von halbdurchlässigen Spiegeln u.a. erzeugt. Dies gelingt jedoch bei
ausgedehnten Lichtquellen (seitliche Ausdehnung a ) nur dann, wenn die Kohärenzbedingung erfüllt
ist (θ: Öffnungswinkel des Strahls):
(3)
2a sin(θ ) λ /2 .
Laserlicht ist besonders kohärent mit Kohärenzlängen in der Größenordnung von 1 m. Es entsteht
durch stimulierte Emission. Die angeregten Atome strahlen die durch den Spiegelabstand
ausgewählte Frequenz phasengleich ab. Im He/Ne Gasgemisch wird eine Gasentladung gezündet und
die Heliumatome werden durch Elektronenstöße angeregt. Die Anregung der Elektronen der NeonAtome in den maßgeblichen 3s Zustand erfolgt über Stöße mit den Helium-Atomen bei gleichzeitiger
Energieübertragung (Stöße 2. Art). Im Standardbetrieb emittiert der He-Ne-LASER Licht mit einer
Wellenlänge von λ = 632,8 nm.
Abb. 1 He-Ne Energieschema
Hinweise
Das vom He-Ne-Laser ausgesandte parallele Lichtbündel wird über eine halbdurchlässige Platte (Abb.
2 b, bei unserem Aufbau wird ein Strahlteilerwürfel verwendet) in zwei Teilbündel etwa gleicher
Intensität zerlegt. Ein Bündel wird an der Platte reflektiert, am Spiegel d wiederum reflektiert und
gelangt nach Durchdringen der Platte zum Schirm h. Das zweite Bündel wird nach Durchdringen des
Würfels b am beweglichen Spiegel c reflektiert und trifft nach Reflexion am Strahlteilerwürfel b
ebenfalls auf den Schirm h. Dort sind Interferenzen gut sichtbar, wenn sich die Teilbündel überlagern,
sich die getrennt durchlaufenen Wege nicht mehr als eine halbe Kohärenzlänge des verwendeten
Laserlichtes unterscheiden und die Oberflächen der optischen Komponenten sehr eben sind. Zur
besseren Beobachtung der Interferenzstreifen dient eine Aufweitungslinse (Kugellinse e). Bei
optimaler Justierung kann man das in Abb. 3 dargestellte Interferenzbild beobachten.
3
Die entstehenden Streifen sind umso breiter, je besser der Aufbau justiert ist. Ursache dafür ist die
bei ungenauer Justierung entstehenden größeren Gangunterschiede zwischen den interferierenden
Wellenzügen und die dadurch größere Anzahl von Interferenzstreifen im Interferenzbild. Ein sehr
dichtes Streifenmuster ist aber nicht von Vorteil, da das Zählen der Hell-Dunkel-Wechsel der Streifen
bezüglich einer Ablesemarke erschwert wird. Bei kontinuierlicher Änderung der optischen Weglänge
laufen die Streifen langsam über den Schirm.
Abb. 2 Michelson-Interferometer mit Feinstelltrieb
Abb. 3 Interferenzbild
Der Versuchsaufbau ist sehr empfindlich gegenüber Erschütterungen. Die optischen Komponenten
werden deshalb auf einem massiven Sockel – Platte (a) in Abb. 2 – aufgebaut, die zur Entkopplung
von Schwingungen der Tischplatte auf pneumatischen Dämpfungsfüßen gelagert ist. Die Grundplatte
ist relativ klein, so dass die Anordnung und Justage der optischen Komponenten gut zu planen ist. Bei
leicht verdunkeltem Raum werden die optischen Komponenten wie im Folgenden beschrieben
aufgebaut und justiert:
- Lochblende an der Öffnung des Lasers befestigen, Laser einschalten.
- Justierfüße des Lasers so einstellen, dass der Strahl horizontal über der Grundplatte verläuft.
- Alle Spiegel nacheinander an den Justierschrauben an den Spiegelrückseiten so einstellen, dass
der Laserstrahl in die Nähe der Öffnung des Lasers zurückreflektiert wird. Die Qualität des
Laserstrahls wird beeinträchtigt, wenn die an den Planspiegeln reflektierten Teilstrahlen
genau in die Austrittsöffnung des Lasers zurückfallen.
- Strahlteilerwürfel (b) entsprechend Abb. 2 so aufstellen, dass der reflektierte Teil etwa senkrecht
abgelenkt wird.
