Klausuraufgaben

Prof. Dr. Martin Zirnbauer
Charles Guggenheim
Institut für Theoretische Physik
Universität zu Köln
Klassische Theoretische Physik 2 – 2. Prüfung
Hinweise: Die Bearbeitungszeit der Klausur beträgt 180 Minuten. Es empfiehlt sich,
zuerst das Aufgabenblatt einmal komplett durchzulesen. Zur Bearbeitung stehen Ihnen
Papier und Stift zur Verfügung, weitere Hilfsmittel sind nicht erlaubt.
Am Ende geben Sie bitte zu jeder Aufgabe maximal eine Bearbeitung ab. Beschreiben Sie
bitte auch keine Rückseiten.
Zum Bestehen der Klausur benötigen Sie in Teil A 20/30 Punkten und insgesamt 29/58
Punkten. Viel Erfolg!
Teil A
Aufgabe 1.
Punkte)
Kurzfragen
(3+2+2+2+3+2+2+2+2=20
Hier ist nach kurzen und präzisen Antworten gefragt.
a. Zeichnen Sie jeweils ein Beispiel für die Kette von B, H und j.
b. Berechnen Sie δω = − ? d ? ω für ω ∈ Ω2 (E3 ), ω = ex
2 +y 2
dx ∧ dy.
c. Welche Größe und Richtung hat die Lorentzkraft auf ein Teilchen der Ladung q, das
sich mit Geschwindigkeit v = v∂x im Feld E = E0 dy und B = B0 dx ∧ dy bewegt?
d. Welchen Anschlussbedingungen an Grenzflächen genügen B und H?
e. Geben Sie die Messvorschrift für die magnetische Erregung H an.
f. Wie lauten die Ausdrücke für die Energiedichte und die Energiestromdichte des elektromagnetischen Feldes?
g. Wie lauten die kanonischen Gleichungen eines Hamiltonschen Systems mit HamiltonFunktion H(q, p, t), q, p ∈ R?
h. Wie lautet die Hamilton-Funktion H(q, p) für ein Teilchen der Ladung e und Masse m
im elektromagnetischen Feld?
i. Wie ist die Poisson-Klammer zweier Funktionen f und g definiert?
1
Aufgabe 2.
Unendlich lange Spule
(2+2=4 Punkte)
Betrachten Sie eine unendlich lange gerade Spule, die den Strom I führt. Der Hub zwischen
aufeinander folgenden Windungen sei a.
a. Geben Sie eine Lösung (Formel und Skizze) für die 2-Kette der magnetischen Erregung
H an, welche die Gesetze der Magnetostatik erfüllt.
b. Übersetzen Sie ihre Lösung aus Teil a) ins Kalkül der Differentialformen. Wie lauten
H und B?
Aufgabe 3.
Minkowski Diagramm
(1+1+1=3 Punkte)
Betrachten Sie ein Bezugssystem I in einer Raumdimension und mit Weltursprung o.
a. Zeichnen Sie in ein Raum-Zeit-Diagramm die Kurven konstanten Weltabstands ±d2
vom Weltursprung o, für einen festen Wert d2 .
b. Ein zweites Bezugssystem I 0 bewege sich mit konstanter Geschwindigkeit v relativ zu
I. Zeichnen Sie die Koordinatenachsen von I 0 in ihr Diagramm.
c. Die Koordinatenachsen von I 0 aus b) und die Kurven konstanten Weltabstands
aus a) schneiden sich in mehreren Punkten si . Geben Sie die Koordinaten eines dieser
Schnittpunkte an.
Aufgabe 4.
Symmetrietransformationen
Betrachten Sie die symplektische Mannigfaltigkeit
(R2 , dp
(1+2=3 Punkte)
∧ dq).
a. Wie lauten die von I(dp) = ∂q erzeugten kanonischen Transformationen g s : R2 → R2 ?
Hinweis: I(dp) bezeichnet hier den symplektischen Gradienten von p.
b. Unter welcher Bedingung ist g s eine Einparametergruppe von Symmetrietransformationen? Was können Sie daraus für den Impuls p folgern?
2
Teil B
Aufgabe 5.
