1 Fehler 2 Koordinatensysteme

Experimentalphysik I - Formeln und so’n Scheiß
1 Fehler
Statistischer Fehler - Systematischer Fehler
Mittelwert
n
1X
µ=x=
xi
n
i=1
Standardabweichung σ = ∆x, Varianz
Gaußsche Normalverteilung:
σ2
f (x) = √
(x−µ)2
1
e 2σ2
2πσ
Schätzwert des Fehlers (empirische Varianz)
v
u
n
u 1 X
t
∆x =
(xi − x)2
n−1
i=1
Gaußsche Fehlerfortpflanzung:
v
uX
df 2
u
) (∆yj )2
∆f (y1 , ..., yn ) = t (
dyj
j
1σ 7→ P = 68, 34%, 2σ 7→ P = 95, 4%, 3σ 7→ P = 99, 7%
2 Koordinatensysteme
2.1 Kugelkoordinaten
x0 = r · sin(ϑ)cos(ϕ)
y0 = r · sin(ϑ)sin(ϕ)
z0 = r · cos(ϑ)
p
r = x20 + y02 + z02
ϑ = arccos( zr0 )
ϕ = arctan( xy00 )
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Experimentalphysik I - Formeln und so’n Scheiß
2.2 Zylinderkoordinaten
x0 = % · cos(λ)
y0 = % · sin(λ)
z0 = ζ
p
% = x20 + y02
λ = arccos( x%0 )
3 Kinematik punktförmiger Körper
3.1 Geschwindigkeit und Beschleunigung
~r(t + ∆t) − ~r(t)
= ~r˙ (t)
∆t
Z
Z
~r(t) = ~v (t)dt = ~v (t) 1dt = ~v (t) · t + ~r0
~v (t) = lim
∆t7→0
~v konstant:
~v (t + ∆t) − ~v (t)
= ~v˙ (t) = ~r¨(t)
∆t7→0
∆t
Z
Z
~v (t) = ~a(t)dt = ~a(t) 1dt = ~a(t) · t + ~v0
Z
1
~r(t) = ~v (t)dt = ~at2 + ~v0 t + ~r0
2
~a(t) = lim
~a konstant:
3.2 Freier Fall und Wurfbewegung
g ≈ 9, 81
Freier Fall:
m
s2
s
1
z(t) = − gt2 + h ⇒ tF all =
2
Seite 2
p
2h
, vEnd = 2gh
g
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Schiefer Wurf:
1
x(t) = vx (0)t, y(t) = 0, z(t) = − gt2 + vz (0)t + h
2
vx (0) = v0 · cos(ϕ), vz (0) = v0 · sin(ϕ)
⇒ z(x) = −
vz (0)x
1
x
gx2
+
+ h = − g(
)2 + x · tan(ϕ) + h
2
2vz (0)
vx (0)
2 v0 cos(ϕ)
3.3 Gleichförmige Kreisbewegung
T=Umlaufdauer, ω = 2π
T = ϕ̇=Kreisfrequenz/Winkelgeschwindigkeit, R=Radius,
v = Rω




R · cos(ωt)
−Rω · sin(ωt)
~r(t) =  R · sin(ωt)  ⇒ ~v (t) =  Rω · cos(ωt) 
0
0


−Rω 2 cos(ωt)
v2
~a(t) = ~v˙ =  −Rω 2 sin(ωt)  = −ω 2~r(t) ⇒ a = Rω 2 =
= vω
R
0
ω
~ :=
1
· (~r × ~v ) ⇒ ~v = ω
~ × ~r
R2
4 Kräfte
F~ = m · ~a
4.1 Schiefe Ebene
F~H =Hangabtriebskraft, F~G =Gewichtskraft, F~N =Normalkraft
FH = FG · sin(α), FN = FG · cos(α)
4.2 Reibungskraft
µ=Reibungskoeffizient, 0 < µ < 1
FR = µ · FN
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4.2.1 in Gasen
%=Dichte, A=Querschnittsfläche, C=Widerstandskoeffizient
r
1
~
v
2mg
2
F~R = − C%Av ⇒ vE =
2
v
C%A
4.2.2 in Flüssigkeiten
FR = b · v n
b=Proportionalitätskonstante, n=1 für kleine v, n=2 für große v
Auftriebskraft:
FA = −mf · ~g
mf =Masse der verdrängten Flüssigkeit
⇒ m · a = m · g − mf · g − b · v n
⇒ vE = (
mg 1
)n
b
Im Falle einer Kugel ist b = 6πηr
η=Viskosität
2
gr2
vE = (% − %f )
9
η
v(t) = vE (1 − e−βt )( für v0 = 0)
β=
6πηr
b
=
m
m
4.3 Zentripetal/-fugalkraft
System rotiert mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω
~
Zentripetalbeschleunigung aZP = ω 2 r
~aZP = ω
~ × (~
ω × ~r) = ω
~ × ~v
⇒ F~ZF = −F~ZP = −m · ω
~ × (~
ω × ~r)
4.4 Corioliskraft
Abhängig von Geschwindigkeit v des Körpers(!)