- Den festgestellten Spiegel (d) so in den Strahlengang stellen, dass der reflektierte Strahl den
Würfel im gleichen Punkt trifft, wie der Laser.
- Den beweglichen Spiegel (c) so postieren, dass der reflektierte Strahl den Würfel (b) in dem
Punkt trifft, in dem der primäre Laserstrahl den Würfel (b) verlässt.
- Den Schirm (h) entsprechend Abb. 2 postieren, aber noch ohne Kugellinse (e). Den beweglichen
Spiegel (c) so drehen, dass einerseits die beiden Teilstrahlen auf dem Schirm zur Deckung
kommen und andererseits die Punkte am Halbspiegel in Deckung bleiben. Neben den
Hauptstrahlen treten als Folge von Vielfachreflexionen noch weitere Teilstrahlen mit
geringerer Intensität auf, die später durch den Linsenhalter ausgeblendet werden können.
- Die Kugellinse (e)wird so platziert, dass die sich nun überdeckenden Strahlen die Linsenöffnung
4
treffen, wobei gleichzeitig das entstehende Interferenzbild zu kontrollieren ist. Die
Streifenbreite sollte im Sinne einer optimalen Messung weder zu breit noch zu schmal sein.
Sind die Streifen nicht sichtbar oder zu schmal, sollte noch einmal die Deckung der Punkte
ohne Aufweitung durch die Kugellinse kontrolliert werden.
Zur Vereinfachung der Messung werden die Mikrometerschraube und der mit ihr mechanisch
verbundene Feinstelltrieb mit Hilfe eines Elektromotors gedreht. Die Spannungsversorgung des
Motors erfolgt über einen Ausgang des Doppelspannungsnetzgerätes (1 V bis maximal 6 V). Die
Mikrometerschraube, die durch den Motor und das nachfolgende Getriebe mit einer Untersetzung
von 100:1 gedreht wird, verschiebt den Spiegel um definierte Längen, wobei der Drehsinn des
Motors dem Drehsinn der Mikrometerschraube entspricht. Zur Messung soll die
Mikrometerschraube gegen den Federdruck arbeiten, d. h., der Drehsinn des Motors muss durch die
Polung der Motorspannung entsprechend eingestellt werden. Man beginnt mit der Messung erst,
wenn die Streifenverschiebung gleichmäßig und ruckelfrei geschieht. Dann beginnt man mit der
Zählung der an der Markierung des Schirms vobeilaufenden Interferenzstreifen für mindestens 10
Motorumdrehungen. Für die Berechnung der Wellenlänge λ wir die Gleichung
λ =2
0,5 ⋅ 10−3 k
(m)
100 z
(4)
verwendet. Dabei bezeichnet k die Anzahl der Motorumdrehungen, z die Anzahl der
Streifenverschiebungen und der Skalierungsfaktor 0,5⋅10-3 entspricht der Wegänderung des Spiegels
(c) bei einer Umdrehung der Mikrometerschraube. Die Zählung vorbeilaufender Interferenzstreifen
und der Motorumdrehungen kann nach entsprechender Justage auch elektronisch erfolgen, wobei
systematische Störungen (Abweichungen) ggf. zu berücksichtigen sind (s. Hinweise am Arbeitsplatz).
Messungen mit dem Piezoaktor
Man tauscht den verstellbaren Spiegel (c) mit der Mikrometerschraube gegen den Piezoaktor aus, an
dessen Ende ein Planspiegel befestigt ist. Bei der Messung mit dem Piezoaktor ist auf die richtige
Polung der Spannungsquelle zu achten. Der Piezoaktor ist zwar für positive Spannungen bis maximal
+150 Volt ausgelegt, wird aber an den Pluspol eine negative Spannung größer als 15 Volt angelegt,
führt das zur Zerstörung des Piezoaktors! Die Spannungsversorgung des Piezoaktors erfolgt über
einen Ausgang des Doppelspannungsnetzgerätes in einem Bereich von 0 ... 40 V. Es sollen die
Messwerte graphisch dargestellt (Längenänderung Δl in Abhängigkeit von der an den Piezoaktor
angelegten Spannung Ua) und der Anstieg S der besten Geraden (Einheit μm/V) bestimmt werden.
Wird ein geeignetes piezoelektrisches Material, z. B. Quarz oder Bariumtitanat (BaTiO3) einer
mechanischen Zug- oder Druckspannung ausgesetzt, so entsteht an den Endflächen eine elektrische
Spannung. Bringt man umgekehrt den Kristall in ein elektrisches Feld, so ändert er seine Länge, was
dynamisch z. B. beim Schwingquarz und statisch z. B. beim Piezoaktor angewendet wird.
