Wichtige Verteilungen der Biostatistik Klassifizierung der

Wiederholung
Wichtige Verteilungen
der Biostatistik
Klassifizierung der Verteilungen
diskrete Verteilungen
diskrete Gleichverteilung
Binomialverteilung
Poisson Verteilung
...
kontinuierliche Verteilungen
kontinuierliche Gleichverteilung
Normalverteilung
Chi-Quadrat Verteilung
t-Verteilung
...
diskrete Zufallsgröße
kontinuierliche Zufallsgröße
zB: Anzahl der
Kranken, Augenzahl
des Würfels
zB: Blutdruck, Körperhöhe,...
2
KAD 2011.10.06
Wiederholung
Diskrete
Gleichverteilung
p(k)
1
p( k ) = ,
6
Bernoulli-Experiment
Kontinuierliche
Gleichverteilung
das Zufallsexperiment hat zwei mögliche Ausfälle:
E (Erfolg), Ē (Misserfolg)
das Experiment wird n mal wiederholt (n Stufen)
die Wahrscheinlichkeit in einem Einzelversuch
für E ist: p(E) = p, für p(Ē) = 1-p = q
⎧ 1 , für a ≤ x ≤ b
⎪ b−a
f (x) = ⎨
⎪
sonst
⎩ 0,
k = 1, 2, ..., 6
1/6
1
2
3
4
5
k
6
– Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des betrachteten
Ereignisses E ist in jedem Einzelversuch gleich.
– In jedem Einzelversuch ist das Ergebnis unabhängig von
den Ergebnissen aller anderen Versuche.
f(x)
0.2
p(k)
1
b−a
0.1
a
k
0
1
2
3
4
5
6
x
b
3
Wir suchen die Wahrscheinlichkeit, dass wir bei einem n-mal
wiederholten Experiment (n-stufiges Bernoulli Experiment)
genau k-mal Erfolg haben.
4
für n = 3
0
3
125
⎛ 1⎞ ⎛5⎞
AZ6 0-mal: p0 = 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =
Würfelversuch als Bernoulli-Experiment
1
= 0.166
6
E (Erfolg) entspricht der Augenzahl 6 (AZ6),
p(E ) =
Ē (Misserfolg) entspricht den Augenzahlen nicht 6,
5
p(E ) = = 0.833
6
pk
für n = 1
AZ6 0-mal: p0 = 1-0.166 = p(Ē)
AZ6 1-mal: p1 = 0.166 = p(E)
(Σpk = 0.833+0.166=1)
⎝6⎠ ⎝6⎠
1
2
0
k
0.5
0
1
k
2
5
k
1
0.8
0.6
0.4
1
⎛ 7 ⎞⎛ 1 ⎞
p1 = ⎜⎜ ⎟⎟⎜ ⎟
⎝ 1 ⎠⎝ 6 ⎠
2
6
⎛5⎞
⎜ ⎟ = 0.391
⎝6⎠
5
⎛ 7 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎛ 5 ⎞
p2 = ⎜⎜ ⎟⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = 0.234
⎝ 2 ⎠⎝ 6 ⎠ ⎝ 6 ⎠
3
5
⎛ 7 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎛ 5 ⎞
p3 = ⎜⎜ ⎟⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = 0.078
⎝ 3 ⎠⎝ 6 ⎠ ⎝ 6 ⎠
...
