Versuch 10 Potentialwaage

Physikalisches Praktikum
Versuch 10
Potentialwaage
1
Name:
Johannes Dörr
Oliver Schönborn
Gruppe:
Datum:
Assistent:
Katharina Lesch
testiert:
3
26.06.2006
Einleitung
Die Permittivität ist eine recht wichtige physikalische Größe und beschreibt die Durchlässigkeit eines Materials
für elektrische Felder. Sie setzt sich zusammen aus der Permittivität des Vakuums 0 (auch als Influenzkonstante
bekannt) und der dielektrischen Funktion r (auch bekannt unter dem Namen ”relative Permittivität”). Im
Versuch soll diese Influenzkonstante bestimmt werden, hierfür verwenden wir die Kirchhoffsche Potenzialwaage,
eine der ersten Apparaturen zur Messung elektrischer Kraftwirkung.
2
2.1
Theorie
Das elektrische Feld
Bei der Beobachtung von zwei geladenen Teilchen erkennt man, dass die Kraft F , die zwischen ihnen herrscht,
proportional zu ihren Ladungen Q1 und Q2 sowie umgekehrt proportional zum Quadrat ihrer Entfernung r ist:
F ∝
Q1 Q2
.
r2
(1)
Mit der Influenzkonstante 0 ergibt sich damit die Betragsgleichung des Colombschen Gesetz:
F =
1
Q1 Q2
·
.
4π0
r2
1
(2)
Dabei betrachtet man die gegenseitige Wirkung zweier punktförmiger Teilchen. Oftmals ist es jedoch sinnvoll, ein
(Probe-)Teilchen als im elektrischen Feld eines anderen (felderzeugenden) Teilchens anzusehen. Die Definition
dieses Feldes ergibt sich aus der Kraft, die dieses Feld auf eine Probeladung q ausübt:
E=
F
1
Q
.
=
·
q
4π0 r2
(3)
Dabei nennt man E die Feldstärke. Sie ist von der Ladung q der Probeladung unabhängig.
Figure 1: Zur Herleitung der Anziehung zwischen einer Probeladung und einer geladenen Platte
Die Kraft, die eine geladene, unendlich ausgedehnte Platte auf eine Probeladung ausübt, lässt sich folgendermaßen herleiten. Die Ladung der Fläche ergibt sich aus der Flächenladungsdichte σ und ihrer Ausdehnung.
Wir denken uns die Fläche nun in konzentrische Kreisringe aufgeteilt, die sich wiederum aus kleinen Flächenelementen dA zusammensetzen. Die Kraft dF , die von so einem Flächenelement ausgeht, ergibt sich aus:
dF~ =
~
q · (dA · σ) R
·
.
2
4π0 |R|
|R|
(4)
Diese Kraft lässt sich nun in ihre senkrechte und waagrerechte Komponente zerlegen, wobei letztere keinen
Einfluss hat, da sie immer durch selbige des gegenüberliegende Flächenelements kompensiert wird. Für die
waagerechte Komponente gilt Fk = F⊥ · cos α. Die gesamte Kraft ergibt sich aus Integration über die gesamte
Fläche. Dabei integrieren wir einmal über ϕ und anschließend über α:
π
Z
F⊥
=
q · σ · cos α
· dA =
4π0 R2
0
A
π
2
Z =
q · cos α · ϕ · r · dr
4π0 R2
0
Mit |R| =
x
cos α ,
r = x · tan α = x ·
Z2 Z2π
sin α
cos α
und dr/dα =
0
F⊥
=
(5)
dA
2π
.
(6)
0
x
cos2 α
ergibt sich weiter:
π
Z2
q · σ · cos α
· dϕ · r · dr
| {z }
4π0 R2
π
2π · q · σ · cos α · ϕ · r · dr
=
4π0 R2
0
Z2
2π · q · σ · cos3 α · ϕ · r · dr
4π0 x2
(7)
0
π
Z2
=
q · σ · sin α
q·σ
· dα =
= F .
20
20
(8)
0
Insbesondere fällt auf, dass die Kraft unabhängig von dem Abstand x der Probemasse zur Platte ist. Das Feld,
das eine Platte erzeugt, nennt man homogen, denn alle Feldlinien verlaufen parallel.