~aC = −2(~
ω × ~v ) ⇒ F~C = −2m(~
ω × ~v )
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4.5 Federkraft
Fs = −s · D, D=Federkonstante
5 Transformationen
5.1 Galileo-Transformation
~u=Geschwindigkeit des bewegten Bezugssystem aus Sicht des statischen
~r0 (t) = ~r(t) − ~ut
~v 0 = ~v − ~u
Falls ~u nicht konstant:
1
~r0 = ~r − ~u0 t − ~aS 0 t2
2
~v 0 (t) = ~v (t) − ~u0 − ~aS 0 t
~a0 (t) = ~a(t) − ~aS 0
5.2 Rotierte Bezugssysteme
Drehung um den Winkel ϕ um die z-Achse:
 


x
x · cos(ϕ) + y · sin(ϕ)
~r =  y  ⇒ ~r0 =  −x · sin(ϕ) + y · cos(ϕ) 
z
z
5.3 Lorentz-Tranformation
1
γ=q
1−
v2
c2
System S’ bewegt sich mit Geschwindigkeit v entlang der x-Achse:
x0 = γ(x − vt)
t0 = γ(t −
vx
)
c2
x = γ(x0 + vt0 )
t = γ(t0 +
vx0
)
c2
Insbesondere:
∆t = t2 − t1 = γ(t02 − t01 ) = γ∆t0
∆x = x2 − x1 =
1 0
1
(x − x01 ) = ∆x0
γ 2
γ
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6 Arbeit, Energie, Leistung
6.1 Arbeit
Bei konstanter Kraft: W = F~ · ~s
Bei variabler Kraft:
Z ~r2
Z
~
W =
F (~r)d~r =
~
r1
x2
x1
d~r(x)
F~ (~r(x))
· dx
dx
wobei ~r(x) ein Parametrisierungsvektor ist
6.2 Kinetische Energie
1
K = mv 2
2
6.3 Potentielle Energie
b
Z
W =
F~ d~r = −(U (b) − U (a)) ⇒ U (x) = −
a
Z
F dx
0
Gravitationsenergie: F = mg, U (0) = 0 ⇒ U (h) = mgh
Federenergie: F = −sD, U (0) = 0 ⇒ U (s) = 12 Ds2
6.4 Leistung
P =
dW
dt
P (t) = F~ (t) · ~v (t)
7 Impuls
p~ = m~v ⇒ p~˙ = F~
7.1 Schwerpunkt
Pn
mi~ri
~rs = Pi n
i mi
1
~rs =
M
Seite 6
Z
~r%(~r)dV
V
x
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7.2 Zweikörperstöße
I~ =
Z
t2
F~ (t)dt
t1
7.3 Elastischer Stoß
Eindimensionaler Stoß:
v1E
v1A − v2A = v2E − v1E
2m2
m1 − m2
)v1A +
v2A
=(
m1 + m2
m1 + m2
Mehrdimensionaler Stoß an x-Achse mit Stoßparameter b (Abstand der Schwerpunkte)
lösbar durch:
Impuls x-Achse:
m1 v1A = m1 v1E cos(φ1 ) + m2 v2E cos(φ2 )
Impuls y-Achse:
0 = −m1 v1E sin(φ1 ) + m2 v2E sin(φ2 )
1
1
1
2
2
2
m1 v1A
= m1 v1E
+ m2 v2E
2
2
2
Energie:
7.4 Raketenantrieb
M0 =Anfangsmasse, ~v =Geschwindigkeit der Rakete, ~vrel = ~u −~v =Relativgeschwindigkeit
Rakete/Treibstoff
F~ext = M0~v˙ − ~vrel Ṁ
~v (M ) = ~v0 − ~vrel ln(
Eindimensionaler Fall:
v(t1 ) = v(t0 ) + vrel ln(
M0
)
M
m0
)
m(t1 )
8 Drehbewegung starrer Körper
Drehimpuls L
~ = ~r × p~ ⇒ L = rp · sin(φ)
L
8.1 Drehmoment τ /D
~˙ = ~r × F~ ⇒ τ = rF · sin(φ)
~τ = L