n=7
k
0.2
2 3
4 5
0
0
2
1
2
3
4
5
6
0.5
7
0.4
0.3
0.4
0.2
0.2
0.1
0
0
0
1
0
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
3
1
2
3
4
5
6
0.4
7
8
0.3
0.2
0.1
0
0
1
2
3
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
4
1
2
3
4
5
6
7
0.4
8
9
0.3
0.2
0.1
0
1
2
3
4
5
0.4
0.3
0.2
7
0.3
1
0.5
6 7
6
0.4
0.1
0
0
0 1
0.5
0.2
0.8
pk
n=3
6
0
0.45
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
pk
1
⎝ ⎠
Binomialverteilung
7
EEE
0
0.6
0
EEĒ
0
1
2
3 k
⎛n⎞
n Experimente, k Erfolge, ⎜⎜ ⎟⎟ : Anzahl der möglichen Reihenfolgen
k
1
p(E ) =
6
7 −k
⎛ 7 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎛ 5 ⎞
p0 = ⎜⎜ ⎟⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = 0.279
⎝ 0 ⎠⎝ 6 ⎠ ⎝ 6 ⎠
EĒE
0.5
1
für n = 7
⎛ 7 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎛ 5 ⎞
pk = ⎜⎜ ⎟⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ k ⎠⎝ 6 ⎠ ⎝ 6 ⎠
ĒEE
0
⎛n⎞
pk = ⎜⎜ ⎟⎟ p k (1 − p )n − k
⎝k ⎠
n=2
1
0
ĒĒE
1
3
pk
ĒEĒ
1
⎛ 1⎞ ⎛5⎞
AZ6 3-mal: p3 = 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =
216
⎝6⎠ ⎝6⎠
(Σpk = 1)
0.5
1
EĒĒ
15
⎛ 1⎞ ⎛5⎞
AZ6 2-mal: p2 = 3 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =
⎝ 6 ⎠ ⎝ 6 ⎠ 216
1
für n = 2
AZ6 0-mal: p0=0.833·0.833
AZ6 1-mal: p1=0.833·0.166+0.166·0.833
AZ6 2-mal: p2=0.166·0.166
(Σpk = 1)
2
75
⎛ 1⎞ ⎛ 5⎞
AZ6 1-mal: p1 = 3 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =
216
⎝6⎠ ⎝6⎠
n=1
0
ĒĒĒ
216
0.1
0
0
1
2
3
4
5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
9
10
8
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Bernoulli-Experiment
Binomialverteilung
Kombinatorik:
Sollen k Objekte in beliebiger Reihenfolge aus n Objekten ausgewählt
werden, ergeben sich:
pk ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir bei einem n-stufigen
Bernoulli-Experiment genau k-mal Erfolg haben
⎛n⎞
n ⋅ ( n − 1) ⋅ ... ⋅ ( n − k + 1)
n!
=
= ⎜⎜ ⎟⎟
1 ⋅ 2 ⋅ ... ⋅ k
k! ( n − k )! ⎝ k ⎠
die Wahrscheinlichkeit dass die ersten k Versuche Erfolg
haben und die anderen misserfolglich sind:
p(E, E,...E, E , E ,...E ) = p(E ) ⋅ p(E ) ⋅ ...p(E ) ⋅ p(E ) ⋅ p(E ) ⋅ ...p(E ) = p k (1 − p )n −k
Möglichkeiten, wobei n! = 1·2·... ·(n-1)·n.
(Kombination aus n Elementen zur Klasse k
ohne Wiederholung)
zB: n = 3, k = 2
n-k
k
k
n-k
Jede andere Reihenfolge der k Ergebnisse und n-k
Gegenergebnisse haben die selbe pk(1-p)n-k
Wahrscheinlichkeit.
Wieviele mögliche Reihenfolgen gibt es?
EEĒ
⎛3⎞
3!
