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Research Collection
Doctoral Thesis
Informationsverknüpfung im Bauwesen
eine Anwendung der Bayes'schen Methode auf die
Ingenieurproblematik
Author(s):
Scheiwiller, Alex Peter
Publication Date:
1999
Permanent Link:
https://doi.org/10.3929/ethz-a-002063319
Rights / License:
In Copyright - Non-Commercial Use Permitted
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ETH Library
Diss. ETH Nr. 13039
Informationsverknüpfung
Eine
Anwendung
der
im Bauwesen
Bayes'schen Methode auf
die
Ingenieurproblematik
ABHANDLUNG
zur
Erlangung
des Titels
DOKTOR DER TECHNISCHEN WISSENSCHAFTEN
der
EIDGENÖSSISCHEN TECHNISCHEN HOCHSCHULE ZÜRICH
vorgelegt
von
Alex Peter Scheiwiller
Dipl. Bau-Ing.
geboren
von
am
10.8.1966
Waldkirch SG
Angenommen
Prof. Dr. h.c.
ETH Zürich
auf
Antrag
Jörg Schneider,
von:
Referent
Prof. Dr. Hans Rudolf Künsch, Korreferent
1999
Vorwort
Probabilistische
genieurpraxis.
Grössen
Berechnungsmethoden
finden in zunehmendem Mass
welche
jeweils
Parameter definiert sind. Das
durch eine
Ergebnis
seiner
Entscheidungen
Im Bauwesen ist
da
lediglich
kleine
deterministisch oder
mationen
die
um
Ermittlung
sind. Der
Festlegung
-
auf den
zu
delt und nach angemessener
knüpft.
den
Ein
Zugang
von
zum
Experten
der
von
-
ob
er nun
weiterer Infor¬
können. Solche Informa¬
Verknüpfung
Computerprogramm
von
Informationen und
Stichproben,
aus
namens
Stützwertkom¬
Mittelwert und einem
miteinander
Comblnfo
Verfahren für die Praxis. Comblnfo ist mit einer
Dateneingabe
ver¬
gewährleistet
grafischen
Oberfläche
und bei der
Verknüp¬
Informationen.
Während der Promotionsarbeit haben mich eine Vielzahl
privaten
Einbezug
Informationsquellen
versehen und erlaubt interaktives Arbeiten bei der
fung
ist somit
werden in stochastische Grössen umgewan¬
Gewichtung
mir entwickeltes
Be¬
stammen.
binationen, wie beispielsweise eine Kombination bestehend
von
zur
in Normen oder in der Fachliteratur. Sie können aber
der Variablen wesentlich vereinfacht.
Fraktilwert, und Schätzungen
mehr Information
Ingenieur
machen
In dieser Arbeit stelle ich ein Verfahren vor, das die
somit die
ist somit auch eine
der Parameter der Variablen oft schwie¬
denkt und arbeitet
sachkundigen Schätzungen
aus
zugehörigen
Verfügung.
zuverlässige Aussagen
beispielsweise
Berechnung
Ingenieur ungleich
Stichproben verfügbar
probabilistisch
angewiesen,
tionen finden sich
auch
allerdings
nun
zur
und die
Verteilungsfunktion
einer solchen
stochastische Grösse. Damit steht für einen
rig,
in die In¬
Hierbei werden die Variablen des betrachteten Problems als stochastische
eingeführt,
gründung
Eingang
wie auch
aus
von
Personen sowohl
aus
dem
dem beruflichen Umfeld unterstützt. Bei ihnen allen möchte ich
mich herzlich bedanken.
Mein Dank
geht
in besonderem Masse
an
Herrn Professor Schneider für das
brachte Vertrauen und für die Freiheit bei der
so
Durchführung
danke ich Herrn Professor Künsch für die aktive
entgegenge¬
der Promotionsarbeit. Eben¬
Begleitung
und für die
Übernahme
des Korreferats.
Zürich, im April 1999
Alex Scheiwiller
Zusammenfassung
Bauingenieure
sind bei ihrer Arbeit und insbesondere bei der
angewiesen.
verschiedenste Informationen
ten von
Dies können Informationen über das Verhal¬
Bauwerksteilen, über Baustoffeigenschaften oder über Einwirkungen sein. Die
Informationen
weise
auf
Entscheidungsfindung
im Normalfall in verschiedenen Formen
liegen
Stichproben,
weiterverarbeitete Resultate
aus
anderen
sich in Normen oder in der Fachliteratur finden lassen, oder
vor.
Dies sind
beispiels¬
welche
Untersuchungen,
Ne¬
Expertenschätzungen.
ben der unterschiedlichen Form weisen die Informationen auch Unterschiede in ihrer
Unscharfe und ihrer Güte auf.
Bauingenieure
stehen somit
verschiedenen Informationen im Hinblick auf die
zuwerten und miteinander
In dieser Arbeit wird ein
zu
häufig
vor
der
Aufgabe,
jeweilige Fragestellung geeignet
die
aus¬
kombinieren.
neues
Verfahren
vorgestellt,
tionen wesentlich vereinfacht. Die betrachtete
das die
Eigenschaft
Verknüpfung
von
Informa¬
wird dabei als Variable be¬
schrieben, welche durch eine Verteilungsfunktion und die zugehörigen Parameter defi¬
gilt
niert ist. Es
nun, diese Grössen
aus
den einzelnen Informationen
Unscharfe der einzelnen Informationen können
schaft
eingebracht
typ und pro
Für die
Regressionsmethode,
die
Informationsauswertung
nun
miteinander
Methode.
werden drei Methoden
empirische
Pseudostichproben-Methode.
Bayes'sche
der
Beschreibung
ist der
Eigen¬
Verteilungs¬
verknüpft.
Das Resultat die¬
ist die sogenannte Metainformation.
eigentliche Verknüpfung
Bayes'schen
werden
Verteilungsfunktionen
Verknüpfung
direkt in die
Die
Information ein Parameterset. Die daraus resultierenden unter¬
vorliegender
schiedlichen
ser
werden. Das Resultat der
so
festzulegen.
Als
lineare
vorgeschlagen,
die
Bayes'sche
Bayes'sche Regressionsmethode
und die
Die beiden erstgenannten Methoden basieren auf der
Hauptunterschied
zum
klassischen
Gebrauch
wird
die
Methode nicht auf die Parameter der untersuchten Zufallsvariablen ange¬
wendet, sondern auf die Koeffizienten der zugehörigen Geraden im Wahrscheinlichkeits¬
papier.
Die
Verknüpfung
thode der kleinsten
knüpfung
stützt sich auf das Modell des Parameterschätzverfahrens "Me¬
Quadrate".
Durch diese Transformation vereinfacht sich die Ver¬
wesentlich. Es können alle
keitspapier existiert, gleich behandelt
Ausserdem kann die
Verknüpfung
gierten Verteilungen durchgeführt
sungen
von
zur
Bestimmung
der
Posteriorverteilung.
bezüglich
ihrer Güte
Vertrauen
werden.
Benutzung
werden. Für diesen Fall existieren
Integralen.
gebrachten
für welche ein Wahrscheinlich¬
der Informationen auch unter
mehrdimensionalen
Informationen
Verteilungstypen,
festgelegt wird.
die
konju¬
geschlossene
Lö¬
Dadurch entfällt das numerische Lösen
Weiter ist eine
möglich,
von
explizite Gewichtung
der einzelnen
gemäss dem der Information entgegen¬
Summary
iv
Beschränkt
man
auch die oft
sich auf die
schwierige Bestimmung
Verknüpfung
sind dann
der
Unterstützung
Zur
knüpfung
von
Verteilungsfunktion für die
die Parameter der Variablen
des in dieser Arbeit
Anwendung
aus
so
entfällt
Parameter. Für die
den einzelnen Informationen
vorgestellten Verfahrens
Computerprogramm erstellt.
Informationen wurde ein
weniger geschulten Ingenieur
theoretisch
nem
einer
Erwartungswerte der Parameter,
Gewichtung festzulegen.
bestimmen und die
zu
nur
der
Betrachtung
die
Benutzung
zur
Ver¬
Dieses soll auch ei¬
des Verfahrens
ermögli¬
chen.
Summary
Civil
engineers usually
varying quality.
data
on
base their decisions
This may be, e.g., data
properties
of materials
urements or may be
results from expert
or
specialist
in
sources
the characteristics of structural
One of the
judgements.
information from different
actions. The information may be
or on
found in codes
on
on
and of
components,
gathered by
meas¬
literature. Information also includes
engineer's
analyse,
tasks is to
process and
combine the different types of information.
A
new
procedure
combining
was
developed
to
facilitate information
processing and,
process. The property under consideration is described
ble, i.e. by
have to be assessed with the different information. Thus the
tion
can
be
easily
tion type and
a
tion functions
included in the
set of
a
corresponding parameters.
distribution function and its
a
by
above all, the
stochastic varia¬
These
uncertainty
quantities
of the informa¬
The result of the assessment is the distribu¬
procedure.
parameters for each information. The resulting different distribu¬
are now
combined. The result of the
combining
process is the so-called
metainformation.
Three methods
the
empirical
are
linear
first two methods
the
Bayesian
proposed for
timation model
are
based
on
the
In
corresponding straight
"Least-Squares
be treated in the
addition,
posterior
no
a
same
way,
Method"
a
Bayesian regression method,
pseudo sample
can
applications,
parameters of the stochastic variable but to the
line in the
now
respective probability
a
paper. The
es¬
forms the basis of the inferential process.
probability
All distribution types
paper is defined.
be used for the inferential process. In this case, the
known distribution function. As
numerically solving
method. The
method. In contrast to classical
combining process substantially.
provided
conjugate analysis
distribution follows
need for
to the
the
method and the
Bayesian
applied
This transformation facilitates the
can
combining process,
Bayesian regression
method is not
coefficients of the
the
multivariate
integrals. Further,
a
consequence, there is
the
weighting
of the dif-
RÉSUMÉ
V
ferent information
to the
according
assigned degrees
of confidence is
explicitly pos¬
now
sible.
The often difficult determination of
pensed
with if
only
combining
the
the
process,
distribution function for the parameters
a
values of the
expected
an
this program also
apply
the
considered. Therefore, for
appropriate weighting
application of the proposed procedure
Using
are
be dis¬
the parameters of the stochastic variables need to be deter¬
only
mined from the different information and
To further the
parameters
can
engineers
of
narrower
a
has to be assessed.
computer program
theoretical
was
developed.
should be able to
background
proposed method.
Résumé
Les
de
ingénieurs
les
qualité
variée. Ce sont, par
propriétés
par des
civils basent leurs décisions
des matériaux
mesures ou
cluent aussi des
Une nouvelle
liaison
a
été
bien être extraites des
normes ou
de la littérature
spécialisée.
ingénieurs
développée.
La
traitement des informations et
propriété
densité de
paramètres correspondant
ment inclues dans la
tantes. Il
en
résulte
considérée est décrite par
probabilité et
une
gression Bayesienne,
chaque
au
ses
paramètres.
variable aléatoire,
une
Cette variable aléatoire doit
proposées
La liaison
se
nomme
régression empirique
Les deux
premières
aux
En
plus,
qu'un papier
il est
Bayesienne.
possible
Dans
ce
probabilité
probabilité
d'utiliser
ne
coefficients de la droite
base maintenant
sur
une
se
Bayesienne
basent
résul¬
s'applique
pas
mé¬
la méthode
aux
paramètres
correspondante
simplifie
et la
sur
dans le
la méthode d'estimation des
papier
paramètres
fortement la liaison des
peuvent être traitées de la même manière
existe.
analyse conjuguée
cas, la fonction de
linéaire
méthodes
l'application classique,
informations. Toutes les lois de
de
répartition
métainformation.
"méthode des moindres carrés". Cette transformation
pour autant
et
pour relier les informations. Ce sont la méthode de ré¬
la méthode de
contraire de
probabilité
information. Les incertitudes sont donc facile¬
information que l'on
de la variable aléatoire, mais
probabilité.
de
principalement leur
Il reste ensuite à relier les fonctions de
pseudo-échantillonnage.
Bayesienne, qui
de
à
procédure.
Trois méthodes sont
thode de
Elles in¬
d'analyser,
est
être déterminée par les différentes informations. Le résultat fournit la loi de
les
sur
différentes informations.
ces
une
différentes et
les éléments de construction,
Une des tâches des
procédure simplifiant le
c'est-à-dire, par
sur
sources
les actions. Ces informations peuvent être obtenues
jugements d'expert.
traiter et de relier
des informations de
des données
exemple,
ou sur
sur
répartition
a
pour
l'application
posteriori
suit
une
de la méthode
loi de
probabilité
RÉSUMÉ
VI
connue.
Par
multiples
poids
à
conséquent,
par des méthodes
chaque information
Si l'on tient compte
se
il n'est
dispenser de
plus
nécessaire de résoudre les
numériques.
en
fonction du
uniquement
des
En outre,
degré
on
peut attribuer explicitement
de confiance
paramètres
un
assignée.
espérances mathématiques
la laborieuse détermination des fonctions de
suffit donc de déterminer les
intégrales à variables
des
paramètres,
répartition
des variables aléatoires et le
des
poids
on
peut
paramètres.
de
chaque
Il
in¬
formation.
Un programme d'ordinateur
proposée.
a
été
développé
Ce programme permet aussi
ques moins étendues
d'appliquer
cette
aux
pour favoriser
ingénieurs
procédure.
l'application
de la
procédure
ayant des connaissances théori¬
Inhaltsverzeichnis
i
Vorwort
Zusammenfassung
iii
Summary
iv
Résumé
v
1
Verständigung
1
1.1
Begriffe
1
1.2
Bezeichnungen
3
1.3
Indizes
4
2
Problemstellung und Zielsetzung
5
2.1
Problemstellung
5
2.1.1
Informationen
5
2.1.3
Entscheidungsfindung
Grundlage
Informationsverknüpfung Problematik
Informationsverknüpfung Lösungsansatz
2.2
Zielsetzung
3
Grundlagen
3.1
3.1.3
Rangstatistik
Rang eines Stichprobenwertes
Extremwertverteilungen
Empirische Verteilungsfunktion
3.2
Schliessende Statistik
17
Plausibilitätsprüfung
18
2.1.2
3.1.1
3.1.2
3.2.1
der
-
-
-
7
9
10
aus
der Statistik
13
13
13
13
17
3.2.2
Parameterschätzung
19
3.2.3
Modellprüfung
22
3.3
25
3.3.3
Wahrscheinlichkeitspapier
Anwendung
Stichprobenumfang
Geradenanpassung in eine Punktreihe
4
Bayes'sche
4.1
Wahrscheinlichkeitsdefinitionen
4.2
Bayes'sches
4.3
Prinzip
4.4
Bestimmung
4.5
4.5.1
Berechnungs verfahren
Asymptotische Verfahren
4.5.2
Numerische
4.5.3
Simulationen
3.3.1
3.3.2
der
Methode
Theorem
Bayes'schen Methode
von
Priorverteilungen
Integrationsverfahren
25
26
27
33
33
34
37
40
43
43
45
48
Inhaltsverzeichnis
viii
4.6
Erweiterung auf zwei und mehr Stichproben
49
5
Informationsverknüpfung
51
5.1
Grundidee und
5.2
Allgemeines Vorgehen
5.2.1
Stochastisches Modell
52
5.2.2
53
5.2.4
Informationsanalyse
Festlegung der Gewichtung
Verknüpfung
6
Verknüpfungsmethoden
57
6.1
Die
Das
57
6.1.3
Bayes'sche Regressionsmethode
Bayes'sehe lineare Modell
Übertragung auf das lineare Regressionsmodell
Anwendung
57
6.1.1
6.2
Alternativmethoden
65
6.2.1
Die
6.2.2
Die
7
Vergleich
7.1
Vergleichsrechnung
75
7.2
Schlussfolgerungen
77
8
Beispiele
79
8.1
Qualitätsprüfung
Festbeton
79
8.1.1
Vorschriften der
Qualitätsprüfung
79
8.1.2
Situation
5.2.3
6.1.2
51
Verknüpfungsbasis
52
54
56
59
63
65
Bayes'sche Regressionsmethode
empirische
Pseudostichproben-Methode
lineare
und
73
75
Schlussfolgerungen
mit der
80
Bayes'schen Regressionsmethode
empirischen linearen B ayes' sehen Regressionsmethode
80
8.1.4
Verknüpfung
Verknüpfung
8.2
Bestimmung
8.2.1
Situation
83
8.2.2
84
8.2.3
Verknüpfung mit der Bayes'schen Regressionsmethode
Verknüpfung mit der empirischen linearen Bayes'schen Regressionsmethode
8.3
Einbezug historischer
8.3.1
Situation
8.1.3
mit der
eines charakteristischen Wertes einer
Daten in eine
Stahlfliessspannung
...
Erdbebenstärkenschätzung
82
83
86
87
87
mit der B ayes sehen
87
mit der
89
Regressionsmethode
empirischen linearen Bayes'schen Regressionsmethode
'
8.3.3
Verknüpfung
Verknüpfung
9
Computerunterstützung
91
9.1
Die Benutzerschnittstelle
91
9.2
Der
8.3.2
Programmkern
93
95
Anhang A
A1
Standardnormalverteilung
95
A 2
Normalverteilung
95
A 3
Lognormalverteilung
97
A 4
Gumbelverteilung
für Maxima
99
A 5
Weibullverteilung
für Minima
101
A 6
Fréchetverteilung
für Maxima
104
r
ix
Inhaltsverzeichnis
A 7
Exponentialverteilung
106
A 8
Weitere
Verteilungen
107
Anhang
109
B
notwendiger Stichprobenumfang
B 1
Minimal
B 2
Bestimmung
B 3
Erzeugung
Anhang
eines
von
PseudoStichprobenumfanges
109
109
112
PseudoStichproben
115
C
C 1
Bestimmung
der
C 2
Bestimmung
der Kovarianzmatrix L der
Verteilungsfunktion
der Koeffizienten
Koeffizientenschätzungen
115
119
Literaturverzeichnis
123
Curriculum Vitae
127
1
Verständigung
Um das Verständnis
sten
Begriffe
1.1
zu
erleichtern, werden nachfolgend die Definitionen der wesentlich¬
und die verwendeten
Bezeichnungen zusammengestellt.
Begriffe
Ausreiss er
Unbegründeter Extremwert
einer
Stichprobe.
Daten
Durch
Beobachtungen
resp.
Messungen gewonnene Werte einer Eigenschaft.
Datensatz
Wertereihe einer
Eigenschaft.
Dichtefunktion
Die Dichtefunktion
fx(x) zeigt,
wie die Wahrscheinlichkeit
1 über
P(a<x<b)
entspricht der
=
den Definitionsbereich [a, b] der Zufallsvariablen X verteilt ist. Sie
Ableitung der Verteilungsfunktion Fx(x)
tion ist gleich 1.
nach
x.
Die Fläche unter der Dichtefunk¬
Eigenschaft
Messbares Wesensmerkmal. Darunter fallen unter anderem
Festigkeiten, Steifig¬
keiten, Dichten, Reibungswinkel, Windgeschwindigkeiten, Schneehöhen, Abflussmengen, etc.
Extremwert
Grösster bzw. kleinster Wert einer
Stichprobe (innerhalb
eines Zeitraums
t).
Fraktilwert, q% Fraktile
Realisation einer Zufallsvariable, welche mit der
zugehörigen Wahrscheinlichkeit
q
nicht unter- bzw. überschritten wird.
Grundgesamtheit
Gesamtheit aller
möglichen
Realisationen einer bestimmten
Eigenschaft.
Information
Qualifikation einer Information bezüglich der Qualität der Beschreibung einer Eigen¬
schaft. Die Güte ist gross, wenn beispielsweise eine Verteilungsfunktion die Eigen¬
schaft präzise beschreibt.
Güte einer
Information
Auskunft über eine
Eigenschaft.
Verständigung
2
Information, objektive
Eindeutig feststellbare Information. Darunter fallen insbesondere alle messbaren bzw.
erhebbaren Daten (siehe auch Kapitel 2.1, Seite 5). Objektive Information ist mit dem
betrachteten Objekt verbunden und ist frei von Interpretation.
Information, subjektive
Verarbeitete objektive Information oder Schätzung eines oder mehrerer Experten,
basierend auf ihren persönlichen Erfahrungen und Vorstellungen. Subjektive Informa¬
tion, die allgemein als zutreffend anerkannt wird, findet sich beispielsweise in Nor¬
men oder in der Fachliteratur (siehe auch Kapitel 2.1, Seite 5).
Metainformation
Ergebnis einer Informationsverknüpfung.
Modell
Beschreibung einer Eigenschaft
mehreren Eigenschaften.
Mathematische
schen
oder eines
Zusammenhanges
zwi¬
Modell, stochastisches
Beschreibung
einer
einer Zufallsvariablen.
Eigenschaft mittels
Parameter
Kenngrössen
einer
Verteilungsfunktion.
Parameterschätzung
Schätzung der Parameter
Funktion der Daten im
Stichprobe. Die Parameterschätzung kann als
Definitionsbereich des geschätzten Parameters dargestellt wer¬
einer
aus
den.
Posterior information
Information, welche sich
probe
Verknüpfung der Priorinformation
Bayes'schen Methode ergibt.
aus
mittels der klassischen
der
und der Stich¬
Priorinformation
Information, welche
schen
der
Erhebung
Methode).
Bayes'schen
vor
einer
Stichprobe vorliegt (im
Schätzung
Beurteilung eines Zustandes oder einer Eigenschaft durch einen
ten. Die Schätzung von Parametern im statistischen Sinne wird
Verwechslungen als Parameterschätzung bezeichnet.
Sinne der klassi¬
oder mehrere
zur
Exper¬
Vermeidung von
Stichprobe
Aus einer
Entnahme
Grundgesamtheit
zufällig ist.
entnommener Datensatz. Es wird
vorausgesetzt, dass die
Stichprobenumfang
Anzahl Werte einer
Stichprobe.
Unscharfe
Die Unscharfe ist ein Mass für die Variabilität einer
schaft als Zufallsvariable beschrieben,
bung
so
der Unscharfe. Die Ursachen der Unscharfe
handelt.
Eigenschaft. Wird die Eigen¬
Standardabweichung als Beschrei¬
sind in Kapitel 2.1.2 (Seite 7) abge¬
dient die
3
Verständigung
Verte ilungsfunktion
Die
Verteilungsfunktion Fx(x) gibt die Wahrscheinlichkeit
gleich x annimmt.
an, mit der
die Zufallsva¬
riable X einen Wert kleiner oder
Vertrauen in eine
Information
Beurteilungsmass der
Güte einer Information.
Wahrscheinlichkeit
Grad des Vertrauens, dass ein
eintreffen wird
mögliches Ereignis
(siehe
auch
Kapitel
4.1, Seite 33).
Wirklichkeit
Tatsächlicher Zustand bzw.
Eigenschaft.
Zufallsvariable
Abbildung
oder Funktion, die
jeder
Realisation im Definitionsbereich einer
Eigen¬
schaft eine reelle Zahl zuordnet.
Zustand
Gesamtheit aller
Zeitpunkte
Eigenschaften
unterschiedlich sein
Objektes. Der Zustand kann
(Zeit- bzw. Altersabhängigkeit).
eines
Bezeichnungen
1.2
Allgemein
werden für Zufallsvariablen Grossbuchstaben und für reelle Werte Klein¬
buchstaben benutzt. Einzelne Realisationen
ner
für verschiedene
Stichprobe
von
Zufallsvariablen oder einzelne Werte ei¬
werden mit Kleinbuchstaben und dem Index i
(oder 1, 2, 3, ...) versehen.
Grossbuchstaben mit untergesetztem Strich kennzeichnen Matrizen
ben mit untergesetztem Strich Vektoren oder
wendeten
Verteilungsfunktionen
Stichproben (x).
finden sich im
B(r;t)
Betafunktion
BE(r;t;a;b)
Betaverteilung
cv[x, y], cv[X, Y]
Kovarianz
Anhang
mit Parametern
(covariance)
zweier
r
A
(X), Kleinbuchsta¬
Die Definitionen der
ver¬
(Seite 95).
und t, Definitionsbereich
Stichproben
[a, b]
resp. zweier Zufallsva¬
riablen
einer Zufallsvariablen
E[X]
Erwartungswert
e[x], e[X]
Exzess einer
EX(À,;e)
Exponentialverteilung mit
fx(x)
Dichtefunktion
Fx(x)
Verteilungsfunktion
Fx(x)
empirische Verteilungsfunktion
FL(8;y;e)
Fréchetverteilung für Maxima mit Parametern 5 und y,
bereich [e, »]
GA(b;p;e)
Gammaverteilung
[e,°o]
Stichprobe resp.
einer Zufallsvariablen
Parameter
X, Definitionsbereich [e, °°]
Definitions¬
mit Parametern b und p im Definitionsbereich
Verständigung
4
GL(?i;8)
Gumbelverteilung für
onsbereich [-00, 00]
L(9),
Likelihoodfunktion
fx(x|6)
LN(À.;Ç;e)
Lognormalverteilung
Maxima mit Parametern 5 und
mit Parametern À, und
Ç,
À,,
Definiti¬
Definitionsbereich
[£,-]
m[x]
mo
[ x ],
mo
[X]
Mittelwert
(mean) einer Stichprobe
Modal wert
(mode)
einer
Stichprobe resp.
n
Stichprobenumfang
N(Li;a)
Normal Verteilung mit Parametern
einer Zufallsvariablen
\i und o, Definitionsbereich
[_oo, 00]
Q,
Fraktilwert
Qq
mit 0
Fx (q)
<
q
<
1
Rechteckverteilung
[a, b]
Gleich- oder
R(a;b)
onsbereich
sd[x], sd[X]
mit Parametern
Standardabweichung (standard deviation)
einer
a
und
b, Definiti¬
Stichprobe
resp.
einer Zufallsvariablen
sk[x], sk[X]
Schiefekoeffizient
(Newness)
Stichprobe
einer
resp. einer Zufalls¬
variablen
var[x], var[X]
Varianz
WS(8;y;e)
Weibullverteilung
bereich
Stichprobe
Lageparameter
ß,
Steigung
für Minima mit Parameter 5 und y, Definitions¬
der
der
Regressionsgeraden
Regressionsgeraden
in
T(x)
Gammafunktion
6
Parameter einer
(p ( x )
Standardnormaldichtefunktion
<E> ( x )
Standardnormal Verteilungsfunktion
1.3
prior;
Verteilungsfunktion
Indizes
Schätzwert des Parameters 0
8
0
post; 1
resp. einer Zufallsvariablen
[e, 00]
a, r|
T
einer
(variance)
a
priori
a
posteriori
u-
in
u-
bzw.
bzw.
v-Richtung
v-Richtung
2
Problemstellung
2.1
Problemstellung
2.1.1
Informationen
Die
Aufgaben
eines
Arbeit besteht in der
ven
Grundlage
-
Bauingenieurs
Solche
der
sind
-
vielfältig.
Entscheidungen,
Er
Ein wesentlicher Bestandteil seiner
muss
Entscheidungen
Gebrauchstauglichkeit
vor
Zielsetzung
Entscheidungsfindung
Entscheidungsfindung.
Ingenieurbau tätiger Ingenieur
cherheit oder die
und
eines
-
als
zum
treffen im Hinblick auf die
geplanten
Tragsi¬
oder bestehenden Bauwerks.
Fehlentscheidungen,
allem aber
im konstrukti¬
Beispiel
können grosse Auswirkun¬
gen haben. Neben finanziellen Schäden kann auch die Sicherheit
von
Personen betroffen
sein.
Um
Entscheidungen
sen.
