Vorkurs Mathematik - TU Bergakademie Freiberg

Vorkurs Mathematik – WiSe 2017/18
S. Bernstein, S. Dempe, M. Helm
Fakultät für Mathematik und Informatik
Die Vorlesungen und Tutorien des Vorkurses wurden als Teil
des Brückenkurses I teilweise durch das SMWK aus Mitteln des
ESF und des Landes Sachsen gefördert.
1. Brüche und Polynome
Zahlbereiche
Natürliche Zahlen
Der grundlegende Zahlenbereich ist die Menge der natürlichen Zahlen
N = {1, 2, 3, ...}.
In vielen Fällen ist es sinnvoll die Zahl 0 mit einzubeziehen:
N0 = N [ {0} = {0, 1, 2, ...}.
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Ganze Zahlen
Die Menge der ganzen Zahlen ist
Z = {..., °2, °1, 0, 1, 2, 3, ...}.
Die natürlichen Zahlen sind eine echte Teilmenge der ganzen Zahlen.
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Rationale Zahlen
Brüche aus ganzen und natürlichen Zahlen (ungleich Null) bilden die
rationalen Zahlen
nm
o
Q=
: m 2 Z, n 2 N .
n
Rationale Zahlen lassen sich als endliche Dezimalzahlen oder unendliche
periodische Dezimalzahlen darstellen.
Beispiele:
1
= 0.5;
2
633
= 25.32;
25
1
= 0.3333... = 0.3;
3
14
= 0.3181818... = 0.318;
44
73
= 4.05.
18
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Rechnen mit Brüchen
Was versteht man unter Erweitern und Kürzen von Brüchen? Wird der
Wert eines Bruches dabei geändert oder beibehalten?
Abbildung 1: Addition von
Brüchen
Abbildung 2: Hauptnenner
bilden
Wiederholen Sie an selbstgewählten Beispielen, wie man Brüche addiert,
subtrahiert, multipliziert, dividiert. Formulieren Sie jeweils eine
entsprechende Gesetzmäßigkeit mit Hilfe von Variablen.
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Irrationale Zahlen
Irrationale Zahlen sind nicht periodische, unendliche Dezimalzahlen.
p
2 ist eine irrationale Zahl.
Beispiele:
p
2 = 1.14142...;
º = 3.14159...;
e = 2.71828...
Reelle Zahlen
Die Menge der rationalen Zahlen Q und die Menge aller irrationalen
Zahlen bilden die Menge der reellen Zahlen R.
Bei allen bisherigen Beispielen handelt es sich also um reelle Zahlen.
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Irrationalität von
p
2
Zur Visualisierung reeller Zahlen benutzt man oft den Zahlenstrahl.
p p
2
3
Markieren Sie auf diesem die Zahlen °2, °0.5,0, 3 , 2 , 2, 3 und º.
p
Ein Beweis der Irrationalität von 2 findet sich bereits in Euklids
Elementen aus dem 3. oder 4. Jh. v. Chr. – bis zur 2. Hälfte des 19. Jh.
das nach der Bibel weitverbreitetste Buch der Weltliteratur.
Euklids Elemente
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Lineare Gleichung
Einer der einfachsten Gleichungstypen ist die lineare Gleichung
ax = b
Dabei sind a,b 2 R gegeben und x 2 R gesucht.
Im Fall a 6= 0 ist die eindeutige Lösung gegeben durch
b
x= .
a
Wie verhält es sich mit der Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen im
Fall a = 0?
Finden Sie Argumente, weshalb die Division durch Null nicht sinnvoll
definiert werden kann.
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Binomische Formeln und quadratische Gleichung
Erste binomische Formel
(a + b)2 = a2 + 2ab + b 2
Statt eines Beweises verdeutlichen wir die Aussage geometrisch:
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Zweite binomische Formel
(a ° b)2 = a2 ° 2ab + b 2
(a ° b)2 + b 2 + 2(ab ° b 2 ) = a2
() (a ° b)2 + 2ab ° b 2 = a2
() (a ° b)2 = a2 ° 2ab + b 2
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Dritte binomische Formel
(a + b)(a ° b) = a2 ° b 2
Versuchen Sie sich nun an einem Beweis, d. h. multiplizieren Sie aus.
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Quadratische Gleichung
Die quadratische Gleichung ist eine Gleichung der Form
ax 2 + bx + c = 0,
mit a, b, c 2 R, a 6= 0.