1⋅ 2 ⋅ 3
⎜⎜ ⎟⎟ =
=
=3
⎝ 2 ⎠ 2!⋅1! 1⋅ 2 ⋅ 1
EĒE
ĒEE
9
Münzenversuch als Bernoulli-Experiment
10
p(E ) =
zwei Münzenversuche: E (Erfolg) entspricht Zahl
n=2
0.5
⎛ n ⎞⎛ 1 ⎞
für p=1/2 vereinfacht sich: pk = ⎜⎜ ⎟⎟⎜ ⎟
⎝ k ⎠⎝ 2 ⎠
0.4
0.3
0.2
2
1
⎛ 1⎞
p0 = 1 ⎜ ⎟ =
4
⎝2⎠
0.1
1
0
2
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
2
0
3
0.3
0.2
0.1
0
2
0
1
2
k
2
p0+p1+p2=1
11
0
1
2
3
5
0
1
2
3
4
5
4
5
2
3
4
5
6
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
1
0
4
0.3
3
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
3
0.4
2
7
0
0.4
1
1
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
1
0
6
0
0.1
0
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
1
0.2
2 1
⎛ 1⎞
p1 = 2 ⎜ ⎟ = =
4 2
⎝2⎠
1
⎛ 1⎞
p2 = 1 ⎜ ⎟ =
4
⎝2⎠
Binomialverteilung
pk
n
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
p=1/2, 1- p =1/2, n=2
⎛n⎞
pk = ⎜⎜ ⎟⎟ p k (1 − p )n −k
⎝k ⎠
1
2
8
9
0
1
2
3
4
5
6
7
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
8
9
10
12
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
n: Anzahl der Kinder, k: Anzahl der Kinder mit BG0
Blutgruppenversuch als Bernoulli-Experiment
Genotyp
IA IA
IA i
iIA
1
4
1
4
1
4
Wahrscheinlichkeit
ii
1
4
A
0
Wahrscheinlichkeit
3
4
1
4
IAi
?
IAi
Nennen wir als „Erfolg” (E), wenn das Kind eine Blutgruppe 0
hat und „Misserfolg” (Ē), wenn seine Blutgruppe nicht 0 ist.
p(E)=1/4=0.25
p(Ē)=3/4=0.75
p(E)+p(Ē)=1
Die Familie hat n Kinder. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit,
dass k Kinder eine Blutgruppe 0 haben?
13
0.8
1
0.6
6
0.3
0.2
0.2
0.1
1
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
2
0
3
0.3
0.2
0.1
0
1
2
0.3
0.2
0.1
0
0
1
2
3
5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
1
2
3
4
5
4
5
2
3
4
5
0
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
7
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
⎛ 4⎞
2
2
p2 = ⎜⎜ ⎟⎟(0.6 ) (0.4 ) = 0.3456
⎝ 2⎠
8
⎛ 4⎞
3
1
p3 = ⎜⎜ ⎟⎟(0.6 ) (0.4 ) = 0.3456
⎝3⎠
9
15
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
k
pk
0.6
0.4
0.2
0
n=2
0
p(Ē)=1-p=q
1
k
2
n Experimente, k Erfolge
⎛n⎞ k
n −k
pk = ⎜⎜ ⎟⎟ p (1 − p )
⎛n⎞
⎜⎜ ⎟⎟ : Anzahl der möglichen Reihenfolgen
⎝k ⎠
⎝k ⎠
14
8
10
0
Sei: p(E)=p
⎛ 4⎞
1
3
p1 = ⎜⎜ ⎟⎟(0.6 ) (0.4 ) = 0.1536
⎝ 1⎠
9
0
allgemein:
⎛ 4⎞
0
4
p0 = ⎜⎜ ⎟⎟(0.6 ) (0.4 ) = 0.0256
⎝0⎠
7
8
1
für n = 2
(BG0 0-mal:) p0=0,75·0,75 =0,5625
(BG0 1-mal:) p1=0,75·0,25+0,25·0,75=0,375
(BG0 2-mal:) p2=0,25·0,25 = 0,0625
(Σpk = 0,5625+0,375+0,0625=1)
zB: 60% der Patienten haben Grippe.