Je nach
fällen
zu
Aufgabenstellung
können, ist
man
auf verlässliche Informationen
werden Informationen über das Verhalten
von
teilen, über geometrische Grössen, Baustoffeigenschaften, Einwirkungen,
Als
Quellen der Informationsbeschaffung
stehen dem
Ingenieur
zum
angewie¬
Bauwerks¬
etc.
benötigt.
Beispiel
Normen¬
werke, Fachliteratur, Versuchsresultate, aber auch die eigenen Erfahrungen sowie dieje¬
nigen
Die
anderer
Aufgabe
blick auf den
Fachkundiger zur Verfügung.
besteht
nun
jeweiligen
darin, die vorhandenen Informationen
zu
sichten und im Hin¬
Zweck aufzubereiten. Je nach Zweck wird dabei eine andere
Aufbereitungsmethode benötigt.
Für
Tragwerke aus Stahl muss (insbesondere bei Brücken und Türmen) die Tragsicherheit und die Ermü¬
dungssicherheit nachgewiesen werden. Für den Nachweis der Tragsicherheit ist die Kenntnis der maxima¬
len Belastung notwendig. Zur Überprüfung der Ermüdungssicherheit ist hingegen die Differenz zwischen
minimaler und maximaler Belastung sowie die Anzahl Lastwechsel von Interesse. Für beide Zwecke kön¬
nen die notwendigen Angaben beispielsweise aus einer Stichprobe von
Windgeschwindigkeiten oder
Strassenfahrzeuglasten
bestimmt werden.
In den
Fällen stehen mehrere Informationen
häufigsten
dann, geeignet miteinander
Resultat dieser
zu
verknüpfen.
Verknüpfung, in
Die laufende Kontrolle
von
Eine
zur
Entscheidung
dieser Arbeit Metainformation
Betonprüfungen eines
Betonwerkes
ergibt,
Verfügung.
Diese
gilt
es
wird schliesslich auf dem
genannt, basieren.
dass die
Druckfestigkeit der Beton¬
weitgehend
Normalverteilung N(33.5;3) folgt. Ein Ingenieur entnimmt auf einer Bau¬
stelle eine Stichprobe von fünf Betonproben. Die Auswertung ergibt einen Mittelwert von 28.5 N/mm
und eine Standardabweichung von 1.5 N/mm
Aus diesen beiden Informationen soll er nun die Qualität
des verwendeten Betons bestimmen. Der Ingenieur traut beispielsweise der laufenden Kontrolle mehr als
der Stichprobe, welche nur aus fünf Werten besteht. Die Stichprobe lässt jedoch vermuten, dass der
sorte
B30/20
einer
.
Problemstellung und Zielsetzung
6
benutzte Beton eine schlechtere
Kontrolle
Die
re
ergibt,
nach unten
Erfahrungen
zu
der
aus
Qualität aufweist.
Qualität,
Demnach ist die
Anwendung
Entscheidungsfindungen.
dienen schliesslich wieder als
Dieser Informationskreislauf ist in
stellt. Darin sind die unterschiedlichen Informationen in zwei
•
Begriff fällt
Unter diesen
Ergebnisse
von
all
das,
der laufenden
Grundlage
Abbildung
für weite¬
2.1
darge¬
Typen zusammengefasst:
einer
Schneehöhenmessungen. Objektive
verbunden und ist frei
Stichprobe
ist. Insbesondere sind dies
Mit Messinstrumenten
gleichen
er¬
Umständen und im
wieder etwa
gleich ergeben. Ty¬
Strassenfahrzeuglasten, Ganglinien, Windgeschwindigkeits¬
sind
pische Beispiele
da sie sich unter
objektiv,
Zufälligkeitscharakters
Rahmen des
eindeutig feststellbar
was
Messungen oder sonstigen Beobachtungen.
hobene Daten sind insofern
•
aus
Information
objektive
und
welche sich
korrigieren.
von
Information ist mit dem betrachteten
Objekt
Interpretation.
subjektive
Information
Objektive
Information wird unter
Zugrundelegung
eines stochastischen Modells
aus¬
gewertet. Das verwendete Modell soll die Daten möglichst genau beschreiben. Die
Wahl des Modells ist
jedoch
objektive
frei. Somit werden
Informationen durch eine
Auswertung subjektiv.
Für die
Beschreibung
von
Windgeschwindigkeiten
werden in der Praxis unterschiedliche stochastische
Modelle benutzt. Als Modell wird unter anderem die
lung
verwendet.
Schlussfolgerungen
Lognormal-, die
basieren auf dem
Fréchet- und die Gumbelvertei-
zugrundegelegtem
Modell und können
folglich
unterschiedlich ausfallen.
Viele Modelle haben sich in der Praxis gut bewährt. Sie beschreiben die Wirklichkeit
genügend
als
genau oder
Abweichungen
allgemeingültig angesehen.
jektive
Information
sind nicht
Belang.
von
Solche Modelle werden
Solcherart ausgewertete Daten werden oft auch als ob¬
angesehen. Derartige
beispielsweise
Informationen findet sich
in
Normen oder in der Fachliteratur.
Unter
subjektiver
gen stark
Man
vom
spricht
Information sind auch
Schätzungen
von
Expertenschätzung.
Unter
Experte
tik vertrauter Fachmann verstanden. Diesem sollte
gesuchte
Typische Schätzungen
33 N/mm
verstehen.
schätzenden Individuum ab und insbesondere
auch
lich sein, die
zu
Information
zu
es
von
Schätzungen
hän¬
seiner Sachkenntnis.
wird hier ein mit der Thema¬
aufgrund
seiner
Erfahrung mög¬
schätzen.
Betondruckfestigkeit liegt etwa bei
im Monat August im Mittel um etwa
sind etwa: "Der wahrscheinlichste Wert der
." oder "Die
Niederschlagsmenge
von
200
mm
wird
10% überschritten.".
Man wird meist danach
zen.
Für eine
Werten
ben ist
Es ist
zuverlässige Aussage
notwendig (siehe Anhang
infolge
-
trachten, Entscheidungen auf objektive Informationen
von
B
ist
jedoch
ein
Stichprobenumfang
von
Entscheidungsfindung
-
stüt¬
mehr als 20
1, Seite 109). Die Erhebung solch grosser Stichpro¬
zeitlichen, technischen oder wirtschaftlichen Gründen selten
zumindest im Bauwesen
zu
somit
unabdingbar,
einzubeziehen. Dies macht eine
möglich.
weitere Informationen mit in die
Informationsverknüpfung nötig.
Problemstellung
und
Zielsetzung
7
objektive
Information
Informations¬
-
Anwendung
aufbereitung und
-Verknüpfung
subjektive
der
Metainformation
Information
Erfahrungen
-^
(Feedback)
Abb. 2.1:
Schema
Informationskreislauf
2.1.2
Informationsverknüpfung
Die
verknüpfenden
zu
Problematik
-
Informationen unterscheiden sich im
Form, ihrer Unscharfe und ihrer Güte. Typische Formen
proben, Ganglinien, Fraktilwerte,
scharfe einer Information kann
werden. Dabei
zu
Momente oder
beispielsweise
berücksichtigen ist
auch die
allgemeinen bezüglich
von
Informationen sind Stich¬
Schätzungen
über den
Sorgfalt bei
solcher Werte. Die Un¬
Stichprobenumfang
der
ihrer
Gewinnung
beurteilt
und Aufberei¬
tung der Information, aber auch beispielsweise die Sorgfalt der Arbeit bei der Herstel¬
lung des
werden
•
betrachteten
Objektes. Die
Ursachen der Unscharfe können wie
folgt eingeteilt
(CCPS, 1989; Kroon, 1994):
Inhärente oder
physikalische
Variabilität
Die Ursache dieser Unscharfe
liegt
in der Natur selbst. So
unterliegen
werte, Baustoffkennwerte, Wind- und Schneelasten, etc. immer
kungen.
Auch bei Baustoffen der
gleichen Festigkeitsklasse
gleichmässigen physikalischen Zusammensetzung
Bodenkenn¬
zufälligen
treten
Schwan¬
infolge
immer unterschiedliche
der
un-
Festig¬
keitswerte auf.
•
Statistische Unscharfe
Eine
Stichprobe
eine
Konsequenz
der
Eigenschaft
chen
liegen
schiedlichen
beschreibt eine
der
physikalischen
wird eine
vor
Stichprobe
Erhebungsorten
bzw.
Dies ist unter anderem
Variabilität. Aber auch bei bekannter Verteilung
diese
allem in der Grösse des
Beobachtungsinstrumente,
•
Eigenschaft nur unvollständig.
nur
unvollständig beschreiben.
Stichprobenumfangs,
Erhebungsumständen,
in der
Die Ursa¬
sowie in den unter¬
Messgenauigkeit
der
etc.
Modellunschärfe
Analysen
von
Daten basieren auf Modellen, welche die Wirklichkeit
beschreiben sollen. Dies ist jedoch
nur
näherungsweise möglich,
was
möglichst
genau
zwangsläufig
zu
Unscharfen führt. Zudem wird meist eine
Idealisierung angestrebt,
damit die Modelle
einfach bleiben und damit allenfalls eine
Erfassung überhaupt
möglich
weiterer Grund für eine
Idealisierung liegt
erst
wird. Ein
in der Unkenntnis der Wirklichkeit.
8
Problemstellung
Schliesslich ist auch die Güte einer Information
Baustoffe
aus
unterschiedlichen Werken
von
verschiedenen
Regionen
schiede wie sie etwa bei der
und
beurteilen. So können
zu
hergestellt
worden sein, oder
Zielsetzung
beispielsweise
Windmessungen
stammen. Zu beachten sind dabei auch Verfahrensunter¬
Herstellung
von
Ortbeton im
Vergleich
zum
Werkbeton auf¬
treten.
Für eine
Verknüpfung
zunächst eine
genschaft
derart unterschiedlicher Informationen über eine
gemeinsame Ausgangsbasis
zu
Darstellung
von
lässigkeitstheorie
von
Eigenschaften
benutzt. Das
schaffen. Zu diesem Zweck wird die Ei¬
ministischen
nur
die
Verteilungsfunktion
werden
ebenfalls meist
jedoch
Überlegungen festgelegt.
Bestimmung
der
der
verwendet anstelle
entsprechenden
Zu¬
die ersten zwei Momente. Die Rechenwerte der deter¬
Verteilungsfunktion der Zufalls variablen.
mit auf die
mit ein.
probabilistische Berechnungskonzept
Betrachtungsweise
lichkeitstheoretischer
Modellierung
als Zufallsvariable wird insbesondere in der Zuver¬
Eigenschaften
Rechenwerten der
fallsvariablen oder allenfalls
der
ist
als unscharfe Grösse betrachtet, d.h. als Zufallsvariable modelliert. Die Un¬
scharfe der Information fliesst direkt in diese
Die
Eigenschaft
Oft
entsprechen
Bei beiden
Verteilungsfunktion
aufgrund wahrschein¬
sie einem Fraktilwert
Betrachtungsweisen
für die betrachtete
ist
man so¬
Eigenschaft
ange¬
wiesen.
Die
Informationsaufbereitung-
kann durch die
de
•
Modellierung
unterteilt werden:
Schaffung
der
Für die
beschreibende
Eigenschaft
Eigenschaft wird
vorliegenden
ein
folgen¬
Dabei wird al¬
zurückgegriffen.
Informationsauswertung
Parameterschätzung notwendig
mation
ergibt
Gewichtung
Unter
sich ein
sind. Die sich daraus
und
typ
Ergebnis
die
über die
Bei diesen
ergebende Verteilungsfunktion
jede
Infor¬
Verknüpfung
der Güte der Informationen sind diese
wichten. Anschliessend sind die
-
welche für eine
zugehöriges Parameterset.
Berücksichtigung
fen. Das
Angaben herausfiltriert,
die Information und insbesondere auch ihre Unscharfe. Für
repräsentiert
•
als Zufallsvariable in
Verteilungstyp gewählt.
Informationen
Aus den einzelnen Informationen werden die
•
der unterschiedlichen Informationen
Ausgangsbasis
lenfalls bereits auf eine der
•
Verknüpfung
der betrachteten
Aufgaben
zu
und
sind die
Eigenschaft
gewichteten
Parametersets miteinander
Metaparameter, welche
beschreibt. Diese
entsprechend
-
zusammen
Beschreibung
mit dem
zu
zu
ge¬
verknüp¬
Verteilungs¬
beinhaltet das gesamte Wissen
Eigenschaft.
Teilaufgaben
Wie kann eine
Auswertung der
Formen methodisch
gaben stehen,
stellen sich somit die
Probleme:
verschiedenen Informationen in den unterschiedlichen
durchgeführt
welche die
folgenden
werden? Als Resultat dieser
Schätzung
der Parameter erlauben.
Auswertung
sollen An¬
Problemstellung und Zielsetzung
•
Wie ist eine
9
Gewichtung aufgrund der unterschiedlichen
Güte der Informationen ein¬
zubringen?
•
Wie ist die
Verknüpfung
der einzelnen Parametersets durchzuführen?
Informationsverknüpfung
2.1.3
Für die
Verknüpfung
von
Lösungsansatz
-
Informationen über
beschrieben werden, bzw. für die
Eigenschaften, welche
Aktualisierung
von
als Zufallsvariablen
Informationen wird vielfach die
so¬
genannte Bayes'sche Methode benutzt. Der Aufbau dieser Methode ist in der Abbildung
2.2
dargestellt (in Anlehnung
an
Wickmann, 1990).
Stufe 1
Einsicht
gewinnen
Stufe 2
/ Aktualisierun g
von
Information
objektive
Schaden-/
Information
Gewinnfunktion
1
1
Vorinformation
Bayes'sches
aktualisierte
(subjektive Information)
Theorem
Information
Abb. 2.2:
Die
Schema der
Bayes'sche
Einsicht
man
Beispiel
in eine bestimmte
die Vorinformation sowie die
verknüpft
zum
Eigenschaft gewinnen.
sie miteinander. Als
Beispiel
aus
Man sammelt die
Eingabegrössen
dienen
einem Versuch gewonnenen Daten
(ob¬
Die Vorinformation beinhaltet dabei das vorhandene Wissen über
jektive Information).
Eigenschaft.
formationen miteinander
Mittels des
verknüpft.
Bayes'schen
Theorems werden diese beiden In¬
Die Vorinformation wird
aufgrund
der Information
dem Versuch aktualisiert. Aus der aktualisierten Information können verschiedene
Folgerungen
thesentests
gezogen werden. Es können
durchgeführt
beispielsweise Punktschätzungen
werden oder Vertrauensintervalle und
stimmt werden. Im Rahmen einer zweckfreien
Sind
jedoch Entscheidungen
Eingabegrösse
kann für
muss
zu
treffen,
so
Beurteilung
jede Handlung
der
Erwartungswert
Bayes'schen Prinzip
problematik
der
Bayes'schen
wird
Voraussagebereiche
endet hier die
be¬
Untersuchung.
werden. Mit dieser
aufgestellt
diejenige Handlung ausgewählt,
zugesprochen
Methode und deren
finden sich unter anderem in
Hypo¬
des Schadens bzw. des Gewinnes berechnet
den maximalem Gewinn bzw. den minimalem Schaden
Beschreibung
und
wird die zweite Stufe benutzt. Als weitere
eine Schaden- bzw. Gewinnfunktion
werden. Gemäss dem
Die
Entscheid
Prinzip
Bayes 'sehen Methode
vorhandenen Informationen und
aus
Bayes'sches
-U*
Methode lässt sich in zwei Stufen unterteilen. In einer ersten Stufe will
zum
die betrachtete
Entscheiden
i
Benjamin
Anwendung
und Cornell
welcher
wird.
auf die
(1970),
Ingenieur¬
Martz und
10
Problemstellung und Zielsetzung
Waller (1982),
(1993)
der
Ang und Tang (1984), Barends (1992), Vrouwenvelder (1992), Plate
und Kroon
Bayes'schen
(1994). Barends,
Vrouwenvelder und Plate behandeln die erste Stufe
Methode ausführlich. Die anderen Referenzen
schliesslich mit der zweiten Stufe, d.h. der
beschäftigen
zu
aus¬
Es bestehen ferner
Entscheidungsfindung.
Tendenzen, die Bayes'sche Methode auch in die Normen
sich
integrieren (ECCS/JCSS,
1996; Baker, 1996 a).
Wegen
des mathematischen Aufwands werden meist
lungen
als stochastische Modelle
re
im konstruktiven
Gumbel- oder die
Beschreibung
zur
Ingenieurbereich
Weibullverteilung,
thode wird in diesen Fällen
der
Normal- und
Eigenschaft
werden aber auch andere
verwendet. Die
aufwendiger,
sung existiert. Ein einfaches
nur
Vorgehen
da
nur
für die
in
Verteilungstypen,
Spezialfällen
von
wie die
der
Bayes'schen
Me¬
eine
geschlossene
Lö¬
Anwendung
Verknüpfung
Lognormalvertei¬
benutzt. Insbesonde¬
Informationen existiert
bis jetzt nicht.
2.2
Zielsetzung
Das Ziel dieser Arbeit
ist, ein Verfahren bereitzustellen, welches die Verknüpfung
Informationen erlaubt. Die betrachtete
schrieben. Das Resultat der
rer
Verteilungsfunktion und
nisse im Bauwesen sollen
•
Kleine
Eigenschaft
Verknüpfung ist
der
wird dabei als Zufallsvariable be¬
die sogenannte Metainformation in Form ih¬
zugehörigen Parameter.
berücksichtigt
von
Die Besonderheiten der Verhält¬
werden. Dies sind insbesondere:
Stichprobenumfänge
Der erhobene
Stichprobenumfang ist
in den meisten Fällen klein.
Häufig
ist
er
kleiner
als 10.
•
Einbezug
von
zusätzlichen Informationen
Mangels genügend zuverlässiger objektiver Informationen
mationen
•
berücksichtigt.
anderen
Dies sind, neben
Bauwerken,
gen
an
gen,
Normen, Fachliteratur, etc.).
Tiefe der
Ein
allem
Informationen
aus
Beobachtun¬
subjektive Informationen (Expertenschätzun¬
Beurteilung
Ingenieur
ist in der
mente der untersuchten
etwa
vor
objektiver
werden zusätzliche Infor¬
Schätzungen
klassischen
Regel
in der
Eigenschaft
Lage,
zu
untere und obere Grenzen bzw. die Mo¬
schätzen.
Tiefergehende
Informationen wie
über die Momente der Parameter der Zufallsvariablen, die bei der
Bayes'schen
Methode
notwendig sind,
sind
hingegen schwierig abzuge¬
ben.
Als Basis der hier verwendeten
Die
vorliegende
Verknüpfungsmethoden
Arbeit beschränkt sich
Bayes'schen Methode,
der
Verknüpfungsmethoden
jedoch
Aktualisierung
benutzen
von
auf die
dient die
Behandlung
Information
Vereinfachungen
Bayes'sche
im
Methode.
der ersten Stufe der
(siehe Abbildung 2.2). Die
Vergleich
zur
klassischen
Problemstellung und Zielsetzung
Bayes'schen
11
Methode. Insbesondere wird die
betrachtete Zufallsvariable
effizienten der
respektive
zugehörigen Geraden
im
•
Methode nicht direkt auf die
angewendet, sondern
deren Parameter
Wahrscheinlichkeitspapier,
terschätzverfahren "Methode der kleinsten
Das Verfahren deckt insbesondere
Bayes'sche
auf die Ko¬
also auf das Parame¬
Quadrate".
folgende
Bereiche ab:
Informationsanalyse
ist oft durch
Verteilungstyp
Der
sich kaum auf, da die
drängt
Vergleichbarkeit der Resultate
unter leiden würde. Insbesondere soll der
mit kleinem
Information
subjektive
Umfang abgeleitet
Verteilungstyp
werden, da
er aus
gegeben.
mit anderen
nicht
dieser nicht
aus
Änderung
Eine
Analysen
einer
dar¬
Stichprobe
zuverlässig
bestimmt
werden kann.
Die
Analyse objektiver Informationen
ter bei
von
vorgewähltem Verteilungstyp
subjektiven
Festlegung
Bestimmung
Analoges gilt
(Expertenschätzung,
auch für die
Norm oder
Festlegung
von
der Parame¬
Analyse
Fachliteratur). Die
Stützwerten der Vertei¬
vorgenommen.
Informationsverknüpfung
Eine
Gewichtung
der verschiedenen Informationen
brachten Vertrauen wird in die
•
beschränkt.
der Parameter wird hier über die
lungsfunktion
•
Informationen
wird deshalb auf die
gemäss
dem ihnen entgegenge¬
Verknüpfungsmethode integriert.
Stark unterschiedliche Informationen
Widersprechen
weit
sich die vorhandenen Informationen
auseinander,
meisten Vertrauen
so
wird die
Möglichkeit gegeben,
entgegenbringt,
über die
Bayes'schen
Information, welcher
hinaus stärker
zu
man am
berücksich¬
basiert im diesem Fall auf der
empiri¬
Methode.
Die verwendeten Methoden werden in ein
gramm soll interaktives Arbeiten bei der
lauben.
die
Gewichtung
tigen. Die verwendete Verknüpfungsmethode
schen
stark, d.h. liegen die Mittelwerte
Computerprogramm integriert.
Benutzung
des
vorgeschlagenen
Dieses Pro¬
Verfahrens
er¬
12
Grundlagen
3
vorliegende
Die
rechnung.
Die
aus
der Statistik
Grundlagen
Arbeit stützt sich auf
wichtigsten verwendeten Theorien werden hier dargestellt.
Rangstatistik
3.1
Rang Statistik bildet die
Die
Basis für
Bildung
Der
eines
ist. Für die
Bestimmung
der Grösse nach
des
Zufallsvariablen
Ranges
aufsteigend geordnet.
ein Index k
Ranges
(k
=
werden die
In der
1, 2,
...,
gibt
an,
mit
stieren dem
für
Stichprobenumfang
Umfang
n
wird
Betrag
folglich
nach
als
im Index
X(1:n)
Zur
n) zugeordnet.
so
=
1, 2,
angegeben.
Unterscheidung
Rang
eines
...,
n)
ge¬
werden
Stichprobenwer¬
Der Minimalwert einer
und der Maximalwert als
gleiche Werte,
Xj (i
geordneten Stichprobe wird den Weiten
Stichprobe
X(n:n\ geschrieben.
Exi¬
wird diesen Werten der Durchschnitt der hier¬
vorgesehenen Ränge zugordnet.
Den Werten einer
Stichprobe {2.4, 3.5, 4.2, 4.2, 4.2, 5.7, 6.6, 8.0}
(3
4, 4, 4,6,7, 8} zugeordnet.
+
4
3.1.2
+
5)/3
=
zum
Beispiel werden
die
Ränge {1, 2,
Extremwertverteilungen
Betrachtet
X
die
der wievielt-kleinste Wert
Stichprobenwerte
die Indizes mit Klammern versehen. Meist wird neben dem
tes auch der
Stichproben und
Stichprobenwertes
Rang eines Wertes einer stetigen
mäss ihres
Streubereichen für
von
empirischen Verteilungsfunktionen.
von
Rang
3.1.1
statistische Methoden. Dies sind
einige wichtige
beispielsweise Ausreissertests, Schätzungen
er
der Statistik und Wahrscheinlichkeits¬
Stichproben
man m
beschreiben,
können als
so
gleichem Umfang
besitzen diese unterschiedliche
eigene Grundgesamtheit betrachtet
genen Zufallsvariablen
k-1
=
Fx
ergibt
sich wie
k-grösste
Die
Werte. Die
k-grössten
dementsprechend in
Werte
einer ei¬
dazugehörige Verteilungsfunktion
folgt (Castillo, 1988):
n-V
(x).[l-Fx(x)f
n, welche dieselbe Zufallsvariablen
werden und
zusammengefasst werden.
sowie die Dichtefunktion
fxM(x)
mit
Iy(X)
'^
(3.1)
Grundlagen aus der Statistik
14
F(x)
1
(X)
v(kn)
k-l
/1
Nn-k
•(1-u)
=
B(k;n-k+l)
Gleichung (3.2) entspricht einer Betaverteilung
(3.2)
j
-du
für die Zufallsvariable
Fx(x).
Beispiel einer lognormalverteilten Zufallsvariablen mit LN(3.68;0.10;0) dienen.
Verteilungsfunktionen der k-grossten Werte einer Stichprobe mit Umfang
3.1
dargestellt.
Abbildung
Zur Illustration soll das
Die Dichtefunktionen und die
n
5 sind in
=
Dichtefunktionen und Verteilungsfunktionen der k-grössten
n= 5 undder Ursprungsverteilung LN(3.68;010;0)
Abb. 3.1:
Meist sind
wert
mit
ben sich
fx
v(ln)
jedoch
r
=
n,
Werte einer
die Extremwerte, d.h. der Minimalwert mit
von
Interesse. Deren Dichtefunktionen und
r
=
Stichprobe
Umfang
mit
1 oder der Maximal¬
Verteilungsfunktionen erge¬
zu:
n-l
(x)
=
n-[l-Fx(x)]"
(3.3)
-fx(x)
Fx(In)(x)= 1-[1-Fx(x)]n
fX(nn)W
=
Fx(nn)«
=
(3.4)
n-Fx_1(x)-fx(x)
(3.5)
Fx(x)
(3.6)
Die
Gleichungen (3.3) bis (3.6) können nur benutzt werden, wenn der Verteilungstyp und
der
Stichprobenumfang
den Fall,
wo n
gegen unendlich strebt (n
Extremwertverteilungen
unterteilen
•
bekannt ist. Ist dies nicht der Fall oder interessiert
Fx
(Spaethe, 1992;
Gumbelverteilung
=
GS(8;^)
=
sich für
°°), können die sogenannten asymptotischen
benutzt werden. Diese lassen sich nach Gumbel in drei
Johnson et al., 1994 a; Plate,
Extremwertverteilung Typ
Die
—»
man
1
1993):
(GumbelVerteilung):
ist in beiden
1-exp
Typen
Richtungen unbegrenzt.
-exp[-
X
—
x
-co
< X <
oo
(3.7)
Grundlagen
FXn
GL(ô;A.)
=
Statistik
aus der
expf-expf-^-^Y)
=
der
Verteilungsfunktion
Die
15
(3.8)
-oo<x<oo
Ausgangsverteilung klingt exponentiell
gegen die Ex¬
tremwerte ab.
Extremwertverteilung Typ
•
Die
Fréchetverteilung
2
(Fréchetverteilung):
ist in der
Richtung
des interessierenden Extremwertes unbe¬
grenzt, in der anderen Richtung hingegen im Punkt
FX(i)
FX(n)
Die
FS(8;Y;e)
=
1
=
FL(5;y;e)
=
exp^^fj)
-
der
Verteilungsfunktion
Polynom
nem
ab. Solche
Weibullverteilung
Die
Punkt
FX(i)
FX(n)
Die
ste
Die
begrenzt,
e
l-expj^r^j
=
WL(ô;y;e)
=
expj^pj)
Anhang
A
teilungsfunktion,
(Seite 95). Es
in
(3.11)
-oo<x<e
besitzt
werden auch andere
und die
and
(3.12)
so
Extremwertverteilungen
Verteilungstypen
passt
Einfluss. Sucht
man an
aus
Vergleich
zur
Beschreibung
asymptotischen
sind
finden
zum
Extrem¬
Beispiel
Gammaverteilung.
sind nicht
abhängig
Sie beschreiben
von
nur
der Form der ihnen
man nun
die
Extremwerten bestehende
an
Der mittlere Teil
Extremwertverteilung
das interessierende Ende der
zu¬
den Endbereich dieser Ver¬
gesuchten Extremwertes liegt.
asymptotische Verteilungsfunktion
keine
Extremwert hin eine fe¬
zum
Tang, 1984; Plate, 1993). Dies
der auf der Seite des
wenig
nur
riablen X,
n
e<x<oo
der Dichtefunktionen der einzelnen
grundeliegenden Verteilungsfunktionen.