Dividiert man beide Seiten durch a erhält man die Normalform
x 2 + px + q = 0,
wobei p = ba und q = ca zu setzen sind.
Assoziiert mit diesen Gleichungen ist die quadratische Funktion
f (x) = ax 2 + bx + c,
a, b, c 2 R, a 6= 0,
deren Nullstellen (Argumente x0 mit f (x0 ) = 0) genau die Lösungen der
erstgenannten quadratischen Gleichung sind.
Der Graph einer quadratischen Funktion heißt Parabel.
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Visualisierung einer Parabel und ihrer Nullstellen
Im Fall a = 1 (hier gezeichnet) spricht man von einer Normalparabel.
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Satz (p–q–Formel, Mitternachtsformel)
p2
Im Falle D = 4 ° q ∏ 0 hat die Gleichung
x 2 + px + q = 0
die reellen Lösungen
p
x1/2 = ° ±
2
s
p2
° q.
4
Für D < 0 gibt es hingegen keine reelle Lösung.
Lösen Sie die quadratischen Gleichungen x 2 + 4x ° 5 = 0 und
x 2 ° 2x + 1 = 0.
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Gleichungen, die sich auf quadratische zurückführen lassen
Hierbei ist vor allem an folgendes zu denken:
• Ausklammern von x bzw. einer Potenz x m ,
• Substitutionen der Form t = x m (z. B. t = x 2 bei der biquadratischen
Gleichung),
• Mischformen aus vorgenannten Methoden.
Machen Sie sich die Vorgehensweisen an den folgenden Beispielen klar:
• x 5 ° 2x 4 ° 2x 3 = 0,
• x 4 + 4x 2 ° 5 = 0,
• x 7 + 4x 5 ° 5x 3 = 0.
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Parabeln
Durch simples Ausmultiplizieren bestätigt man:
Satz (Scheitelpunktsdarstellung von Parabeln)
Eine Parabel y = ax 2 + bx + c (a 6= 0) kann äquivalent in der
Scheitelpunktform
y = a(x ° xS )2 + yS
mit
xS = ° 2ba
und yS = c °
b2
4a
dargestellt werden.
Der Punkt (xS ,yS ) heißt Scheitelpunkt der Parabel.
Die Parabel ist für a > 0 nach oben und für a < 0 nach unten geöffnet.
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Beispiel 1
f (x) = (x ° 1)2 ° 4
= x 2 ° 2x + 1 ° 4
= x 2 ° 2x ° 3
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Beispiel 2
f (x) = °(x ° 1)2 + 4
= °x 2 + 2x ° 1 + 4
= °x 2 + 2x + 3
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Exkurs: Kegelschnitte
Bei der Parabel handelt es sich um einen Kegelschnitt. Weitere
Kegelschnitte sind die Ellipse (Spezialfall: Kreis) und die Hyperbel.
Bild: Duk/OgreBot (Wikimedia Commons)
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Gärtner-Konstruktion der Ellipse
Auf der Ellipse ist die Summe der Abstände zu zwei gegebenen
Brennpunkten F1 und F2 gleich einer gegebenen Konstante.
Bild: Ag2gaeh (Wikimedia Commons)
Stimmen die Brennpunkte überein, ergibt sich der Kreis als Spezialfall.
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Gärtner-Konstruktion der Hyperbel
Auf der Hyperbel ist die Differenz der Abstände zu zwei gegebenen
Brennpunkten gleich einer gegebenen Konstante.
Bild: Ag2gaeh (Wikimedia Commons)
Wo finden sich Kegelschnitte in Natur und Umwelt wieder?
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Achsenparallele Kegelschnitte
Die Gleichung des Kreises mit Radius r und Mittelpunkt (xM ,yM ) lautet
(x ° xM )2 + (y ° yM )2 = r 2 .
Liegt der Mittelpunkt im Ursprung ((xM ,yM ) = (0,0)), ergibt sich speziell
x 2 + y 2 = r 2.
Die Gleichungen von Ellipse und Hyperbel mit Mittelpunkt im Ursprung,
Koordinatenachsen als Hauptachsen und Halbachsen a und b lauten
x2 y2
+ 2 = 1 und
2
a
b
x2 y2
° 2 = 1.
2
a
b
Wählt man als Mittelpunkt (xM ,yM ), so sind x und y wieder durch
x ° xM bzw. y ° yM zu ersetzen.