2
Figure 2: Aufladung eines Kondensators: links nur eine Seite, rechts beide
2.2
Der Gaußsche Integralsatz
Der Graußsche Integralsatz formuliert anschaulich die folgende Beziehung: Quellt aus einer Stelle innerhalb
eines Volumens beispielsweise Materie, so muss durch die Fläche, die dieses Volumen umschließt, Materie
austreten, wenn diese nicht komprimierbar ist, wovon wir hier ausgehen. Genauso muss, wenn mehr Materie
durch diese Fläche ein- als austritt, eine Senke vorhanden sein, in der die Materie verschwindet. Der Integralsatz
hat damit die Bedeutung eines Erhaltungssatzes.
In der Physik bezeichnet man als Divergenz die Quellstärke, die eine Aussage über die Quellen und
Senken macht. Sei F~ ein stetig differenzierbares Vektorfeld, dann ist die Divergenz wie folgt definiert:
div F~
∂Fy
∂Fz
∂Fx
+
+
.
∂x
∂y
∂z
=
Sei nun V ein Volumen, dass durch die Fläche A begrenzt wird, dann lautet der Gaußsche Integralsatz:
Z
I
~.
F~ · dA
div F~ · dV =
V
(9)
(10)
A
Relativ anschaulich ist der Integralsatz in der Strömungslehre, wie oben beschrieben. Er findet jedoch auch
Anwendung in der Elektrodynamik. Dort liefert er die Aussage, dass der elektrische Fluss Φ nur von der durch
die Fläche eingeschlossene Ladung abhängt:
I
Z
Q
~ · dA
~= 1
Φ =
E
ρ · dV =
,
(11)
0
0
A
V
mit der Ladungsdichte ρ.
2.3
Plattenkondensator
Bei einem Plattenkondensator sitzen sich zwei Platten isoliert gegenüber. Wird eine von beiden aufgeladen,
beispielsweise durch Entziehen von Elektronen, dann wird die gegenüberliegende Platte durch das entstehende
Feld polarisiert. Wird diese Platte mit dem Minuspol der Spannungsquelle verbunden, so kann die positive
Ladung abfließen. Beide Platten sind dann gleich stark geladen, jedoch mit verschiedenen Vorzeichen.
2.3.1
Kapazität und Energie
Die Kapazität eines solchen Kondensators gibt Auskunft darüber, wie viel Ladung er bei einer bestimmten
anliegenden Spannung aufnimmt. Bei einem Kondensator mit hoher Kapazität C ist nur eine geringe Spannung
U0 nötig, um die Ladung Q auf die Platten zu bringen. Es gilt die einfache Gesetzmäßigkeit:
C
=
3
Q
.
U0
(12)
Allein aus der Geometrie des Kondensators lässt sich seine Kapazität bestimmen. Die Energie W , die nötig ist,
um die Ladung q von r1 nach r2 zu bewegen, ergibt sich aus:
Zr2
Zr2
E · dr = q · U .
F · dr = −q ·
W = −
(13)
r1
r1
Die schon weiter oben angesprochene Spannung wird erst hier plausibel. Sie ist also das Integral der Feldstärke
exisitert immer zwischen zwei Punkten verschiedener Felstärke. Sie, multipliziert mit der Ladung q, gibt an,
wie viel Energie notwendig ist, um q von dem einen zum anderen Punkt zu verschieben.
Stellen wir uns nun vor, die Kondensatorplatten stehen anfangs direkt nebeneinander (jedoch trotzdem
noch isoliert) und tragen die Ladung Q bzw. q = −Q. Nun bewegen wir die Platten auseinader bis zum
Abstand r, was Energie erfordert:
Zr
W = −
Zr
F · dx = −
0
qQ
qQ
Q2
· dx = −
·r =
·r .
20 A
20 A
20 A
(14)
0
Auf der anderen Seite können wir zwei mit der Spannung U aufgeladenen Kondensatorplatten betrachten, bei
denen wir nun eine Ladung dQ von der einen zur anderen Platte bewegen. Es gilt für die benötigte Energie
dW :
Q
= dQ · U = dQ ·
C
Z
1
=
· Q · dQ
C
1 Q2
=
·
2 C
1
=
· C · U2 .
2
dW
Z
dW
W
(15)
(16)
(17)
(18)
Mit (15) haben wir die Energie, die der Kondensator speichert. Durch Gleichsetzen von (14) und (17) erhalten
wir schließlich:
C
= 0
A
,
r
(19)
die Formel für die Kapazität eines Kondensators mit der Plattenfläche A und ihrem Abstand r. Hierbei wird
angenommen, dass zwischen den Platten kein Medium, also ein Vakuum vorhanden ist. Mit einem sogenannten
Dielektrikum, das an die Stelle des Vakuums tritt, kann die Kapazität des Kondensators weiter erhöht werden.