Ein
des interessierenden Extremwertes im
Ausgangsverteilung
Asymptotische Verteilungsfunktionen
man
sogenannten Cauchy-Typ.
Extremwerten benutzt, welche nicht der Klassifikation der
hat somit
Extremwert hin nach ei¬
8.
Lognormalverteilung
eine
zum
zum
Richtung unbegrenzt.
=
wertverteilungen angehören (Ang
die
Richtung
WS(ô;Y;e)
Gleichungen
von
(3.10)
(WeibullVerteilung):
in der anderen
der
(3.9)
e<x<oo
=
Grenze
sich im
3
< x < £
Ausgangsverteilung klingt
ist in der
Verteilungsfunktion
—
Verteilungen gehören
Extremwertverteilung Typ
•
exp^-^^
=
begrenzt.
e
einer Zufallsva¬
gegebenen Verteilungsfunktion
(Castillo, 1988).
Auf diese Weise
benötigt
Stichprobe.
zwischen der
Verteilung der Maximalwerte einer Lognormalverteilung LN(3.68;0.10;0) mit
entsprechenden asymptotischen Verteilungsfunktion (Gumbelverteilung für Maxima) ist
Abbildung 3.2 dargestellt. Die Parameter der Gumbelverteilung wurden aus einer Stichprobe von 20
=
50 und der
Maximalwerten bestimmt. Die Maximalwerte stammen
malverteilung
mit je 50 Werten.
aus
Stichproben
der
zugrundeliegenden Lognor¬
16
Grundlagen aus
fx«
0 06
Statistik
der
Fx«
1 0
r
0.05
/
/
0.04
/'
\
Il
Il
I
\
\
\.
II
40
50
/
°-2
j"
y/
f) 00
1
0.4
i
II
II
0.01
/
0.6
V
II
0.02
/*
0.8
V
1,
0.03
V
r
u.u
60
70
80
90
100
110
x
40
50
60
70
Verteilung der Maximalwerte aus 20 Stichproben
einer Lognormalverteilung LN(3.68;0.10;0)
80
mit
90
Umfang
100
n
=
110x
50
Gumbelverteilung (zugehörige asymptotische Verteilung)
Abb. 3.2:
Verteilungsfunktion der Maximalwerte aus 20 Stichproben mit je 50 Werten
zugrundliegender Lognormalverteilung LN(3.68;0.10;0) und diejenigen der zugehörigen
asymptotischen Verteilung einer Gumbelverteilung
Dichtefunktion
und
und
In Tabelle 3.1 sind für die verschiedenen
schen
Verteilungsfunktionen
Minima- und
chen
Verteilungstypen
für Minima und Maxima
Maximabetrachtungen
zugehörigen asymptoti¬
Zu beachten
angegeben.
einer Zufallsvariablen X nicht
asymptotischen Verteilungsfunktion
Verteilungstyp
die
unbedingt
führen.
Minima-
Maxima-
betrachtung
betrachtung
Normal
Gumbel
Gumbel
Exponential
Weibull
Gumbel
Rechteck
Weibull
Weibull
Lognormal
Gumbel
Gumbel
GumbelMax
Gumbel
Gumbel
GumbelMin
Gumbel
Gumbel
FréchetMax
Gumbel
Fréchet
FréchetMin
Fréchet
Gumbel
WeibullMax
Gumbel
Weibull
WeibullMin
Weibull
Gumbel
vonX
Tab. 3.1:
Asymptotische Verteilungsfunktionen für einige
lungstypen (Castillo, 1988)
Vertei¬
ist, dass
zur
glei¬
r
Grundlagen
3.1.3
Statistik
aus der
17
Empirische Verteilungsfunktion
Die
empirische Verteilungsfunktion Fx(x) einer Zufallsvariablen X ordnet jeder reellen
Zahl x die Wahrscheinlichkeit P(X < x) des Ereignisses (X < x) zu. Sie entspricht einer
Schätzung
Ihre
der
grafische Darstellung ergibt
2/n,
...,
1. Für die
ungeeignet,
und
Verteilungsfunktion Fx(x)
+°o
da die
Randpunkte
^x(x)
=
ansteigende "Treppe"
aus
ten Wertes
Fx
=
entspricht
Wahrscheinlichkeitspapieren
ist diese Form
bei der Transformation der Achsen in der
*x«
Für
=
Form
dem
Erwartungswert
auch der Median der
der
Verteilungsfunktion
Verteilungsfunktion
des
-
Vertei¬
k-gröss¬
verwendet. Die¬
Hintergrundinformationen
finden sich in Kimbal
Diese sind meist
(1960),
empirisch
Bildung
zur
von
empirischen
Castillo (1988), Modarres
durch
umfangreiche
(1993)
Simulationen be¬
Lognormalverteilun¬
vorgeschlagen:
vMï
k
-°°
(3-14)
(1993).
Extrapolationen
w
zu
(3-13)
stimmt worden. Insbesondere wird für die Arbeit mit Normal- und
folgende
empirischen
^M
Verteilungsfunktionen
gen
Regel
jedoch
zu:
Andere Ansätze und weitere
und in Plate
Stichprobe.
mit den Schritten 0, 1/n,
(x(k)^x<x(k+i))
(x). Oft wird
schreibt sich
einer
die sogenannte Weibullformel:
n~7I
Die Weibullformel
FxW
von
Grundgesamtheit
werden. Man verwendet darum für die Konstruktion der
lungsfunktion meist
ser
Benützung
eine
der
(3-15)
nach der
Extremwertverteilung Typ
I wird
0 44
(316)
dni
benutzt, da die Weibullformel für grosse Wiederkehrperioden stark verfälschte Extrem¬
werte
3.2
liefert.
Schliessende Statistik
Die Schliessende Statistik beruht auf den Resultaten der Beschreibenden Statistik und
der
Wahrscheinlichkeitsrechnung. Die Beschreibende Statistik hat die Aufgabe, Stich¬
proben in geeigneter Form darzustellen oder sie durch wenige Zahlen zu beschreiben.
Die
Die
Wahrscheinlichkeitsrechnung
Aufgabe
verwendeten Grössen
dergrund.
liefert die Modelle
zur
der Schliessenden Statistik besteht darin,
Für diese
zu
aus
bestimmen. Als Modelle stehen
gilt es
nun, die
Beschreibung
der
einer
Stichprobe
Stichprobe.
die im Modell
Verteilungsfunktionen
entsprechenden Parameter
aus
den
im Vor¬
Stichproben zu be-
18
Grundlagen
stimmen. Diese
die
Aufgabe
wird meist in drei Teile
Plausibilitätsprüfung,
die
gegliedert (Baker,
Parameterschätzung und
die
aus der
Statistik
1996 b). Sie umfasst
Modellprüfung.
Plausibilitätsprüfung
3.2.1
Überprüfung der einzelnen
Stichprobenwerte auf ihre Plausibilität. Ziel dieser Überprüfung ist es, mögliche Ausreis¬
Ein
Bestandteil einer
wichtiger
Datenanalyse
identifizieren. Die gemessenen bzw.
ser zu
Bereiches erwartet, der
grosse Werte in der
vom
besteht in der
messenden Daten werden innerhalb eines
zu
angenommenen Modell
Stichprobe,
abhängt.
Extrem kleine bzw. extrem
welche mit dem Modell nicht
Ausreisser genannt. Es stellt sich sofort die
ob
Frage,
es
verträglich sind,
sich bei diesen Werten nicht
fehlerhafte Daten handelt. Die Ursachen für fehlerhafte Daten sind
beispielsweise
sich
um
entfernt werden, da sie auch auf eine
probe
ne) hinweisen können.
Gründe
Als
Der Ausschluss
für eine
nicht unbedacht
Modellabweichung (z.B.
sollte,
wenn
Darstellungen.
Beurteilung möglicher
Es kann
Beurteilungs¬
aus
einer Stich¬
eine Schwächezo¬
möglich, aufgrund
immer
rationaler
Stichprobe
vor
allem
grafi¬
Zeitreihendarstellungen, Histogramme
Wahrscheinlichkeitspapiere.
Verfahren. Diese beruhen meist auf dem
analytische
Aus der
sowie
eignen sich
Ausreisser
Dies sind unter anderem
(oder Stamm-und-Blatt-Diagramme)
auch
jedoch
um
Es existieren
Prinzip der Hypothesentests.
werden hierbei der Mittelwert und die
Standardabweichung
stimmt. Mit diesen Werten wird die Fraktile des vermuteten Ausreissers berechnet.
die Fraktile ausserhalb einer vorher definierten Grenze
Vertrauenswahrscheinlichkeit (z.B. 90%),
ausgewiesen.
so
Die Werte der Grenzen sind für verschiedene
Stichprobenumfänge
und für
1992). Meist wird in die¬
jedoch
auch
verteilungsun¬
Verfahren.
Als Ausreisser
•
Liegt
wird der betrachtete Wert als Ausreisser
Verfahren Normal Verteilung vorausgesetzt. Es existieren
abhängige
be¬
(z.B. 5%) mit einer vorgegebenen
verschiedene Vertrauenswahrscheinlichkeiten tabelliert (Sachs,
sen
um
erfolgen.
Hilfestellung
sche
vielfältig.
Mess-, Rechen- oder Schreibfehler, aber auch
fehler handeln. Mutmassliche Ausreisser dürfen
werden
ausgewiesene
Extremwerte können wie
folgt behandelt werden:
Wertzensur
Die
Stichprobe
wird der Grösse nach
geordnet.
Dann ersetzt
man
den Ausreisser
durch seinen benachbarten Wert. Bei diesem Verfahren wird der Ausreisser als
lässig
betrachtet. Der
Abwandlung
Richtung
wird
jedoch
dieses Verfahrens kann bei der
pieren durchgeführt
werden. Die
Ausreisser die
der
gewisses
Benützung
Stichprobe
Wahrscheinlichkeitspapier eingetragen.
wird der
ein
Gewicht
von
unzu¬
beigemessen.
Eine
Wahrscheinlichkeitspa¬
wird mitsamt dem Ausreisser in das
Für die
Anpassung
einer Geraden wird dem
Gewichtung Null zugeordnet (siehe Kapitel 3.3.3, Seite 27). Wiederum
Richtung eine Bedeutung beigemessen, indem man den Ausreisser nur bei
Rangbestimmung berücksichtigt.
Grundlagen aus
der
Parameterschätzungen
fälscht. Befindet sich
Statistik
19
und insbesondere
Beispiel
werden durch Ausreisser meist stark
Extrapolationen
ver¬
unter einer
Stichprobe von 20 Jahresmaximalwerten das hundert¬
berechnet
sich
der
Wert
der
so
jährliche Ereignis,
empirischen Verteilungsfunktion nach der Weibull¬
formel (siehe Kapitel 3.1.3, Seite 17) zu 0.952. Dies entspricht etwa einem 20-jährlichem Ereignis.
Dem hundertjährlichen Ereignis wird somit ein zu kleiner Rang zugewiesen. Im Wahrscheinlichkeits¬
papier wird dieses Ereignis somit in einer falschen, nämlich zu tiefen Position eingetragen. Eine Extra¬
polation würde in diesem Fall zu hohe Werte liefern.
•
zum
Rangzensur
Die
wird der Grösse nach
Stichprobe
wenn
geordnet.
sie grösser oder kleiner als ein vorher
Extremwerte werden
festgelegter
vernachlässigt,
Schwellenwert sind. Die An¬
zahl der auf diese Art zensierten Werte ist somit eine Zufallszahl. Anstatt einen
Schwellenwert
festgelegt
festzulegen,
kann auch die Anzahl der
werden. Im Unterschied
zu
vorher ist
nun
zu
zensierenden Werte vorher
der Schwellenwert eine Zufalls¬
zahl.
Beide Verfahren können
Werteskala
nur an
durchgeführt
vernachlässigt
gleichzeitig
an
werden. Falls nicht entschieden werden
werden sollen oder nicht, kann eine
einmal ohne die Extremwerte
so
einem Ende oder auch
durchgeführt
beiden Enden einer
kann, ob Extremwerte
Parameterschätzung
einmal mit und
werden. Der Einfluss der Extremwerte wird
aufgedeckt.
Parameterschätzung
3.2.2
Ausgangspunkt
ist eine
Stichprobe,
gewonnen wurde. Aus dieser
teilungsfunktion optimal
haben fixe,
Stichprobe
Ô
=
jedoch
zu
welche durch voneinander
Stichprobe gilt
es
nun, die Parameter
der
zugehörigen
dargestellt
werden (Plate,
Parameterschätzung
g(...)
Ver¬
einer
aus
1993):
g(x1,x2, ...,xn)
Die Schätzfunktion
Versuche
schätzen. Die Parameter im Sinne der klassischen Statistik
unbekannte Werte. Formal kann die
als Funktion
unabhängige
(3.17)
muss so
gestaltet werden,
dass der Schätzwert
folgende
Krite¬
rien erfüllt:
•
Der
Erwartungswert des
Schätzwertes soll im Mittel über viele
Stichproben dem theo¬
retischen Parameter der Gesamtheit G
ses
•
Kriterium nennt
Die Summe der
zum
man
auch
entsprechen (E[g(xl5 x2, ...,xn)]
Erwartungstreue.
quadratischen Abweichungen
Schätzwert soll minimal sein (E
=
der Schätzwerte einzelner
^(g(xl5 x2,
...,
xn)
-
6G)2
-^
0G).
Die¬
Stichproben
Minimum).
Dies ist das Effizienzkriterium.
•
Die
Schätzung
soll konsistent
sein, d.h. der Schätzwert nimmt mit wachsendem
exakten Wert des Parameters der Gesamtheit
an
( lim g(x,, x2,
n —>
•
Der Schätzwert soll die vorhandene Information
zen.
Man nennt eine solche
Schätzung
so
...,
xn)
=
n
den
0G).
oo
vollständig
wie
ausreichend oder suffizient.
möglich
ausnüt¬
Grundlagen
20
•
Der Schätzwert soll robust sein. Wenn
Schätzwert sich
nur
wenig
neue
das eine oder andere Kriterium
dargestellt.
Statistik
soll der
hinzugefügt werden,
ändern.
Alle Kriterien vermag eine Schätzfunktion nicht
funktionen kurz
Elemente
aus der
wegfallen.
Ein
Im
Vergleich
erfüllen. Je nach
zu
folgenden
werden die
Fragestellung
wichtigsten
kann
Schätz¬
der verschiedenen Verfahren findet sich in
Königer (1980).
a)
Momentenmethode
Die Momentenmethode benutzt die Momente der
zweiparametrige Verteilungsfunktionen
zung. Für
respektive
Varianz var[x]
die
Bestimmung
wird
Die
Umrechnung
spielsweise
der höheren Momente
aus
kleinen
der Momente in die Parameter einer
werden. Im
für die in dieser Arbeit verwendeten
Umrechnungen
Für drei- oder mehr-
müssen auch die höheren Momente
Spaethe (1992) nachgeschlagen
in
der Mittelwert m[x] und die
nur
Schätzfehlern führen. Dies wirkt sich insbesondere auf die
aus.
für die Parameterschät¬
Standardabweichung sd[x] benötigt.
parametrige Verteilungsfunktionen
den. Die
Stichprobe
Stichproben
Schätzung
beigezogen
kann
von
zu
grossen
Extremwerten
Verteilungsfunktion
Anhang
wer¬
kann bei¬
(Seite 95) sind die
A
Verteilungstypen angegeben.
Das erste Moment ist der Mittelwert:
m[x]
=
^Sxi
i
Eine
(3-18)
l
=
Verallgemeinerung
sprunges führt
zu
dieser Definition und eine
Verschiebung
den Definitionen der höheren Zentralmomente
des Koordinatenur¬
(oft kurz Momente
ge¬
nannt):
mcqW
j!;i>i-m[x])q
=
i
Über
=
<3-19)
1
das zweite Zentralmoment wird die Varianz var[x] und daraus die Standardabwei¬
chung sd[x],
über das dritte der Schiefekoeffizient
vierte Zentralmoment der Exzesskoeffizient e[x]
net. Die
Schätzungen
Mittel über viele
mit der Momentenmethode
Stichproben
(kurz: Schiefe) sk[x] und über das
(kurz:
Exzess oder
Kurtosis) berech¬
gemäss der Formel (3.19) stimmen im
nicht mit den Momenten der
Verteilungsfunktion
überein.
Sie sind etwas kleiner als die Momente. Diese Schätzwerte sind somit nicht erwartungs¬
treu. Unter
muss
der
Voraussetzung,
dass
angebracht
eine Korrektur
nur
erwartungstreue Schätzwerte
Freiheitsgrades, bedingt
Schätzwerte in die
var[x]
=
Interesse sind,
werden. An der Stelle des Faktors 1/n wird ein ent¬
sprechender kleinerer Faktor eingesetzt (Plate, 1993).
des sogenannten
von
Dieser resultiert
aus
der Reduktion
durch das Einsetzen der bereits bestimmten
Bestimmungsformeln.
^-- 2(xj-m[x])2
i
=
1
->
sd[x]
=
J^[x\
(3.20)
Grundlagen
aus der
Statistik
21
n
£(Xj-m[x])
^
n
sk[x]
=
(n-l)-(n-2)
3
(3.21)
57r-
(var[x])3/2
n
2(Xi-m[x])
2
e[x]
L-J
n
=
—
;
„
,
n,
—
•
,
Zum Teil werden auch nicht
besondere im
findet die
erwartungstreue Schätzwerte verwendet (Sachs, 1992). Ins¬
mit der
Zusammenhang
Benutzung
von
(3.22)
—
(var[x])2
(n-l)-(n-2)-(n-3)
Bayes'schen
(siehe Kapitel 4,
Methode
Seite
33)
erwartungstreuen Schätzwerten keine Anwendung, da keine
erwartungstreuen Schätzungen im Sinne der Statistik mehr existieren.
b) Maximum
Likelihood Methode
Die Maximum Likelihood Methode setzt voraus, dass der
Zufallsvariablen bekannt ist bzw.
ten
davon aus, dass
variablen
Xj
fallsvariablen
jedes Element
man
zung der
L(0)
Xj gleich.
Die
Unabhängigkeit
f
(x|6)
eine
gleichen
Realisierung
einer separaten Zufalls¬
Gesamtheit entstammen, sind alle Zu¬
werden. Die
Realisierungen
entsprechenden Randverteilungen
er¬
in die Dichtefunktion. Unter der Vorausset¬
der Zufallsvariablen
Xi ergibt
sich:
fxC^ieî-fxCxaiej-.-.-fxC^ie)
=
geht weiter
Dichtefunktion kann somit als mehrdimen¬
ursprüngliche
geschrieben
durch Einsetzen der
=
Stichprobe
der betrachte¬
angenommen worden ist. Sie
vorgängig
ist. Da alle Elemente der
sionale Dichtefunktion
hält
der
Verteilungstyp
nfx(Xi|0)
=
(3.23)
i= l
Diese Dichtefunktion wird Likelihoodfunktion genannt. Sie ist
meter 0 bzw.
von
den
von
Parametern
0i5
obachteten Werte
am
positiv ist,
Am
mit
wenn
die Matrix der zweiten
werden
Ergebnis
vereinfacht,
an
wenn
wird dadurch nichts
andererseits die Funktion
lich das Maximum
04 abhängig.
Gesucht ist
nun
grössten ist. Die Likelihoodfunktion wird also
Ableitungen
garithmiert wird.
Parametern
gesuchten
Para¬
derjenige
Satz
bei dem die Wahrscheinlichkeit des Auftretens genau dieser be¬
Dies ist dann der Fall,
nit ist. Die
gesuchten
nur vom
ln(fx(x))
Maximum.
partiellen Ableitungen negativ
die Likelihoodfunktion
défi¬
vorgängig
gesuchten
fx(x)
anwächst und
Parameter
ergeben
folg¬
sich
aus:
d
dQl
ln(L)
v
'
=
0,
-^-ln(L)
dQ2
v
'
=
0,
...
,
-^-ln(L)
dQn
lo-
verändert, da einerseits fx(x) immer
monoton mit
derselben Stelle auftritt. Die
zum
=
0
(3.24)
so¬
22
Grundlagen
c) Gumbel
scheinlichkeitspapieren.
Da die
Zusammenhang
wird deren
(siehe Kapitel 3.3,
Seite
Es existieren unterschiedliche Methoden,
eine
Handhabung
von
Wahr¬
wichtige Grundlage
in einem
für
eigenen Kapitel
25).
Eine visuelle
funktionen
(Histogramm
(empirische
metrischen
kumulative
System
bildung 3.3).
bei den
Überprüfung
Die
kann durch die
und
überprüfen,
um zu
Verteilungstyp (dem sogenannten
bestimmten
gleichzeitige Darstellung
Dichtefunktion) sowie
Verteilungsfunktion
und
solche Entscheide nachvollziehbar und
zum
Beispiel
quasi objektiv
einem bestimmten
Anpassungstests
Mises und
Verteilungstyp folgt,
sind die Testverfahren nach
Anderson-Darling.
Verteilungstyp unabhängig.
der grössten Differenz der
Diese
Das
Prüfgrösse,
tigung
Das Modell bleibt
eine
man es
haben den
geringe
Wahrscheinlichkeit,
Gemäss Stahel
betrachtet wird, ist
mit Wahr¬
Umgang
man
sind
Um
das Kon¬
Anpassungstests.
Kolmogoroff-Smirnoff,
Prüfgrösse.
die
werden (siehe Ab¬
ob eine
Oft be¬
Cramér-von
nichtparametrisch
Vergleich
und
vom
zwischen
und der theoretischen bzw.
Ist die Differenz
Gültigkeit
gilt
grösser
als
es, dass die Bestä¬
des Modells nicht beweist.
lediglich plausibel (Wickmann, 1990).
Anpassungstests
pothese
nennt man
im
Modells)
Kececioglu (1991).
wird das benutzte Modell verworfen. Zu beachten
Anpassungstest
des
machen, benutzt
empirischen Verteilungsfunktion
des Modells durch den
nur
Verteilungsfunktionen
dieser Tests beruht auf dem
zwischen der Summe der Differenzen und einer
oder nicht.
Nullhypothese überprüfen,
Anpassungstests
Prinzip
zu
in
folgt
einem
der beiden Dichte¬
Verteilungsfunktion
zept des statistischen Tests. Verfahren, welche die
nutzte
der beiden
Methoden dem Benutzer überlassen. Für den
finden sich Hinweise
Stichprobe
stochastischen Modell)
Wahrscheinlichkeitspapier durchgeführt
Entscheidung, wann eine Abweichung als zu gross
grafischen
Stichprobe
ob eine
oder im
scheinlichkeitspapieren
dass
Anwendung
Modellprüfung
3.2.3
Viele
mit der
Wahrscheinlichkeitspapiere
Informationsverknüpfung liefern,
ausführlich behandelt
die
Statistik
Methode
Die Gumbel Methode steht im engen
die
aus der
die
(1995,
Nachteil, dass sie für Abweichungen
Macht aufweisen (Stahel,
Nullhypothese abzulehnen,
Seite
nicht mit einer
1995).
wenn
von
genügend
grossen
Nullhy¬
Mit anderen Worten, die
sie falsch ist, ist relativ klein.
238) wird andererseits kaum je ein Modell
Problematik wird auch in Ditlevsen
der
Datenmenge widerlegen
so
genau
sein,
könnte. Diese
(1994) ausführlich diskutiert und mit Beispielen hin¬
terlegt.
Beispielsweise könnte man die in der Abbildung 3.3 dargestellte Stichprobe, welche aus einer Gumbelver¬
teilung generiert wurde, auch mit einer Lognormalverteilung modellieren. Ein Anpassungstest würde die
Nullhypothese, dass die Stichprobe einer Lognormalverteilung folgt, nicht verwerfen.
Der
gewählte Verteilungstyp
hat insbesondere im
Bauingenieurwesen
fluss auf das Resultat, da meist Fraktilwerte bzw. die Enden der
von
Bedeutung
sind. Jede
Schlussfolgerang
ist somit
einen grossen Ein-
Verteilungsfunktionen
konditional, nämlich abhängig
vom
23
Grundlagen aus der Statistik
betrachteten
lungstyp
Verteilungstyp.
Aus diesem Grund ist
vielfach sinnvoller, den Vertei¬
es
festzulegen, wie
für eine bestimmte Zufallsvariable
quasi
normativ
Stahlzugfestigkeit.
So ist
gewährleistet,
für die
normalverteilung
keitsanalysen stammende Resultate,
untereinander
vergleichbar
wie
dass
z.B.
Log¬
Zuverlässig¬
aus
beispielsweise Versagenswahrscheinlichkeiten,
sind.
fx«
Fx(x)
0.06
1.0
0.8
0.04
0.6
0.4
0.02
0.2
ii
0.0
0.00
0
20
10
30
40
60
50
70
10
0
x
i
30
20
i
i
i
50
40
i
i_
60
70
x
b) Verteilungsfunktion
a) Dichtefunktion
FxOO
995
990
1
1
1
I
1
!
1
1
.
yfi
900
-
-
700
500
300
100
10
-
-
-
-
-
1
1
0
'/l
1
10
20
i
30
40
50
70
60
x
c) Wahrscheinlichkeitspapier
Abb. 3.3:
Grafische Darstellung einer Stichprobe aus 100 Zufallszahlen einer Gumbelverteilung mit Mit¬
telwert 40 und Standardabweichung 10 und einer Gumbelverteilung, deren Parameter aus der
Stichprobe mit der Momentenmethode geschätzt wurden
nach
a) Anpassungstest
Als
Vergleichsgrösse
Kolmogoroff-Smirnoff
dient beim
Kolmogoroff-Smirnoff
empirischen Verteilungsfunktion
zwischen der
Test die maximale Differenz
und der theoretischen
Verteilungsfunkti¬
on:
D
Die
=
MaxF„-FJ
I
(3.25)
A|
empirische Verteilungsfunktion
Fx(x(i))
=
berechnet. Die
Die
X
a.
(3.26)
;
n
Vergleichsgrösse D
Prüfgrösse
kanzniveau
wird dabei meist mit der Formel
ist
Das
abhängig
vom
muss
kleiner oder
gleich
Stichprobenumfang
Signifikanzniveau gibt
n
sein als die
und
vom
Prüfgrösse Dn(a\.
sogenannten Signifi¬
die Wahrscheinlichkeit
a an,
mit der eine
Grundlagen aus
24
Fehlentscheidung getroffen
nannt. Die
Dn(a\
Verteilung Fx(x)",
für verschiedene
lautet dabei: Verwirf die
wenn
D
>
Stichprobenumfänge
finden sich in Tabellenwerken
Dn/a)
"die
Stichprobe
ist. Zahlenwerte für die
Prüfgrösse
Hypothese
und für verschiedene
(Siegel, 1976; Siegel
Signifikanzniveaus
und Castellan, 1988; Sachs,
Für die
zweiseitige Fragestellung und für gleichgrosse Stichprobenumfänge
mit der
folgenden
Dn/a)
(3.27)
n(a)
kanzniveau
Konstante ist
abhängige
a
aufgerundet
wird und
0.10
0.05
0.01
Ka
1.22
1.36
1.63
Konstante
nach Cramér-von Mises und nach
Die
nach Cramér-von Mises und nach
die
Signifi¬
a
b) Anpassungstest
Vergleichsgrösse
vom
Kafür verschiedene Sig¬
nifikanzniveaus
Anpassungstests
K^ eine
(siehe Tabelle 3.2).
a
Tab. 3.2:
quadratischen Abweichungen
der
Anderson-Darling
Anderson-Darling
benutzen als
empirischen Verteilungsfunktion
der theoretischen:
Q
J (Fx-Fx)2
n
=
Die beiden
von
kann
2n
wobei der Zähler auf die nächste ganze Zahl
von
n
1992).
