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Mathematik Angewandte HLW Graz 2. Schularbeit 4HLMd 31. Mai 2011 1. Der Code einer Bankomatkarte besteht aus 4 Ziffern (jede davon kann einen Wert von 0 bis 9 annehmen). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, diesen Code (mit nur einem Versuch) richtig zu erraten? 1 richtig erraten. Die Jede der vier Ziffern wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 10 Wahrscheinlichkeit, alle vier Stellen richtig zu erraten, ist demnach 0,01 %. 1 10 4 4 P. = 0,0001 = 2. In einem Reisebus sitzen 30 Personen von denen 5 keinen Pass besitzen. 4 Fahrgäste werden an der Grenze kontrolliert. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle kontrollierten Personen einen Pass besitzen? Entspricht dem Ziehen ohne Zurücklegen: 25 · 24 · 23 · 22 ≈ 0,4616 = 46,16 % 30 29 28 27 5 P. b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter den Kontrollierten mindestens eine Person ohne Pass befindet? Lösung mithilfe des Gegenereignisses: 1 − 0,4616 = 0,5384 = 53,84 % 4 P. 3. Von 1 000 000 Personen sind etwa 300 an Darmkrebs erkrankt. Eine Untersuchungsmethode zur Diagnose von Darmkrebs liefert bei erkrankten Personen in 98 % der Fälle ein korrektes positives Ergebnis (d. h., eine Erkrankung bleibt in 2 % der Fälle unbemerkt). Bei nicht erkrankten Personen ist das Testergebnis in 95 % der Fälle korrekterweise negativ (d. h., bei 5 % der nicht erkrankten Personen wird fälschlicherweise Darmkrebs diagnostiziert). „T + “ bezeichnet ein positives Testergebnis; „T − “ ein negatives. „K“ bezeichnet eine vorhandene Krebserkrankung; „¬T “ bedeutet, dass kein Krebs vorliegt. 3 P. $ 24–29 Punkte: Genügend 38–44 Punkte: Gut 30–37 Punkte: Befriedigend 45–48 Punkte: Sehr gut % a) Gib die folgenden Wahrscheinlichkeiten an! P (K), P (¬K), P (T + |K), P (T + |¬K), P (T − |K), P (T − |¬K) 300 P (K) = 1 000 = 0,0003, P (¬K) = 0,9997, P (T + |K) = 0,98, 000 + P (T |¬K) = 0,05, P (T − |K) = 0,02, P (T − |¬K) = 0,95 b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person mit positivem Testergebnis tatsächlich an Darmkrebs erkrankt ist? Satz von BAYES: 8 P. P (T + |K) · P (K) P (T + |K) · P (K) + P (T + |¬K) · P (¬K) 0,98 · 0,0003 = ≈ 0,0058 = 0,58 % 0,98 · 0,0003 + 0,05 · 0,9997 P (K|T + ) = c) Die Rechnung aus b) liefert ein Ergebnis von weniger als 1 %. Begründe, warum so ein erstaunliches Ergebnis zustande kommt, obwohl der Test nur eine relativ geringe Fehlerwahrscheinlichkeit aufweist! Wegen der geringen Häufigkeit dieser Erkrankung in der Gesamtbevölkerung sind unter den Getesteten sehr viel mehr Gesunde als Erkrankte. Dadurch ist auch die Zahl der falsch positiven Testergebnisse im Vergleich zur Zahl der korrekt positiven Ergebnisse sehr hoch. 2 P. Mathematik Angewandte HLW Graz % 24–29 Punkte: Genügend 38–44 Punkte: Gut 30–37 Punkte: Befriedigend 45–48 Punkte: Sehr gut $ 4. Seien E und E1 beliebige Ereignisse. Kreuze jeweils an, ob die Aussage wahr oder falsch ist! wahr P (E oder ¬E) = 0 P (E) + P (¬E) = 1 N falsch N wahr P (E) ≤ P (¬E) P (E1 |E) = P (E|E1 ) falsch N N 5. 