Die Dielektrizitätszahl r des Dielektrikums gibt an, um welchen Faktor sich die Kapazität dabei verstäkt. Die
allgemeine Gleichung für die Kapazität ist also:
C
= 0 r
A
,
r
(20)
wobei im Vakuum gilt r = 1.
2.3.2
Elektromagnetisches Feld
Die Stärke des Feldes zwischen den Platten eines Kondensators erhält man mit Hilfe von (11) und (18) durch
folgende Umformung:
E
=
2·
σ
Q
C ·U
U
=
=
=
.
20
0 · A
0 · A
r
4
(21)
2.3.3
Anziehungskraft der Kondensatorplatten
Die Kraft, die zwischen den Kondensatorplatten wirkt, lässt sich auf zwei Arten bestimmen. Entweder man
nimmt sich (8), also die Kraft auf eine Ladung, in unserem Fall die eine Kondensatorplatte mit der Ladung
q = −Q, im Feld einer geladenen Platte, nämlich die andere Kondensatorplatte mit der Ladung Q, zu Hilfe,
und erhält mit (19), der Formel für die Kapazizät eines Kondensators anhängig von seiner Geometrie:
F
=
q·Q
Q2
C2 · U 2
AU 2
q·σ
.
=
= −
= −
= −0 ·
20
20 · A
20 r · A
20 · A
2r2
(22)
Das auftauchende Minuszeichen ist trivial, es kennzeichnet nur, dass sich die Platten (bei gegensätzlicher
Ladung) anziehen und nicht etwa abstoßen.
Die zweite Möglichkeit für die Bestimmung der Anziehungskraft besteht darin, die Energie des Kondensators zu betrachten und nach dem Weg abzuleiten. Mit der Gleichung (18) erhalten wir (ebenfalls wieder mit
(19)):
d 12 CU 2
d 1
A 2
AU 2
dW
F = −
= −
= −
0 r U
.
(23)
= −0 r ·
dr
dr
dr 2
r
2r2
2.4
Erzeugung von Hochspannung
Hochspannung wird mit Hilfe von Transformatoren erzeugt. Dabei handelt es sich prinzipiell um zwei Spulen,
die magnetischen Einfluss aufeinander haben. Wird nun an der einen Spule eine Wechselspannung angelegt,
so wird dadurch ein sich ständig änderndes Magnetfeld erzeugt. Dieses induziert in der zweiten Spule einen
Wechselstrom.
Figure 3: Transformator
Die maximale Stärke der an den Enden der zweiten Spule anliegenden Spannung ist abhängig von dem Verhältnis
der Windungszahlen der Spulen. Genauer ist das Verhältnis der Spannungungen U1 und U2 gleich dem der
Windungszahlen n1 und n2 :
U1
U2
=
n1
.
n2
(24)
Die beiden Spulen des Transformators nennt man auch Primär- und Sekundärspule. Oftmals sind sie auch
platzsparender ”ineinander gewickelt” und nicht, wie in Abb. 3, über einen geschlossenen Eisenkern verbunden.
5
2.5
Gleichrichtung von Wechselspannung
Um aus einem Transformator eine Gleichspannung zu erhalten, muss diese gleichgerichtet werden. Hierfür werden in der Regel Dioden verwendet. Dies sind elektronische Bauteile, die nur in eine Richtung einen Stromfluss
zulassen.
Figure 4: Gleichgerichtete Wechselspannungen
Die einfachste Methode ist somit, den Strom aus dem Transformator durch eine Diode zu leiten und die negativen
Periodenabschnitte herauszufiltern (Einweggleichrichter). Dies stellt jedoch keine wirkliche Gleichspannung dar.
Deshalb erweist sich der Brückengleichrichter für diesen Zweck als gebräuchlicher, da er die negativen Phasen
in positive umwandelt.
Figure 5: Schaltplan des Brückengleichrichters, rechts mit Kondensator
Um die gleichgerichtete Spannung weiter zu glätten, kommt ein Kondensator zum Einsatz, der in den Phasen
hoher Spannung aufgeladen wird und bei sinkender Spannung den Abfall zumindest teilweise ausgleicht.
Figure 6: Geglättete, gleichgerichtete Wechselspannung
Eine größere Kapazität führt dabei zu einer besseren Glättung. Die übrigbleibende Abweichung von einer
idealen Gleichspannung nennt man Brummspannung. Diese kann nahezu gänzlich unterdrückt werden, indem
ein elektronischer Spannungsregler die Ausgangspannung unter dem Niveau des größten Spannungstiefs hält und
6
die Spannungseinbrüche somit nicht weit genug nach unten reichen, sodass sie die Ausgangsspannung beinflussen
könnten.