Formel berechnet werden:
Kr
D
Statistik
wird. Sie wird deshalb auch Irrtumswahrscheinlichkeit ge¬
Entscheidungsvorschrift
stammt aus der
der
V|/(x)dF(x)
(3.28)
Anpassungstests unterscheiden
Mises Test ist
Formeln für die
\|/(x)
=
W
nur
in der Funktion
\|/(x).
1, beim Anderson-Darling ist \|/(x)
Computeranwendung
Vergleichsgrösse
sich
sind in
Siegel
und Castellan
=
(Fx (1 -Fx))~
•
(1988)
für den Cramér-von Mises Test berechnet sich
Beim Cramér-
zu
.
finden. Die
zu
(3.29)
i=i
und die
A'
Vergleichsgrösse
=
A
für den
Anderson-Darling
Test
zu
-n-^ Ë((2i-D-log(x(i)) (2-n+l-2-i)-log(l-z(i)))
+
(3.30)
i= 1
Dabei ist
sen
Xq
ein nach der Grösse
für verschiedene
den sich in
geordneter Stichprobenwert.
Stichprobenumfänge
Tabellen
und für verschiedene
D'Agostino und Stephens (1986).
zu
den
Testgrös-
Signifikanzniveaus
fin¬
Grundlagen aus der Statistik
25
3.3
Wahrscheinlichkeitspapier
3.3.1
Anwendung
Bestimmung
Für die
re.
zur
Parametern oder Fraktilwerten steht neben
analytischen Methoden (siehe Kapitel 3.2,
den rein
de
Verteilungstypen,
von
Seite
17) auch eine grafische Metho¬
Basis dieser Methode sind die sogenannten
Verfügung.
Sie lassen sich
praktisch
für
jeden Verteilungstyp
konstruieren. Ein Wahrscheinlich¬
Die Abszisse
keitspapier hat ein zweidimensionales Koordinatensystem.
weise durch die Zufallsvariable X
Fx(x).
belegt,
Die beiden Achsen werden
so
papier gehörige Verteilungsfunktion
reicht
man
durch
u
=
g(x)
y
=
Fx(x)
Mit der
cc +
=
g(x) durch
man
In
Anhang
als Gerade erscheint
zum
Verteilungsfunktion
Wahrscheinlichkeits¬
(siehe Abbildung 3.4). Dies
V(3
ß-g(x))
die Funktion
F0
invertierbar ist
im
A
er¬
'
31);
(Castillo, 1988), ergibt sich:
(3.32)
u
und
FjJ (y)
durch v,
so
erhält
typische
die
man
Form einer
Wahrscheinlichkeitspapier (uv-Koordinatensystem):
ß-u
oc +
=
transformiert,
dass eine
wird üblicher¬
ß-g(x)
Geradengleichung
v
+
Voraussetzung, dass
F^Cy)
Ersetzt
F0(a
die Ordinate y durch die
x
Transformationen:
folgende
=
Wahrscheinlichkeitspapie¬
(3.33)
sind die
(Seite 95)
Transformationsregeln
für die verschiedenen Wahr¬
scheinlichkeitspapiere zusammengestellt.
Bei der
•
Benutzung
Jedem Wert der
geln
der
von
Wahrscheinlichkeitspapieren wird
Stichprobe
zugehörige
wird gemäss der in
Wert der
Kapitel
wie
folgt vorgegangen:
3.1.3
(Seite 17)
erwähnten Re¬
empirischen Verteilungsfunktion zugewiesen.
hält somit die Koordinaten der einzelnen Werte
Man
(x(k);Fx(x(k))).
•
Die Werte werden ins
•
Der entstandenen Punktreihe wird eine Gerade angepasst. Diese charakterisiert
sammen
Die
Frage,
mit dem
ob ein
Wahrscheinlichkeitspapier eingetragen.
Papiertyp
rein
die Form der Punktreihe.
Geraden,
so
ist der
konvexe Formen,
falls der
die
Verteilungstyp
scheinlichkeitspapier
optisch
zu¬
gesuchte Verteilungsfunktion.
eine
Stichprobe gut beschreibt,
kann mit dem Wahr¬
beantwortet werden. Das entscheidende Kriterium ist
Entspricht
das Bild der Punktreihe mehr oder
entsprechende Verteilungstyp gefunden. Ergeben
so
er¬
ist ein anderes
Wahrscheinlichkeitspapier
Positionsparameter beispielsweise
einer Weibull- oder
zu
weniger einer
sich konkave oder
benützen oder allen¬
Lognormalverteilung
zu
ändern.
Eine
grafische Beurteilung der Zugehörigkeit zu
als Kontrolle der
getroffenen
einem
Verteilungstyp
soll auch hier
Annahmen benützt werden. Wie bereits im
Kapitel
nur
3.2.3
26
Grundlagen
(Seite 22) dargelegt wurde, sollte die
terien
Die
Wahl des
Verteilungstyps aufgrund
Schätzung
durchgeführt.
der Parameter oder Fraktilwerte
einer bestimmten
Verteilung
(bzw.
rationaler Kri¬
Werte mit einer bestimmten Wie¬
wird mit Hilfe der
Die Fraktilwerte können entweder direkt
oder anhand der
Geradengleichung
Stützpunkte
Parameter- und
für verschiedene
Anhang
A
aus
dem
festgelegten
Fraktilwertbestimmung
Geraden
Papier herausgelesen
bestimmt werden. Die Parameter der
funktion lassen sich mittels bestimmter
=
Statistik
durchgeführt werden.
derkehrperiode)
y
aus der
berechnen. Die
Verteilungs¬
Vörgehensweise
Verteilungstypen
der
findet sich im
(Seite 95).
Fx(x)
y
1.0
=
Fx(x)
v
0-!(Fx)
=
0.99
2
0.8
0.9
0.8
0.6
1
.
0.6
0
0.4
0.4
0.2
-1
0.1
0.2
00
-2
a m
35
30
40
45
55
50
x
a) xy-Koordinatensystem
Abb. 3.4:
Verteilungsfunktion
3.40
3.56
3.69
3.81
3.91
4.01
u
30
35
40
45
50
55
x
=
ln(x)
b) uv-Koordinatensystem
einer
Lognormalverteilung LN(3.68;0.10)
im xy- und im uv-Koordinaten¬
system
3.3.2
Stichprobenumfang
Wahrscheinlichkeitspapiere eignen
fanges.
Für
senweise
sich für die
grössere Stichprobenumfänge (n
zusammengefasst (Sachs, 1992;
>
Analyse
von
30) werden
Wilrich und
Wartmann, 1958). Für die oberen Klassengrenzen
x'j
Stichproben beliebigen
Um-
die Einzelwerte
klas¬
häufig
Henning, 1987; Henning
werden die
zugehörigen
und
relativen
Klassenhäufigkeiten Fj berechnet. Die Punktepaare (x'^Fj) werden nun ins Wahr¬
scheinlichkeitspapier eingetragen. An die so entstandene Punktreihe wird wiederum eine
Gerade angepasst.
Die Wahl der
nen
Vergleich
Klassengrenzen beeinflusst
verschiedener
wählt werden. Da die
deutig
Klassengrenzen
die Zufalls variable. Eine
Quadrate sollte
den
Stichproben
aus
natürlich auch die
Parameterschätzung.
müssen deshalb die
Klassengrenzen gleich
fixiert worden sind, ist die
Geradenanpassung
Für ei¬
Klassenhäufigkeit
ge¬
ein¬
mittels der Methode der kleinsten
diesem Grund mit den vertikalen
Abweichungen durchgeführt
wer¬
(siehe Kapitel 3.3.3, Seite 27).
Der für eine
zuverlässige Extrapolation notwendige Stichprobenumfang wird
ratur sehr unterschiedlich
angegeben.
In Martinec
in der Lite¬
(1975) wird eine Extrapolation
auf die
Grundlagen aus
dreifache
stätigt
Länge
Grössenordnung
wird
und im Wasserbau ist
Diese
es
jedoch
jedoch
in Del Corso et al.
Angabe
eine Grösse
Die Unscharfe einer
3.3.3
Die ins
te
für
Extrapolation
Anpassungstests
Stichprobe
20 Jahren
von
Zeitperioden
Hydrologie
hinaus
dienen
verdeutlicht
ext¬
zu
lediglich
man am
die Güte einer
hängt
massgebenden
als
besten
Extrapolation
Bereich durch die verwendete
in eine Punktreihe
Abweichung
Punktreihe
der Punktreihe
"richtige" Wahrscheinlichkeitspapier
zu
Beobachtungsreihe
Stichprobenumfänge
Wahrscheinhchkeitspapier eingetragene
Gerade. Theoretisch ist die
trag
(1995).
Be¬
Hier wird für eine Wieder¬
wird.
Geradenanpassung
in das
gerechtfertigt angesehen.
40 bis 50 Jahren. In der
Vertrauensbereichen. Zudem
von
auch davon ab, wie gut die Punktreihe im
Verteilung genähert
von
als
durchaus üblich, auf grössere
über erforderliche
Angaben
grobe Anhaltspunkte.
durch die
Beobachtungsreihe
50 Jahren eine minimale Grösse der
von
gefordert. Empfohlen
rapolieren.
27
der sie stützenden
wird diese
kehrperiode
Statistik
der
verwendet
Stichprobe,
von
natürlich keine
wenn
ergeben.
sie der
Dies
perfek¬
einer Geraden beim Ein¬
kleinsten. Diese Tatsache wird auch
am
(siehe Kapitel 3.2.3, Seite 22). Auch werden
selbst
unterschiedliche Punktreihen
ergibt
sich
von
gleichen Grundgesamtheit entstammen,
ergibt
sich
aus
dem Zufallscharakter der
Stichproben.
Es existieren verschiedene
Methoden, einer Punktreihe eine Gerade anzupassen. Diese
setzen unterschiedliche
Schwerpunkte.
Punktreihe oder eher
deren Enden
cher Methode
Zweck der
an
die
man
Analyse
wendungsbereichen
So können
durchgeführt
gestellte Aufgabe
ab. Im
folgenden
kurz
Nelson (1982),
D'Agostino
Zu beachten ist
jedoch immer,
und
Für
werden. Die
im Mittelbereich der
Entscheidung,
mit wel¬
zweckmässigsten durchführt, hängt
am
werden die
beschrieben.
Anpassungen
wichtigsten
Methoden samt ihren An¬
weitergehende Betrachtungen
Stephens (1986)
vom
wird
auf
sowie auf Castillo (1988) verwiesen.
dass das Resultat stark
der
von
gewählten
Methode ab¬
hängt.
a)
Visuelle
Anpassung
Wahrscheinlichkeitspapiere
Punktreihe wird
zwanglos
wisse Bereiche stärker
sind
eigentlich
eine Gerade
gewichtet
für die visuelle
gelegt.
Anpassung gedacht.
Je nach Zweck der
werden als andere. Es
gibt
keine
Analyse
Ergebnisse
dieser Methode stark
Diese Arbeitsweise ist somit recht
subjektiv
vom
und die
jeweiligen
Ergebnisse
können ge¬
allgemeingültigen
terien, nach welchen eine visuelle Anpassung durchgeführt werden
chend sind die
In die
muss.
Dementspre¬
Anwender
sind kaum
Kri¬
abhängig.
reproduzier¬
bar.
Mit einer visuellen
Anpassung
wird wohl die Summe der
angepassten Geraden, welche senkrecht
zur
Abweichungen
Geraden stehen minimiert
der Punkte
zur
(siehe Abbildung
28
Grundlagen aus
a). Verschiedene
3.5
geben jedoch
Autoren
Auslegungen
andere
nicht weiter erläutert werden (Castillo, 1988; Baker, 1996
Die visuelle
der Methode ist
Anwendung
Resultat einer Parameter- oder
können,
b)
ist die Methode
so
das Resultat
man
an, welche hier
jedoch
Computerunterstützung
angebracht,
nur
Fraktilwertschätzung interessiert
scharfe des Modells bestimmen oder möchte
ren
jedoch
Statistik
b).
ist eine einfache Methode, welche ohne
Anpassung
auskommt. Die
der
wenn man nur am
ist. Möchte
die Un¬
man
später wieder reproduzie¬
wenig geeignet.
Methode der kleinsten Quadrate
Eine der Punktreihe angepasste Gerade weist
zu
jedem
Punkt eine
Abweichung £j
(siehe Abbildung 3.5). Die Gerade ist dann gut einer Punktreihe angepasst,
klein sind. Die Methode der kleinsten
weichungen
2
Abweichungsquadrate e{
riablen
und
u
chungen
abhängig
v
Da nicht
.
bzw.
in die u-, teils in
eindeutig ist,
unabhängig ist,
Quadrate
die Ab¬
wenn
minimiert die Summe der
welche der beiden transformierten Va¬
wird die
Minimierang
v-Richtung durchgeführt (D'Agostino
teils mit Abwei¬
und
Stephens, 1986;
Castillo, 1988; Baker, 1996 b). Die Benutzung der Abweichungen in u-Richtung
spricht
der
Betrachtungsweise geht
davon aus, dass die
keit oder eben des Wertes der
tungsweise
sind. Eine
de
jedoch
sind
vorgeschlagen (Plate, 1993).
den
Lageparametern
und
chende Modell für die
a +
ß
Er
vertretbar. Eine weitere Variante wird
empfiehlt,
aus
den beiden
Quadrate
Abweichungen
die
Regressionskoeffizienten
Steigungen
zu
geometrische
Gumbel
von
mit beiden Be¬
Mittel
aus
den bei¬
Das
entspre¬
bilden.
basiert auf der linearen
in
Bei¬
Regression.
v-Richtung (siehe Abbildung
3.5
b)
lautet:
(3.34)
uj
+
evi
Die Koeffizienten
a
und
=
zufällig
problemlos durchgeführt werden.
berechnen und anschliessend das
Die Methode der kleinsten
vj
einem bestimmten Wert Xj
betrachten sind. Die letztere Betrach¬
zu
der einzelnen Punkte kann
Betrachtungsweisen
zu
v-Richtung
in
zu
der Auftretenswahrscheinlich¬
Vorteil, dass die Abweichungen in der v-Richtung dimensionslos
Gewichtung
trachtungsweisen
Zuordnung
Verteilungsfunktion
Abweichungen
hat den
ent¬
dass X als gemessene Grösse die Zufallsvariable ist. Die andere
Vorstellung,
ist und somit die
auf
ß
werden
nun so
bestimmt, dass die Summe der Quadrate der
Abweichungen
E
^(^-(a
=
i
=
+
ß-u;))2
minimal wird. Man setzt also die
Das Minimum ist dann
gibt
sich
folgendes
Die Gerade
Die
geht
Steigung
var[u].
(3.35)
1
partiellen Ableitungen von
gefunden,
wenn
die zweite
E nach
a
Ableitung grösser
und
ß gleich Null.
als Null ist. Es
er¬
Resultat:
durch den Punkt
(m[u], m[v]) gebildet
der Geraden ist der
aus
den beiden Mittelwerten.
Quotient der Kovarianz cv[uv] mit der
Die Schätzwerte schreiben sich somit
zu:
Varianz
Grundlagen
à
ß
m[y]-ß
=
29
m[u]
(3.36)
cv[uv]
(3.37)
var[u]
in
Abweichungen
den
rj
Statistik
=
Für die
aus
aus der
3.5
c)
finden sich die Resultate
analogen Überlegungen:
m[u]
=
u-Richtung (siehe Abbildung
m[v]
-T
(3.38)
cv[uv]
(3.39)
var[v]
(a, ß)
Die
Umwandlung
mit
folgenden Gleichungen durchgeführt
der Koeffizienten
T
=
entsprechenden
Pendants
(T), t)
kann
werden:
1
a
Tl
in die
(3.40)
=
ß
bzw.
a
=
T|
-t
ß
1
=
(3.41)
x
Zu beachten ist, dass die Formeln
verschiedenen Schreibweisen
sung einer Geraden
von
der
(3.40)
aufzeigen
u-Richtung
-l.
v
=
0"'(FX)
v
u
a) Abweichung senkrecht
=
und
(3.41)
und keine
in die
nur
die
Umrechnungsformeln
v-Richtung
und
-l,
=
v
<Sf\Fx)
g(x)
u
=
=
zwischen den
für die
umgekehrt
Anpas¬
sind.
^_1(FX)
g(x)
b) vertikale Abweichung
zur
Beziehungen
Uj
u
=
g(x>
c) horizontale Abweichung
Geraden
Abb. 3.5:
Definition
der Abweichung eines Punktes
Als Mass für die Güte der
respektive
die
Anpassung
Standardabweichung
von
einer Geraden und der
einer Gerade
der
an
Regressionskoeffizienten
die Punktreihe kann die Varianz
Abweichungen evi
dienen. Zur
Varianz mit den üblichen Formeln wird vereinfacht angenommen, dass
•
die Uj fest und somit nicht
zufällig sind,
Bestimmung
der
Grundlagen
30
•
die
Abweichungen £vi unabhängig
•
der
Erwartungswert
•
die Varianz
voneinander sind,
E[ev] gleich Null ist und
2
var[ev]
o~
=
konstant ist.
Unabhängigkeit
Die Annahme einer konstanten Varianz sowie die
evi sind bei der Benutzung
von
Abweichungen
der
Wahrscheinlichkeitspapieren
verletzt. Als
Näherung
ergibt
sich somit als
Schätzung
können die Formeln aber durchaus verwendet werden. Es
2
der Varianz
a
:
1
var[ev]
=
—
£
•
i
Durch den
Statistik
aus der
(3.42)
(vj-(a + ß Ui))
•
l
=
var[ev]
wird die Varianz
Quotient l/(n-2)
erklärt sich dadurch, dass die beiden
Freiheitsgrades
erwartungstreu. Die Reduktion des
Regressionskoeffizienten durch ihre
Schätzwerte ersetzt worden sind.
Regressionskoeffizienten
beiden
Die
Die
(Stahel, 1995).
ebenfalls
sind
folgt
+
-
Qua¬
berechnet werden:
(m[u]y
1
var[ev]
=
normalverteilt
ihrer Mittelwerte nach der Methode der kleinsten
Schätzungen
drate sind erwartungstreu. Ihre Varianzen können wie
var[cc]
näherungsweise
(3.43)
—
n
n
^Oii-mfu])'
i
var[ß]
1
var[ev]
=
1
=
(3.44)
—
•
^(Ui-mtu])
i
=
l
wobei m[u] der Mittelwert aller u-Werte ist. Die
Fraktilwerts
UT
kann mit Hilfe der beiden
Dieser ist wiederum mit guter
Näherung
Verteilungsfunktion
Regressionskoeffizienten
normalverteilt und weist
eines
beliebigen
bestimmt werden.
folgende
Parameter
auf:
m[UT]
=
var[UT]
â
=
+
ß
•
(3.45)
uT
var[ev]
(uT-m[u])
1
•
-
(3.46)
=
+
n
n
^Oii-mtu])'
i
Die Methode der kleinsten
Abweichungen
Sinne
wird
von
von
der
=
l
Quadrate weist allen Punkten das gleiche Gewicht
Regressionsgeraden
Distanzen minimiert werden. Eine
gleich gewichtet
wie eine
gleich
im metrischen
Abweichung
grosse
an
Abweichung
zu, da die
uv-Koordinatensystem
im
einem Ende der Punktreihe
in der Mitte oder
am
andern
Grundlagen
Ende. Im
gleich
aus der
Statistik
31
xy-Koordinatensystem betrachtet
sind diese
Abweichungen jedoch
gross. Es findet durch die Koordinatentransformation eine
wichtung
nicht mehr
Verzerrung
oder Ge¬
statt. Je nach Funktion
papier ergibt
sich eine andere
F0 und somit nach verwendetem Wahrscheinlichkeits¬
Gewichtung. Diese ist jedoch nicht physikalisch begrün¬
det.
Eine
Abweichung
von beispielsweise e
0.5 in positiver vertikaler Richtung in einem Lognormalpapier
uv-Koordinatensystem an jedem Ort gleich behandelt. Wandelt man diese Abweichung in Funkti¬
onswertdifferenzen um, so entspricht sie bei y
0.9 einer Differenz von Ay
AF
0.5
0.06, bei y
AF
von Ay
0.19 (siehe Abbildung 3.6).
=
wird im
=
=
Analoges gilt
bei
u
gleich
gen
Die
grosse
am
(x
0.1
Abweichungen bei logarithmierten Achsen. Eine Abweichung von e
50) entspricht einer Differenz von Ax~5 im nichtlogarithmierten Massstab. Die
=
=
Abweichung ergibt
bei
u
=
6.91
(x
=
1000) eine Differenz
linken Ende, d.h. kleinere Werte, werden also effektiv stärker
Gewichtung
eigentlich
ohne
Vergleichsbasis
y
=
=
für horizontale
3.91
=
=
=
=
im
xy-Koordinatensystem
Bedeutung.
Sie ist hier
für die Methode der
Fx(x)
v
1y
,
Ay «0.06'_
0.9
Ay
0.5
0.3
=
0.19'
s
.
Abweichun¬
gewichtet.
vollständigkeitshalber
nur
Quadrate
erwähnt und soll als
gewichteten kleinsten Quadrate
=
Ax= 105
ist für die Methode der kleinsten
dienen.
*_1(FX)
2
S
/
FxvonLN(3.68;0.10;0)
Abweichungen im Abstand
!
0.7
von
y
e
=
0.5
0
S
-1
0.1
-2
3.40
3.56
3.69
3.81
3.91
4.01
u
30
35
40
45
50
55
x
Abb. 3.6:
Gewichtung der
LN(3.68;0.10;0)
vertikalen
Die Methode der kleinsten
einer
Verteilungsfunktion
Quadrate
durchzuführen, wird
von
der
nur
Punktreihe für eine solche
den. Das
bis
kann auch
am
entsprechende
bzw.
von
Beispiel
Anpassung
Teil der Punktreihe
werden muss, kann
1 bis k
der Formel
(3.35)
durchgeführt.
werden. Eine
nachgelesen
werden.
Anwendung
dieses
Vorgehens
wenn nur
an
ein Ende
einem der Enden
berücksichtigt.
Wo die
visuell beurteilt
wer¬
wird die Summation
vom
nur
In der
gleichen
auch Extremwerte, welche als Ausreisser identifiziert worden sind,
geschlossen
Lognormalverteilung
einer
angewendet werden,
Interesse ist. Um eine
Analyse geteilt
n
ln(x)
Abweichungen
Vorgehen bleibt analog. Einzig in
Trennpunkt (Index k)
=
aus
Weise können
der
Analyse
kann in Del Corso et al.
aus¬
(1995)
Grundlagen aus
32
c)
Methode der
Die
gewichteten
wird
nimierung
Abweichungen
jedoch
in
Abweichungen
sionen
vermeiden, werden
mel
zu
(3.35) wird
i
Betrachtet
y
Abweichungen
y-Richtung
in
+
ß-ui)r
(3.47)
man
der Wiederkehr¬
der Enden fest.
Gewichtung
eine starke
diejenigen
beispielsweise e 0.01 in positiver y-Richtung im Lognormalpapier entspricht bei
der Wiederkehrperiode von 2 auf 2.04 Jahre. Die gleiche Abweichung ergibt hin¬
von
=
-
0.98 eine
Änderung von 50 auf 100
kann
man
Jahre.
diesem Effekt mit einer
geeigneten Gewichtung entgegen¬
wirken. Um mehr Gewicht auf eines der beiden Enden einer
gen, wird die Formel
(3.47) mit
£wi-(Fi-F0(a
i
betrachtet. Die For¬
Änderung
gewünscht,
E=
phy¬
Um Konflikte mit Dimen¬
möglich.
anstelle der Differenzen der Funktionswerte
stellt
Abweichung
0.5 einer
Falls
Funktionswerten. Eine
.-l
man
so
gegen bei y
nun
von
F0 (y) ist dabei Ordinatentransformationsfunktion gemäss (3.32).
Die Funktion
=
xy-Koordinatensystem durchgeführt.
i
=
perioden,
die
nur
ist
Quadrate. Die Mi¬
folgt geändert:
£(Fi-F0(a
E=
Eine
wie
der
im
Differenzen
y-Richtung entsprechen
Interpretation
Methode der kleinsten
zur
Abweichungen
mit den
sikalische
Statistik
kleinsten Quadrate
Prinzip analog
ist im
Vorgehensweise
der
+
einem
Verteilungsfunktion
zu
le¬
Wichtungsfaktor Wj ergänzt:
ß-ui)r
(3.48)
i
=
Der Term Wj wird für
Minimabetrachtungen
1/Fj gesetzt.
zu
wird mehr Gewicht auf das linke bzw. untere Ende einer
Maximabetrachtungen
entsprechend
wird wj
1
zu
/( 1
-
Mit anderen Worten,
Verteilungsfunktion gelegt.
Fj)
2
es
Für
gesetzt.
Gewichtung entspricht im Lognormalpapier bei einer Maximabetrachtung eine Differenz von
0.25 bei y
0.98 sowie eine Differenz von e
0.5 einer
positiver y-Richtung bei y
0.98 ändert sich die Wiederkehrpe¬
Verdoppelung der Wiederkehrperiode (siehe Abbildung 3.7). Bei y
0.5 von 2 auf 4 Jahre. Abweichungen an einem Ende werden nun ein¬
riode von 50 auf 100 Jahre, bei y
Mit dieser
e
=
0.01
in
=
-
=
,
=
=
deutig
Zweck
gewichtet als diejenigen
einer Extrapolation.
stärker
y
=
in der Mitte oder
FX(x)
v
0.99
r-Ay
"
=
0.01
f
=
am
entgegengesetzten Ende. Dies entspricht dem
<Fl(Fx)
/y
2
0.9
r
0.7
"Ay
0.5
FxvonLN(3.68;0.10;0)
j
jfif
=
0.25
"
0
0.3
-
-1
0.1
-2
0.01
Abb. 3.7:
3.'10
3.56
3.69
3.81
3.91
4.()1
u
3()
35
40
45
50
55
x
Abweichung von
einer
Gewichtete
=
ln(x)
Lognormalverteilung LN(3.68; 0.10)
Methode
4
Bayes'sche
4.1
Wahrscheinlichkeitsdefinitionen
gesehen
Die klassische Wahrscheinlichkeitsdefinition ist historisch
Wahrscheinlichkeiten
zu
Sie ist im
quantifizieren.
wickelt worden. Die Wahrscheinlichkeit wird
Anzahl
günstiger Ereignisse
das Resultat eines Versuches, wobei
ist. Als
günstig
Wahrscheinlichkeit
eignisse
mit
man
das Würfeln etc. Diese
bestimmen möchte. Dabei
Voraussetzung
Glückspielen
Quotient
möglichen Ereignisse.
bezeichnet, welche
gleicher Wahrscheinlichkeit
mit
mit dem
eine bestimmte Anzahl
nur
jene Ereignisse
werden
gleichgesetzt
Gesamtheit aller
zur
Zusammenhang
der älteste Versuch,
die
gilt
auftreten müssen
zur
von
Ein
-
aus
deren
dass alle Er¬
Glückspiele
für
ist
möglich
Aussage gehören,
typisch
der
Ereignis
Resultaten
Voraussetzung,
ent¬
wie
schränkt die Anwendbarkeit der klassischen Defi¬
nition stark ein.