Heute kommen 4 Patienten.
p=0,6 n=4
6
6
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
4
0.5
1
0
4
0.4
3
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
3
0.5
2
7
0
0.4
0
1
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
1
0.5
n=1
0.5
Bernoulli-Experiment, Binomialverteilung
0
0
Binomialverteilung
0.4
0.4
0
1
0
Fenotyp
1
p(E ) =
4
pk
für n = 1
(BG0 0-mal:) p0=0,75=p(Ē)
(BG0 1-mal:) p1=0,25=p(E)
(Σpk = 0,75+0,25=1)
⎛ 4⎞
4
0
p4 = ⎜⎜ ⎟⎟(0.6 ) (0.4 ) = 0.1296
⎝ 4⎠
⎛ 4⎞
k
4−k
pk = ⎜⎜ ⎟⎟(0.6 ) (0.4 )
⎝k ⎠
0.4
pk
n=4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
1
2
3
4
k
16
Binomialverteilung
Erwartungswert und Streuung der Binomialverteilung
p = 0.25 < 0.5
p = 0.5
p = 0.75 > 0.5
rechtsschief
symmetrisch
linksschief
0.4
Erwartungs wert( x i ) = 1⋅ p + 0 ⋅ (1 − p ) = p
pk
pk
pk
0.4
Tritt ein bestimmtes Ergebnis
mit Wahrscheinlichkeit p ein,
so haben wir bei n-maliger
Wiederholung etwa np solche
Ereignisse zu „erwarten”.
μ = np
Erwartungswert:
Erwartungs wert( X ) = ∑ E ( x i ) = np
0.4
i
(identische Einzelprozesse)
0.3
0.3
0.3
0.2
0.2
0.2
theoretische Streuung:
0.1
0.1
0.1
Varianz( x i ) = E ( x i ) − (E ( x i ))2 = 12 p + 0 2 (1 − p ) − p 2 = p − p 2 = p(1 − p )
0
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8
k
2
Varianz( X ) = ∑ Varianz( x i ) = np(1 − p )
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8
σ = np(1 − p )
i
0 1 2 3 4 5 6 7 8
k
k
Die Funktion wird generell für wachsendes n immer „symmetrischer”.
17
in Excel: BINOMDIST(n,k,p,kumuliert?), BINOMVERT(...)
zB: 12 Würfelexperimente:
Wie oft tritt „6” auf?
n = 12, p = 1/6, μ = 2
σ=
60
≈ 1.29
6
18
Poisson: Verteilung der seltenen Ereignisse
⎛n⎞
pk = ⎜⎜ ⎟⎟ p k q n −k
⎝k ⎠
n→∞
p→0
pk =
np=λ
λk −λ
e
k!
Es ist eine gute Näherung für große n und kleine p Werte
Schätzung der seltener Ereignisse
Beispiel:
Die Wahrscheinlichkeit, dass man eine Krankheit bekommt,
ist p=0.001. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es in
einer Stadt mit n = 2000 Einwohner k = 0,1,2… Kranken gibt?
19
20
pk
Poisson Verteilung: Beispiel
Die Wahrscheinlichkeit, dass man eine Krankheit bekommt,
ist p=0.001. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es in
einer Stadt mit n = 2000 Einwohner k = 0,1,2… Kranken gibt?
λk
2k − 2
pk = e −λ =
e
k!
k!
λ=np=2
pk
0.3
p0 =
20 − 2
e = e −2 = 0,135
0!
p1 =
21 −2
e = 2e −2 = 0,271
1!
0.25
22 −2
p2 =
e = 2e −2 = 0,271
2!
0.2
0.15
0.1
p3 =
0.05
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
k
0.4
Varianz:
Theoretische Streuung:
λ
0.35
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
3
2 −2 8 −2
e = e = 0,181
3!
6
0.05
k
0
...
0
21
5
10
15
20
22
Die ausgezeichnete kontinuierliche Verteilung:
Normalverteilung
Erwartungswert und Streuung der Poisson-Verteilung
Erwartungswert:
Poisson Verteilung
μ=λ
−
1
f (x) =
e
σ 2π
Verteilungsdichtefunktion:
Varianz(x)=λ
Parameter der Normalverteilung:
σ= λ
f(x)
σ
Eine Verteilung, wo der Erwartungswert und die Streuung
voneinander nicht unabhängig sind!