50 % aller bei einem Maturaball verkauften Lose sind Nieten. Bei 35 % aller Lose erhält man einen Preis im Wert von 5 e, bei den restlichen Losen einen Preis im Wert von 15 e. Berechne den durchschnittlich zu erwartenden Gewinn pro Los! Berechnung des Erwartungswerts der Zufallsvariablen X = „Gewinnhöhe“: E(X) = 0 e · 0,5 + 5 e · 0,35 + 15 e · 0,15 = 4 e 6. In einer Wohnhausanlage gibt es 54 Briefkästen. Die Zustellerin irrt sich beim Einfächern der Post manchmal; die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen X = „falsch eingefächerte Briefe“ ist in der nebenstehenden Tabelle angegeben. xi P (X = xi ) 0 1 2 3 0,7 0,2 0,08 p3 a) Handelt es sich um eine diskrete oder um eine stetige Zufallsvariable? Begründe deine Antwort! Es ist eine diskrete Zufallsvariable, da sie nur endliche viele Werte annehmen kann (nämlich die Zahlen 0, 1, 2 und 3). b) Ermittle den fehlenden Wert p3 ! (Hinweis: Mehr als 3 Briefe werden niemals falsch eingefächert.) Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten muss 1 ergeben (sicheres Ereignis). Deshalb: p3 = 1 − (0,7 + 0,2 + 0,08) = 0,02. c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass i) höchsten ein Brief, ii) genau zwei Briefe falsch eingefächert wurden? i) P (X ≤ 1) = P (X = 0) + P (X = 1) = 0,7 + 0,2 = 0,9 ii) P (X = 2) = 0,08 d) Die Ausdrücke in der linken Tabelle können auch anders angeschrieben werden. Ordne ihnen jeweils die gleichbedeutenden Terme aus der rechten Tabelle zu, indem du die entsprechenden Buchstaben in das vorgesehene Feld schreibst! (Hinweis: Eventuell können einem Ausdruck auch mehrere andere Ausdrücke zugeordnet werden.) ist dasselbe wie ... P (X = 0) (A) P (X ≥ 0) (B) P (X > 2) (C), (D) (A) 1 − P (X ≥ 1) (B) 1 (C) P (X = 3) (D) P (X ≥ 3) (E) 0 4 P. 5 P. 3 P. 3 P. 3 P. 4 P. Mathematik Angewandte HLW Graz 2. Schularbeit 4HLMd 31. Mai 2011 1. Ein fairer Würfel wird fünfmal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dabei genau die Abfolge zu würfeln? An jeder der fünf Positionen kommt mit einer Wahrscheinlichkeit von 16 genau die vorgegebene Augenzahl. Die Wahrscheinlichkeit, dass alle fünf Augenzahlen mit den 5 1 jeweils vorgegebenen übereinstimmen, ist demnach 6 = 0,000128 = 0,0128 %. 2. In einer Straßenbahngarnitur befinden sich 45 Personen von denen 5 kein gültiges Ticket besitzen. Es werden 4 Fahrgäste kontrolliert. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle kontrollierten Personen ein gültiges Ticket besitzen? Entspricht dem Ziehen ohne Zurücklegen: 40 · 39 · 38 · 37 ≈ 0,6134 = 31,34 % 45 44 43 42 5 P. b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter den Kontrollierten mindestens eine Person ohne gültiges Ticket befindet? Lösung mithilfe des Gegenereignisses: 1 − 0,6134 = 0,3866 = 38,66 % 4 P. 3. Von 1 000 000 Personen sind etwa 300 an Darmkrebs erkrankt. Eine Untersuchungsmethode zur Diagnose von Darmkrebs liefert bei erkrankten Personen in 97 % der Fälle ein korrektes positives Ergebnis (d. h., eine Erkrankung bleibt in 3 % der Fälle unbemerkt). Bei nicht erkrankten Personen ist das Testergebnis in 96 % der Fälle korrekterweise negativ (d. h., bei 4 % der nicht erkrankten Personen wird fälschlicherweise Darmkrebs diagnostiziert). „T + “ bezeichnet ein positives Testergebnis; „T − “ ein negatives. „K“ bezeichnet eine vorhandene Krebserkrankung; „¬T “ bedeutet, dass kein Krebs vorliegt. 