Die
frequentistische
Wahrscheinlichkeitsdefinition lässt auch
Ereignisse
zu, welche
un¬
terschiedliche Wahrscheinlichkeiten besitzen. Die Wahrscheinlichkeit wird als Auftre¬
tenshäufigkeit
Häufigkeit
eines
Ereignisses
des Auftretens eines
der
Ereignisses
Die relative
gleichen Bedingungen.
aus
definiert. Sie
dem Grenzwert der relativen
entspricht
unabhängigen Wiederholungen
A bei
Häufigkeit
ist dabei definiert als
Anzahl, mit der das bestimmte Ereignis A aufgetreten ist,
geführten
Versuche. Die Wahrscheinlichkeit
unbekannter Wert. Es ist jedoch
ist ein bestimmter Wert
P(A)
=
P(A)
unmöglich, P(A)
zur
Quotient, gebildet
Anzahl der durch¬
ist per Definition ein
exakt
0.35 nicht als absolut
zu
zu
bestimmen.
fixer,
wird die
d.h. auf
frequentistische
Wahrscheinlichkeit oft als
objektiv
Die
Anwendung
tigt
für
der
auf
frequentistischen
Zufallsprozesse,
die
-
wenn
sind. Es kann somit eine grosse
stützen kann. Neben dieser
d.h.
diejenige
der
nur
hypothetisch
unabhängigen Wiederholungen
nicht erfüllt werden. Zudem ist
es
nicht
Wissen stützt,
-
beliebig
nur
geklärt,
was
gerechtfer¬
oft wiederholbar
auf die sich eine
können die beiden weiteren
unter
Da
bezeichnet.
Stichprobe produziert werden,
Einschränkung
äquivalent.
empirisches
Wahrscheinlichkeitsdefinition ist
auch
auch
betrachten. Werte, welche sich in
Beobachtungen,
Betrachtungsweise
wenn
Dementsprechend
einem nahen Bereich befinden wie etwa 0.32 oder 0.37, sind durchaus
sich diese
unter
Analyse
Bedingungen,
gleichen Bedingungen, oft
alles unter diesen beiden
auch
Begriffen
verstanden werden darf.
Eine ganz andere
scheinlichkeit
Betrachtungsweise
aufgezeigt.
Auftreten eines
wird unter dem
Die Wahrscheinlichkeit ist
Ereignisses
definiert. Ist
man
Begriff der subjektiven
nun
Wahr¬
als Grad des Vertrauens in das
überzeugt,
dass ein
Ereignis
A auftritt,
34
Bayes'sche Methode
wird ihm die Wahrscheinlichkeit Eins
zugeordnet (P(A)
1
=
).
Ist
hingegen
man
über¬
zeugt, dass A nicht auftritt, ist P(A) gleich Null. Der Grad des Vertrauens ist proportional
Grösse
zur
Es kann
ob
es
von
P(A).
jedem Ereignis
eine Wahrscheinlichkeit
wiederholt werden kann oder nicht. Zudem kann der
beliebiges Ereignis auftritt,
die
zugeordnet werden, ungeachtet dessen,
nicht mehr
Wahrscheinlichkeitszuordnung
wird
nur
eine
von
einzige
Person
zu
persönliche
Stand des Wissens die
schiedliche
Wahrscheinlichkeitszuordnungen möglich,
quellen
stehen.
Verfügung
zur
Grundlage
Subjektive
Axiomen der Wahrscheinlichkeitstheorie
der
Wahrscheinlichkeit, dass ein
zugeordnet
Zahl
werden. Denn
Person variieren, da der aktuelle,
bildet. So sind auch unter¬
Zuordnung
die
wenn
gleichen
Informations¬
Wahrscheinlichkeiten müssen
jedoch
den
gehorchen.
beispielsweise einem Ereignis A die Auftretenswahrscheinlichkeit P(A)
p zugeordnet, so ent¬
1
spricht die Komplementärwahrscheinlichkeit P(AC)
p der Wahrscheinlichkeit, dass das Ereig¬
q
nis A nicht eintritt. Eine andere Zuordnung würde den Axiomen der Wahrscheinlichkeitstheorie widerspre¬
chen und wäre nicht zulässig. Sie entspräche auch nicht einer sorgfältigen Beurteilung des Ereignisses A.
Wird
=
=
Subjektive
Wahrscheinlichkeiten sind
konsequenterweise
müssten
eine
=
-
Wahrscheinlichkeiten und
grundsätzlich bedingte
entsprechende
Notation
aufweisen.
Schreibweise des Grades des Vertrauens in das Auftreten eines
P(A|H).
H
entspricht
Die
logische
Wahrscheinlichkeitsdefinition schliesslich
jektiven Wahrscheinlichkeit.
in das Auftreten eines
davon aus, dass
es
von
Ist die Information
werden,
ner
so
gibt
Ereignisses.
einen
bestimmte Anzahl
Die Wahrscheinlichkeit
logischen
Der
Ereignis
A. Man
selten markiert.
entspricht weitgehend
entspricht dem Grad des
Grad des Vertrauens
Richtigkeit
gibt.
In der
der sub¬
Vertrauens
Logik bestätigt
oder Falschheit einer
d.h. kann mit ihr keine
eine
Hypothese.
eindeutige Aussage gemacht
die Wahrscheinlichkeit an, inwieweit die Information die
Aussage bestätigt.
lautet
logische Wahrscheinlichkeitsbegriff geht jedoch
Informationen die
ungenügend,
jedoch
korrekte
Ereignisses
dabei der Gesamtheit der Informationen über das
nennt H auch Vorinformation. Einfachheitshalber wird H
Die
Richtigkeit
Diese Wahrscheinlichkeit ist für eine bestimmte Anzahl
von
ei¬
Infor¬
mationen konstant.
Die
Bayes'sche
Methode übernimmt die
keitsdefinition. Im
Gegensatz
zur
weniger
restriktive
subjektive
riable
Verteilung)
als Zufallsva¬
aufgefasst.
Bayes'sches
4.2
Die
werden unbekannte
frequentistischen Interpretation
Wahrscheinlichkeiten (oder auch unbekannte Parameter einer
Wahrscheinlich¬
Bayes'sche
Theorem
Methode basiert auf dem
Geistlichen und Mathematiker Thomas
Leben
(1991).
von
Thomas
Bayes
Bayes'schen Theorem,
das
Bayes (1702-1761) aufgestellt
ist nicht viel bekannt. Eine
Biographie
vom
englischen
wurde.
Über
das
findet sich in Dale
Das Theorem sowie seine darauf aufbauende Theorie "The Scholium" sind
je-
35
Bayes'sche Methode
doch erst nach seinem Tode 1763
solving
kel "An essay toward
fügte
den. Price selber
zu.
a
seinem Freund Richard Price
von
in the doctrine of chances" veröffentlicht
problem
der Arbeit
Bayes
von
Gemäss Gillies
(1987)
darf angenommen
derjenigen
Bayes
deckt. Das
mit
von
nur
eine
Einleitung
Bayes'sche
Denkweise wird jedoch
Anhang
und einen
wor¬
hin¬
werden, dass sich die heutige Interpretation
Theorem ist in seiner Form mathema¬
tisch korrekt und in der Fachwelt unbestritten. Die daraus
entsprechende
(1723-1791) im Arti¬
nur von
abgeleitete
einem engen
Theorie und die
Kreis, den Bayesianern,
an¬
erkannt.
Bayes'sche
Das
Theorem lässt sich
ten herleiten. Betrachtet
P(B |A)
P(A)
=
man
zwei
P(A;B)
=
Das
nen,
muss
B
zu
Ereignis
Vorgehen bei
Aufgrund
der Identität
(4.1)
Theorems:
der
um
berechnen unter der
aus
die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten
Voraussetzung,
dem Eintreten des
A natürlich mit dem
Ereignis
allgemeiner
der Vorinformation. Treten
Schätzung
neue
Quotient P(AIB)/P(A) zeigt auf,
P(BIA)
stehende Information über das Eintreten
zu
Zusammenhang
folgt interpretiert
Erkenntnisse
der Eintretenswahrscheinlichkeit
Die aktualisierte Wahrscheinlichkeit
A bereits
P(B) eine
kön¬
stehen.
werden:
erste
Schätzung
der sogenannten Priorwahrscheinlichkeit oder
Schätzung entspricht
Diese
Ereignis
Ereignisses A nutzen
B in einem
der Formel kann wie
Benutzung
dass ein
der bereits vorhandenen Kenntnis über B wird für
tualisiert. Der
aus
(4.2)
abgegeben.
sich die
folgt
•
ist. Um die Information
das
so
Wahrscheinlichkei¬
P(B) P(A]B)
Theorem wird verwendet,
Ereignisses
eingetroffen
und B,
bedingten
P-<^
Bayes'sche
eines
Das
=
Ereignisse A
Bayes'schen
direkt die einfachste Form des
P(B|A)
der Definition der
aus
von
von
wie die
(Ereignis A) auf,
so
verändert
B. Die Vorinformation wird ak¬
Aktualisierung
durchzuführen ist.
beinhaltet somit die ganze
zur
Verfügung
B. Sie wird Posteriorwahrscheinlichkeit ge¬
nannt.
Die
Verallgemeinerung
des
len Wahrscheinlichkeiten
in seiner
Bayes'schen
hergeleitet werden (O'Hagan, 1994).
allgemeineren Form
Das
Bayes'sche Theorem
lautet:
P(Bi)-P(A|Bi)
P(Bi|A)
Theorems kann mit Hilfe des Gesetzes der tota¬
P(Bi)-P(A|Bi)
l
l
(4.3)
=
=
p(A)
n
jrP(Bi)-P(A|Bi)
i= 1
Es
sen
gelten
dabei die
Voraussetzungen,
dass sich die
Ereignisse Bj gegenseitig
und die Summe ihrer Wahrscheinlichkeiten Eins
bei als verschiedene
thesen wahr. Die
Hypothesen
Hypothesen Bj
gen ist bekannt, dass ein mit der
ist. Mit Hilfe des
Ereignisses
ergibt.
Die
ausschlies-
Ereignisse B^ können da¬
betrachtet werden. Dabei ist genau eine dieser
können
jedoch
nicht direkt beobachtet werden.
Hypothese zusammenhängendes Ereignis
A werden die Priorwahrscheinlichkeiten
A
P(Bj)
Hypo¬
Hinge¬
eingetreten
zu
P(BjlA)
36
Bayes'sche Methode
aktualisiert. Wiederum addieren sich die Posteriorwahrscheinlichkeiten
nur
eine
wahr sein kann. Der Nenner
Hypothese
Wahrscheinlichkeiten
keiten
P(AIBj).
Das Eintreten des
P(Bj).
vergrössern,
Weitaus
Die
P(AIBj) grösser ist
wenn
häufiger ist
die
Beobachtung
von
werden
werden
zur
nur
derum einem
vollständig
Verteilungstyp
über deren Parameter
Unterscheidung
vernachlässigbar
einzigen
als
so
würde die
klein sein. Die Parameter
subjektiven
nur
der Zu¬
Ungewissheit.
Diese
zugeordneten
Hyperparameter bezeichnet.
entsprächen
Ver¬
Wäre ge¬
Ungewissheit
Wert und nicht einer Zufallsvariable. Diese
konsistent mit der
P(Bj)
welche mit Zufallsvariab¬
davon aus, dass der
Information über die Parameter vorhanden,
nicht existieren bzw.
Mittel aller
gewichtete Mittel.
selbst als Zufallsvariablen betrachtet. Die Parameter der
nun
teilungsfunktionen
nügend
gewichtete
Eins, da ja
bilden die Priorwahrscheinlich¬
quantitativen Daten,
man
besteht
so
zu
A wird die Priorwahrscheinlichkeit
als das
len beschrieben werden können. Geht
fallsvariablen X bekannt ist,
P(A)
Wichtungsfaktoren
Ereignisses
ist das
über sie
dann wie¬
Betrachtungsweise
ist
Wahrscheinlichkeitsdefinition. Die Formel
(4.3) lässt sich für den Gebrauch mit Dichtefunktionen wie folgt umschreiben:
f0(9)-fx(x|0)
f0(e|x)
j-^r
=
fe(9)-fx(x|9)
(4.4)
=
xi j
jf0(e)-fx(x|9)de
Die Vorinformation über den
gesuchten
Parameter 0 wird durch die Priordichtefunktion
f0(9) repräsentiert. Aus der Stichprobe wird
fx(x|9) bestimmt (siehe Kapitel 3.2.2, Seite 19).
wie die Posteriordichtefunktion
f0(9|x)
die
sogenannte Likelihoodfunktion
Das
Bayes'sche
Theorem
zeigt
nun,
als Kombination der Likelihoodfunktion und
der Priordichtefunktion berechnet wird.
Möchte
man
Formel
(4.4) die sogenannte prediktive Dichtefunktion bestimmt werden,
Parameter
zukünftige Beobachtungen yA Aussagen machen,
so
kann mit Hilfe der
wenn
über die
integriert wird:
fY(y|x)
Das
über
=
Integral
Jf0(9|x)-fY(y|e)de
auf der rechten Seite
steriorverteilung
(4.5)
von
Formel
(4.5) besteht
aus
dem Produkt der Po-
des Parameters 0 und der Likelihoodfunktion der
zukünftigen
Beob¬
achtungen.
Meist besitzen die Zufallsvariablen und ihre Parameter
Für
diskrete Zufallsvariablen
fx(x|9)
und
fx(x).
ergeben
sich
stetige Verteilungsfunktionen.
entsprechend diskrete Dichtefunktionen
Sollte der Parameter 0 diskret verteilt
sein,
so
sind die Prior- und
Posteriordichtefunktionen ebenfalls diskret verteilt. In diesem Fall ist in der Formel (4.4)
das
Integral
gewöhnlich
Das
im Nenner durch die
entsprechende
ist, wird hier nicht näher darauf
Bayes'sche Theorem
Summe
zu ersetzen.
von
ausser-
eingegangen.
ist nicht auf eindimensionale
schränkt. X oder 0 können Vektoren
Da dies eher
Verteilungsfunktionen
Zufallsvariablen sein.
Entsprechend
be¬
besitzen
sie mehrdimensionale Dichtefunktionen. Die Zufallsvariable X tritt dann als Vektor auf,
Bayes'sche Methode
wenn
mehrere
37
Beobachtungen vorliegen.
mehrere unbekannte Parameter,
so
ist
Besitzt die untersuchte
entsprechend die
Theorem sind für die Dichtefunktionen
Bayes'schen
mensionale Form einzusetzen. Es
riordichtefunktion
Verteilungsfunktion
Zufallsvariable 0 ein Vektor. Im
fx(x|9)
und
f0(0)
die mehrdi¬
sich somit auch eine mehrdimensionale Poste¬
ergibt
f0(0|x).
f(e1,...,ek|x1>...,xm)
(4.6)
=
f(x1,...,xm|e1,...,9k)-f(0lJ...,9k)
Jf(x!,
In der Formel
sen
(4.6) sind einfachheitshalber
die Indizes der Dichtefunktionen
worden. Sind die einzelnen Zufallsvariablen stochastisch
werden die
so
.,xm|91,...,9k)-f(01,...,9k)d91...d9k
mung der
eines
bedingten
bedingten
einzigen
f?(x|e)
Dichtefunktionen
ergibt
sich
unabhängig voneinander,
Randdichtefunktionen. Für die Bestim¬
zu
Dichtefunktion können diese einfach
Parameters 0
weggelas¬
multipliziert
werden. Im Falle
beispielsweise für die Likelihoodfunktion:
fx1(x1|8)-...-f^(xm|9)
=
(4.7)
Vielfach wird eine vereinfachte Schreibweise für die Formel (4.6) benutzt (Plate, 1993;
Benjamin
und Cornell,
tefunktion das Produkt
fpost(9)
1970). Gemäss
aus
von
4.3
ior(9)
(4.6) jeweils
mierungsfaktor
t(0)
k
auf Eins
fpost(9)
durch
Prinzip
fpost(9) ergibt
für
Abbildung 2.2,
des
Das
vorherigen
primär
aus
L(0).
dem Produkt
Da das
gegebene Beobachtungen konstant ist,
normieren.
Integration
der
sich
und der Likelihoodfunktion
zusammengefasst.
zu
(4.8)
Dessen
Häufig
Aufgabe
aus
Integral
wird
es
der Prior¬
im Nenner
in einen Nor¬
ist es, die Posteriordichtefunktion
wird k erst nach
erfolgter Bestimmung
der Form
ermittelt.
Bayes'schen Methode
In diesem Abschnitt wird auf die erste Stufe der
he
Theorem ist die Posteriordich¬
k-L(0)-fpnor(9)
=
dichtefunktion f
f
Bayes'schen
drei Faktoren:
Die Posteriordichtefunktion
der Formel
dem
Bayes'schen
Seite 9). Weiter beschränken sich die
Abschnitts
allgemeine Vorgehen
dargestellt (in Anlehnung
besprochenen
Fall der
der ersten Stufe der
an
Methode
Ausführungen
auf den
am
Ende
quantitativen Daten.
Bayes'schen Methode
Broemeling, 1985).
eingegangen (sie¬
ist in
Abbildung
4.1
Bayes'sche Methode
38
Stochastisches Modell
Verteilungsfunktion Fx(x 16)
1
Prior analyse
Festlegung
Priorverteilung
der
f
ior(8)
1
Datenanalyse
Likelihoodfunktion
L(9)
1
Bayes'sches Updating
der
Festlegung
fpost(e)
=
Posteriorverteilung
k-L(e)fprior(9)
1
Posterioranalyse
Schlussfolgerungen
1
Punkt- oder
Intervallschätzungen
Abb. 4.1:
Voraussage von zukünftigen
Ereignissen (Punkte, Intervalle)
Hypothesentests
Allgemeines Vorgehen
bei der Benutzung der
Die einzelnen Teilschritte des
ersten
Stufe der Bayes 'sehen Methode
beinhalten die
allgemeinen Vorgehens
Erarbeitung folgen¬
der Punkte:
•
Stochastisches Modell
Als erstes wird das stochastische Modell
gewählt,
genschaften beschreiben
handelt
teilungstyps
•
zu
Prinzip
es
untersuchenden Ei¬
um
die Wahl des Ver¬
Verteilungstyp
kann auch durch
Vorinformation bereits bekannt oder normativ
überprüfen,
zu
sich hierbei
der betrachteten Zufallsvariablen. Der
entsprechende
dann
soll. Im
welches die
festgelegt
sein. Es
gilt
ob dieser der Datencharakteristik angepasst ist.
Prioranalyse
Historisch
te
gesehen
Hindernisgrund
ist die
Schwierigkeit
für die
Verbreitung
1996). Die Priorverteilung
wird
der
der
Festlegung
Bayes'schen
typischerweise
durch
der
Priorverteilung
Methode
Auswertung
(Carlin
der gröss-
und
Louis,
vorhandener Infor¬
mation, eben der Vorinformation, festgelegt. Als Vorinformation steht meist subjekti¬
ve
Information im
sen
Vordergrund.
Aber auch
objektive
kann benutzt werden. Zu beachten ist, dass das
meter der Zufallsvariablen
Parameter
Q{.
angewendet
Information
Bayes'sche
man
für die
anderen
Analy¬
Theorem auf die Para¬
wird. Gesucht ist also die
Wesentlich ist dabei, dass
aus
Bestimmung
Priorverteilung
der
der
Priorverteilung
Bayes'sche Methode
39
Stichprobe
die erhobene
berücksichtigt.
nicht
Bestimmung
sen
Probleme. Bei
Priorverteilungen
von
Betrachtung
augenfälligste Unterschied
fallsvariablen ist wohl auch der
Die
Die
Bestimmung jedoch
tisch angegangen werden. Am einfachsten wäre es, die
rameter zu beschreiben. Da dies insbesondere bei
schwierig ist,
rametern
beschrieben
wird die
(O'Hagan, 1994).
Verteilung
Verteilungstypen
Beschreibungen
pragma¬
Wesensmerkmale
des Modal¬
Schiefe und/oder des Definiti¬
kann eine
Verteilungsfunktion
angepasst werden. In der Regel existieren mehrere Verteilungstypen, welche
schreibung passen. Diese sind
teilung styps
in den meisten Fällen
Änderungen
zur
•
Folge
wenig Auswirkungen auf
Posteriorverteilung
die
Sensitivitätsanalyse überprüft werden,
nicht grosse
Änderungen
der
Posteriorverteilung
haben.
19).
besteht in der
Datenanalyse
Auswertung
ist die Likelihoodfunktion
Beobachtungen
einer
zu
Stichprobe.
berechnen
Aus den vorhandenen
(siehe Kapitel 3.2.2, Seite
Sie enthält die Information, welche lokal gewonnen werden kann.
Bayes'sches Updating
Mit Hilfe des
Bayes'schen
schieht durch die
Theorems wird die
Posteriorverteilung
muss
auf Eins normiert werden. Im
keiner bekannten Dichtefunktion
Posteriorverteilung
bestimmt. Dies ge¬
der Likelihoodfunktion mit der Priordichtefunktion.
Multiplikation
Die Fläche unter der Kurve
•
Be¬
Datenanalyse
Die
•
Priorverteilung
der
zur
sich jedoch sehr ähnlich. Damit wird die Wahl des Ver¬
haben. Es sollte trotzdem immer mittels einer
ob
gros¬
mit mehreren Pa¬
beispielsweise Schätzungen
Standardabweichung,
onsbereiches sein. Mit Hilfe solcher
einige
nur
durch ihre Pa¬
Priorverteilung
besten durch
am
Dies können
werts, Medians, Mittelwerts, der
klassischen Statistik.
zur
objektiver Information bietet keine
aus
Information kann die
subjektiver
der Parameter als Zu¬
allgemeinen
wird die
folgen.
Posterioranalyse
Die
Posteriorverteilung repräsentiert
letzte
Aufgabe
der
Bayes'schen
Sehr informativ ist die
diese Art kann
kann dabei auch die
funktion sein. Als
mungen
von
Methode besteht in der
Darstellung
sich
man
am
das gesamte Wissen über die Parameter. Die
der Dichtefunktion der
besten ein Bild
gleichzeitige Darstellung
analytische Auswertungen
Vertrauensintervallen oder
im
von
Hypothesentests
Die
Posteriorverteilung
von
der
dieses Wissens.
Posteriorverteilung.
Auf
ihrer Form verschaffen. Hilfreich
Priorverteilung
stehen
und der Likelihood¬
Parameterschätzungen,
Vbraussagebereiche
oder die
Bestim¬
Durchführung
Vordergrund.
für die Parameter führt
Zufallsvariable X. Aus dieser
Schlussfolgerungen
Auswertung
zu
Posteriorverteilung
einer
Posteriorverteilung
können wieder alle
gezogen werden. In diesem Fall erhält
man
für die
obengenannten
direkt
Angaben
über
die Zufallsvariable X.
Die
Standardabweichung
der
Posteriorverteilung
dient als Indikator für die
kraft der gewonnenen Information. Ist sie relativ gross,
so
Aussage¬
wird die Posteriorinforma-
40
Bayes'sche Methode
tion als schwach bezeichnet. Eine kleine
grosse
Aussagekraft hin. Allgemein
Standardabweichung hingegen weist
kann
man
Likelihoodfunktion nach der Grösse ihrer
Mittelwert näher bei
Bayes'sche
der
sagen, dass die
Priorverteilung
Mittelwert
und die
werden. So wird
Aussagekraft gewichtet
demjenigen
auf eine
liegen,
der
aus
der Infor¬
grösseren Aussagekraft bzw. Standardabweichung kommt (Kroon,
mation mit der
1994; Rüttener, 1995). Entsprechend wird eine Priorverteilung mit kleiner Standard¬
abweichung praktisch
ändert.
Umgekehrt
bestimmt,
wird die
der Likelihoodfunktion
ver¬
allein durch die Likelihoodfunktion
Posteriorverteilung
Priorverteilung
die
wenn
Multiplikation mit
nicht durch die
eine sehr grosse
Standardabweichung aufweist,
d.h. die Vorinformation sehr vage ist.
Bestimmung
4.4
Priorverteilungen
von
In diesem Abschnitt wird auf die
formation
eingegangen.
Literatur verwiesen
Für die
Bestimmung
Priorbestimmung
(Berger, 1980).
(1986). Weitergehende Hinweise
Alle Verfahren
gehörende
zur
Bestimmung
Bestimmung
Priorverteilungen
von
beispielsweise
subjektiver
In¬
Information sei auf die
Priorverteilungen
von
(1967), Berger (1980) und
Wahrscheinlichkeit direkt. Es wird kein
genommen, welches
objektiver
aus
aus
Hilfreich für das Verständnis ist auch Silverman
zur
Information finden sich in Winkler
Priorverteilungen
von
mit Hilfe
in Kleiter
erheben die
Umweg
zu
subjektiver
aus
(1980).
einer Realisation
über ein Präferenzurteil
hypothetischer
vor¬
Lotterien oder Wetten
zu¬
stande kommt. Die Verfahren werden deshalb als direkte oder ad hoc Verfahren bezeich¬
net
(Schaefer, 1976).
Anlehnung
an
können
Berger (1980)
Priorverteilungen
Histogrammansatz
Der Wertebereich bzw. der
gleichmässige
lichkeit
on
Intervalle
zugesprochen.
angenähert.
Hauptteil
(Klassen)
des Wertebereichs des Parameters 9 wird in
unterteilt. Jedem Intervall wird eine Wahrschein¬
Das erhaltene
Histogramm
wird
Anstatt direkt die Wahrscheinlichkeiten
lative oder absolute
Häufigkeiten benutzt werden.
nun
zu
Es
gibt
keine
Regeln,
wieviele Intervalle
aufweisen sollen. Auch bei der Wahl des
nicht einmal auf die Wahl eines
man
freier
man
durch eine Dichtefunkti¬
schätzen, können auch
Diese müssen natürlich
passung durch eine Dichtefunktion in Wahrscheinlichkeiten
•
nach fol¬
Ansätzen bestimmt werden:
genden
•
In
umgewandelt
vor
re¬
der An¬
werden.
benutzen soll und welche Breite diese
Verteilungstyps
ist
man
frei. Im
Prinzip
ist
Verteilungstyps angewiesen (siehe verteilungs¬
Ansatz).
Verteilungsgebundener Ansatz
Zunächst wird ein
bzw.
Die
Verteilungsfunktion
Festlegung
zung
Verteilungstyp
von
zu
angenommen. Es
nun,
diejenige
finden, welche die Vorinformation
kann entweder über die
Fraktilwerten
gilt
erfolgen.
Schätzung
Meist sind
nur
am
Dichtefunktion
besten beschreibt.
der Momente oder über die Schät¬
zwei oder drei Fraktilwerte notwen-
Bayes'sche Methode
dig,
41
eine Dichtefunktion
um
wendig verwenden,
funktion
Fraktilwerte den
bestimmen. Möchte
ist zunächst mit der minimal
so
festzulegen.
zu
Es
muss
notwendigen
überprüft werden,
nun
Erwartungen entsprechen.