3
Durchführung
Zunächst wird die Horizontalstellung der Waage geprüft und im Zweifelsfall etwas nachgestellt, ansonsten ist
die gesamte Aparratur fertig justiert und sofort betriebsbereit.
Durch das Auflegen von Gewichten zwischen 3g und 5g auf die Waagschale der Potenzialwaage wird die Kraft
F vorgegeben. Anschließend wird eine Spannung U zwischen 2kV und 5kV an den Kondensator angelegt.
Diese Spannung sollte so groß sein, dass die obere Kondensatorplatte nicht von der anderen abgehoben wird.
Der Plattenabstand d lässt sich über die Mikrometerschraube unterhalb des Kastens verstellen. Nun wird der
Plattenabstand d vergrößert, solange bis die obere Kondensatorplatte abgehoben wird, dieser Wert wird für
unterschiedliche Spannungen notiert.
Anschließend werden für den Plattenabstand d nacheinander die folgenden Werte eingestellt: 2mm, 2,5mm,
3mm und 5mm. Durch Gewichte zwischen 1g und 5g wird auch die Kraft F vorgegeben. Anschließend wird
für jeden Plattenabstand d durch Vermindern der Spannung diejenige Spannung gesucht, bei der die obere
Kondensatorplatte abgehoben wird. Auch diese Werte werden im Meßprotokoll festgehalten.
4
Auswertung
In der Theorie wurde bereits die Formel für die Anziehungskraft zweier Kondensatorplatten hergeleitet, woraus
sich dann für das Momentengleichgewicht der Potentialwaage ergibt:
F = m · g = −0 ·
AU 2
.
2d2
(25)
Dabei ist m die Masse des Gewichts auf der einen Seite der Potentialwaage, g der Ortsfaktor, d der Plattenabstand, U die anliegende Spannung, A die Fläche des Kondensators und 0 die Influenzkonstante.
Die Versuchsdurchführung enthielt zwei Teile - eine Messung des Plattenabstands bei konstanter Gewichtskraft
sowie eine Messung der Spannung bei konstantem Plattenabstand. Beide Messungen werden in der folgenden
Auswertung dazu verwendet, die Influenzkonstante 0 zu bestimmen.
4.1
Messung bei konstanter Gewichtskraft (1. und 3.)
Nach Gleichung (25) gilt:
d2 =
0 A
· U2 .
2mg
(26)
Daraus ergibt sich bei Auftragen des Plattenabstands d in Abhängigkeit von der Spannung U für die Steigung
a des Graphen:
s
0 A
a=
.
(27)
2mg
Aus Gleichung (27) wiederum ergibt sich die Influenzkonstante:
0 =
2mg 2
·a .
A
Unsere Messungen ergeben die unten gezeigten Graphen:
7
(28)
Figure 7: Lineare Regressionen der Messung für verschiedene Gewichte
Die lineare Regression der Graphen liefert die folgenden Werte für Steigung a und Achsenabschnitt b (bei
Y = a · X + b):
a
σa
b
σb
Messung: m = 3g
Messung: m = 4g
Messung: m = 5g
7, 9949 · 10−4
1, 3242 · 10−4
0, 88077
0, 46892
7, 56633 · 10−4
1, 75701 · 10−4
1, 00255
0, 62219
4, 85714 · 10−4
9, 52976 · 10−5
0, 59143
0, 33747
Mit dieser errechneten Steigung a, der Masse m, g = 9, 81 sm2 und der effektiven Fläche des Kondensators A = 51,5cm, ergibt sich nach Gleichung (nippel) die Influenzkonstante 0 :
0
Messung: m = 3g
Messung: m = 4g
Messung: m = 5g
7, 302 · 10−12
8, 72 · 10−12
4, 52 · 10−12
Vs
Am
Vs
Am
Vs
Am
Der gewichtete Mittelwert ergibt:
0 = 6,847(1, 234) · 10−12
Vs
Am
Mit der Regression der Geraden erhalten wir auch den Achsenabschnitt b, welcher als zusätzlicher Plattenabstand und damit sozusagen als ”Nullage” zu interpretieren ist. In der bisherigen Errechnung der
Influenzkonstante spielte dieser Plattenabstand keine Rolle, da, wie wir gesehen haben, allein der Anstieg
des Graphen von Relevanz ist. Für die nächsten Berechnungen ist er jedoch wichtig, weshalb auch hier ein
gewichteter Mittelwert vonnöten ist. Dieser ergibt für die in der oberen Tabelle genannten Werte:
b = 0,8249(1219)mm
8
4.2
Messung bei konstantem Plattenabstand (2. und 4.)