Piezoaktoren werden auch zur elektrisch gesteuerten Positionierung der Spitze im
Rastertunnelmikroskop oder zur Justierung von Interferometerspiegeln benutzt. Dabei können die
kleinsten Schritte im nm-Bereich liegen. Im Allgemein tritt bei den Piezoaktoren Hysterese auf, d. h.
man beobachtet bei großen Stellbereichen einen nichtlinearen und nicht eindeutigen
Zusammenhang zwischen Längenänderung und der elektrischer Spannung, der stark von der
5
Vorgeschichte abhängen kann. Für die vereinfachte Bestimmung der Linearität wählt man sich zwei
näherungsweise lineare Bereiche des Graphen der Kennlinie Δl=f(Ua) aus, in denen der Anstieg
minimal (Smin) bzw. maximal (Smax) ist. Die Linearität kann dann nach Gl. (5) berechnet werden:
S −S
δ lin = max min (%)
.
(5)
Sav
Dabei ist Sav =
Smax + Smin
.
2
Messung der Brechzahl von Luft
Man bringt die Messkammer bekannter Länge (d = 50 mm) so in den Strahlengang, dass die
planparallelen Begrenzungsfenster von einem Teilbündel genau senkrecht durchsetzt werden. Zum
Evakuieren der Kammer wird eine Hand-Vakuumpumpe mit Druckanzeige verwendet. Zwischen dem
äußeren Luftdruck und einem Druck von etwa 100 hPa sind acht Messungen durchzuführen Dabei
ermittelt man die Zahl z der durchlaufenden Interferenzstreifen in Abhängigkeit von der Änderung
des Luftdrucks in der Kammer. Die Bestimmung der Brechzahl n bei aktuellem Luftdruck p = p(Luft)
ergibt sich unter Verwendung folgender Gleichungen:
Optische Weglänge
sopt = ∫ n d sgeom
(6)
n Brechzahl, s Weglänge (optisch, geometrisch), sgeom = 2 d (Michelson-Interferometer)
Zusammenhang zwischen Brechzahl n und Druck p eines Gases
N
n −1 ∝ A p
RT
n0 − 1 ∝
NA
p0
R T0
(7a)
(7b)
T Temperatur, R molare Gaskonstante, NA Avogadro-Konstante, Index 0: Normbedingungen
p
1
n − 1 ∝ (n0 − 1)
(8)
p0 1 + γ ΔT
dn Δ n
(n0 − 1)
=
=
d p Δp p0 (1 + γ ΔT )
Δ n sgeom = Δ z λ ,
Δ z sgeom
=
λ
Δn
Δ z Δ z Δ n 2 d (n0 − 1)
=
=
Δ p Δ n Δ p λ p0 (1 + γ ΔT )
(9)
(10)
(11)
Es ist der Anstieg Δ z / Δ p graphisch zu bestimmen und nach Gl. (11) die Brechzahl n0 zu ermitteln.
Für die Größtfehlerabschätzung und bei der Ergebnisangabe mit Messunsicherheit ist die Brechkraft
β (nach Abbe) zu verwenden:
6
β = (n − 1) ⋅ 106 .
(12)
Lineare thermische Ausdehnung
Die Messungen erfolgen analog zur 1. Aufgabe, wobei hier anstelle des mit der Mikrometerschraube
verstellbaren Spiegels ein mit einem Heizdraht umwickelter Metallstab verwendet wird, wobei an
einem Ende des Stabes ein Spiegel befestigt wird. Der Heizstrom wird dem Labornetzgerät
entnommen, und die Temperatur des Stabes wird mit einem Digitalthermometer gemessen. Der
Ausdehnungskoeffizient α des Stabes der Länge l0 kann unter der Annahme einer linearen
Ausdehnung ( Δ l = l0 α Δ T ) mit der Gleichung
α=
λ Δz
(13)
2 l0 Δ T
ermittelt werden. Im Experiment werden die während der Abkühlung des Stabes an der Markierung
vorbeilaufenden Interferenzstreifen gezählt und zur Auswertung z(T) graphisch dargestellt. Man
bestimmt Δz/ΔT aus dem mittleren Anstieg des Graphen. Der Stab ist mit einer Heizleistung von etwa
15 W auf maximal 60 °C zu erwärmen. Anschließend wird ab ca. 45 °C die Abkühlung auf
Zimmertemperatur gemessen.