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8.2 Trägheitsmoment I/θ
r=Abstand zur Drehachse
I=
n
X
1
K = Iω 2
2
mi ri2
i
Bei kontinuierlicher Masseverteilung:
Z
Z
2
r2 %(~r)dV
r dm =
I=
V
V
Parametrisierungsbeispiel an einer Scheibe:
Z
r2 dm
I=
V
dA
·M
A
dA
d
= r2 π ·
= 2πr ⇒ dA = 2πr · dr
dr
dr
2πr
⇒ dm = M
· dr
πR2
Z R
2πr
⇒I=
r2 M
dr
2
πR
0
dm =
8.3 Steinerscher Satz
Icm =Trägheitsmoment durch den Schwerpunkt, M=Gesamtmasse des Körpers, Ip =Trägheitsmoment im Punkt P, der zum Schwerpunkt den Abstand d hat:
Ip = Icm + M d2
Fun fact: Die kinetische Energie eines rollenden Körpers ergibt sich entweder durch die
Translationsenergie+Rotationsenergie im Schwerpunkt oder durch die Rotationsenergie
mit der selben Winkelgeschwindigkeit um eine Achse durch den Auflagepunkt, was mit
dem Steinerschen Satz recht chillig zu berechnen ist ;-)
8.4 Hauptträgheitsachen
~ parallel zu ω
Wenn L
~ liegt, gilt:
L = Iω
~ = I~
L
ω
~ und ω
Ansonsten bilden L
~ einen Winkel ϕ und es gilt:
L=
I
ω
sin(ϕ)
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Seite 9
Experimentalphysik I - Formeln und so’n Scheiß
9 Gravitation
m1 m2 ~r
F~G = −G 2 (· )
r
r
G = 6, 67 · 10−11
m3
N m2
(=
)
2
kg
kgs2
9.1 Satellitenbahn
ω2 =
GM
r3
9.2 Fluchtgeschwindigkeit
1
GmM
mvF2 =
2
R
r
⇒ vF =
2GM
R
10 Flüssigkeiten und Gase
m
V
F
Druck: p =
A
Dichte: % =
Kompressibilität: k =
−1 dV
·
V
dp
10.1 Hydraulische Presse
p1 =
F1
F2
= p2 =
A1
A2
10.2 Schweredruck
p(h) = %gh
Druck ist unabhängig von Form und Gesamtgewicht der Flüssigkeit
11 Strömende Flüssigkeiten
Volumenstrom: IV ol =
Seite 10
dV
dt
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⇒ Stoffmenge: IQ = %
dV
dt
dm
~ v
⇒ I = Aρ~
dV
~~j
Stromdichte: ~j = ρ~v ⇒ I = A
Massendichte ρ =
1
1
Bernoulli-Gleichung: p1 + ρv12 = p2 + ρv22
2
2
12 Schwingungen
12.1 Freie ungedämpfte Schwingungen
ẍ + ω02 x = 0 ⇒ x(t) = x0 cos(ω0 t + ϕ0 )
x0 =maximale Schwingungsamplitude, ω0 =
2π
t
= 2πf =Schwingungsfrequenz, ϕ0 =Anfangsphase
⇒ v(t) = −x0 ω0 sin(ω0 t + ϕ0 )
a(t) = −x0 ω02 cos(ωo t + ϕ0 )
q
D
Federpendel: ω0 = m
q
Mathematisches Pendel: ω0 = gl
q
mgR
Physikalisches Pendel: ω0 =
(R=Abstand zum Schwerpunkt, θ=Trägheitsmoθ
ment im Drehpunkt)
12.2 Gedämpfte Schwingungen
ẍ + 2γ ẋ + ω02 x = 0
Lösungsansatz: x(t) = ceλt
12.2.1 Schwache Dämpfung/Schwingfall
γt
γ < ω0 ⇒ x(t) = x0 e cos(ωt + ϕ0 )
Seite 11
q
ω = ω02 − γ 2