Lösungen zum Aufgabenblatt 2 Logik und modelltheoretische

Lösungen zum Aufgabenblatt 2
Logik und modelltheoretische Semantik
Universität München, CIS, SS 2014
Hans Leiß
Abgabe: Di, 29.4.2014, in der Vorlesung
Aufgabe 2.1 In einer Boole’schen Algebra hat jedes Element a ein Gegenteil a. Das ist in
der Algebra B der Wahrheitswerte der “gegenteilige Wahrheitswert”, also 0 = 1 und 1 = 0,
und intuitiv unter den Sätzen zum Satz ϕ der “Gegensatz” ¬ϕ. Betrachte folgende Algebra
A = (A, +, ·, , 0, 1),
1
'$
•
3•
·
a
• 0
a&%
•
wo A die Menge der Punkte auf einem Kreis ist, 1 der (im Bild) oberste und 0 der unterste Punkt,
und zu Punkten a und b sei a ≤ b genau dann der Fall, wenn a und b auf demselben Halbkreis
von 0 nach 1 liegen und b oberhalb a liegt. (Im Bild: alle b zwischen a und 1 einschließlich sind
die b ≥ a, die b zwischen a und 0 einschließlich sind die b ≤ a.) Weiter sei
a + b := das bzgl. ≤ kleinste Element x, das a ≤ x und b ≤ x erfüllt
a · b := das bzgl. ≤ größte Element x, das x ≤ a und x ≤ b erfüllt
a := das dem a “gegenüberliegende” Element (d.h. das auf der Geraden
durch a und den Kreismittelpunkt)
Wir haben also hier ein anschauliches Beispiel für den Begriff des “Gegenteils”, oder für die
Redeweise “x ist das Gegenteil von y”.
Frage: Ist diese Algebra A eine Boole’sche Algebra? Überprüfe, welche der Axiome wahr sind
und welche ggf. nicht wahr sind, und begründe Deine Meinung mit Hilfe der Definitionen! (Z.B.:
ist für jedes a tatsächlich a · a = 0, wie eines der Axiome verlangt?)
Aufgabe 2.2 Sei A = (A, +, ·, , 0, 1) mit A = {a, b, c, d, e, f, g, h} und den durch folgende
Tabellen definierten Operationen:
+
a
b
c
d
e
f
g
h
a
a
g
g
a
a
g
g
a
b
g
b
g
b
g
b
g
b
c
g
g
c
g
c
c
g
c
d
a
b
g
d
a
b
g
d
e
a
g
c
a
e
c
g
e
f
g
b
c
b
g
f
g
f
g
g
g
g
g
g
g
g
g
h
a
b
c
d
e
f
g
h
·
a
b
c
d
e
f
g
h
a
a
d
e
d
e
h
a
h
b
d
b
f
d
h
f
b
h
c
e
f
c
h
e
f
c
h
d
d
d
h
d
h
h
d
h
e
e
h
e
h
e
h
e
h
f
h
f
f
h
h
f
f
h
g
a
b
c
d
e
f
g
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
a
b
c
d
e
f
g
h
f
e
d
c
b
a
h
g
Das ist eine Boole’sche Algebra, z.B. gilt von der Distributivität u.a.
(a +A f ) ·A c = g ·A c = c = e +A f = (a ·A c) +A (f ·A c).
• Bilde die Boolesche Algebra P(I) der Menge I = {1, 2, 3}. Gib einen Isomorphismus h
zwischen A und P(I) an, also eine Bijektion, die mit den Operationen +, ·, , 0, 1 verträglich
ist (ein Homomorphismus in beiden Richtungen). (Kurz gesagt: welches der Elemente
a, . . . , h “entspricht” welcher der acht Teilmengen von {1, 2, 3} ?)
Rechnen Sie für Ihr h : A → P(I) vor, daß
h(a +A f ) = h(a) +P(I) h(f ),
A
h(a · f ) = h(a) ·
h(aA ) = h(a)
P(I)
P(I)
.
h(f ),
(1)
(2)
(3)
• Gib einen Homomorphismus von A in die Boole’sche Algebra B := P({k, l}) an, wo +B die
Vereinigung, ·B der Durchschnitt, und B das Komplement bezüglich des Individuenbereichs
{k, l} ist.
Lösung von Aufgabe 2.2 + ist assoziativ: wenn a, b, c auf demselben Halbkreis von 0 nach 1
liegen, ist a + (b + c) das bzgl. ≤ größte der drei Elemente, und (a + b) + c auch, also gilt dann
a + (b + c) = (a + b) + c. Wenn zwei der Elemente, etwa a und b auf verschiedenen Halbkreisen
von 0 nach 1 liegen, und c etwa auf demselben Halbkreis wie a, so ist a + (b + c) = 1, weil schon
b+c = 1 ist, und (a+b)+c = 1, weil schon a+b = 1 ist. Also ist auch hier a+(b+c) = (a+b)+c.
+ ist kommutativ: wenn a und b auf demselben Halbkreis von 0 nach 1 liegen, ist a + b das
größere der beiden, und b + a ebenfalls; also gilt a + b = b + a. Wenn sie auf verschiedenen
Halbkreisen von 0 nach 1 liegen, ist a + b = 0 = b + a.
+ ist idempotent: a liegt auf demselben Halbkreis wie a, also ist a + a das größere der beiden
Elemente, also a, daher: a + a = a.
0 ist neutral bzgl. +: 0 liegt auf demselben Halbkreis von 0 nach 1 wie a, also ist a + 0 das
größere der beiden Elemente, also a; daher gilt a + 0 = a.
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Gegenteile sind erschöpfend, a+a = 1: a und a liegen (zumindest für a ∈
/ {0, 1}) auf verschiedenen
Halbkreisen von 0 nach 1, also ist a + a = 1. Auch wenn eines der Elemente 0 ist, ist das kleinste
Element x, das a ≤ x und a ≤ x erfüllt, das Element 1. Daher gilt in jedem Fall a + a = 1.
Die entsprechenden Aussagen für · und 1 sieht man mit analogen Argumenten. Aber A kann
keine Boole’sche Algebra sein, denn auf den Folien wurde gezeigt, daß in einer Boole’schen
Algebra aus a · b = 0 und a + b = 1 sich ergibt, daß a = b. Und das ist in unserem Beispiel nicht
der Fall: wir finden ja leicht zwei Punkte a und b auf verschiedenen Halbkreisen von 0 nach 1,
wo a 6= b ist.
Also muß mindestens eines der Distributivitätsaxiome in A falsch sein.
Gilt a · (b + c) = (a · b) + (a · c) ? Wähle b und c auf unterschiedlichen Halbkreisen von 0 nach
1. Dann ist b + c = 1, also a · (b + c) = a · 1 = a. Anderseits ist, wenn z.B. b ≤ a ≤ 1 ist,
(a · b) + (a · c) = b + (a · c) = b + 0 = b. Aber sicher können wir solche Elemente mit a 6= b finden.
Also ist das Distributivgesetz falsch.
Konstruiere eine entsprechendes Beispiel, um zu zeigen, daß auch a + (b · c) = (a + b) · (a + c)
i.a. falsch ist. (Welche möglichen Fälle, wie a, b, c auf dem Kreis relativ zu einander liegen, muß
man betrachten?)
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