(2+2+2=6 Punkte)
Kondensator mit Dielektrikum
Betrachten Sie zwei unendlich ausgedehnte Kondensatorplatten mit dem Abstand d und der
homogenen Ladung pro Fläche σ. Die Platten liegen parallel zur xy-Ebene und schneiden
die z-Achse in z = ± d2 . Dann lässt sich D schreiben als
D = σ[dx ∧ dy, R] , für |z| < d/2 .
a. Bestimmen Sie die Kapazität pro Fläche C̃ für diesen Kondensator.
Zur Erinnerung: Die Kapazität eines Kondensators ist C = Q
U , mit der Ladung Q und
Spannung U .
Zwischen die Kondensatorplatten wird nun ein homogenes Dielektrikum der Dicke a (a < d)
mit Dielektrizitätskonstante eingeführt (s. Abb.).
z
d
2
a
0
− d2
b. Wie lauten das Hilfsfeld D und das elektrische Feld E innerhalb des Kondensators?
c. Bestimmen Sie die Kapazität C eines quadratischen Kondensators mit homogener
Ladung pro Fläche σ und Kantenlänge l in Anwesenheit des Dielektrikums. Sie dürfen
dabei annehmen, dass das Streufeld vernachlässigbar ist.
Aufgabe 6.
Fourier-Transformation
(2+2+3=7 Punkte)
a. Bestimmen Sie die Fourier-Transformierte g̃(k) der Funktion g(x) = e−a|x| , mit a ∈
R, a > 0.
f
b. Zeigen Sie die Relation P h̃(k) = −Qh(k),
mit dem Ableitungsoperator P h̃(k) =
und dem Multiplikationsoperator Qh(x) = xh(x).
1 d
i dk h̃(k)
c. Betrachten Sie die eindimensionale homogene Wellengleichung
1 ∂2
∂2
−
f (x, t) = 0 .
c2 ∂t2 ∂x2
Benutzen Sie die Fourier-Transformation in x und lösen Sie die resultierende Differentialglei˙
chung für f˜(k, t) zu den Anfangsbedingungen f˜(k, t = 0) = ũ(k), und f˜(k, t = 0) = ṽ(k).
3
Aufgabe 7.
Perle auf rotierendem Draht
(3+2+2=7 Punkte)
Betrachten Sie einen Massenpunkt der Masse m im Schwerefeld U = mgz, der sich
reibungsfrei auf einem parabelförmigen Draht bewegt, wobei die Parabel durch die Gleichung
z = ar2 bestimmt ist. Der Draht rotiert, wie in der Abbildung zu sehen ist, mit konstanter
Winkelgeschwindigkeit ω um eine Achse in seiner Ebene.
Hinweis: Hier ist die übliche Gebrauchsanweisung für holonome Zwangsbedingungen zu
verwenden. (Diese gilt auch im Fall zeitabhängiger Zwangsbedingungen.)
ω
r
g
m
a. Formulieren Sie die Zwangsbedingungen für dieses System und bestimmen Sie damit
die Lagrange-Funktion L(r, ṙ, t).
b. Es gibt eine Frequenz ω0 , bei der sich das Verhalten qualitativ ändert. Wie lautet ω0 ?
Für welche Frequenzen gibt es keine stabilen Gleichgewichtslagen?
c. Stellen Sie die Euler-Lagrange-Gleichung auf.
Aufgabe 8.
Induktionsgesetz
(2+3+3=8 Punkte)
Gegeben sei die homogene magnetische Feldstärke B = B0 dz ∧ dx und eine quadratische
Leiterschleife γt mit Umfang 4a. Zum Zeitpunkt t = 0 liege die Schleife in der xz-Ebene
mit dem Mittelpunkt im Koordinatenursprung o. Für Zeiten t > 0 rotiere die Leiterschleife
γt mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω um die z-Achse.
a. Geben Sie eine Parametrisierung für γt an.
b. Berechnen Sie die Lorentzkraft Fp , die auf eine am Ort p ∈ γt in der rotierenden
R
Leiterschleife befindliche Ladung q wirkt. Welche physikalische Bedeutung hat − 1q γt F ?
c. Betrachten Sie dieselbe Situation aus dem Ruhesystem der Leiterschleife. Wie lautet die
transformierte magnetische
Feldstärke B(t)? Bestimmen Sie mithilfe des Induktionsgesetzes
R
die Spannung V = γ E längs der Leiterschleife.
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