Anzahl die Dichte¬
ob die daraus resultierenden
Tun sie dies
nicht,
so
ist mit einer anderen
Fraktilwerfkombination die Dichtefunktion
zu
Verteilungstyp
der Dichtefunktion bei einer
ändern. Die
zu
Bestimmung
bestimmen. Allenfalls ist
mung durch Fraktilwerte ist recht mühsam. Es ist somit
Überbestimmung
Ein
ten
Spezialfall
des
hat die
verteilungsgebundenen Ansatzes
Eigenschaft,
Eine
dass die
zur
somit auch deren
den
selben
Analyse
(Wickmann, 1990):
"Die
verteilungen konjugiert,
F sind.". Es existieren
Multiplikation
nur
Smith
Verteilungsfreier
die Priori- und die
für die Familie der
von
sogenann¬
konjugierte
Priorver¬
ergibt.
Die
Posteriorverteilung
und
konjugierte Verteilung gehört
kann wie
F heisst
zur
folgt definiert
wer¬
Familie P der Versuchs¬
Posteriori-Verteilung Mitglieder von
Exponentialverteilungen konjugierte
finden sich in Plate
(1993),
Bernardo und
(1995).
Ansatz
Experten
Verteilungsfunktion
gewonnen.
Stützwerten. Die daraus resultierende
henden
Benutzung
1994; Bernardo und Smith, 1994; Carlin und Louis, 1996).
Bei diesem Ansatz wird die
von
einer
von
der Likelihoodfunktion mit der
Begriff "konjugiert"
konjugierten Verteilungen
(1994) und RCP
Befragung
Der
Verteilungsfamilie
wenn
Verteilungen (O'Hagan,
ist die
wird stark vereinfacht. Eine
Verteilungsfamilie.
Tabellen mit
empfehlenswert,
Likelihoodfunktion
Priordichtefunktion eine bekannte Dichtefunktion
zur
nötig, den
Überbestim¬
es
abzusehen.
konjugierten Priorverteilungen.
teilung
•
mehr Fraktilwerte als not¬
man
Verteilungstyp folgen.
oder die Dichtefunktion durch die
Gefragt wird
nach Fraktilwerten oder anderen
Verteilungsfunktion muss jedoch
keinem beste¬
Die Fraktilwerte können mit numerischen Urteilen
oder mit Relationsurteilen bestimmt werden
(Kleiter, 1980). Bei den Verfahren mit
numerischen Urteilen wird direkt nach dem Median und weiteren Fraktilwerten
ge¬
Möchte
eine
man beispielsweise
Dichtefunktion bestimmen, so erfragt man bei¬
fragt.
spielsweise
liegen
den Modalwert und die
und halb
x-Werte, welche links und rechts
grosse Ordinaten
so
aufweisen, wie folgt:
nung nach wahrscheinlichsten Wert. Nennen Sie
nun
vom
Modalwert
Nennen Sie den ihrer Mei¬
zwei Werte, welche etwa halb
wahrscheinlich sind und jeweils darüber bzw. darunter
so
liegen.
Bei Verfahren mit Relationsurteilen wird die Ordinate der
Verteilungsfunktion
oder
Dichtefunktion bzw. als Alternative die Fläche der Dichtefunktion sukzessive unter¬
teilt. Meist erhebt
50%-,
und
man
Tertile (33%- und
75%-Fraktilwert).
Die
Nennen Sie den Wert, der ihrer
67%-Fraktilwert)
oder
Quartile können beispielsweise
Meinung
nach mit
bzw. unterschritten werden kann. Nennen Sie
nun
so
Quartire (25%-,
erfragt
werden:
50%-iger Wahrscheinlichkeit
den
über-
Wert, der mit 25%-iger Wahr¬
scheinlichkeit unter- bzw. überschritten wird.
Durch die mittels
Diese soll den
Befragung
Prinzipien
erhaltenen Fraktilwerte wird eine
einer
stetige
Verteilungsfunktion folgen. Prinzipiell
Kurve
kann
gelegt.
irgendei-
42
Bayes'sche Methode
ne
beliebige Verteilung gewählt werden,
kümmern. Dies ist
möglich,
da die
ohne sich
fizierte
einbezogen
völlig unregelmässigen
•
oder gar entarteten
jedoch
irgendeinen
als
zifizierte oder
wird das
ohne
der Annahme aus, dass keine Informa¬
entspricht
muss
Fall keine
zu
d.h. die Likelihoodfunktion und somit die Da¬
Priorverteilung hängt
von
der funktionalen Form
g(9)
von
beziehen. Eine
Gleichverteilung
nicht informativen
für
g(9).
nicht informativen
beispielsweise der
für den Parameter 9 ist in diesem
Eine ausführliche
Priorverteilungen findet
(1996). Vereinfacht kann
Carlin und Louis
ab, in welcher
in der Likelihoodfunktion auf, dann ist die Priorvertei¬
geeignete Priorverteilung
Festlegung
also
f(9),
Posteriorverteilung.
Parameter 9 in der Form
g(9)
interpre¬
Daraus entsteht natürlich eine unspe-
der betrachtete Parameter in der Likelihoodfunktion erscheint. Tritt
auf
so
Dichtefunktion. Da keine Präferenzen vorhanden sind,
Bayes'sche Updating objektiv,
Die nicht informative
lung
dabei
eine konstante Dichtefunktion
Definitionsgrenzen.
uneigentliche
ten bestimmen die
verzichtet.
keinen Wert oder Wertebereich als wahrscheinlicher einstuft
anderen. Dem
Gleichverteilung
eine
von
Priorverteilungen
Priorverteilung geht von
man
Unspezi-
auf den Gebrauch
Verteilungsfunktionen
tion über den Parameter 9 vorhanden ist. Keine Information
tiert werden, dass
zu
grösser als Eins können in die
werden. Sinnvollerweise wird
Nicht informative oder diffuse
Die nicht informative
die Fläche Eins aufweisen.
muss
mit Flächen kleiner oder
Verteilungsdichten
Konstante k
deren mathematische Form
Methode auf einer rein numerischen
Bayes'sche
Basis arbeitet. Die Posteriordichtefunktion
um
Priorverteilungen
man
Erläuterung
sich in
folgende Regeln
für die
Berger (1980) und
für die Wahl
von
(Plate, 1993):
aufstellen
Erscheint der Parameter 9 in linearer Kombination mit den Daten in der Likelihood¬
funktion,
so
ist die Priordichtefunktion konstant. Erscheint der Parameter
der Form 1/9
zu
2
in der Likelihoodfunktion,
so
ist die Priordichtefunktion
hingegen
in
proportional
1/92.
Die
Benutzung
von
matisch werden,
ausführlichere
nicht informativen
wenn
sie
zu
Beschreibung
nicht
Priorverteilungen
kann mathematisch
spezifizierten Posteriorverteilungen
der Problematik bei der
Benutzung
von
proble¬
führt. Eine
nicht informati¬
ven
Priorverteilungen und der philosophische Hintergedanke
gan
(1994), Bernardo und Smith (1994) sowie Carlin und Louis (1996)
kann den Werken O'Ha¬
entnommen
werden.
Hat der
so
ist
Verteilungstyp
entsprechend
der betrachteten Zufallsvariablen mehrere unbekannte Parameter,
eine multivariate Priordichtefunktion
zu
bestimmen. Die Bestim¬
mung der Priordichtefunktion ist bereits bei zwei unbekannten Parametern
komplex.
den. Sie
Die bivariate Priordichtefunktion
muss
tefunktion
dass die
spricht
beispielsweise
f0(92)
über die
^(9^ 92)
bedingte Dichtefunktion
bestimmt werden. Als
Vereinfachung kann
Randpriordichtefunktionen unabhängig
die Priordichtefunktion der
(0ls 92)
kann nicht direkt bestimmt
f0(91|92)
man
wer¬
und die Dich¬
auch davon
ausgehen,
voneinander sind. In diesem Fall ent¬
Multiplikation
aller
Randpriordichtefunktionen.
Die
Bayes'sche Methode
43
Randpriordichtefunktionen
den. Mehr über die
können somit auch
Bestimmung
unabhängig
voneinander bestimmt
wer¬
multivariaten Dichtefunktionen findet sich in
von
O'Hagan (1994).
Berechnungsverfahren
4.5
Die
der
Bestimmung
besondere auch die
Posteriorverteilung nach
sem
von
Integralen. Einzig
verteilungen
Fall
(4.4), (4.6) bzw. (4.8) und ins¬
Posterioranalyse (Momentenbestimmung, Fraktilwertberechnung)
basiert auf dem Lösen
nalen
der Formel
vermeidet
komplexen und,
die
Benutzung
im Fall mehrerer Parameter, mehrdimensio¬
Likelihoodfunktion
von zur
aufwendige Berechnungen.
ja einer bekannten Verteilungsfunktion,
Die
von
Posteriorverteilung folgt
der
man
einfach die
rameter oder Momente bestimmen kann. In allen anderen Fällen ist
Berechnungsverfahren angewiesen.
oder numerische
Verfahren, numerische
den werden die
Integrationsverfahren
wichtigsten
Verfahren kurz
den sich in Bernardo und Smith
Einige Berechnungs verfahren
g(9)
=
L(9)
Die Funktion
4.5.1
g(9)
Diese ist für die
durch eine
der
Wenn der
Stichprobenumfang
Bayes'schen
von
Darstellungen fin¬
Carlin und Louis
(1996).
auf der Form
der
Posteriorverteilung nur
Posterioranalyse
Verfahren
gross ist,
zur
so
haben kleine
nicht
explizit
zu
durch die Normie¬
bestimmen.
Bestimmung
der
Posteriorverteilung ist die
Man könnte das Verfahren als eine An¬
ist die Likelihoodfunktion in einem engen Be¬
Abweichungen
der Priordichtefunktion
nur
ge¬
auf die Posteriordichtefunktion. Für diesen Fall ist die Posteriorver¬
einem Theorem
g(9)«g(mo)-
folgen¬
Version des Zentralen Grenzwertsatzes bezeichnen.
Folglich
ringe Auswirkungen
teilung gemäss
lediglich
Normalverteilung.
wendung
reich konzentriert.
asymptotische
Verfahren
asymptotisches
Approximation
Ausführlichere
Pa¬
analytische
und Simulationen unterteilen. Im
dargestellt.
in die¬
(4.9)
unterscheidet sich
Asymptotische
Ein einfaches
auf
fprior(9)
•
rungskonstante k.
man
Prior¬
benötigten
Diese lassen sich in
(1994), O'Hagan (1994) und
basieren
konjugierten
(Carlin und Louis, 1996) näherungsweise normalverteilt:
( (9-mo)T-V
1-(9-moV
(4.10)
exp
V
Es wird dabei vorausgesetzt, dass für die Likelihoodfunktion und die Priordichtefunktion
die ersten beiden
Erwartungswert
teilung
Ableitungen
der
um
den Modalwert der
Normalverteilung entspricht
und die Varianzmatrix V der
negativen
Posteriorverteilung
existieren. Der
dann dem Modalwert der Posteriorver¬
zweiten
Ableitungsmatrix
der
logarith-
44
Bayes'sche Methode
mierten Posteriordichtefunktion ausgewertet für den Modalwert. Der
berechnet sich
aus
A(log(g(9))>
Die Varianzmatrix
(
v-!
Die
A(log(fprior(9)
=
ergibt
sich
L(9))>
'
der korrekten
von
von
Approximation
v
mit der
nun
L(5c)
=
X
angenäherten Normalverteilung durchgeführt.
Posteriorverteilung
Beispiel
einer
von
X schreibt sich
•
exp(-X,
n
J£_.,p-,
^
F7^
Verfahren erhalten
(1994)
wer¬
sowie in
X mit
EX(X;0)
dienen. Die
zu:
(4.13)
m[x])
•
'
eXP (~b
•
•
wird die
zur
Likelihoodfunktion
*)
konjugierte
zwei-
(4-14)
r(p)
Em
Jpost,
b
+ n
p
_
Vergleich
sich für den
Erwartungswert
und für die Varianz der
n-i
+
p
=
Normal
r.,
varLAJpost,
Als
Laplace
exp(-A, x)
Eingesetzt in Gleichung (4.11) und (4.12) ergeben
angenäherten Normalverteilung:
L
sie stark
abweicht. Insbesondere in
exponentialverteilten Zufallsvariablen
Stichprobenumfang ist. Als Priorverteilung
parametrige Gammaverteilung GA(b;p;0) gewählt.
=
wenn
Die
gross sein.
kann mit dem sogenannten
der
fpriorM
sind dann gross,
Normalverteilung
Abweichungen
Dichtefunktion und die Likelihoodfunktion
%
moy
(1996).
Zur Illustration soll das
=
=
diesem Verfahren findet sich in Bernardo und Smith
zu
Carlin und Louis
fx(x)
(4.12)
///le
der Form einer
den Endbereichen können die
den. Näheres
(4.11)
aus:
&vPrV
schief ist, d.h. sehr stark
Eine bessere
0
V1
^9jJ9j
Abweichungen
n
=
.<log(frior(9)-L(9)))|
Posterioranalyse wird
wobei
•
,2
d
=
v
Erwartungswert
folgender Gleichung:
.
+
m[x]
(4.15)
n-1
~
Normal
(b
+ n
m[x])
•
2
wird die
"genaue" Posteriorverteilung bestimmt. Da für die Priorverteilung eine zur Likeli¬
konjugierte Verteilung gewählt wurde, entspricht die Posteriorverteilung wiederum einer
Gammaverteilung. Ihre Dichtefunktion schreibt sich zu:
hoodfunktion
W*>
Der
(b
n-m[x])p
+
r(p
Erwartungswert
post, Gamma
var[A,] post, Gamma
+ n
_.._,
+
^P
~}
=
+
n"-exp(-À-(b
und die Varianz dieser
b
+ n
•
+
n-m[x]))
Gammaverteilung
berechnen sich
(4.16)
zu:
m[x]
(4.17)
p + n
(b
+ n
m[xj)
Die Unterschiede sind in diesem
2
Beispiel
bereits bei kleinen
Stichprobenumfängen
klein. Die Form der
Bayes'sche Methode
Verteilungsfunktion
funktion etwas
45
jedoch unterschiedlich. So treten insbesondere
grössere Abweichungen auf (siehe Abbildung 4.2).
ist
an
den beiden Enden der Dichte¬
2.0
Priorverteilung:
GA(5;3;0)
Stichprobe:
m[x]
1,
=
n
10
=
Approximation durch
Normalverteilung
Posteriorverteilung
2.0
Abb. 4.2:
der
konjugierten Posteriordichtefunktion mit der angenäherten Normalverteilung
Numerische
4.5.2
Das
Vergleich
X
Integrationsverfahren
allgemeine Prinzip
der numerischen
formeln genannt, kann wie
folgt
Es sei I das eindimensionale
Integrationsverfahren, häufig
auch
Quadratur¬
beschrieben werden:
Integral
b
I
Die
Jk(x)dx
=
(4.18)
Quadraturformeln nähert
k(Xj)
I
ausgewählten
an
I durch die Summe
Stützwerten Xj
i
=
Funktionswerten
aus
[a, b] mit Wichtungsfaktoren Wj:
(4.19)
l
Die verschiedenen
Quadraturformeln
Stützwerte und/oder anderer
Die einfachste
Quadraturformel unterteilt
Wichtungsfaktoren
nommen.
Es
n
£k|a
Die Funktion
i
=
an
der Stelle der
Unterteilung
den
entsprechen
werden
+
Integrationsbereich [a, b]
es
wird somit durch
Mittelpunkte
gleich
n
Gewichtung vorge¬
(4.20)
n
Rechtecke mit Basis
(O'Hagan, 1994).
Computerunterstützung
k(x) nicht
stimmen. Wenn das
zu
(b
-
und Höhe
a)/n
der Basen ersetzt. Für eindimensionale
in 100 Intervalle
dass die Funktion
wird keine
2-n
Falls eine höhere
derlich ist, kann die Anzahl Intervalle erhöht werden. Die
formel ist mit
anderer
den Mittelwerten der einzelnen Intervalle
eins gesetzt, d.h.
zu
in
(2-i-l)-(b-a)
l
k(x)
die
Verwendung
sich somit
ergibt
=
unterscheiden sich in der
Wichtungsfaktoren.
grosse Intervalle. Die Stützwerte
I
Produkten
£wrk(Xi)
=
und die
e
von
zu
ohne Probleme
komplex ist,
bestimmende
Integral
um
Integrale genügt
Genauigkeit
Anwendung
möglich
k(xt)
dieser
unter der
erfor¬
Quadratur¬
Voraussetzung,
die einzelnen Funktionswerte
nicht über einen endlichen Bereich
zu
zu
be¬
inte-
Bayes'sche Methode
46
sondern über [-°o5 oo],
grieren ist,
so
Integrationsbereich [a, b]
ist der
dass die Funktionswerte ausserhalb dieses Bereiches
Wendet
man
teilung
an, so
Quadraturformel
diese
so
weit
vernachlässigbar klein
Erwartungswertbildung für die
auf die
zu
setzen,
sind.
Posteriorver¬
sich:
ergibt
£ h(9j)
g(9j)
•
E[h(9)]~i:^
(4.21)
Sg(6i)
i
Für die
i
=
Bestimmung des Erwartungs wertes E[ 9] beispielsweise ist h( 9)
Eine
Vereinfachung ergibt sich,
lung
durch
sem
Fall kann die sogenannte Gauss-Hermite
allenfalls
eine,
wiederum
9 zusetzen.
annimmt, dass die Posteriorvertei¬
multivariate, Normalverteilung genähert werden kann. In die¬
(Naylor und Smith, 1982).
I
wenn man
=
Quadraturformel angewendet werden
Intégral
Das
j exp(-t2)-k(t)dt
=
(4.22)
—oo
wird durch diese
genähert.
faktoren finden sich
nom vom
Grade
zum
(2n
1
-
Tabellen für die
Beispiel
),
so
entsprechenden
in Salzer et al.
ist die
Approximation
2
Posteriorverteilung proportional zu exp(-t ),
führt die Gauss-Hermite
nimmt
man
folglich
(1952).
Quadraturformel
zu
Stützwerte und
Ist die Funktion
Wichtungs¬
ein
k(t)
Poly¬
exakt. Mit anderen Worten, ist die
d.h. ist der Parameter 9 normalverteilt,
so
exakten Resultaten. In den meisten Fällen
Normalverteilung N(ix0;a0) folgt. Es muss
Standardisierung durchgeführt werden. Die Gauss-Hermite Quadra¬
an, dass der Parameter 9 einer
zuerst eine
turformel schreibt sich
oo
zu:
n
Jg(e)d9=2wVg(Zi)
i
-oo
1
=
(4.23)
w'j
zj
=
wr
=
n.0
J2-GQ
exp(tj)-
J2
+
G0
•
t4
Wichtungsfaktoren, tj
wobei wj die
Gauss-Hermite
die Stützwerte und
Quadraturformel sind.
•
\Iq
+
berechnen
•
-^
i
=
Posteriorverteilung
Vorinfor¬
h(9;) g(9i)
IK
Öi
aus
folgt:
£ w'j
E[h(6)]
die Anzahl Stützwerte der
Die Parameter \i0 und o0 müssen
mationen gewonnen werden. Die Erwartungswerte der
sich somit wie
n
J2
=
l
rj0 t4
g(9i)
<4-24)
Bayes'sche Methode
Eine gute
47
wird in den
Näherung
häufigsten
Fällen bereits mit acht Stützwerten erreicht
(O'Hagan, 1994).
Im multivariaten Fall wird die Gauss-Hermite
Quadraturformel
sukzessiv auf die ent¬
sprechenden Randverteilungen angewendet (kartesische Produktregel):
j...Jg(91,...,9k)dt1...dtk
£wf .g(z«,...,z^)
=
Für mehr als sechs Parameter wird die Gauss-Hermite
habbar. Für diese Fälle müssen effizientere
(4.25)
Quadraturformel nicht mehr
Quadraturformeln oder andere Berechnungs¬
verfahren benutzt werden. Hinweise dazu finden sich in Bernardo und Smith
in
hand¬
(1994) und
O'Hagan (1994).
Für
beliebige
den. Dies ist
Parameterdefinitionen
beispielsweise notwendig,
finiert ist. Parameter, welche
vorgängig
muss
eine Substitution
durchgeführt
falls der Parameter nicht im Bereich
im Bereich
beispielsweise
sind, können mittels der Transformation <|)
bzw.
log(9)
=
wer¬
[-<», oo] de¬
[0, °o] oder [a, b] definiert
<|)
=
log(9-a)-log(b-9)
in die normalverteilte Form überführt werden. Im multivariaten Fall können die Trans¬
formationen für
jeden
Parameter einzeln
durchgeführt
durch die Parametertransformation auch eine
Posteriorfunktion entsteht. Die Vertei¬
wird durch eine Parametertransformation
lungsfunktion g(9)
von
9
zu
§
=
t(9)
in die
Verteilungsfunktion
neue
g*(4>)
IU(<t>)II
=
umgewandelt.
Ableitungen
g(t_1(cp))
•
Dabei ist t~
(()))
von t
Transformation soll
eine
neue
werden. Zu beachten ist, dass
(<)))
nach
jedoch
(4.26)
<|>
und
||J((j))||
auch dann
Normalverteilung genähert
Die Gauss-Hermite
die Umkehrfunktion
chen,
wenn
neue
sich die
g(9)
die Jacobimatrix der
der Determinanten. Eine
wenn
gJ§)
besser durch
.
bezüglich
angewendet.
der Startwerte \iQ und G0
Man benutzt die berechneten Er¬
Startwerte für eine weitere Iteration. Die Iteration wird
Erwartungswerte
Zur Illustration wird das
Absolutbetrag
kann sensitiv
sein. Aus diesem Grund wird sie iterativ
wartungswerte als
t(9), J(<)))
durchgeführt werden,
wird als
Quadraturformel
der
zu
abgebro¬
stabil verhalten.
Beispiel des vorhergehenden Kapitels herangezogen. Für eine exponentialverEX(^;0) wurde eine Stichprobe mit zehn Werten erhoben. Der Mittelwert
Die Priorverteilung ist eine Gammaverteilung GA(5;3;0). Die Funktion g(0)
teilte Zufallsvariable X mit
ergab
sich
zum[x]
schreibt sich somit
g(X)
=^T-Ä,n p_1-exp(-Ä.-(b
+
=
r(p)
Da der Parameter
geführt
1.
=
zu:
X
nur
im Bereich
=
g(<l>)
=
n-m[x]))
[0, °°] gültig ist,
werden. Die daraus resultierende
4>
+
(4.27)
muss
zunächst eine Parametertransformation durch¬
Verteilungsfunktion ergibt
sich
zu:
iog(a.)
bP
pTTT
(exp(<)>))
pexp(-exp((())-(b
(4.28)
+
nm[x]))
48
Bayes'sche Methode
Die Momente
g((j>)
h((|>)
lassen sich mit der
von
des Mittelwertes
=
Gleichung (4.24)
und der Varianz
(j>
h(<|>)
ändern sich die Momente nicht mehr. Die Resultate sind
stimmung
mit
sind in diesem Falle
Lösung
in Tabelle 4.1
konjugierter Verteilung
bestimmen. Dabei wird für die
zusammen
dargestellt.
mit
denjenigen
Die
Abweichungen
aus
der Momentenbe¬
von
der exakten
gering.
konjugierte Verteilung
Gauss-Hermite
mtHost
0.8676
0.8667
var[À,]post
0.06265
0.05778
Momente der
Tab. 4.1:
Berechnung
gesetzt. Bereits nach drei Iterationen
(<j)-m[<t>])
=
Posteriorverteilung
Quadraturformel
Gauss-Hermite
aus
Berechnung
der
und mittels der
mittels der
konjugierten Vertei¬
lung
Simulationen
4.5.3
Simulationen, auch Monte Carlo Integrationen genannt, generieren eine Stichprobe der
Die Momente dieser
Posteriorverteilung.
der
Mit zunehmendem
Posteriorverteilung.
setzt
ren
g(9)
=
dass
voraus,
L(9)
riorverteilung
f
•
eine
Dichtefunktion
nun
wie
folgt
s(9)
annähert. Die
in den
generiert
"Importance Sampling"
rior(9) ungefähr
kann
Stichprobenumfang
für die Zufallszahlen direkt
Fällen kommt das sogenannte
sind Schätzwerte für die Momente
Posteriorverteilung folgt
werte den exakten Werten. Die
Verteilungsfunktion,
Stichprobe
zur
nähern sich die Schätz¬
wenigsten
Fällen einer
werden können. In solchen
Dieses Verfah¬
Anwendung.
existiert,
welche
Erwartungswertbildung
die
Funktion
für die Poste¬
vorgenommen werden:
il
E[h(9)]
ZW w<öi>
Jh(9)-w(9).s(9)d9
=
jw(9)-s(9)d0
2>(9i)
i
mit
w(9)
=
g(9)/s(9)
Die Güte der Schätzwerte ist
s(9).
Eine gute
niger konstant
abhängig
Schätzung ergibt sich,
ist. Die Wahl
von
s(9)
der Güte der
falls die
führt dies
jedoch zu
Rücksicht auf das Verhalten
Sampling"
g(9)
durch
mehr oder
von
g(9)
we¬
in den
kann die
an
verwendet werden. Für schiefe
Approximation.
Integrationen.
Dies sind unter anderem das
und die "Markov Kette Monte Carlo" Methode. Näheres
Methoden finden sich in Bernardo und Smith
und Louis
von
weniger symmetrischen Verteilungen
keiner guten
Es existieren weitere Monte Carlo
Approximation
Wichtungsfunktion w(0)
Posteriorverteilung angenäherte Normalverteilung
Verteilungen
ren
von
muss
Endbereichen nehmen. Bei mehr oder
die
(4.29)
1
=
zu
"Rejection
diesen und weite¬
(1994), O'Hagan (1994) und Carlin
(1996).
Zur Illustration wird wiederum das
tialverteilte Zufallsvariable X mit
Beispiel
EX(X;0)
der
vorhergehenden Kapitel herangezogen. Für eine exponenStichprobe mit zehn Werten erhoben. Der Mittel-
wurde eine
Bayes'sche Methode
49
1. Die Priorverteilung ist eine Gammaverteilung GA(5;3;0). Als Funktion
ergab sich zu m[x]
s(9) wird die angenäherte Normalverteilung benutzt. Die Wichtungsfunktion w(0) ergibt sich somit zu:
wert
=
IM
w(X)
+
•À,n
P
exp(-A, (b+
n
m[x]))
(4.30)
2\
A-^n
"2 A aN
i
exp
fïîz
wobei
(4.15)).
(|lN;0"N)
das Resultat
Die Resultate
von
aus
der
Berechnung
mation durch eine
Abweichungen an den
Normalverteilung ist besser,
durchgeführt wird.
Dies führt auch
Der Einfluss der grossen
zu
jeweils
vorgängig
die
Streuung.
=
Simulation ohne Parameter¬
Simulation mit Parametertrans¬
formation
M post
var[A,]poSt
m
M post
var[X]p0St
0.8677
0.0620
0.8682
0.06666
2. Lauf
0.8597
0.05438
0.8677
0.06239
3. Lauf
0.8467
0.06791
0.8968
0.06599
4. Lauf
0.8655
0.05663
0.8699
0.06123
5. Lauf
0.8641
0.05761
0.8659
0.06183
6. Lauf
0.8106
0.11448
0.8673
0.06222
7. Lauf
0.8755
0.07227
0.8636
0.06161
8. Lauf
0.7393
0.17239
0.8669
0.06421
9. Lauf
0.8650
0.06358
0.8647
0.06698
10. Lauf
0.8217
0.10062
0.8694
0.06279
Momente der
Posteriorverteilung
und ohne vorgängiger
aus einem "Importance Sampling"
Parametertransformation
auf zwei und mehr
Erweiterung
Stehen zwei oder mehr
Stichproben
zur
Unabhängigkeit
und
X2
zur
W(elXl'X2)
=
=
der einzelnen
Verfügung,
so
mit
Stichproben
Verfügung,
quentiell angewendet werden (Kleiter, 1980;
dafür ist die
Die
stabileren Resultaten.
l.Lauf
Tab. 4.2:
proben X1
(siehe Gleichungen
dargestellt.
