03 Statik von Systemen starrer Körper
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Vorlesung Technische Mechanik 1 – Statik, Wintersemester 2007/2008 Technische Mechanik 1. Einleitung 2. Statik des starren Körpers 3. Statik von Systemen starrer Körper 3.1 Gleichgewichtsbedingungen, das Erstarrungsprinzip 3.2 Lager 3.2.1 Lagerung in der Ebene 3.2.2 Allgemeiner Fall 3.3 Beispiele 3.3.1 Dreigelenkbogen 3.3 2 Sägebock © Prof. Dr.-Ing. J. Wallaschek, Universität Hannover Vorlesung Technische Mechanik 1 – Statik, Wintersemester 2007/2008 Leonhard Euler * 15. April 1707 in Basel † 18. September 1783 in Sankt Petersburg „Befindet sich ein System von Körpern im Gleichgewicht, dann sind auch alle aus ihm herausgeschnittenen Teile im Gleichgewicht. Die Wirkung der abgeschnittenen Teile ist durch die Schnittkräfte ersetzbar..“ (Foto: Wikipedia) © Prof. Dr.-Ing. J. Wallaschek, Universität Hannover Vorlesung Technische Mechanik 1 – Statik, Wintersemester 2007/2008 Gleichgewichtsbedingung, Erstarrungsprinzip Gleichgewichtsbedingung: • Ein System starrer Körper ist dann im Gleichgewicht, wenn jeder einzelne starre Körper im Gleichgewicht ist. Erstarrungsprinzip: • Ein System starrer Körper ist dann im Gleichgewicht, wenn jedes Teilsystem sich im Gleichgewicht befindet. © Prof. Dr.-Ing. J. Wallaschek, Universität Hannover Vorlesung Technische Mechanik 1 – Statik, Wintersemester 2007/2008 Beispiel: Fahrradbremse - Modellbildung Systemgrenze: Das System besteht aus zwei starren Körpern. Vereinfachung: Wir betrachten nur die Kräfte in der x-y-Ebene und Momente um die z-Achse. Kräfte in zRichtung und Momente um die x- oder yAchse werden nicht berücksichtigt (Ebenes Ersatzmodell) Gegeben: Betätigungskraft, Geometrie Gesucht: Felgen-Normalkraft, Reaktionskräfte in den Lagern (Grafik: www.fahrradwelt.de ) © Prof. Dr.-Ing. J. Wallaschek, Universität Hannover Vorlesung Technische Mechanik 1 – Statik, Wintersemester 2007/2008 Beispiel: Fahrradbremse Das System besteht aus zwei starren Körpern. Wir betrachten nur die Kräfte in der x-y-Ebene und Momente um die z-Achse. Kräfte in z-Richtung und Momente um die x- oder y-Achse werden nicht berücksichtigt (Ebenes Ersatzmodell). • Teil II ist in Punkt A bzgl. Des Fahrradrahmens drehbar gelagert • I ist in A bzgl. II drehbar gelagert Als äussere Kräfte wirken • Betätigungskraft F1 • Felgen-Normalkraft F2 © Prof. Dr.-Ing. J. Wallaschek, Universität Hannover Vorlesung Technische Mechanik 1 – Statik, Wintersemester 2007/2008 Beispiel: Fahrradbremse Das System ist im Gleichgewicht, wenn sowohl Körper I als auch Körper II im Gleichgewicht sind. Körper I: Richtung der Kräfte ergibt sich aus Dreieckskonstruktion, Größe (Betrag) aus: F1 = B cos α F2 = B sin α Es folgt: © Prof. Dr.-Ing. J. Wallaschek, Universität Hannover tan α = a b F1 cos α F2 = F1 tan α B= Vorlesung Technische Mechanik 1 – Statik, Wintersemester 2007/2008 Beispiel: Fahrradbremse n Das System ist im Gleichgewicht, wenn sowohl Körper I als auch Körper II im Gleichgewicht sind. ∑F i =1 n ∑F i =1 Körper I: ix iy = 0 : F2 − B sin α = 0 = 0 : F1 − B cos α = 0 n ∑M i =1 n ∑F i =1 ix = 0 : F2 − B sin α = 0 (B) iz = 0 : − F1a + F2b = 0 Zur Bestimmung der beiden unbekannten Kräfte ist es ausreichend 2 Gleichungen auszuwerten: ⎡ − sin α ⎢− cos α ⎣ © Prof. Dr.-Ing. J. Wallaschek, Universität Hannover 1⎤ ⎡ B ⎤ ⎡ 0 ⎤ = 0⎥⎦ ⎢⎣ F2 ⎥⎦ ⎢⎣− F1 ⎥⎦ Vorlesung Technische Mechanik 1 – Statik, Wintersemester 2007/2008 Beispiel: Fahrradbremse Das System ist im Gleichgewicht, wenn sowohl Körper I als auch Körper II im Gleichgewicht sind. Körper II: Da die Kräfte F1, F2 und B am Körper I im Gleichgewicht stehen, ist ihre Resultierende gleich Null. Daraus folgt für Körper II, dass nur noch die beiden Kräfte Ax und Ay wirken. Diese müssen Null sein, damit Körper II im Gleichgewicht ist. © Prof. Dr.