November 2011 Aufgaben

November 2011
Aufgabe 1: Spiegelzahl-Differenzen
Schreibt man die Ziffern einer Zahl
rückwärts hin, dann erhält man ihre
Spiegelzahl. Zum Beispiel ist 4891
die Spiegelzahl zu 1984. Es wird nun
die Differenz zwischen der Zahl und
ihrer Spiegelzahl gebildet, und zwar
so, dass man von der größeren Zahl
die kleinere abzieht, im Beispiel
4891 – 1984 = 2907. Das Ergebnis
heißt Spiegelzahl-Differenz. Zu dem
Ergebnis 2907 wird wiederum die
Spiegelzahl 7092 gebildet und erneut
die Spiegelzahl-Differenz berechnet,
solange, bis man 0 erhält. Die Anzahl
der Schritte bis zur 0 heißt Spiegelzahl-Differenz-Ordnung der Ausgangszahl.
So hat die Beispielzahl 1984 die Ordnung 10.
a) Bestimme die Spiegelzahl-Differenz-Ordnung von 2012.
b) Untersuche einstellige, zweistellige, dreistellige und vierstellige Zahlen auf ihre
Spiegelzahl-Differenz-Ordnung. Stelle die Ergebnisse systematisch dar und gib
für ein- bis dreistellige Ausgangszahlen die Anzahl der möglichen SpiegelzahlDifferenzen an.
c) Begründe: Alle Spiegelzahl-Differenzen sind durch 9 teilbar.
d) Ein Palindrom ist eine Zahl, die gleich ihrer Spiegelzahl ist. Gib drei Beispiele
für Zahlen an, deren Spiegelzahl-Differenz ein Palindrom mit mehr als einer
Ziffer ist.
MA-THEMA November 2011
2
Aufgabe 2: Zwei gleichschenklige Dreiecke im Dreieck (2)
Vermutung (siehe MA-THEMA Juni 2011): Ein Dreieck lässt sich genau dann
in zwei gleichschenklige Teildreiecke zerlegen, wenn es rechtwinklig ist oder
wenn zwei seiner Winkelmaße im Verhältnis 2 zu 1 oder 3 zu 1 stehen.
Für die unterschiedlichen Fälle soll eine Konstruktion angegeben oder eine
Einschränkung formuliert werden, und es sind Fälle gesucht, für die es mehrere
Konstruktionen oder mehrere Lösungen gibt.
C
a) Zerlege das rechtwinklige Dreieck in zwei
gleichschenklige Teildreiecke. Gib für beliebige
rechtwinklige Dreiecke eine Konstruktion an
und zeige, dass sie immer ausführbar ist.
A
B
b) Zerlege jedes der vier Dreiecke in zwei gleichschenklige Teildreiecke. Gib
jeweils eine Konstruktion an. Formuliere möglichst allgemeine Regeln.
C
C
35°
70°
A
25°
B
B
C
25°
A
75°
A
C
50°
20°
B
A
60°
B
c) Zwei ganzzahlige Winkelmaße im Dreieck stehen im Verhältnis 2 zu 1. Gib die
Winkelmaße für folgende Dreiecke an:
• mit den beiden kleinsten Winkeln dieser Art,
C
• mit den beiden größten Winkeln dieser Art,
• mit zwei gleich großen Winkeln,
• für dasjenige Dreieck, das einem rechtwinkligen
am nächsten kommt.
Prüfe, ob eine Aufteilung in zwei gleichschenklige
Dreiecke tatsächlich möglich ist. Gib auch für das
40°
80°
rechts abgebildete Dreieck eine Konstruktion an.
B
A
Wiederhole die Untersuchung für ganzzahlige
Winkelmaße, die im Verhältnis 3 zu 1 stehen.
d) Gib die Fälle an, die mehrere Bedingungen zugleich erfüllen. Prüfe, ob dadurch
verschiedene Konstruktionen möglich sind und ob diese ggf. auf verschiedene
Teilungen führen.
MA-THEMA November 2011
3
Aufgabe 3: Pentomino-Probleme (3)
Pentominos sind Figuren, die aus fünf Quadraten bestehen. Es gibt
12 verschiedene Pentominos, die so wie abgebildet oder gedreht oder
umgeklappt (gespiegelt) in insgesamt 63 Varianten auf ein Hunderterfeld gelegt
werden. Wir betrachten die Summe der dabei abgedeckten Zahlen. Im Beispiel
deckt das W-Pentomino die Summe 66 ab.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
a) Gib die kleinste und die größte Summe an, die man mit dem W-Pentomino
abdecken kann. Betrachte auch gedrehte und umgeklappte Varianten.
b) 66 ist ohne Rest durch 3 teilbar. Gib weitere durch 3 teilbare Zahlen an, die mit
dem W-Pentomino dargestellt werden können.
c) Finde heraus, mit welchen der anderen abgebildeten Pentominos ohne Drehen
oder Umklappen durch 3 teilbare Zahlen dargestellt werden können und mit
welchen nicht.
d) Die kleinste mit den Pentominos abdeckbare Summe ist 15, die größte ist 490.
Gib vier Zahlen zwischen 15 und 490 an, die mit keinem der Pentominos
dargestellt werden können, auch nicht in gedrehter oder umgeklappter Variante.
MA-THEMA November 2011
4
Aufgabe 4: teilbar durch 37
Die Zahl 444 ist durch 37 teilbar und lässt sich als Summe aus drei
aufeinanderfolgenden Zahlen schreiben: 147 + 148 + 149 = 444 . Bildet man aus
den drei Summanden durch Aneinanderreihen eine neunstellige Zahl, so ist auch
diese durch 37 teilbar. 147148149 : 37 = 3976977 .
a) Prüfe, ob es auf die Reihenfolge der drei Summanden ankommt.
b) Zerlege die 444 in drei andere Summanden, bilde durch Aneinanderreihen eine
neunstellige Zahl und prüfe, ob auch diese Division aufgeht.
c) Zeige, dass der Trick nicht nur mit 444, sondern mit jeder Zahl aus drei gleichen
Ziffern funktioniert.