Probeklausur Ingenieuermathematik

Probeklausur
Ingenieuermathematik
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Aufgabe
Max. Punktzahl
Punktzahl
1
6
2
6
3
6
4
6
5
6
6
6
7
8
8
4
9
4
Aufgabe 1 (6 Punkte):
Ordnen Sie jedem Vektorfeld die entsprechende Funktion zu
A
f x , y =sin x , y D
f x , y = x , y B
f x , y = y , x E
f x , y = y , x C
f x , y =sin x , y F
f x , y = x , x Aufgabe 2 (6 Punkte):
Eine
n×n -Matrix
A heißt normal, wenn
AAt =A t A ist.
a) Zeigen Sie: Eine symmetrische Matrix ist normal
b) Finden Sie eine 2×2 -Matrix, die normal aber nicht symmetrisch
ist. Hinweis: Drehmatrix.
c) Finden Sie eine 2×2 -Matrix, die diagonalisierbar aber nicht
normal ist.
Aufgabe 3 (6 Punkte):
Es sei die folgende Kurve gegeben:
f : [0,2]3 , t cos t ,sin t ,t a) Beschreiben bzw. skizzieren Sie die Spur von f
b) Berechnen Sie die Ableitung von f und die Bogenlänge.
c) Bestimmen Sie eine Gleichung für die Tangente an die Kurve im
Punkt t=t 0
Aufgabe 4 (6 Punkte):
Sind folgende Aussagen wahr oder falsch (keine Begründung
notwendig)?
Aussage
Aus
Wahr
xy =0 folgt
x =0 oder
y=0
det A2
det B 2=0 AB ist invertierbar
[ x2y2 ]=2 x2y,2x2y 6x 212xy
6y2=0 definiert eine Gerade in
der Ebene
A= cos t sin t hat keine
sin t cos t
reellen Eigenwerte für t k, k Die Matrix
Die Funktion f x , y = y 22y
x 22x
2 hat ein
globales Minimum
Falsch
Aufgabe 5 (6 Punkte):
a b
eine orthogonale 2×2 -Matrix
Es sei A=
c d
a) Zeigen Sie A ist von der Form
cos t sin t
A= cos t sin t oder A=
sin t cos t
sin t cos t
b) Für alle (komplexen) Eigenwerte gilt =1
c) Was bedeutet das Ergebnis in a) geometrisch?
Aufgabe 6: (6 Punkte): Zeigen Sie für die Funktion
f x , y =x 2
y2 2x2y
2
daß für beliebige
gilt:
f
f
xa 1
xa
f x , y =f a ,b a , b,
a , b xa , yb D2 f a ,b yb 2
yb
x
y
mit
a,b
2 f
2 f
a , b
a ,b x y
x2
2
D f a ,b =
2 f
2 f
a , b
a ,b yx
y2
Aufgabe 7 (8 Punkte):
Betrachten Sie die Matrix
A= 0 1
1 0
a) Warum ist A invertierbar?
b) Bestimmen Sie die Inverse von A
c) Bestimmen Sie die (reellen) Eigenwerte und zugehörigen
Eigenvektoren von A
d) Was ist An für beliebige n ? (Hinweis: Fallunterscheidung
für n gerade/ungerade)
Aufgabe 8 (4 Punkte):
A= 1 1 in ein Produkt A=SO mit
1 1
einer symmetrischen Matrix S und einer orthogonalen Matrix O
(Polarzerlegung).
Zerlegen Sie die Matrix
Aufgabe 9 (4 Punkte):
Berechnen Sie die Moore-Penrose
Inverse der folgenden
Matrizen:
1 0
4
A= 2 2
B=
und
. Übeprüfen Sie, ob diese Links- oder
3
0 1
Rechtsinverse von A und B sind.