-Ing. J. Wallaschek, Universität Hannover Vorlesung Technische Mechanik 1 – Statik, Wintersemester 2007/2008 Technische Mechanik 1. Einleitung 2. Statik des starren Körpers 3. Statik von Systemen starrer Körper 3.1 Gleichgewichtsbedingungen, das Erstarrungsprinzip 3.2 Lager 3.2.1 Lagerung in der Ebene 3.2.2 Allgemeiner Fall 3.3 Beispiele 3.3.1 Dreigelenkbogen 3.3 2 Sägebock © Prof. Dr.-Ing. J. Wallaschek, Universität Hannover Vorlesung Technische Mechanik 1 – Statik, Wintersemester 2007/2008 Lager • Ein starrer Körper hat in der Ebene drei unabhängige Bewegungsmoglichkeiten: zwei Translationen in der Ebene und eine Drehung um eine zur Ebene senkrechte Achse • Lager schränken die Bewegungsmöglichkeit ein. © Prof. Dr.-Ing. J. Wallaschek, Universität Hannover Vorlesung Technische Mechanik 1 – Statik, Wintersemester 2007/2008 Lager • Ein starrer Körper hat im Raum sechs unabhängige Bewegungsmoglichkeiten: drei Translationen und drei Drehungen • Lager schränken die Bewegungsmöglichkeit ein. © Prof. Dr.-Ing. J. Wallaschek, Universität Hannover Vorlesung Technische Mechanik 1 – Statik, Wintersemester 2007/2008 Lager in der Ebene © Prof. Dr.-Ing. J. Wallaschek, Universität Hannover Vorlesung Technische Mechanik 1 – Statik, Wintersemester 2007/2008 Lager im Raum (1) © Prof. Dr.-Ing. J. Wallaschek, Universität Hannover Vorlesung Technische Mechanik 1 – Statik, Wintersemester 2007/2008 Lager im Raum (2) © Prof. Dr.-Ing. J. Wallaschek, Universität Hannover Vorlesung Technische Mechanik 1 – Statik, Wintersemester 2007/2008 Beispiel: Gelenkarmroboter KUKA KR 1000 titan Traglast Max. Reichweite Anzahl der Achsen Wiederholgenauigkeit Gewicht (Foto: KUKA ) © Prof. Dr.-Ing. J. Wallaschek, Universität Hannover 1000 kg 3202 mm 6 <±0,2 mm 4700 kg Vorlesung Technische Mechanik 1 – Statik, Wintersemester 2007/2008 Beispiel: Scara-Roboter KUKA KR 5 Scara R550 Traglast z-Hub Max. Reichweite 5 kg 200 mm / 320 mm 550 mm Anzahl der Achsen 4 Wiederholgenauigkeit <±0,02 mm Gewicht 20 kg Geschwindigkeit max. 7,1 m/s (Foto: KUKA ) © Prof. Dr.-Ing. J. Wallaschek, Universität Hannover Vorlesung Technische Mechanik 1 – Statik, Wintersemester 2007/2008 Beispiel: Fahrradbremse Shimano Deore XT, BR-M760 (Foto: www.cycle-basar.de ) © Prof. Dr.-Ing. J. Wallaschek, Universität Hannover Vorlesung Technische Mechanik 1 – Statik, Wintersemester 2007/2008 Beispiel: Kardangelenk (Foto: www.wobestellen.de ) © Prof. Dr.-Ing. J. Wallaschek, Universität Hannover Vorlesung Technische Mechanik 1 – Statik, Wintersemester 2007/2008 Beispiel: Gleitlager (Foto: www.bf-vln.de) © Prof. Dr.-Ing. J. Wallaschek, Universität Hannover Vorlesung Technische Mechanik 1 – Statik, Wintersemester 2007/2008 Beispiel: Wälzlager (Foto: www.bf-vln.de) © Prof. Dr.-Ing. J. Wallaschek, Universität Hannover Vorlesung Technische Mechanik 1 – Statik, Wintersemester 2007/2008 Beispiel: Fahrwerk (Fotos: www.kfz-tech.de) © Prof. Dr.-Ing. J. Wallaschek, Universität Hannover Vorlesung Technische Mechanik 1 – Statik, Wintersemester 2007/2008 Technische Mechanik 1. Einleitung 2. Statik des starren Körpers 3. Statik von Systemen starrer Körper 3.1 Gleichgewichtsbedingungen, das Erstarrungsprinzip 3.2 Lager 3.2.1 Lagerung in der Ebene 3.2.2 Allgemeiner Fall 3.3 Beispiele 3.3.1 Dreigelenkbogen 3.3 2 Sägebock © Prof. Dr.