Approxi¬
Parametertransformation (j)
t(X,)
Enden resultiert in einer grossen
wenn
ist
lO'OOO Werten sind in Tabelle 4.2
transformation
m
4.6
Normalapproximation
mit der
zehn Simulationen mit
so
kann das
Carlin und
Stichproben.
schreibt sich die
Bayes'sche
Theorem
se¬
Louis, 1996). Die Voraussetzung
Stehen zwei
unabhängige
Posteriorverteilung
Stich¬
zu:
k-L(Xl'X2|6)-fprior(0)
(k-L(Xl|9)-L(x2|9)-fprior(9))
(4.31)
ocL(x2|9)-fpost(9|Xl)
Die
Posteriorverteilung
riorverteilung
als
der
Priorverteilung
zweiten
nen
aus
Stichprobe,
kann
sequentiell
Priorverteilung
für das nächste
so
erhält
man
und einer
Updating
die
(Priorverteilung, Stichprobe Xj
bestimmt werden, indem zunächst die Poste¬
Stichprobe
betrachtet. Verbindet
Posteriorverteilung,
und
X2)
bestimmt wird. Diese wird
man
diese mit der
welche alle drei Informatio¬
beinhaltet. Die
Reihenfolge
der
Verknüp-
50
Bayes'sche Methode
fung spielt
dabei keine Rolle. Man kann zuerst die
verknüpfen und
dann die
Stichprobe X2 einbinden,
Priorverteilung verknüpfen
ren zur
und dann erst die
gleichen Posteriorverteilung.
Stichprobe Xj
mit der
oder zuerst die
Stichprobe X±
Priorverteilung
Stichprobe X2 mit der
einbinden. Beide
Wege
füh¬
Informationsverknüpfung
5
Das hier
vorgestellte
welche mit
gewendet werden,
Für diese
nen.
keitspapier
Verfahren
zur
kann auf Eigenschaften
stetigen Verteilungsfunktionen
Verteilungsfunktionen
muss
zugehöriges
zusätzlich ein
an¬
beschrieben werden kön¬
Wahrscheinlich-
existieren. Das Verfahren ist somit anwendbar auf Zufallsvariablen, welche
insbesondere mit Normal- und
und
Informationsverknüpfung
Weibullverteilungen
sowie mit Gumbel-, Fréchet-
Lognormalverteilungen,
für Minima und Maxima und mit
schrieben werden können. Dies sind
Verteilungstypen,
Exponentialverteilungen
welche im Bauwesen
häufig
be¬
ver¬
wendet werden.
Grundidee und Verknüpfungsbasis
5.1
Die
Methode wird auf die Parameter der untersuchten Zufallsvariablen ange¬
Bayes'sche
wendet. Dazu sind Kenntnisse über die
jedoch bereits bei
sollte
folglich
ist
festzulegen. Hingegen
Grenzen oder die Momente der
knüpfung
schwierig,
einem unbekannten Parameter
weise über die Momente
nur
es
untersuchenden
zu
der Parameter
Priorverteilung
auf der Basis
als
Priorverteilung
eine
Eine Ver¬
Angaben durchgeführt
werden
derartige Verknüpfung möglich,
Likelihoodfunktion
zur
Priorverteilung beispiels¬
Eigenschaft anzugeben.
können. Für normalverteilte Zufallsvariablen ist eine
wenn
Es ist
relativ einfach, untere und obere
solchen
von
die
notwendig.
konjugierte Verteilung
benutzt
wird.
Die
Beschränkung
zeptabel.
Damit die Vorteile der
dem andere
die
Verteilungstypen
Normalverteilung ausgenutzt
nicht
Grundlage
sche
Das lineare
sen.
um
Das lineare
^
a +
=
und
ß
Verteilungstypen
das
hierfür ist das lineare
Regressionsmodell
wird benutzt,
vorgenommen.
zugehörigen Wahrscheinlichkeitspapier
erlaubt es, für alle
gleiche
Verteilungsfunktionen
als Geraden. Diese
Kapitel
für
3.3.3
(Seite 27) eingeführt. Es
Wahrscheinlichkeitspapier
Abweichungen
in
v-Richtung
ß-Ui + 8vi
lungsfunktion
im
Eigenschaft
Regressionsmodell.
eine Gerade einer Punktreihe im
sind die Koeffizienten der
Transformation in
Verfahren anzuwenden. Die mathemati¬
wurde bereits in
Regressionsmodell
werden können und trotz¬
ausgeschlossen bleiben, wird eine
entsprechenden Wahrscheinlichkeitspapiere
erscheinen im
a
auf normal verteilte Zufallsvariablen ist jedoch im Bauwesen nicht ak¬
anzupas¬
lautet:
(5.1)
Regressionsgeraden.
Diese beschreiben die Vertei¬
Wahrscheinlichkeitspapier (siehe Abbildung 5.1).
Die Parameter der
52
Informationsverknüpfung
Verteilungsfunktion
können
Stützpunkten
aus
enten bestimmt werden. Dies
gilt
der Geraden und somit
auch für den
umgekehrten Weg.
meln für die verschiedenen
Verteilungstypen
können dem
Anhang
den Koeffizi¬
Somit ist die Vertei¬
durch die beiden Koeffizienten bestimmt. Die
lungsfunktion eindeutig
aus
A
Umrechnungsfor¬
(Seite 95)
entnom¬
werden.
men
Unter der
Voraussetzung,
lungsfunktion fv(v|b,
wird
2
G
dass die
Verteilungstypen
normalverteilt sind, ist die Vertei-
) eine multivariate Normalverteilung. Die Bayes'sche Methode
auf dieses Modell
nun
Abweichungen
angewendet.
auf den einfach
führt. Zu beachten ist, dass die
zu
Damit ist die
Betrachtung
behandelnden Fall der
Bayes'sche
der verschiedenen
Normalverteilung zurückge¬
Methode nicht direkt auf die Parameter der
Zufallsvariablen, sondern auf die Koeffizienten der Geraden im Wahrscheinlichkeitspa¬
pier angewendet
wird. Die
Verknüpfung
schätzverfahrens "Methode der kleinsten
y
=
basiert somit auf dem Modell des Parameter¬
Quadrate".
FxW
v
ß
0.700
0.500
0_1(FX)
=
i
J
0
>
0.300
-1
0.010
a
-2
0.001
0.0001
-3
f
>\
Abb. 5.1:
1.61
2.30
u
1
5
10
x
und
a
ß
in einem
==
ln(x)
Lognormalpapier
Allgemeines Vorgehen
5.2
Das
Definition der Koeffizienten
0
allgemeine Vorgehen bei
einer
Informationsverknüpfung ist in Abbildung
stellt. Die einzelnen Schritte umfassen die
Informationsanalyse,
die
Gewichtung
Festlegung
5.2
darge¬
des stochastischen Modells, die
der Informationen und die
Verknüpfung,
deren Re¬
sultat die Metainformation ist.
5.2.1
Stochastisches Modell
Das stochastische Modell, d.h. der
als
erstes
Änderung
festgelegt
des
werden.
Es
gleichen Verteilungstyp.
gesehen.
Bei der
Festlegung
Informationen
des
der betrachteten Zufallsvariablen
wird vorausgesetzt,
Verteilungstyps ergibt.
auf dem
genden
Verteilungstyp
Die
Auswertung
dass
zurückgegriffen.
Die
Verknüpfung
keine
der Informationen basieren alle
Es ist kein Vermischen
Verteilungstyps
die
muss
von
verschiedenen
Typen
vor¬
wird auf eine oder mehrere der vorlie¬
Festlegung
ist wesentlich, da die Resultate
53
Informationsverknüpfung
einer
Informationsanalyse
oft stark
Verteilungstyp abhängig sind. Insbesondere
vom
weichen Fraktilwerte, welche mit verschiedenen
Verteilungstypen
formation bestimmt wurden, stark voneinander ab, selbst
(Ditlevsen, 1994).
Berechnung
Ergebnis
oder über eine
Vergleichbarkeit
für die
Umrechnung
von
der
einem
Anpassung
an
des
Verteilungstyp
(Ditlevsen
aus
und
physikalischen
gleich
In¬
sind
probabilistische
eine der
wichtigsten
Madsen, 1989).
Verteilungsenden geschehen. Allenfalls
den
gleichen
in einen andern kann über die Momente
lich eine untere bzw. obere Grenze für alle Informationen
Diese kann meist
in eine
Verteilungstyps
der Resultate
der
die Momente
Informationsanalyse
Festlegung
ein, ist die normative
Voraussetzungen
Eine
Geht das
wenn
aus
zusätz¬
muss
vorgängig festgelegt
werden.
geometrischen Randbedingungen festgesetzt
oder
werden.
Stochastisches Modell
Verteilungsfunktion Fx(x|0)
1
Informationsanalyse
Parameterbestimmung
-
aus
objektiven Informationen
via Parameterschätzverfahren
-
subjektiven
Informationen
via Stützwerte
1
Gewichtung
Wahl der Referenzinformation
und der Vertrauenskennzahlen
1
Verknüpfung
Bestimmung der Parameter
der Metaverteilung
1
Metainformation
-
-
Abb. 5.2:
5.2.2
Allgemeines Vorgehen
Momente, Fraktilwerte
Grafische
Darstellung
bei einer Informationsverknüpfung
Informationsanalyse
Bei der
Informationsanalyse geht
funktion der Zufallsvariablen. Aus
bestimmt. Für
objektive
es um
die
Festlegung
jeder vorhegenden
der Parameter der
Verteilungs¬
Information wird ein Parameterset
Informationen können die üblichen statistischen Methoden
Bestimmung der Parameter benutzt werden (siehe Kapitel 3.2.2,
Seite
zur
19). Sind die Para-
Informationsverknüpfung
54
meter einer
festgelegt worden,
einmal
Stichprobe
nicht mehr auf die Werte der
Stichprobe zurückgegriffen
Verteilungsfunktion
ben die resultierende
soll für die weiteren
so
Berechnungen
werden. Denn diese beschrei¬
insbesondere bei kleinen
Stichprobenumfän¬
gen unzureichend.
Um die Parameter
aus
subjektiven
literatur, etc.) bestimmen
zwei Stützwerte
nen
können, genügt
(Expertenschätzungen, Normen,
es, die Parameter
erfragen und festzulegen.
zu
direkt, die
werden. Als Stützwerte
Benutzung
von
sich
zwei Fraktilwerten als Stützwerte kommt insbesondere für zeitab¬
in
Frage. Typische Beispiele
zeitabhängige
für
ablen sind Wind- und Schneelasten. Diese werden durch die
Extremwertverteilung
kann
zum
werden
in
der
Beispiel
währsleute
quasi
zeitinvariante Grössen
einjährige
geschätzt und
aus
der SIA Norm 160
Erwartungswert und
Die
Festlegung
welche
häufig
Meinung ortskundiger
Ge¬
herausgelesen
(1989) beispielsweise entspricht der
Wiederkehrperiode zwischen
30 und 50 Jahren.
ein Fraktilwert
Erwartungswert
und Fraktilwert ist nützlich für
Festigkeiten beschreiben. Angaben
finden sich
für
via
mit einer
Bei Schneelasten
einem Normenwerk der zweite Stützwert
(Schneider, 1996). In
Zufallsvari¬
Beschreibung
umgewandelt.
Wert auf der Basis der
Kennwert der Schneelast etwa einer
über
Erwartungswerte
in Normen. Der in den Normen
Festigkeiten entspricht dabei
Zufallsvariablen,
und Fraktilwerte
charakteristische Wert
angegeben
meist einer 5% Fraktile.
Modal wert und 5% bzw. 95% Fraktile
Hat
so
man nur
werden
grösste
zu
wenig Kenntnis über die Bedeutung
am
besten der wahrscheinlichste
erwartende Wert
definitionsgemäss
zu
Einführung
Bayes'sche
von
geschätzt.
der Modalwert einer
zu
von
Momenten und Fraktilwerten,
erwartende Wert und der kleinste bzw.
Der wahrscheinlichste
Verteilungsfunktion.
von
nicht informativen
erwartende Wert ist
Der kleinste bzw.
Priorverteilungen,
Methode kennt, wird verzichtet. Die nicht informative
der Annahme aus, dass neben der
objektiven
Bereiche der Parameter
Festlegung
Für die
der
Verknüpfung
sprochen.
Die
gibt.
grösste
interpretiert.
wie sie die klassische
Priorverteilung geht ja
Information keine weitere Information
über die Parameter einer Zufallsvariablen vorliegt und dass
5.2.3
zu
erwartende Wert wird in dieser Arbeit als 5% bzw. 95% Fraktile
Auf die
ne
eignen
Kombinationen:
hängige Zufallsvariablen
•
Momente oder
zwei Fraktilwerte
Die
•
Fach¬
Aus den Momenten oder Stützwerten kön¬
Verteilungsfunktion berechnet
die Parameter der
folgende
•
zu
Informationen
Diese Situation ist dem
es
keine Präferenz für einzel¬
Ingenieurwesen jedoch
fremd.
Gewichtung
wird den einzelnen Informationen verschiedenes Gewicht zuge¬
Gewichtung wird
über das Vertrauen in die Information
bezüglich
einer
Referenzinformation bestimmt. Das Vertrauen wird mit einer Vertrauenskennzahl VKZ
r
Informationsverknüpfung
ausgedrückt.
55
Die Vertrauenskennzahl
benumfänge VKZ|
nj/nref.
=
nicht einer Anzahl effektiver
Tatsache
zu
Vertrauen in eine
um
Prinzip dem
sondern sind
Verwechslungen
Hat man,
Information,
im
Verhältnis der
Stichprobenumfänge entsprechen
Beobachtungen,
betonen und auch
PseudoStichprobenumfänge.
Die
entspricht
verglichen
zu
mit der
in vielen Fällen
hypothetischer Art.
vermeiden,
Um diese
nennt man sie
auch
Referenzinformation, geringes
ist die Vertrauenskennzahl klein. Hat
so
Stichpro¬
man
hingegen
grösseres Vertrauen in die Information, ist die Vertrauenskennzahl gross. Die Referenz¬
information selber erhält die Vertrauenskennzahl
Die
Zuweisung
ches
Vorgehen
nannte
1993).
VKZref
=
einer Zahl als Vertrauenskennzahl ist recht
zu
verhindern, wird in Anlehnung
linguistische
Variable
Festlegung
zur
Den einzelnen Termen werden
stischen Variablen und die
jedoch
zugehörigen
die
an
1
zugesprochen.
schwierig.
Um ein
zu
kleinli¬
Set Theorie eine soge¬
Fuzzy
der Vertrauenskennzahl benutzt (Bothe,
numerische Werte
zugeordnet.
Die
lingui¬
numerischen Werte sind in Tabelle 5.1 ersicht¬
lich. Für die beiden Grenzwerte "sehr viel grösseres Vertrauen" bzw. "sehr viel kleineres
Vertrauen in die Information
jeweils
bezüglich der
Referenzinformation" kann als Alternative
direkt die Referenzinformation bzw. die
zugehörige
Information alleine ausge¬
wertet werden.
linguistische Terme: "... in die Informa¬
bezüglich der Referenzinformation"
VKZ
tion
sehr viel kleineres Vertrauen
0.01
viel kleineres Vertrauen
0.1
kleineres Vertrauen
0.2
wenig kleineres
0.5
gleich
grosses Vertrauen
2
grösseres Vertrauen
5
grösseres Vertrauen
sehr viel
Tab. 5.1:
10
grösseres Vertrauen
100
Linguistische Terme
in eine
Frage
1
wenig grösseres Vertrauen
viel
Die
Vertrauen
zur Beschreibung des Vertrauens
Information bezüglich der Referenzinformation
nach dem Vertrauen in eine Information ist
tigste Fragestellung
bei der
Vertrauenskennzahl ist
wichtig,
Informationsverknüpfung überhaupt.
subjektiv.
Es
gung der Vertrauenskennzahl kann
gibt
keine
jedoch
allgemeingültigen
werden. Ein solcher
folgenden Typus gebildet
werden:
nicht gar die wich¬
Die
Festlegung
Kriterienkatalog
kann
vor
der
Kriterien. Die Festle¬
durch einen auf die betrachtete
angepassten Kriterienkatalog unterstützt werden. Dieser sollte
sammengestellt
wenn
einer
Eigenschaft
Beurteilung
beispielsweise
mit
zu¬
Fragen
56
•
Informationsverknüpfung
Modell
Sind die stochastischen Modelle
tisch? Wenn
zur
Bestimmung
der
jeweiligen
Information iden¬
nein, welche Unterschiede bestehen und wie wirken sich diese auf die
Unscharfen aus?
•
Vergleichbarkeit
Wird die
zu
gleiche Eigenschaft behandelt?
berücksichtigen?
Wurde die
Sind Unterschiede
Methode
gleiche
zum
Beispiel
im Baustoff
der
Eigenschaft
Bestimmung
zur
verwendet?
•
Herkunft
Sind die
tät der
Informationsquellen
direkt
Informationsgewinnung?
Stichprobe
oder
aus
vergleichbar?
mehreren mit unterschiedlichen
die einzelnen Informationen
Pseudostichprobenumfangs
eines
5.2.4
Unterschiede in der
linguistischen
einer Information
zum
Terme
Anhang
Beispiel
aus
festzulegen,
B 2
einer
können für
werden. Der Quotient des
PseudoStichprobenumfang
dann der Vertrauenskennzahl.
sind im
zum
Quali¬
Bedingungen?
PseudoStichproben generiert
Pseudostichprobenumfangs
Hilfestellungen
zur
der Refe¬
Schätzung
(Seite 109) gegeben.
Verknüpfung
Für die
Seite
entspricht
es
Stammt die Information
Anstatt die Vertrauenskennzahl über die
renzinformation
Gibt
eigentliche Verknüpfung
57).
werden drei Methoden
vorgeschlagen (siehe Kapitel 6,
Dies sind die im Zentrum dieser Arbeit stehende
thode sowie als Alternativmethoden die
thode und die
empirische
Pseudostichproben-Methode.
werden die Parameter der als
Ergebnis
der
lineare
Bayes'sche Regressionsme¬
Bayes'sche Regressionsme¬
Gemäss den Vorschriften dieser Methoden
Verknüpfung
stehenden Metainformation be¬
stimmt. Aus diesen können dann die Momente oder die Fraktilwerte berechnet werden.
Die
die
grafische Darstellung
Darstellung
führten
der
der
Verteilungsfunktion
Verteilungsdichte
Verknüpfung.
im
Wahrscheinlichkeitspapier
bieten eine gute visuelle Kontrolle der
Zu diesem Zweck werden die
Verteilungsfunktionen
Dichtefunktionen aller Informationen und der Metainformation
sowie
durchge¬
bzw. die
gleichzeitig dargestellt.
6
Verknüpfungsmethoden
6.1
Die
6.1.1
Das
Bayes'sche Regressionsmethode
Bayes'sche lineare Modell
Die im Zentrum dieser Arbeit stehende und schliesslich
Bayes'sche Regressionsmethode
dell
stützt sich auf das
(Broemeling, 1985; O'Hagan, 1994;
Modell
y
=
sogenannte Bayes'sche lineare Mo¬
Marinell et
al., 1995). Das allgemeine lineare
(6.1)
+ e
Dabei ist y ein
(n,l)-Vektor der Beobachtungen,
zienten, b ein (p,l)-Vektor der Parameter und
wird vorausgesetzt, dass die Elemente
lung
Anwendung vorgeschlagene
hat die Form
(O'Hagan, 1994)
X-b
zur
N(0;g2)
folgen.
ein
(n,p)-Matrix
(n,l)-Vektor
fY(y|b,
von
bekannter Koeffi¬
Zufallsfehlern. Es
unkorreliert sind und einer Normalvertei¬
von e
Der Parametervektor b und die Varianz
Verteilungsfunktion
Grössen. Die
e
X eine
a
sind die unbekannten
) ist entsprechend eine multivariate
a
malverteilung N(X b;a -I)
mit I als
(n,n)-Einheitsmatrix.
Zwecks einfacherer
Herleitung
des linearen Modells wird die Schreibweise
•
O'Hagan
von
Sieentspricht
Sieentspricht
(1994)mitN(0;a2)
der
(1994)mitN(0;a2)
Darstellung
Nor¬
übernom.
ni<nicht der im
Die Likelihoodfunktion berechnet sich
L(y|M2)
Als
(2
7C
zur
angegeben (N(0;a)).
-(y-X-b)^
(y-X-b)
-
-"
-
(6.2)
2-G2
)
o
wird die
Priorverteilung
wählt. Dies ist eine
•
1.2
zu:
l^72-«p
=
Kapitel
Likelihoodfunktion
Normal-Inversgammaverteilung.
konjugierte Verteilungsfunktion
Verteilungsdichte
Die
ge¬
folgen¬
weist
de Form auf:
W'
°2)
~
2
(O )
Die
(JP
Hyperparameter
sind
nun so zu
man
jeweils
2
f0(o" )
'
+
eXP
sind a0,
d0, b0
wählen, dass die
f0(b).
Aus
V0. Die Hyperparameter der Priorverteilung
Nonnal-Inversgammaverteilung definiert ist. Integriert
(6.3) folgt,
Normalverteilung N(b0;c
zu:
(6.3)
2-a2
v
und
über die Parameter b bzw.
bzw.
sich damit
2)/2
2
a
,
so
dass die
V0) folgt.
Die
erhält
man
bedingte
zugehörigen
die
Randpriordichtefunktionen
Dichtefunktion
f0(b|ö
Randdichtefunktionen
2
) einer
ergeben
58
Verknüpfungsmethoden
(a0/2)
2
f0(° )
1
=
•
r(d0/2)
^0
ao°/2-r((d0
f0(b)
=
+
2)72
+
(6.4)
exp
-u<
p)/2)
|v0|a5-7rp/2-r(d0/2)'
(a0
(6.5)
-(d0
_l
T
p)/2
+
(b-b0)T-V0 -(b-b0))
+
f0(a ) ist eine Inversgammaverteilung und f0(b) eine t-Verteilung. Die Momente
f0(b) lassen sich über die Momente der bedingten Verteilung f0(bIg ) bestimmen:
E[b|a2]
var
Die
[b\c]
=
bQ
-V,
=
a
E[b]
=
E[E[b|a2]]
var[b]
=
E[var[b|a
o
Sind diese
=
(6.6)
bQ
2-,
]]+var[E[b|a
-I
Hyperparameter
muss.
von
-l
slq und
d0
]]
dn-2
bestimmen die
festgelegt worden,
so muss
—-*-
=
Vn
-u
Verteilung f0(G ),
für die
wobei
Verteilung f0(b)
noch
d0 > 2 sein
b0 und V0
bestimmt werden.
Die
als
Multiplikation
der Likelihoodfunktion
Posteriorverteilung
wiederum eine
(6.2)
mit der Priordichtefunktion
(6.3) ergibt
Normal-Inversgammaverteilung:
1
fi(b,G2|y)
2
(O" )
(d,
+
p
+
2)/2
(6.7)
exp
2-a
mit
Q
Yi
h
ai
d1
Die
bzw.
(b-bjf-V^^b-b^
=
+
(YÔ1
=
=
=
+
XT
•
X)"1 (Vö1
b0 + XT y)
(6.8)
•
bo-Yô^^o ^-y-brYÎ1-^
ao
+
d0
+ n
+
Randposteriorverteilungen
CT
aj
(Yö1 xT-x)_1
=
2
+
lassen sich mit einer
Integration
über die Parameter b
-
bestimmen. Die Form ist
wobei die
analog
zu
den
Verteilungsfunktionen (6.4)
Hyperparameter a1? d1; bt und Vx einzusetzen sind.
Falls die Matrix X
X
regulär ist,
so
kann
bj
wie
folgt geschrieben werden:
und
(6.6),
Verknüpfungsmethoden
h
(Yo1+XT-X) 1-(V01-b0 XT-X-b)
+
=
A
Yö1
=
(
=
(X
A
+
?)-1
xT
-1
T
b
59
•
X
X)
xT
=
(I-A)-b0
gewichtetes
(6,9)
T
v
Mittel
dem
aus
und A. Wenn die Priorinformation stark
teilung
wird dann stark
vom
ist, d.h.
und A klein. Der
V0 entsprechend gross
ist
ist somit
Stichprobe, bj
Erwartungswertvektor der Priorverteilung b0
dem klassischen Maximum Likelihood Schätzwertvektor. Die
so
A-b
*
•
b ist der klassische Maximum Likelihood Schätzwertvektor der
ein Matrix
+
wenn
Gewichtung
die Elemente
von
ist (I
VQ
Erwartungswertvektor der
und
A)
klein sind,
Posteriorver¬
demjenigen der Priorverteilung bestimmt. Umgekehrt,
die Priorinformation schwach
-
wenn
ist, wird der Erwartungswertvektor der Posteriorverteilung
durch den Maximum Likelihood Schätzwertvektor bestimmt.
Übertragung
6.1.2
Wendet
das
man
auf das lineare
Bayes'sche
Wahrscheinlichkeitspapier
Vektor
Regressionsmodell
lineare Modell auf das lineare
an, ist p
=
2, b
(a, ß)
=
beinhaltet die allenfalls transformierten
u
y
,
=
v
und X
Stichprobenwerte u5,
v
=
a
empirischen Funktionswerte Vj und b die Koeffizienten
und ß. Gleichung (6.1) schreibt sich somit zu:
1
v1
v
=
X•b
+ e
o
=
1
der
Effektiv ist
Der
zugehöri¬
der
Regres¬
ei
-,
r
a
vn
a) Tiefe
u1
(l,u).
die
gen transformierten
sionsgeraden
im
Regressionsmodell
(6.10)
+
Un
en
Beurteilung
nur
der
Erwartungswertvektor b^
der
Randverteilung fj(b)
von
Interesse.
Erwartungswertvektor bj beinhaltet die Koeffizienten der Geraden im Wahrschein¬
lichkeitspapier. Die Abweichungen von der Regressionsgeraden sind ein Mass für die
Der
Güte der
Anpassung
doch nicht in
Frage.
und der Varianz
Streuung
Diese
an
die
gewählte Verteilungsfunktion.
Somit ist auch eine
nicht
f0(b)
Hyperparameter
Natürlich sind
keine
von
f0(a )
über die
der Koeffizienten und schliesslich der Parameter der Zufallsvariablen
möglich.
von
würde
schwierigen Schätzung
man
der
sich
der
Eigenschaft
jedoch
ohnehin
Hyperparameter
brauch ist dies jedoch auch nicht
zwar
notwendig.
der
Aussagen
Aussagen
trachtung
Bestimmung
Die Güte des Modells steht je-
notwendig.
nur
mit der zusätzlich
2
von
Man
f0(CT )
begnügt
erkaufen. Im
voraus.
wartungswertvektor bj eingegangen.
notwendigen,
praktischen
Ge¬
sich im Bauwesen mit der Be¬
als Zufallsvariable und setzt die
unbekannte aber fixe Werte
so
zugehörigen
Im weiteren wird deshalb
Parameter als
speziell
auf den Er¬
60
Verknüpfungsmethoden
b) Das mathematische Modell
Die Formel
teilung
rem
Bestimmung
übernommen werden. Bei einer
des
Erwartungswertvektors
diagonalen Wichtungsmatrix
artungs wert a1 ein gewichtetes Mittel
und dem
ßj.
kann für die
(6.9)
aus
A ist der Posterio¬
dem Maximum Likelihood Schätzwert
a
Priorerwartungswert cc0. Dasselbe gilt auch für den Posteriorerwartungswert
tritt nur ein, wenn die Erwartungswerte der Priorverteilung und der Likelihood¬
Dies
funktion übereinstimmen. Im Normalfall sind die
hängig
der Posteriorver¬
von
beiden Elementen des
ab¬
Posteriorerwartungswerte jeweils
Priorerwartungswertvektors
und des Maximum Likeli¬
hood Schätzwertvektors.