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Polynome und ihre Nullstellen
an , an°1 , ..., a1 , a0 ... Koeffizienten,
an = 1 ... normiertes Polynom
Motivierende Frage: Kann z. B. man die Nullstellen von
p(x) = x 3 ° 5x 2 + 5x ° 1 analytisch bestimmen?
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Exkurs: Der Satz von Vieta
Sind x1 ,x2 die Lösungen der quadratischen Gleichung
x 2 + px + q = 0,
d. h. die Nullstellen des Polynoms p(x) = x 2 + px + q, so lässt sich das
Polynom auch in der Form
p(x) = (x ° x1 )(x ° x2 )
schreiben. Durch Ausmultiplizieren und Vergleichen ergibt sich
Satz (von Vieta)
Für die Lösungen x1 und x2 der quadratischen Gleichung x 2 + px + q = 0
gilt
p = °(x1 + x2 ) und q = x1 · x2 .
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Polynomdivision und Linearfaktoren
Satz (Polynomdivision)
Sind f (x) und g (x) Polynome mit g (x) 6= 0, dann gibt es eindeutig
bestimmte Polynome q(x) und r (x) mit
f (x) = g (x)q(x) + r (x)
bzw.
f (x)
r (x)
= q(x) +
.
g (x)
g (x)
Entweder ist r (x) = 0, d.h. f (x) ist durch g (x) (ohne Rest) teilbar, oder
der Grad von r (x) ist kleiner als der Grad von g (x).
Satz (Abspaltung von Linearfaktoren)
x ° x0 ist Linearfaktor des Polynoms p(x) genau dann, wenn x0 Nullstelle
des Polynoms ist. p(x) ist also in diesem Fall ohne Rest durch x ° x0
teilbar.
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Nullstellen von Polynomen höherer Ordnung
Doch wie gelangt man an Nullstellen von Polynomen höherer Ordnung?
Mitunter hat man bei ganzzahligen Koeffizienten Glück:
Satz
Besitzt das Polynom p(x) ganzzahlige Koeffizienten, so ist jede
ganzzahlige Nullstelle Teiler des Absolutglieds.
Beispiel: Das Absolutglied des Polynoms p(x) = x 3 ° 12x 2 + 47x ° 60 ist
°60. Als ganzzahlige Nullstellen kommen somit ±1, ±2, ±3, ±4, ±5,
±6, ±10, ±12, ±15, ±20, ±30 und ±60 in Frage.
Durch systematisches Probieren erhalten wir x1 = 3 als Nullstelle, denn
33 ° 12 · 32 + 47 · 3 ° 60 = 27 ° 108 + 141 ° 60 = 0.
Wir wissen jetzt also, dass p(x) ohne Rest durch x ° 3 teilbar ist.
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Polynomdivision
Die Abspaltung des Linearfaktors erfolgt jetzt per Polynomdivision,
analog zum schriftlichen Dividieren von Zahlen:
(x 3 ° 12x 2 +47x °60)
x 3 ° 3x 2
°9x 2 + 47x
°9x 2 + 27x
20x ° 60
20x ° 60
0
: (x ° 3) = x 2 ° 9x + 20
Folglich ist
p(x) = x 3 ° 12x 2 + 47x ° 60 = (x ° 3)(x 2 ° 9x + 20).
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Die quadratische Gleichung x 2 ° 9x + 20 = 0 besitzt die Lösungen
x2/3 = °
°9
2
±
s
(°9)2
9
° 20 = ±
4
2
s
81 80 9 1
°
= ± ,
4
4 2 2
d. h. die restlichen beiden Nullstellen sind x2 = 4 und x2 = 5. Das Polynom
p(x) lässt sich faktorisieren gamäß
p(x) = (x ° 3)(x ° 4)(x ° 5).
Ermitteln Sie auf diese Weise die Lösungen der kubischen Gleichung
x 3 ° 5x 2 + 5x ° 1 = 0.
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Wo steckt der Fehler?
9 9
2+2 = 4° + =
2 2
=
=
s
s
s
s
µ
∂
9 2 9
4°
+
2
2
µ ∂2
9
9
16 ° 2 · 4 · +
2
2
µ ∂2
9
°20 +
2
9
+ =
2
s
µ ∂2
9
9
52 ° 2 · 5 · +
2
2
9 9
= 5° + = 5
2 2
=
+
9
=
2
s
16 ° 36 +
µ ∂2
9
25 ° 45 +
2
+
9
=
2
s
µ
5°
9
2
µ ∂2
9
2
+
9
2
9
+
2
∂2
+
9
2
Folglich ist 4 = 5 .
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