-Ing. J. Wallaschek, Universität Hannover Vorlesung Technische Mechanik 1 – Statik, Wintersemester 2007/2008 Beispiel: Dreigelenkbogen (1) II I F1 G P1 A r r Gegeben: Geometrie, äußere Kräfte F1 , F2 r r Gesucht: Lagerkräfte A, B © Prof. Dr.-Ing. J. Wallaschek, Universität Hannover F2 P2 B Vorlesung Technische Mechanik 1 – Statik, Wintersemester 2007/2008 Beispiel: Dreigelenkbogen (2) F1 Gy Gx P1 F2 Gx Gy P2 Ax Ay © Prof. Dr.-Ing. J. Wallaschek, Universität Hannover By Bx Vorlesung Technische Mechanik 1 – Statik, Wintersemester 2007/2008 Beispiel: Dreigelenkbogen (3) F1 Gy Gx P1 F2 Gx g1y P2 Gy p2y p1y Ax Ay By p1x p2x g1x © Prof. Dr.-Ing. J. Wallaschek, Universität Hannover g2x Bx g2y Vorlesung Technische Mechanik 1 – Statik, Wintersemester 2007/2008 Beispiel: Dreigelenkbogen (4) F1 Gy r Stelle F1 durch Komponenten dar: r r r F1 = F1, x ex + F1, y e y Gx P1 g1y p1y Ax Ay Gleichgewichtsbedingungen für Körper I: p1x g1x r ey r ex © Prof. Dr.-Ing. J. Wallaschek, Universität Hannover Vorlesung Technische Mechanik 1 – Statik, Wintersemester 2007/2008 Beispiel: Dreigelenkbogen (5) F2 Gx P2 Gy p2y Gleichgewichtsbedingungen für Körper II: By Bx p2x g2x © Prof. Dr.-Ing. J. Wallaschek, Universität Hannover r ey r ex g2y Vorlesung Technische Mechanik 1 – Statik, Wintersemester 2007/2008 Beispiel Dreigelenkbogen (6) Gleichgewichtsbedingungen ergeben lineares Gleichungssystem r r AR=F Vektor der (gegebenen) äußeren Kräfte Vektor der (gesuchten) Reaktionskräfte Systemmatrix © Prof. Dr.-Ing. J. Wallaschek, Universität Hannover Vorlesung Technische Mechanik 1 – Statik, Wintersemester 2007/2008 Beispiel: Sägebock (1) Gegeben: Geometrie, äussere Kraft G Gesucht: Alle Reaktionskräfte Vorgehen: • Freischneiden der Körper, • Eintragen aller Schnittkräfte, • Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen • Auflösen der Gleichungen nach den gesuchten Kräften © Prof. Dr.-Ing. J. Wallaschek, Universität Hannover Vorlesung Technische Mechanik 1 – Statik, Wintersemester 2007/2008 Beispiel: Sägebock (2) G N1 α N2 N1 N2 D D C C S S B © Prof. Dr.-Ing. J. Wallaschek, Universität Hannover A Vorlesung Technische Mechanik 1 – Statik, Wintersemester 2007/2008 Beispiel: Sägebock (3) Gleichgewichtsbedingungen für das Gesamtsystem: ∑M ∑F (E) i iy = 0 : Bl sin α − Al sin α = 0 = 0: A+ B −G = 0 E A= B A= B= G 2 A © Prof. Dr.-Ing. J. Wallaschek, Universität Hannover B Vorlesung Technische Mechanik 1 – Statik, Wintersemester 2007/2008 Beispiel: Sägebock (4) G N1 α N2 Gleichgewichtsbedingungen für den Zylinder: ∑F = 0 : N1 cos α − N 2 cos α = 0 ∑F = 0 : N1 sin α + N 2 sin α − G = 0 ix iy N1 = N 2 N1 = N 2 = G 2 sin α © Prof. Dr.-Ing. J. Wallaschek, Universität Hannover Vorlesung Technische Mechanik 1 – Statik, Wintersemester 2007/2008 Beispiel: Sägebock (5) N1 D H C S Gleichgewichtsbedingungen für den rechten Holm: ∑M (H ) i = 0 : N1a − Sb cos α + Bl sin α = 0 ∑F = 0: − S + C − N1 cos α = 0 ∑F = 0: B + D − N1 sin α = 0 ix iy © Prof. Dr.-Ing. J. Wallaschek, Universität Hannover B l ⎡ a ⎤ + tan α ⎥ S = G⎢ ⎣ 2b sin α 2b ⎦ l 1 ⎤ ⎡ a + tan α + C = G⎢ 2 tan α ⎥⎦ ⎣ 2b sin α 2b D=0 Vorlesung Technische Mechanik 1 – Statik, Wintersemester 2007/2008 Zusammenfassung • Ein System starrer Körpr ist im Gleichgewicht, wenn jeder Körper im Gleichgewicht ist. • Ein System starrer Körper ist im Gleichgewicht, wenn jedes Teilsystem im Gleichgewicht ist. • Lager schränken die Bewegungsmöglichkeiten ein. • Die Wertigkeit eines Lagers ist durch die Anzahl der von ihm übertragenen Reaktionskräfte, bzw. –momente bestimmt. Sie gibt gleichzeitig an, wie viele Freiheitsgrade der Bewegung eingeschränkt werden. © Prof. Dr.-Ing. J. Wallaschek, Universität Hannover