24–29 Punkte: Genügend 38–44 Punkte: Gut 30–37 Punkte: Befriedigend 45–48 Punkte: Sehr gut % a) Gib die folgenden Wahrscheinlichkeiten an! $ 4 P. 3 P. P (K), P (¬K), P (T + |K), P (T + |¬K), P (T − |K), P (T − |¬K) 300 = 0,0003, P (¬K) = 0,9997, P (T + |K) = 0,97, P (K) = 1 000 000 + P (T |¬K) = 0,04, P (T − |K) = 0,03, P (T − |¬K) = 0,96 b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person mit positivem Testergebnis tatsächlich an Darmkrebs erkrankt ist? Satz von BAYES: 8 P. P (T + |K) · P (K) P (T + |K) · P (K) + P (T + |¬K) · P (¬K) 0,97 · 0,0003 ≈ 0,0072 = 0,72 % = 0,97 · 0,0003 + 0,04 · 0,9997 P (K|T + ) = c) Die Rechnung aus b) liefert ein Ergebnis von weniger als 1 %. Begründe, warum so ein erstaunliches Ergebnis zustande kommt, obwohl der Test nur eine relativ geringe Fehlerwahrscheinlichkeit aufweist! Wegen der geringen Häufigkeit dieser Erkrankung in der Gesamtbevölkerung sind unter den Getesteten sehr viel mehr Gesunde als Erkrankte. Dadurch ist auch die Zahl der falsch positiven Testergebnisse im Vergleich zur Zahl der korrekt positiven Ergebnisse sehr hoch. 2 P. Mathematik Angewandte HLW Graz % 24–29 Punkte: Genügend 38–44 Punkte: Gut 30–37 Punkte: Befriedigend 45–48 Punkte: Sehr gut $ 4. Seien E und E1 beliebige Ereignisse. Kreuze jeweils an, ob die Aussage wahr oder falsch ist! wahr P (E) + P (¬E) = 0 P (E und ¬E) = 0 N falsch N wahr P (E) ≥ P (¬E) P (E|E1 ) = P (E1 |E) falsch N N 5. 35 % aller bei einem Maturaball verkauften Lose sind Nieten. Bei 50 % aller Lose erhält man einen Preis im Wert von 5 e, bei den restlichen Losen einen Preis im Wert von 15 e. Berechne den durchschnittlich zu erwartenden Gewinn pro Los! Berechnung des Erwartungswerts der Zufallsvariablen X = „Gewinnhöhe“: E(X) = 0 e · 0,35 + 5 e · 0,5 + 15 e · 0,15 = 4,75 e 6. In einer Wohnhausanlage gibt es 63 Briefkästen. Die Zustellerin irrt sich beim Einfächern der Post manchmal; die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen X = „falsch eingefächerte Briefe“ ist in der nebenstehenden Tabelle angegeben. xi 0 1 2 3 P (X = xi ) p0 0,1 0,07 0,03 a) Handelt es sich um eine diskrete oder um eine stetige Zufallsvariable? Begründe deine Antwort! Es ist eine diskrete Zufallsvariable, da sie nur endliche viele Werte annehmen kann (nämlich die Zahlen 0, 1, 2 und 3). b) Ermittle den fehlenden Wert p0 ! (Hinweis: Mehr als 3 Briefe werden niemals falsch eingefächert.) Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten muss 1 ergeben (sicheres Ereignis). Deshalb: p0 = 1 − (0,1 + 0,07 + 0,03) = 0,8. c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass i) mindestens zwei Briefe, ii) genau ein Brief falsch eingefächert wurden? i) P (X ≥ 2) = P (X = 2) + P (X = 3) = 0,07 + 0,03 = 0,1 ii) P (X = 1) = 0,1 d) Die Ausdrücke in der linken Tabelle können auch anders angeschrieben werden. Ordne ihnen jeweils die gleichbedeutenden Terme aus der rechten Tabelle zu, indem du die entsprechenden Buchstaben in das vorgesehene Feld schreibst! (Hinweis: Eventuell können einem Ausdruck auch mehrere andere Ausdrücke zugeordnet werden.) ist dasselbe wie ... P (X = 0) (B) P (X ≥ 3) (C), (D) P (X > 3) (E) (A) 1 (B) 1 − P (X ≥ 1) (C) P (X = 3) (D) P (X > 2) (E) 0 4 P. 5 P. 3 P. 3 P. 3 P. 4 P.