Piezoelektrizität
Der piezoelektrische Effekt wurde 1880 von Pierre Curie entdeckt. Bei einigen Kristallen, wie z. B.
Quarz oder Bariumtitanat, kann man durch mechanische Kräfte auf gegenüberliegende Seiten des
Kristalls eine elektrische Spannung erzeugen. Druck auf diese Flächen bewirkt nämlich eine
Ladungsverschiebung im Kristall. Entgegengesetzte Ladungen sammeln sich so an den
gegenüberliegenden Kristallflächen.
Das bekannteste Material mit Piezoeigenschaften ist Quarz (SiO2), bei dem jedes Si-Atom tetragonal
von Sauerstoff-Atomen umgeben ist. Ein Quarzkristall hat ein hexagonales Gitter, das aus negativ
geladenen Sauerstoff- und positiv geladenen Silizium-Ionen besteht.
Eine in Richtung Grundfläche-Spitze (Kristallografische Richtung: [111]) wirkende Kraft verformt nun
diese Tetraeder derart, dass die zusammengedrückten Tetraeder elektrisch polarisiert sind und auf
den Oberflächen des Kristalls (in [111]-Richtung) eine Netto-Spannung auftritt. Im unbelasteten
Zustand (oberes Bild) sind die Ionen so angeordnet, dass sich ihre Ladungen an den Oberflächen des
Kristalls gerade gegenseitig ausgleichen. Presst man den Kristall in der x1-Richtung zusammen, so
wird das vorher regelmäßige Sechseck gestaucht und die Ionenanordnung ist nicht mehr gleichmäßig.
Insbesondere erkennt man im unteren Bild, dass an der oberen Oberfläche negative und an der
unteren Oberfläche positive Ladungen überwiegen. Verbindet man diese beiden Oberflächen mit
Elektroden, so lässt sich eine Spannung entnehmen. Die Stauchung ist im Bild übertrieben
dargestellt. Tatsächlich wird ein solcher Kristall bei Druckbeanspruchung nur um einige Mikrometer
gestaucht. Es entstehen dabei aber Piezospannungen in der Größenordnung von 1000 V. Technisch
genutzte Materialien, die einen stärkeren Piezo-Effekt als Quarz zeigen, sind u. a.
Bariumoxidverbindungen, z. B. Bariumtitanat (BaTiO3). Es gibt auch piezoelektrische Keramiken, sog.
PZT-Keramiken (Blei-Zirconium-Titanat), die nur polykristallin vorkommen und vor der Verwendung
polarisiert werden müssen.
7
Der Effekt lässt sich auch umkehren: Legt man an die
Oberflächen eines geeignet präparierten Quarzkristalls eine
Spannung, so verformt sich der Kristall. Der Verformungsgrad
hängt dabei nicht von der Kristallschichtdicke sondern nur von
der angelegten Spannung ab.
Moderne Piezoelektrische Aktoren wandeln elektrische
Energie direkt in mechanische Energie um und ermöglichen die
Lösung vieler Positionierprobleme, bei denen es auf höchste
Genauigkeit, Geschwindigkeit, Auflösung und oft auch Kraft
ankommt.
Der im Experiment verwendete Piezoaktor der Firma Physik
Instrumente wird auch als Piezotranslator bezeichnet, der als
hochauflösender
Linearaktor
für
statische
und
dynamische
Anwendungen
vielfach
eingesetzt wird.
Diese
Aktoren
bieten
eine
Ansprechzeit im
sub-ms Bereich
sowie
sub-nm
Auflösung
und
bestehen
aus
einem
reibungsfrei
vorgespannten,
monolithischen
Piezokeramikstapel,
der
in
ein
Edelstahlgehäuse integriert ist. Durch die Technologie der
Stapeltechnik (piezo stacks) ist es möglich geworden, Stellwege von einigen 10 µm für elektrische
Spannungen in der Größenordnung von 100 V zu erreichen.
Mechanischer Aufbau eines Stapeltranslators
(Physik Instrumente (PI) GmbH & Co. KG)
Hysteresekurven eines spannungsgesteuerten Piezoaktors
bei verschiedenen Spitzenspannungen (Sinusbetrieb). Die
Hysterese hängt von der tatsächlichen Positionsänderung,
nicht von der nominalen Auslenkung ab.
