Übergangsmatrizen – Beispiel Supermarkt

Arbeitsblatt: Übergangsmatrizen – Beispiel Supermarkt
Mathematik / Lineare Algebra und Analytische Geometrie / Matrizen / Übergangsmatrizen
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Übergangsmatrizen – Beispiel Supermarkt
1
Beschreibe, wie die Zahl der Kunden vor einer Periode berechnet werden kann.
2
Stelle die Übergangsmatrix auf zu dem Übergangsdiagramm auf.
3
Berechne die Anzahl der Kunden der drei Supermärkte nach einer Periode.
4
Gib die Übergangsmatrix an.
5
Berechne die Anzahl der Schüler nach dem Wechsel.
6
Leite her, wie viele Zebras sich nach einer oder zwei Perioden in den jeweiligen Reservaten
be nden.
+
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Mathematik / Lineare Algebra und Analytische Geometrie / Matrizen / Übergangsmatrizen
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Beschreibe, wie die Zahl der Kunden vor einer Periode berechnet
werden kann.
Wähle die korrekte(n) Aussage(n) aus.
⎛ 0,7
⎜ 0,2
⎝ 0,1
0,2
0,6
0,2
0,3 ⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ 350 ⎞
0,2 ⎟ ⋅ ⎜ y ⎟ = ⎜ 470 ⎟
0,5 ⎠ ⎝ z ⎠ ⎝ 180 ⎠
Die Matrix (links) ist die Übergangsmatrix, in welcher das Wechselverhalten von
Supermarktkunden dargestellt ist. Der Vektor (ganz rechts) gibt die Anzahl der
Kunden, von oben nach unten, der drei Supermärkte A, B und C zu Beginn der
Beobachtung an.
A
x gibt die Zahl der Kunden von Supermarkt A,y die von Supermarkt B und z die von Supermarkt C vor einer
Periode an.
B
Man muss die Zahlen raten. Diese können nicht berechnet werden.
C
Es muss ein lineares Gleichungssystem gelöst werden.
D
Die Lösung dieses Gleichungssystems gibt die Zahl der Kunden nach zwei Perioden an.
E
Die Lösung dieses Gleichungssystems gibt die Zahl der Kunden vor einer Periode an.
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Unsere Tipps für die Aufgaben
1
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Beschreibe, wie die Zahl der Kunden vor einer Periode berechnet
werden kann.
1. Tipp
Vor einer Periode waren
294 Kunden in A, 675 in B und 31 in C.
2. Tipp
Stelle dir das ganze so vor, an einem Beispiel:
4x = 8.
Was musst du machen, um den Wert für
x zu finden? Richtig: Du musst diese Gleichung lösen.
3. Tipp
Ein lineares Gleichungssystem besteht aus mehreren Gleichungen und mehreren Unbekannten.
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Lösungen und Lösungswege für die Aufgaben
1
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Beschreibe, wie die Zahl der Kunden vor einer Periode berechnet
werden kann.
Lösungsschlüssel: A, C, E
⎛ 0,7
⎜ 0,2
⎝ 0,1
0,2
0,6
0,2
0,3 ⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ 350 ⎞
0,2 ⎟ ⋅ ⎜ y ⎟ = ⎜ 470 ⎟
0,5 ⎠ ⎝ z ⎠ ⎝ 180 ⎠
Hier ist ein lineares Gleichungssystem zu sehen. Es besteht aus drei
Gleichungen und drei Unbekannten x, y und z. Diese stehen für, in
dieser Reihenfolge, die Zahl der Kunden von A, B und C vor einer
Periode.
Ein solches Gleichungssytem kann man zum Beispiel lösen, indem
man die erweiterte Koeffizientenmatrix aufstellt und das Gauß'sche
Eliminationsverfahren anwendet.
Übrigens: Es ist
⎛ x ⎞ ⎛ 294 ⎞
⎜ y ⎟ = ⎜ 675 ⎟.
⎝ z ⎠ ⎝ 31 ⎠
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