UNIVERSIT¨AT BASEL HS2015 Must ¨Ubung 1

UNIVERSITÄT BASEL HS2015
EINFÜHRUNG IN DIE STATISTIK
–
LÖSUNGEN BLATT 4
Must
Übung 1.
Proof. Wir wollen zunächst die Wahrscheinlichkeit berechnen in welcher wir die Zufallsvariable quadrieren,
h √
√ i h√ √ i
20, 35
P (Z 2 ∈ [20, 35]) = P Z ∈ − 35, − 20 ∪
h √
i
h√ √ i
√
= P Z ∈ − 35, − 20 + P Z ∈
20, 35 ,
wobei die zweite Zeile mit Hilfe der Disjunktheit folgt. Nun wissen wir, dass
Z ∼ U [4, 6]√damit√
wissen
wir, dass Z ausserhalb von [4, 6] gerade 0 ist. Wir haben für
alle x ∈ − 35, − 20 , dass x ≤ 4, damit
h √
√ i
P Z ∈ − 35, − 20 = 0.
Bei dem zweiten Teil bemerkt man, dass
∀x ∈ [4, 6] : FZ (x) =
da nun
√ √ 20, 35 ⊆ [4, 6] folgt
x−4
x−4
=
,
6−4
2
h√ √ i
√ √ √35 − 4 √20 − 4
P Z∈
20, 35 = FZ
35 − FZ
20 =
−
≈ 0.72 .
2
2
Die andere Aufgabe löst sich wie folgt,
P (Z ∈ [5.5, 7]) = FZ (7) − FZ (5.5)
1
5.5 − 4
=1−
= .
2
4
Wobei wir verwendet haben, dass
∀x ≥ 6: FZ (x) = 1.
Standard
Übung 2.
Proof. Zunächst müssen wir die Konstante k richtig bestimmen, dies erfolgt mit der
folgenden Idee, dass
lim FX (y) = 1.
y→∞
1
2
EINFÜHRUNG IN DIE STATISTIK – LÖSUNGEN BLATT 4
Wir kennen aber die Dichtefunktion, damit haben wir
Z y
fX (t)dt
lim FX (y) = lim
y→∞
y→ −∞
Z ∞
fX (t)dt
=
−∞
Z ∞
fX (t)dt,
=
0
da ∀t < 0: fX (t) = 0. Nun berechnen wir
Z ∞
Z ∞
1
k
1 −λy
−λx
ke dt = k · lim
fX (t)dt =
1=
= ,
− e
y→∞
λ λ
λ
0
0
damit erhalten wir k = λ.
Die Verteilungsfunktion ist dann gegeben durch
(
0
;t<0
FX (t) =
−λt
1−e
; t ≥ 0.
Nun wollen wir den Ausdruck P (X > 1)x berechnen. Wir argumentieren mittels der
Verteilungsfunktion
P (X > 1)x = (1 − P (X ≤ 1))x
= (1 − FX (1))x
x
= e−λ
= e−λx .
Dies definiert wieder eine Zufallsvariable, d.h. Q(1, x) : R → R mit (1, x) 7→ P (X > 1)x
ist messbar. Allgemein kann man zeigen, dass
Q(a, x) : R2 → R
mit
(a, x) 7→ P (X ≤ a)x
eine Zufallsvariable ist.
Für die letzte Teilaufgabe haben wir drei Fälle:
(Fall 1): Wir betrachten a, b ≥ 0, dann
1 − FX (a + b)
P (X > a + b)
P (X > a + b|X > b) =
=
= e−λa = P (X > a) .
P (X > b)
1 − FX (b)
(Fall 2): Sei nun a < 0 und damit b > a + b, dann
P (X > b)
P (X > a + b|X > b) =
= 1 = P (X > a) .
P (X > b)
(Fall 3): Seien a ≥ 0 und b < 0, dann
P (X > a + b)
P (X > a + b)
P (X > a + b|X > b) =
=
= P (X > a + b) .
P (X > b)
1
Die ersten beiden Fälle erfüllen die ’Markov-Eigenschaft’ oder ’Gedächtnislosigkeit’.
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Übung 3.