23
σ
μ
( x − μ )2
2σ 2
Erwartungswert: μ
Streuung: σ
Wendepunkte
(die Krümmung der Kurve ändert sich)
x
24
Normalverteilung
(Gauss-Verteilung)
für die dargestellte Funktion:
Position des Maximums und die Breite der Kurve
e−x
μ = 3, σ = 1
Glockenkurve
2
e −( x − μ )
2
≈1 ≈1
≈1 ≈1
x
0
−
1
e
σ 2π
( x − μ )2
0
die Breite
der Kurve:
~2σ
( x − μ )2
2σ 2
σ
σ
25
e
−
σ
σ
μ
x
μ
0
die Fläche unter
der Kurve ist 1
2σ 2
Position des
Maximums
bei μ
x
0
μ
x 26
Standard - Normalverteilung
Normalverteilung
f (x) =
1
e
2π
−
x2
2
0.5
= N (0,1)
μ=0
σ=1
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
0
1
2
3
4
0.5
0
27
-4
-3
-2
-1
28
4
t-Verteilungsfamilie
Verteilung der Summe von Zufallsvariablen
Beispiel
Wir werfen mit ein/zwei Würfeln.
Welche Verteilung hat die Summe der Augenzahlen?
mit einem Würfel – Gleichverteilung
mit zwei Würfeln? – keine Gleichverteilung!
„Glockenkurven”
p(Augenzahl)
p(Augenzahl)
1/
6
1/
6
Je größer ist der
Freiheitsgrad,
desto schmaler
ist die Kurve.
1 2 3 4 5 6 Augenzahl
p(Augenzahl)
1/
36
1/
6
t ∞ ≡ N (0, 1)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Σ Augenzahl
1 2 3 4 5 6 Augenzahl
29
30
Pr.Buch Anhang S.27.2
Stabile und nicht stabile Verteilungen
Verteilung der Summe von Zufallsvariablen
Der Verteilungstyp ist stabil, wenn die Summe von zwei unabhängigen
indentisch verteilten Zufallsvariablen auch denselben Verteilungstyp besitzt.
x1 und x2 sind unabhängige Zufallsvariablen. Beide folgen dergleichen
Verteilung mit Erwartungswerten μ1 bzw. μ2 und Streuungen σ1 bzw. σ2.
Welcher Verteilung folgt die Summe: x = x1 + x2 ?
f(x2)
f( x1)
nicht stabile Verteilungen:
Gleich-
Beispiel:
x1 und x2 sind unabhängige Zufallsgrößen.
Beide folgen einer Normalverteilung mit Erwartungswerten μ1 bzw. μ2
und Streuungen σ1 bzw. σ2.
x1 + x 2
?
Welcher Verteilung folgt der Durchschnitt x =
f( x )
σ
σ2
σ1
stabile Verteilungen:
Normal-, Binomial-, Poisson-
2
μ1
x1
μ2
x2
μ
x
x hat eine Verteilung mit Erwartungswert μ=μ1+μ2
und Varianz σ 2 = σ 12 + σ 22
die additive Größe ist die Varianz, nicht die Streuung!
x hat eine Normalverteilung mit Erwartungswert
und Varianz
31
σ2 =
2
σ1 + σ 2
22
2
μ=
μ1 + μ 2
2
2
2 ⎞
⎛
⎜ σ = (σ 1 + σ 2 ) ⎟
⎜
⎟
2
⎝
⎠
32
Die Summe der Verteilungsfunktionen konvergiert gegen eine
Normalverteilung auch wenn die einzelnen Zufallsgrößen keine
Normalverteilung haben.
eine sogenannte
χ2 –Verteilung mit
n Freiheitsgraden
0.005
Biologische Bedeutung:
Wenn ein Parameter (zB. Körpergröße, Blutzuckerkonzentration)
durch viele (n →∞) anderen Faktoren (Zufallsgrößen) beeinflusst
wird, folgt dieser Parameter einer Normalverteilung.
