Diskrete Mathematik für Informatiker, WS11/12

Fakultät IV = XXIV — Mathematik
Lehrstuhl für Mathematische Logik und
Theoretische Informatik
Hannes Diener
Diskrete Mathematik für Informatiker, WS11/12
Übungsblatt 10, Abgabe bis zum Di. 24. Januar1
• In jeder Aufgabe können 5 Punkte erreicht werden.
• Doppelabgaben sind erlaubt; vergessen Sie nicht beide Namen und Matrikelnummern gut leserlich
anzugeben.
• Bitte geben Sie Ihre Lösungen in gut leserlicher und sauberer Form ab. Was nicht gelesen werden
kann, kann auch keine Punkte bekommen.
• Begründen Sie Ihre Antworten und argumentieren Sie nachvollziehbar.
Aufgabe 1. Geben Sie für die folgenden partiellen Ordnungen pPi , ďi q und Mengen Si an: (1) das
größte Element, wenn es existiert, (2) wie viele maximale Elemente es gibt, (3) die Menge der oberen
Schranken, und (4) das Supremum, wenn es existiert.
• pP1 , ď1 q, die reellen Zahlen, mit der normalen Ordnung und S1 “ p0, 1q (offenes Intervall).
• pP2 , ď2 q “ pPpt1, 2, 3uq, Ďq mit S2 die Menge aller Teilmengen von t1, 2, 3u, die die 1 enthalten.
• pP3 , ď3 q “ pPpt1, 2, 3uq, Ďq mit S3 der Menge aller zwei-elementigen Teilmengen von t1, 2, 3u.
• pP4 , ď4 q “ pP2 ˆ P3 , ďlex q und S4 “ S2 ˆ S3 .
Aufgabe 2. Beweisen Sie Satz 9.17.
Genauer:
• Zeigen Sie, daß die Relation ” eine Äquivalenzrelation ist.
• Zeigen Sie, daß die Relation ď” wohldefiniert ist. D.h. Wenn a, a1 , b, b1 P M sind, so daß a ” a1
und b ” b1 , so ist ras ď” rbs genau dann wenn ra1 s ď” rb1 s.
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Abgabe am Besten in der Vorlesung. Alternativ können Lösungen auch persönlich bei Hannes Diener (EN-B 0123),
im Sekretariat der theoretischen Informatik (EN-B 0121) oder bei einem der Übungsgruppenleitern abgegeben werden.
Verwenden Sie auf keinen Fall den Briefkasten des Lehrstuhls.
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• Zeigen Sie, daß ď” eine partielle Ordnung ist.
Aufgabe 3. Zeigen Sie, daß in einem Verband pV, ď, ^, _q für zwei Elemente a, b P V die folgenden
zwei Aussagen paarweise äquivalent sind:
(a) a ď b und
(b) a _ b “ b.
Tipp: Es ist durchaus hilfreich die folgende Menge zu betrachten:
S “ tv P V | v ist obere Schranke von ta, buu .
Aufgabe 4. Nehmen wir an wir haben zwei Algorithmen A und B. Bei einer Eingabe der Größe
n benötigt Algorithmus A die Zeit TA pnq “ cA log2 pnq wohingegen die Laufzeit von Algorithmus B
Laufzeit TB pnq “ cB n2 hat. Welches ist der bessere (d.h. schnellere) Algorithmus bei einer Eingabe
der Größe 220 , wenn Algorithmus A 10 Mikrosekunden und Algorithmus B 1 Mikrosekunde bei einer
Eingabe der Größe 1024 benötigt?
Welches ist der bessere Algorithmus im Sinne der O-Notation?
Zur Erinnerung: log2 pnq ist die eindeutig bestimmte reelle Zahl a, so daß 2a “ n. Ohne Beweis können
Sie annehmen, daß log2 pnq ď n für alle natürlichen Zahlen.
Zusatzaufgabe 5. Geben Sie eine partielle Ordnung und eine Teilmenge an, die nur ein minimales
und ein maximales Element besitzt, aber kein größtes und kein kleinstes Element hat.
ENDE
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