Proof. Für den ersten Teil, d.h. die geometrische Verteilung, haben wir durch die geometrische Reihe einfach
X
X
1
= 1.
p(1 − p)k =
p(1 − p)k = p ·
1 − (1 − p)
k≥1
k≥0
Bei der nächsten Aufgabe verwendet man eine geeignete Substitution, wir nehmen
, dann ist ϕ0 (x) = σ1 und man hat
ϕ(x) = x−µ
σ
Z ∞
Z ∞
Z ∞
1
1 2
1
1 0
1
2
− 12 (x−µ)2
ϕ(x)
−
√
√ ϕ (x)e 2
√ e− 2 ϕ dϕ = 1.
dx =
dx =
e 2σ
2πσ
2π
2π
−∞
−∞
−∞
Extra
Übung 4.
Proof. Bevor wir mit der Konstruktion einer Zufallsvariablen beginnen schreiben wir
nochmals die Definition hin.
Definition (Messbarkeit). Sei f : (M, M) → (N, N ) eine Abbildung zwischen zwei
Mengen M und N , wobei M eine σ-Algebra auf M ist und N eine σ-Algebra auf N .
Wir sagen f ist messbar genau dann, wenn ∀A ∈ N : f −1 (A) ∈ M.
Mit Worten heisst dies ’f ist messbar genau dann, wenn das Urbild jeder Menge der
Ziel-σ-Algebra M in der σ-Algebra N des Definitionsraumes liegt’.
Wir nennen eine messbare Abbildung in der Wahrscheinlichkeitstheorie ’Zufallsvariable’.
In dieser Vorlesung betrachten wir meistens eine Abbildung X : (Ω, A) → (R, B(R)),
wobei A eine σ-Algebra auf Ω ist. In der Vorlesung haben wir messbarkeit wie folgt
definiert
∀a ∈ R: {X ≤ a} ∈ A.
Wir schreiben diese Definition ein wenig um und erhalten, dass
{X ≤ a} = {ω ∈ Ω| X(ω) ≤ a} = {ω ∈ Ω| − ∞ < X(ω) ≤ a} = X −1 ((−∞, a]) ,
nun wissen wir, dass die Borel-σ-Algebra (zwar noch ohne Beweis) von Mengen der
Form (−∞, a] aufgespannt wird - daher sind die Definitionen äquivalent (die aus der
Vorlesung und die oben gegebene).
Jetzt können wir eine nicht-Zufallsvariable konstruieren. Betrachte Ω = R und
A = {∅, Ω}. Sei nun O = (−∞, 0) ⊂ R eine offene nichtleere Teilmenge des Zielraumes
R und f : Ω → R gegeben durch f (ω) = ω. Dann gilt f −1 (O) = O ⊆ Ω, aber O ∈
/ A.
Wir wollen nun zeigen, dass aber jedes f : (Ω, P(Ω)) → (R, B(R)) eine Zufallsvariable
ist mit Ω nichtleer. Sei dazu A ∈ B(R), dann f −1 (A) ⊆ Ω d.h. f −1 (A) ∈ P(Ω).
Übung 5.
Proof.
(a) Man betrachte dazu
Z
F () =
1
K1 (α)x−α dx
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EINFÜHRUNG IN DIE STATISTIK – LÖSUNGEN BLATT 4
für α > 0. Durch ausrechnen finden wir heraus, dass F für → ∞ konvergiert,
genau dann konvergiert wenn α > 1 und wir haben
1
F () −→ K1 (α) ·
,
1+α
mit → ∞. Da nun lim→∞ F () = 1 folgt, dass K1 (α) = 1 + α.
(b) Wir betrachten
Z
G() =
1
K2 (α)x−α dx.
Man verfährt analog zu ’(a)’ und findet, dass für α < 1 G() mit → 0 konvergiert und wir erhalten K2 (α) = 1 − α.
(c) Hier benutzen wir den Aufgabenteil ’(a)’. Sei dazu ϕ(x) = x−α . So ist ϕ monoton
fallend für α > 0 im Intervall [1, ∞), damit können wir das Integralvergleichskriterium anwenden und erhalten folgende Abschätzung
Z ∞
Z ∞
Z ∞
X
−α
ϕ(x)dx ≤
ϕ(x)dx = 1 +
ϕ(x)dx.
n ≤ ϕ(1) +
1
n∈N
1
1
Nun wissen wir, dass nur α > 1 zulässig sind.