μ =n
0
χ n2 = x12 + x 22 + ... + x n2
0.02
i =1
2
σ 2 = 2n
33
6
2
4
6
8
der Modalwert der Verteilungen mit Freiheitsgrad n > 2: (n-2)
10
34
Freiheitsgrad
0.4
x
( x + x + ... + x )
n
2
n
20
10
4
0.2
Die t-Verteilung ist
breiter als die
Normalverteilung.
folgt einer t-Verteilung mit Freiheitsgrad n.
Die t-Verteilung ist symmetrisch, μn=0
(n ≥ 2),
die Streuung ist:
(n
≥ 3)
n
σ=
n−2
200
f(t)
Die Verteilungskurve
der t-Verteilung ähnelt
einer Glockenkurve
(wenn n→∞).
x, x1, x2 ,... xn sind unabhängige, standardnormalverteilte
Zufallsgrößen. Dann die Größe
2
2
5
0
t-Verteilung (Student-Verteilung)
2
1
4
Die Kurven der t-Verteilungen
Wichtige Verteilungen der analytischen Statistik
tn =
3
0.015
Wenn x1, x2,….xn
unabhängige
standardnormalverteilte
Zufallsgrößen sind, dann
hat die Zufallsgröße
1
0.01
Khi-Quadrat (χ2)
Verteilung
Es seien x1, x2,….xn unabhängige Zufallsgrößen, die alle
derselben
Verteilung haben. Die Verteilung der Summe
n
nähert
sich einer Normalverteilung, wenn n→∞ .
Sn = ∑ x i
0.025
Wichtige Verteilungen der analytischen Statsitik
Zentraler Grenzwertsatz
2
t
0
35
-5
-3
-1
1
3
365
Überblickstabelle
Überblickstabelle
Lagemaße
Variabilitätsmaße
i
i
x=
∑ xi
s =
2
i
∑ (x
x = ∑ x i h( x i )
s2 =
μ=
2
n
∑x
2
i
i
n
i
kont. Verteilung
− x)
i
⎛ ∑ xi
⎜
−⎜ i
⎜ n
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
σ = ∫ ( x − μ ) f ( x )dx
∫ xf ( x )dx
2
2
37
Kontinuierliche Verteilungen
x
( x + x + ... + x n2 )
n
2
1
x12 + x 22 + ... + x n2
1
− ( x − μ )2
,
1
2
e 2σ
f (x ) b − a
σ
2
π
a≤x≤b
Standardnormal1
e
2π
−x2
2
1
n
⎛n⎞ k
⎜⎜ ⎟⎟ p (1 − p )n −k
⎝k ⎠
μ
n +1
2
np
λ
σ2
n2 − 1
12
np(1 − p )
λ
λk
k!
e −λ
38
Überblickstabelle
Normal-
pk
Poisson-
−∞
−∞
kontinuir.
Gleich-
Binomial-
2
+∞
+∞
diskrete Gleich-
i
n
empirische Werte
Diskrete Verteilungen
σ 2 = ∑ ( x i − μ )2 p( x i )
μ = ∑ x i p( x i )
diskrete Verteilung
KhiQuadratn
1
⎛n ⎞
⎜ − 1⎟!2
⎝2 ⎠
n
2
2
2
t−1 −
x2 e
x
2
t=
x −μ
s/ n
f (t ) =
K
⎛ t2 ⎞
⎜⎜1 + ⎟⎟
f ⎠
⎝
μ
a+b
2
μ
0
n
0
n≥2
σ2
( b − a )2
12
σ2
1
2n
n
n−2
n≥3
39
f +1
2