(Physik Instrumente (PI) GmbH & Co. KG)
8
Addendum: Zur Theorie der Brechzahl in Gasen
Die Brechzahl eines Mediums ist gegeben durch
c
(A1)
n= 0 ,
c
wobei c0 die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum und c die Lichtgeschwindigkeit im betrachteten Stoff
bedeuten. Nach der Maxwellschen Theorie des Lichts als elektromagnetische Welle folgt für die
Ausbreitungsgeschwindigkeit der Lichtwellen im Vakuum aus den Maxwellschen Gleichungen
1
.
(A2)
c=
ε 0 μ0
wobei ε0 die elektrische und μ0 die magnetische Feldkonstante sind. Für die
Ausbreitungsgeschwindigkeit in einem Dielektrikum ohne Absorption mit der relativen
Dielelektrizitätszahl εr und einer relativen Permeabilität μr folgt aus denselben Gleichungen
1
.
(A3)
c=
ε r ε 0 μr μ 0
Ein Vergleich der zweiten mit der dritten Gleichung gibt für Stoffe mit μr ≈ 1 (Ausschluss der
c
Ferromagnetika)
(A4)
c= 0 .
εr
Der Vergleich mit der ersten Gleichung führt auf die als Maxwellsche Relation bezeichnete Gleichung
n = ε r1/2 .
(A5)
Für manche Stoffe ist εr in einem weiten Frequenzbereich zwischen dem Radiowellengebiet und dem
sichtbaren Spektralbereich nahezu frequenzunabhängig. Diese Aussage kann experimentell überprüft
werden, indem man z. B. n für sichtbares Licht und εr für Radio- oder Mikrowellenfrequenzen misst.
Medium
n0 (λ = 580 nm)
Luft
CO2
Index 0: Normbedingungen
1,00029
1,00045
ε r1/ 2 (ν = 1 MHz)
1,000295
1,000473
Für Luft ist n in einem sehr großen Frequenzbereich nahezu konstant. Bei CO2 gibt es schon merkliche
Abweichungen, die sich dadurch erklären, dass n bzw. εr nur dann von der Frequenz unabhängig sind,
wenn die betrachteten Lichtfrequenzen weit weg sind von den Eigenfrequenzen der Atome bzw.
Moleküle des Dielektrikums, was bei Luft offensichtlich besser erfüllt ist als bei CO2. Eigenfrequenzen
werden berücksichtigt, indem man die Atome bzw. Moleküle als ungedämpfte harmonische
Oszillatoren mit verschiedenen Eigenfrequenzen behandelt. In Frequenzbereichen außerhalb der
Absorptionsübergänge erhält man die Beziehung nach Clausius und Mosotti
N ρ
ε −1 1
=
αP A ,
(A6)
ε + 2 3ε 0
M
wobei αP die Polarisierbarkeit, ρ die Dichte, M die Molmasse und NA die Avogadro-Konstante sind.
Die Clausius-Mosotti-Beziehung wird oft auch als Korrelation zwischen Brechzahl und
Polarisierbarkeit (Lorentz-Lorenzsche Formel)
n2 − 1
1
=
N αP
2
n + 2 3ε 0
(A7)
9
geschrieben, wobei N = (NA ρ / M) die Teilchendichte ist. Für Gase bei nicht zu hohem Druck ist n ≈ 1,
so dass man in Gl. (2) die Näherungen n2 - 1 = (n + 1)(n - 1) ≈ 2(n - 1) und n2 + 2 ≈ 3 anwenden kann.
ρ p T
Daraus folgt die Relation n − 1 ∝ N bei konstantem αP. Für ideale Gase gilt ρ ∝ N , 2 = 2 1 . Damit
ρ1 p1 T2
ergibt sich die Beziehung
n0 − 1 = ( np ,T − 1 )
p
T p0
= ( np ,T − 1) 0 (1 + γ ϑ ) ,
T0 p
p
(A8)
mit der man die druck- und temperaturabhängige Brechzahl np,T auf Normbedingungen (p0 = 1013,25
hPa, T0 =1/γ = 273,15 K,
T T − T0 + T0 ΔT
=
=
+ 1 = 1 + γ ΔT = 1 + γ ϑ ,ϑ=ΔT=T-T0) umrechnen kann. Der
T0
T0
T0
Wert von n0 ist dann nur noch von der Stoffart und der Frequenz des Lichts (Dispersion) abhängig.
10