Probeklausur Ingenieuermathematik

Probeklausur
Ingenieuermathematik
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Unterlagen müssen, bis auf multiple choice Aufgaben, die
Lösungswege klar hervorgehen.
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Aufgabe
Max. Punktzahl
Punktzahl
1
6
2
6
3
6
4
6
5
6
6
6
7
8
8
4
9
4
∑
Aufgabe 1 (6 Punkte):
Ordnen Sie jedem Vektorfeld die entsprechende Funktion zu
A
f  x , y =sin x , y 
D
f  x , y = x , y 
B
f  x , y = y , x 
E
f  x , y =− y , x 
C
f  x , y =sin x , y 
F
f  x , y = x , x 
Aufgabe 2 (6 Punkte):
Eine
n×n -Matrix
A heißt normal, wenn
AAt =A t A ist.
a) Zeigen Sie: Eine symmetrische Matrix ist normal
b) Finden Sie eine 2×2 -Matrix, die normal aber nicht symmetrisch
ist. Hinweis: Drehmatrix.
c) Finden Sie eine 2×2 -Matrix, die diagonalisierbar aber nicht
normal ist.
Aufgabe 3 (6 Punkte):
Es sei die folgende Kurve gegeben:
f :[0,2]ℝ3 , t  cos t ,sin t ,t 
a) Beschreiben bzw. skizzieren Sie die Spur von f
b) Berechnen Sie die Ableitung von f und die Bogenlänge.
c) Bestimmen Sie eine Gleichung für die Tangente an die Kurve im
Punkt t =t 0
Aufgabe 4 (6 Punkte):
Sind folgende Aussagen wahr oder falsch (keine Begründung
notwendig)?
Aussage
Aus
Wahr
x⋅y =0 folgt
x =0 oder
y=0
det  A2det B 2=0 ⇒ A⋅B ist invertierbar
∇ [ x−2y2 ]=2⋅ x−2y,−2⋅x−2y 
6x 2−12xy6y2=0 definiert eine Gerade in
der Ebene


A= cos t −sin t hat keine
sin t  cos t
reellen Eigenwerte für t≠k∗, k ∈ℤ
Die Matrix
Die Funktion f  x , y = y 2−2y x 2−2x2 hat ein
globales Minimum
Falsch
Aufgabe 5 (6 Punkte):
a b
Es sei A=
eine orthogonale 2×2 -Matrix
c d
a) Zeigen Sie A ist von der Form
A= cos t −sin t oder A= cos t sin t 
sin t cos t
sin t −cos t
b) Für alle (komplexen) Eigenwerte  gilt ∣∣=1
c) Was bedeutet das Ergebnis in a) geometrisch?
 




Aufgabe 6: (6 Punkte): Zeigen Sie für die Funktion
f  x , y =x 2 y2 −2x−2y2
daß für beliebige
gilt:
∂f
∂f
x−a 1
2
x−a
f  x , y =f  a ,b 
a , b,
a , b ⋅
  x−a , y−b  D f  a ,b 
∂x
∂y
y−b 2
y−b
a,b

mit

∂2 f
a , b
2
∂x
2
D f  a ,b =
∂2 f
a , b
∂ y∂x
 

∂2 f
 a ,b 
∂ x∂ y
∂2 f
 a ,b 
∂ y2
 
Aufgabe 7 (8 Punkte):
Betrachten Sie die Matrix
 
A= 0 1
1 0
a) Warum ist A invertierbar?
b) Bestimmen Sie die Inverse von A
c) Bestimmen Sie die (reellen) Eigenwerte und zugehörigen
Eigenvektoren von A
d) Was ist An für beliebige n∈ℕ ? (Hinweis: Fallunterscheidung
für n gerade/ungerade)
Aufgabe 8 (4 Punkte):


1 −1
in ein Produkt A=S⋅O mit
1 1
einer symmetrischen Matrix S und einer orthogonalen Matrix O
(Polarzerlegung).
Zerlegen Sie die Matrix
A=
Aufgabe 9 (4 Punkte):
Berechnen Sie die Moore-Penrose
Inverse der folgenden
Matrizen:
1 0
4
A= 2 2
B=
und
. Übeprüfen Sie, ob diese Links- oder
3
0 1
Rechtsinverse von A und B sind.
 