Aus (25) ergibt sich bei Auftragen der Kraft F in Abhängigkeit von dem Quadrat der Spannung U 2 für die
Steigung a des Graphen:
0 A 1
(29)
a=
· 2 .
2
d
Dafür ergibt sich die Influenzkonstante 0 zu:
0 =
2d2
·a .
A
(30)
In dieser Messung, muss nun der neue Plattenabstand berücksichtigt werden, dieser ergibt sich aus der im Skript
angegebenen Gleichung dW = d + ∆. Dieser Faktor geht nicht linear ein und da es hier nicht mehr nur um
die Differenz zweier Plattenabstände geht, muss diese Korrektur individuell in die Rechnung mit einfließen und
die Meßwerte müssen sofort mit dieser Rechnung modifiziert werden. Dadurch ergibt sich die Formel für die
Errechnung der Influenzkonstante zu:
2(d + ∆)2
·a .
(31)
0 =
A
Unsere Messwerte sowie die lineare Regression sind in der unten gezeigten Auftragung von F = f (U 2 ) aufgeführt.
Figure 8: Lineare Regression der Messung 2
Die Regression ergibt für Steigung a der drei Graphen die folgenden Werte:
a
σa
Messung: d = 2mm
Messung: d = 2,5mm
Messung: d = 3mm
1,7962 · 10−9
2,18345 · 10−10
1,46724 · 10−9
1,29188 · 10−10
1,39706 · 10−9
1,91689 · 10−10
9
Mit der Gleichung (30) ergibt sich daraus 0 als:
0
Messung: d = 2mm
Messung: d = 2,5mm
Messung: d = 3mm
5,544 · 10−12
6,295 · 10−12
7,9343 · 10−12
Vs
Am
Vs
Am
Vs
Am
Der gewichtete Mittelwert dieser Ergebnisse liefert:
0 = 6,5911(7057) · 10−12
5
5.1
Vs
Am
Diskussion
Vergleich der Messwerte untereinander
Es fällt auf, dass die Endergebnisse beider Messungen einen nicht wegzudiskutierenden Unterschied aufweisen,
ein Unterschied, der sich auch sicherlich durch die Unterschiedlichkeit der Messmethoden erklären lässt. Der
Mittelwert der beiden Werte ergibt 0 = 6,961 · 10−12 , ein Wert, der im Gegensatz zum Ergebnis der ersten
Messung etwas näher am Literaturwert liegt, jedoch immernoch fehlerbehaftet ist. Den Fehler betreffend fällt
das Ergebnis anders aus als erwartet. Während wir uns in der ersten Messung einer Mikrometerschraube bedient
haben, konnten wir in der zweiten Messung bei der Einstellung der Spannung nur recht ungenaue Einstellungen
vornehmen - trotzdem liegt das Ergebnis der zweiten Messung deutlich näher am Literaturwert.
5.2
Vergleich mit dem Literaturwert
Auch der Vergleich mit dem Literaturwert von 0 = 8, 8542 · 10−12 VAs
m liefert eine erhebliche Abweichung von ca.
21%. Dieser Fehler kann sicherlich mit den Ungekauigkeiten der von uns bedienten Apparatur erklärt werden.
Beispielsweise kann es sein, dass eine unzureichende Eichung des Plattenabstandes zu einem Fehler geführt
hat, der in unserer Rechnung nicht berücksichtigt wurde. So ein Fehler verfälscht zwar nicht das Ergebnis der
ersten Messung, da hier nur die Differenzen der Plattenabstände berücksichtigt werden, den zweiten Wert jedoch
kann dies maßgeblich in seiner Genauigkeit beeinträchtigen. Eine etwas ungenaue Arbeit und das zu schnelle
Verstellen von Spannung und Plattenabstand kann ebanfalls zu Fehlern führen, die in die lineare Regression mit
eingehen und hier letztendlich ein falscher Wert für 0 entsteht. Obwohl wir im Praktikum schon auf größere
Abweichungen unserer Ergebnisse von Literaturwerten gestossen sind, kann dieser Wert unseren Ansprüchen an
das Arbeiten mit dieser eigentlich recht gut justierten Apparatur nicht gerecht werden.
10