Der Maximum Likelihood Schätzwertvektor b des linearen
dem Schätzwertvektor
aus
der Methode der kleinsten
Regressionsmodells
ist mit
Quadrate identisch.
1
b
=
n"Sui2~Œui)
n'X(VVi)-ZUi'XVi
(6.11)
cv[uv]
p=-m[u]
m[v]-
var[u]
a
cv[uv]
var[u]
Die
übrigen
das lineare
X
wesentlichen Terme der Formel
Regressionsmodell
X
zu:
5>i
n
T
(6.9) ergeben sich bei der Anwendung auf
=
(6.12)
X
T
-y
=
5>i-Vi)
Als Priordichtefunktion
ergibt
sich
be mit
der
aus
Umfang
anzmatrix
Sie kann
V0
nun
durch die
f0(b|CT
2
Verknüpfung
nn unter der
hat somit die
wird die
einer
Normalverteilung N(b0;VQ) gewählt. Diese
diffusen Priorverteilung mit einer Pseudostichpro-
Voraussetzung,
gleiche
ohne weiteres mit
Lage
)
der Geraden im
dass
2
CT
bekannt ist
(Plate, 1992). Die Vari-
Form wie die Varianzmatrix der
Schätzungen
versehen
Stichprobe
X
T
•
werden, beziehungsweise, sie ist
Wahrscheinlichkeitspapier
definiert.
-|
Yö'
no
n0-m0
=
n0-m0
n0
(var0
+
m2,)
X.
(6.13)
61
Verknüpfungsmethoden
Die
Wichtungsmatrix
ergibt sich
A
Berücksichtigung von (6.11), (6.12) und (6.13)
unter
zu:
A
5
=
K
—
all
a12
a21
a22
(6.14)
mit
K
=
n
au
=
n0
a12
=
n0
a21
=
a22
=
•
(m[u]
n0
•
m0
•
(m0
-
-
m0)
m[u])
(m[u] (m0
•
(n
+
n0
var0)
+
+
•
n0) (n var[u]
•
m0
-
((m[u])
•
n0
•
var0)
var[u]
+ n
var0
+
•
(6.15)
var[u]))
+
n0-(m[u]-m0)
no
'
mtu]
(m[u]
'
Daraus berechnet sich der
meinen Fall
-1
+
m0)
-
+
(n
+
n0) var[u]
Erwartungswertvektor
der
Posteriorverteilung
für den
allge¬
zu:
K
a12-(ß-ß0)
air(a-a0)
+
a0
a21-(a-a0)
+
a22-(ß-ß0)
+
+
ßo
(6.16)
1
K
mit
p
=
n
•
n0
m0) (a0 m[u]
ß-m[u] -m0)))
((m[u]
•
-(a-m0 +
q
=
+
(n var[u]
+
(ßo
n
+
Der
ten
•
•
n0
(n
-
•
+
ß)
'
+
n
•
((m[u]
•
-
n0
var0) (a0
•
(mo var[u]
no
-
m0) (â
•
•
•
~
mtu]
•
n0
-
m0
m[u]
•
(6.17)
n)
+ a
ß m[u]
+
•
•
var0)
(a0
+
ß0 m0)))
(6.18)
•
ß0 var0)
•
Stichprobe abhängig.
c) Vereinfachungen gegenüber
Bayes'sche
der klassischen
det. Die
Verknüpfung
de der kleinsten
Bayes'schen Methode
Methode wird hier nicht auf die Parameter der
auf die Koeffizienten der Geraden im
in
n0
ß0
Erwartungswertvektor der Posteriorverteilung b1 ist nur von den beiden Koeffizien¬
der Regressionsgeraden, dem Stichprobenumfang, dem Mittelwert und der Varianz
der Priorinformation und der
Die
+
n0) (n ß var[u]
•
+
•
Zufallsvariablen, sondern
zugehörigen Wahrscheinlichkeitspapier
angewen¬
stützt sich auf das Modell des Parameterschätzverfahrens "Metho¬
Quadrate".
Da nicht
v-Richtung die abhängige
ist
eindeutig
entschieden ist, ob die Variable in
(siehe auch Kapitel 3.3.3, Seite 27), wird
das
u-
oder
Bayes'sche
Verknüpfungsmethoden
62
einmal mit den
Updating
gen in
Abszissenrichtung durchgeführt.
beiden Resultaten
samtheit einerseits mit der
und einmal mit
Vörgehensweise
Stichproben
nach klassischer Statistik
wichen
nur
in
aus
den
ist auch durch Simu¬
gleichen Grundge¬
der
andererseits
zu¬
Die Resultate der
analysiert.
wenigen
demjeni¬
Mittel
geometrische
Bayes'schen Regressionsmethode verknüpft,
Verknüpfungsmethoden
unterschiedlichen
dieser
worden. Dabei wurden
gemeinsam
und
Ordinatenrichtung
Danach wird das
Richtigkeit
Die
gebildet.
lationsrechnungen bestätigt
sammengelegt
in
Abweichungen
Prozenten voneinan¬
der ab.
Kapitel
Wie in
•
(Seite 27)
3.3.3
bereits
erwähnt, sind die Voraussetzungen
die Abszissenwerte u4 sind fest,
Abweichungen
•
die
•
die Varianz der
für das lineare
te im
der angepassten Geraden sind
von
Regressionsmodell
schlagene
Für die
bei der
ist in diesem Sinne als
lineare Modell auf den
Modell auch
eine
Quadrate im
betrachten. Da das
zu
gleichen Voraussetzungen beruht,
Bayes'schen Theorie muss
Wahrscheinlichkeitspapier
von
dieser
ist das hier vorge¬
man
die Likelihoodfunktion der Zufalls¬
Regel abgewichen,
da die Arbeit mit dem
auf dem linearen Modell basiert, und da sich somit
Formeln herleiten lassen. So ist auch die
schen
Näherung
Quadra¬
Näherung.
variablen X verwenden. Hier wird
sene
der Methode der kleinsten
wird die Likelihoodfunktion des linearen Modells verwendet. Ge¬
Verknüpfung
mäss der klassischen
nur
Benutzung
nicht erfüllt. Die Methode der kleinsten
Wahrscheinlichkeitspapier
Bayes'sche
voneinander und
ist konstant,
Abweichungen
Wahrscheinlichkeitspapier
unabhängig
Verknüpfung
nur
eine
Näherung
geschlos¬
zur
klassi¬
Bayes'schen Methode.
Der Unterschied der Likelihoodfunktion des linearen Modells
zur
klassischen Likeli¬
hoodfunktion der Zufallsvariablen X wird für den Fall einer normalverteilten Zufallsva¬
riablen kurz diskutiert. Unter der
=
G
"ß;
entspricht
Umformungen
(6.19)
=
ß
die Likelihoodfunktion
L(a, ß)
der
1
a
*
Berücksichtigung
L(a, ß) der Zufalls variablen
X(*i-*o
1
=
(2
n/2
2N
•k- a
ßn
n/2
)
exp
2-fJ
(6.20)
exp
-;-2>+ß-*i)2
exp
n-log(ß)-^--^x12-^-a2-a-ß-^xi
1
n/9
2^
V
(2 K)
(2-7C)
X
i
J
Verknüpfungsmethoden
63
Die Likelihoodfunktion des linearen Modells schreibt sich unter der
die Varianz der
Abweichungen
bekannt ist,
^LinMod(a' ß)
•
n/2
dass
zu:
SMnTÏ Htt
-
Voraussetzung,
+
ß-W
exp
(2-TT)
_1
exp
n/2
(2-TT)
•
-I^-'UïM
% y xï.n,+a- y o
exp
-\
•
i
exp
V
lf
a
(6.21)
i
—^—-
i
ß-S^fnTTj-^n)-«^-!^)
i
Dabei ist
0
=
Vn+1
*-*
i
und
=
(6.22)
1
x(1.n), X/2.n),
••-,
unterscheidet sich
x(nn)
nur
in der
Reihenfolge
von
xv x2,
Der Unterschied zwischen den beiden Likelihoodfunktionen lässt sich somit als
...,
xn.
Quotient
darstellen:
/
L(ct, ß)
^LinMod
6.1.3
(a,ß)
man
die
Kapitel 5.2,
nen
i
-M
exp
V
(6.23)
i
Anwendung
Benutzt
he
=
Bayes'sche Regressionsmethode
Seite
52),
Informationen die
stimmt (siehe
so
werden nach
zugehörigen
Anhang A,
Seite
für die
Informationsverknüpfung (sie¬
erfolgter Parameterbestimmung
Koeffizienten im
95). Zusätzlich
müssen
aus
den einzel¬
Wahrscheinlichkeitspapier be¬
für jede Information die ersten
beiden Momente der Abszissen- und der Ordinatenwerte berechnet werden.
Die Momente der Ordinatenwerte können
aus
theoretischen
diejenigen
der Abszissenwerte in den meisten Fällen
den
Tabelle
(siehe
mente
6.1).
mit einer Simulation bestimmt werden, da die
arithmisch ist, die Werte
hen. Zur
Bestimmung
aus
Nur bei der Weibull- und der
jedoch
Fréchetverteilung müssen
Skalierung
ohne Transformation in die
der Momente sollte eine
Überlegungen hergeleitet,
den Parametern bestimmt
Stichprobe
wer¬
die Mo¬
der Abszissenachse
log¬
Verteilungsfunktion einge¬
von
1000 Werten
generiert
werden, damit eine gewisse Stabilität der Resultate erzielt werden kann. Die generierten
Werte werden gemäss der
Transformationsregel
der Abszissenachse
umgewandelt,
d.h.
64
Verknüpfungsmethoden
logarithmiert. Aus
den
logarithmierten
Werten werden der Mittelwert und die Varianz
berechnet.
Verteilungstyp
Abszisse
Ordinate
mAbs
varAbs
mOrd
vaTOrd
m[u]
var[u]
0
1
X
?
0
1
m[u]
var[u]
C
k
Weibull für Minima
*
*
-C
k
Fréchet für Maxima
*
*
C
k
m[u]
var[u]
1
1
Normal
Lognormal
Gumbel für Maxima
Exponential
C
k
0.57721665
=
(Eulersche Konstante)
(n/Jôf
=
Die mit
*
bezeichneten Werte müssen mittels Simulation bestimmt
wer¬
den.
Momente der Abszissen- und Ordinatenwerte
Tab. 6.1:
für
die verschiedenen
Vertei¬
lungstypen
Mit den Formeln
die
(6.16), (6.17)
Abweichungen
in beiden
und
(6.18)
Richtungen
renzpseudostichprobe beispielsweise
zu
wird
nun
der
berechnet. Dabei wird der
100 gesetzt. Der
geometrische Mittel
der beiden
der Refe¬
Umfang
PseudoStichprobenumfang
weiteren Informationen wird über die Vertrauenskennzahl bestimmt
Anschliessend wird das
für
Erwartungswertvektor bMeta
(n^
=
100
•
der
VKZj ).
Ergebnisse gebildet. Aus diesem
werden schliesslich die Parameter der Metainformation bestimmt.
Sind mehr als zwei Informationen vorhanden, wird die Methode
Man bestimmt
man
aus
zwei Informationen die
zugehörige
Metainformation. Dann
diese mit der dritten Information. Die sich daraus
knüpft
man
mit der vierten Information
usw.
Die
sequentiell angewendet.
verknüpft
ergebende Metainformation
Verknüpfungsreihenfolge spielt
keine Rolle. Die Vertrauenskennzahl der Metainformation der Zwischenstufen
sich
aus
der Addition der Vertrauenskennzahlen der ihr
zugrundeliegenden
ver¬
dabei
ergibt
Informatio¬
nen.
VKZStufel
=
VKZ,
VKZStufe2
=
VKZStufel
etc.
+
VKZ2
+
VKZ3
(6.24)
Verknüpfungsmethoden
65
6.2
Alternativmethoden
6.2.1
Die
empirische
empirische
Die
Bayes'sche Regressionsmethode
Bayes'sche Regressionsmethode
lineare
stützt sich einerseits auf das li¬
Schätzverfahren. Der Posteriormittelwert wird bei dieser Methode
Bayes'sche
neare
lineare
durch eine lineare Funktion der Likelihoodschätzer
approximiert.
empirische Bayes'sche
Schätzung
Methode
herangezogen.
Die
der Momente der
wird hier mit den klassischen Methoden der Statistik
parameter
Andererseits wird die
durchgeführt.
Hyper¬
Man be¬
nutzt dazu die vorhandenen Daten.
Die
des Posteriormittelwerts durch eine lineare Funktion hat den Vorteil,
Approximation
dass
nur
die Momente der
vollständige Spezifikation
Diese
notwendig.
den
der
Ausführungen
Verteilungsfunktion
Die nachstehende
von
Künsch
a)
Das mathematische Modell
Im
allgemeinen
Fall
liegt folgende
mit den Werten
Stichproben
•
J
•
Mit der Methode der kleinsten
den im
mit
•
(Tij, Xj, uVy
Ujj,
...,
un
...,
unjj)
sind für
j
teilungsfunktion
•
folgende
sind
einer
Hyperparameter
Approximation
werden. Die
ist somit nicht
der klassischen
des mathematischen Modells
nj
vor:
als
Stichprobenumfang
und 1
<
i
< m
Quadrate geschätzte Koeffizienten (r\., x.) der Gera¬
Wahrscheinlichkeitspapier.
Es werden zusätzlich
der
Beschreibung
Situation
Ujj
Verknüpfung benötigt
(1997).
Es werden hier die horizontalen
benutzt, damit sich einfachere Formeln
•
für die
Vorgehens weise entspricht
Bayes'schen Methode.
folgt
Hyperparameter
Annahmen
unabhängig
Abweichungen
ergeben.
getroffen:
für alle
j
=
1,..., J
gegebene (rj., x.) unabhängig
voneinander und
folgen
der Ver-
F0((u-t\j)/Tj)
(T|j, Tj) folgt der Verteilungsfunktion G0
Unter diesen
u(i)j
=
^j
Voraussetzungen gilt:
+
V
Po^ Vu(i)P>
=
'Hj
+
XJ
•
Fo1(FU(u(i)j))
=
"Hj
+
(6-25)
Tj v(i)j
•
wobei
U(j)j der Grösse nach geordnete Werte u^ sind und Fu(u/i)j) die empirische Vertei¬
lungsfunktion darstellt. Die empirische Verteilungsfunktion kann gemäss den Angaben
in
Kapitel
3.1.3
(Seite 17) bestimmt werden. F0
onsfunktion und ist bekannt. Bei einem
Schätzungen
von
entspricht
der Ordinatentransformati-
Normalpapier beispielsweise
(TL, Tj) nach der Methode
der kleinsten
ist
Fq
=
O
Quadrate ergeben sich
.
zu:
Die
Verknüpfungsmethoden
66
2(u(i)j-m[u.])-(v(i)j-m[v.])
i
XJ
=
i
=
X^Wj-mtVj])
i
fjj
Es
=
=
m[u.]-Tj
l
-m[v.]
gilt nun, (Th, T:)
sollen. Die
(6.26)
2
schätzen, wobei alle anderen Stichproben miteinbezogen werden
zu
empirische
lineare
Bayes'sche Regressionsmethode geht
Posteriormittelwert der Koeffizienten (Th
werte
(ti., t.) nach
t,
der Methode der kleinste
t)
Tj
davon aus, dass der
eine lineare Funktion der Schätz¬
Quadrate ist:
~
-
*.
'Hj, post
xi, post
_
=
A-
A
lXi\
_
Aj
mit
=
.
h
+h
aj,ll
aj,12
aJ.
aj,
21
(6.27)
22_
V
=
A 2.
A- und b: werden
(^j, post
*lj
•
—j
'Hj)
nun so
+
E
bestimmt, dass
A2
T,
J, post
_
minimal wird. Um einfachere Terme
zungen
angegeben werden können,
(6.28)
|
zu
erhalten, für die auch später zuverlässige Schät¬
wird der zweite Teil in der Formel
(6.28)
vereinfacht:
(Tlj,PoSt-rlj)2] E[(Tjjpost-Tjy
(6.29)
+
Die
Minimierung
den beiden
_
des Ausdruckes (6.29)
Gleichungssysteme
ergibt unter Verwendung von (6.27)
für die Koeffizienten
E[r,;]
E[TijTj]
E[r,j]
aj,
E[T]jTj]
~2,
E[Tj ]
E[Tj]
aj,12
E[T^j]
E[Tj]
1
.V.
Ehf]
E[T^jTj]
E[rlj]
aj,21
E^jTj]
E[Tp
E[Tj]
aj,22
EtTÎj]
E[Tj]
1
bi
A- und
folgen¬
bj".
EhjTij]
11
7
von
die
=
E[TjTlj]
.
E[V
E^jTj]
zr
E[TjTj]
E[Tj]
(6.30)
Verknüpfungsmethoden
Aufgelöst
h
nach den Koeffizienten
"E[T,j]~
=
67
_E[Tj]_
_E[Tj]_
(6.31)
=
CV[TljTlj]
CVtTjTJj]
CVtTJjTj]
CV[TjTj]
Basierend auf den Formeln über die
kombinationen
asymptotische
Stigler (Serfling, 1980)
von
rungsweise angegeben
werden
(Herleitung
2
(r^Tpl^Tj)
N
=
entspricht
gn
=
§12
=
var
g22
=
Verteilung
siehe C 1, Seite
Rangstatistik¬
der Koeffizienten nähe¬
115):
(6.32)
J
G der Kovarianzmatrix mit den
var[Vj]
§21
(rij,Tj),^-G
J
kann die
Normalität linearer
A^
T;
V
Dabei
sich:
E[t1j]
~V
var[fij] CV[TijTj]
cvrtjXj] var[Tj]
àr
ergibt
folgenden
(E[Vj])2 varRVj -E[Vj])2l
E[Vj]
Elementen:
•
eRVj -E[Vj])3'
+
4-(var[Vj])2
vartVj]
(Vj-E[Vj])3] E[Vj]-var[(Vj-E[Vj])2]
2
var[Vj]
4
(6.33)
(var[Vjj)^
(Vj-E[Vj]r
=
4-(var[Vj]r
wobei
(6.34)
ist. Somit
F0 ab,
var
hängen
die Elemente der Kovarianzmatrix noch
die jedoch bekannt ist. Mit der
(Vj-E[Vj])2]
=
E
ergeben sich die einzelnen
wie
folgt:
von
der
Verteilungsfunktion
Umwandlung
'(Vj-E[Vj])4l-(var[Vj])2
Terme der Elemente für die verschiedenen
(6.35)
Verteilungstypen
68
Verknüpfungsmethoden
i
a
"S
o
Ö
ÖJQ
O
o
a
i-H
13
>-<
*ë3
'S
ci
•
"öS
r—<
a
H-l
Ü
ig
a
+-»
(U
.d
o
Ö
d
o
x
W
E[Vj]
0
0
c
-c
c
1
var[Vj]
1
1
k
k
k
1
E
"(Vj-E[Vj])3~
0
0
r
-r
r
2
E
(Vj-E[Vj])4
3
3
s
s
s
9
2
2
t
t
t
8
var
"(Vj-E[Vj])2"
C
=
k
=
0.5772665
r
=
:L4042
(k/S)2
s
=
1L4.611
t
=
]LI.905 2
Tai. 6.2:
Terme der Kovarianzmatrixelemente
für die verschiedenen
Verte ilungstypen
Die Kovarianzmatrizen G der verschiedenen
ÇN
Çgl
=
=
Çln
<fFL
1
0
0
0.5
Verteilungstypen berechnen
sich somit
zu:
=
1.168
0.0959
0.0959
1.100
=
(6.36)
Çfws
GEx
1.168
-0.0989
-0.0959
1.100
1
-1
-1
2
=
Unter der
Annahme, dass die Koeffizientenschätzungen der Normalverteilung (6.32) fol¬
gen, können die Momente und die
bedingte
Momente
umgewandelt
Erwartungswerte
werden.
der
Mischprodukte von (6.31)
in
un¬
Verknüpfungsmethoden
E[Tlj]
E[T]j]
=
E[Tj]
69
E[Tj]
=
E[T2]
var[rij]
—£-
=
var[T\j]
+
gn
E[t2]
var[T:]
*-
=
J
+ var[T1]
J
g22
ni
(6.37)
E[T2]
CV[TljTj]
—J-
=
cvtTljTij]
var[rij]
=
cv[TjTj]
var[T:]
=
CV[TljTj]
Cv[TjT|j]
=
Die Elemente
V
gu
+
Etr2]
gl2
Wenn die
+
cv[TijTj]
cvCtijTj]
var[Tj]
Verteilungsfunktion Gq
L
=
werden
VOn
so
L
=
g12
den Momenten der Koeffizienten
+
cvhjTj]
(6.38)
-^-•g22
+
var[Tj]
der Vorinformation und somit die Momente der Koef¬
könnte der lineare
Bayes'sche Schätzer berechnet werden.
unbekannt ist, müssen die Momente der Koeffizienten mit den
(fL Tj) geschätzt werden.
empiri¬
Die Elemente der Kovari¬
(T)j, Tj)
var[T]j]
cvtrijTj]
*11
^12
cvtrijTj]
var[Tj]
^21
*22
geschätzt
A
von
zu:
E[xf]
CV[T|jTj]
schen Momenten der Koeffizienten
anzmatrix
(6.31)
E[t2]
—^-
var[rij]
var[Tij]
G0 jedoch
mehr
nun nur
E[Tj]J
fizienten bekannt wären,
Da
sind
E[Tlj]
V
E[Tj]
n
bj
Somit schreibt sich
Etîlj]
E[t|]
CV[TljTj]
=
A, und
von
(T|:, Tj) abhängig.
h
Cv[TljTj]
+
g12
j
(6.39)
durch
A
hi
li2
A
A
121
122
(6.40)
70
Verknüpfungsmethoden
wobei
var[T]-m[T ]
g22
•
-
V
•
a
-i
=
l
î
I22
:
^
j
=
A
vâr[T|]
-
I21
gir
aO
cv[tit]
=
J
(m[T2] + î22)
AAA
=
l
i
=
A
I12
J
j
=
I
In
-
H:
j
~
ini
=
1
ä
(m[T ] +122)
-
Y
t
J
gi2
•
T
7
J
.^.
j
m[T|]
mit
=
=
2^(Tij-m[Ti])
—•
XTJ
jj
vâr[T]
l
=
J
1
=
^(Tj-m[T])
—
j
cv[t|t]
—
Herleitung
werte
=
kann dem
E[Tj]
Für die
=
m[Ti]
=
m[T]
.
i
A
A
JïïrrivXv^
(J-l)
der Koeffizienten
E[tl]
=
1
-i2,
Die
i
^(^j-mtriD^Tj-mtT])
•
j
m[T]
=
J
1
=
l
=
J
1
=
J
i
j
m[T]
n;
^fjj
jj
var[r|]
1
J
1
=
=
1
~
Anhang
ergeben
C 2 (Seite
sich
119)
entnommen werden. Die
Erwartungs¬
zu:
(6.42)
.
Bestimmung
von
bj
in
(6.31)
wird anstelle des
tes Mittel der einzelnen Koeffizienten verwendet. Die
Verhältnis der Varianzen.
Erwartungswertes
ein
Gewichtung entspricht
gewichte¬
dabei dem
Verknüpfungsmethoden
?(*"
m[r|]
+
Cm[T2] +122)J
"
Tlj
=
X(în
m[T]
+
+
~
(*
(Ätf2]
•
1
2^22
+
l22)J %
g22
•
•
A
(mtT ]
*22>
définit sein. Bei nicht
positiv
muss
+
A
A
>
0 und
> u
aDer
>
E nicht
"~*
positiv
définit
A
Fall 2:
în
<
man
0 und/oder
die Kovarianzen
=
zu
Null
A
(112
I21
=
=
0).
î22 < 0
Hier wird angenommen, dass alle
Tj
definiter Kovarianz¬
A
I22
In diesem Fall setzt
•
positiv
folgt vorzugehen:
matrix ist wie
lu
+
-"•9
~
Die Kovarianzmatrix L
Fall 1:
g22
•
J
J
=
--gii-(tti[T2] î22)
+
(6.43)
jfl22
•
gl1
'
ÎT
71
Th
und/oder
Tj gleich
sind. Somit ist r\-
=
T)0 bzw.
T0.
Mit der Kovarianz L können
nun
via
(6.38) die Elemente
den. Daraus lässt sich der Posteriormittelwert mittels
von
A. und
Gleichung (6.27)
bj
bestimmt
wer¬
bestimmen.
b) Anwendung
Wendet
man
die
onsverknüpfung
stimmung
empirische
lineare
Bayes'sche Regressionsmethode
(siehe Kapitel 5.2, Seite 52),
an
den einzelnen Informationen die
aus
für horizontale
werden nach
so
zugehörigen
auf die Informati¬
erfolgter
Parameterbe¬
Koeffizienten der Geraden
im
Wahrscheinlichkeitspapier bestimmt (siehe Anhang A,
Für die einzelnen Informationen
werden, falls notwendig, PseudoStichprobenumfänge
Seite
Abweichungen
95).
bestimmt (siehe B 2, Seite 109). Als nächstes ist die
den Formeln
(6.41)
zu
können die Elemente
Wenn der
stische
Kovarianzmatrix L mit
berechnen. Mit der Kovarianzmatrix L und den Formeln
von
A. und
bj
bestimmt werden. Mit
wird der Posteriormittelwert der Koeffizienten und
lungsfunktion
empirische
aus
Gleichung (6.27)
(6.38)
schliesslich
diesen die Parameter der Vertei¬
bestimmt.
PseudoStichprobenumfang
Analyse genügend
der Referenzinformation für eine
zuverlässige
gross ist, haben die weiteren Informationen
Einfluss mehr auf die Metainformation. Die Grösse der
weiteren Informationen haben hierbei
nur
praktisch
stati¬
keinen
PseudoStichprobenumfänge
der
einen kleinen Einfluss auf die resultierenden
Parameter. Der Einfluss der weiteren Informationen ist
am
grössten,
wenn
die Kovari-
A
anzmatrix L nicht
entspricht
positiv
définit ist und somit
gleich
Null gesetzt wird. In diesem Fall
der Mittelwert der Koeffizienten der Metainformation
tischen Mittel
aus
ungefähr
dem arithme¬
den Koeffizienten aller Informationen. Dieser Fall tritt auf,
wenn
die
72
Verknüpfungsmethoden
Referenzinformation und die weiteren Informationen sehr ähnlich sind, d.h.
wenig
von¬
einander abweichen.
Eine
könnte theoretisch auch über die Vertrauenskennzahlen
Gewichtung
werden. Davon ist
fung
stark
der
von
jedoch
aus
zwei Gründen abzusehen: Einerseits
zugeordneten
Grösse des
formation ab. Andererseits kann
es
ein viel
wurde. Dies tritt dann ein,
gelegt
Referenzinformation
nur
geringeres
Verknüp¬
der Referenzin¬
vorkommen, dass die Metainformation
der Referenzinformation abweicht, obwohl
von
hängt
Pseudostichprobenumfangs
eingebracht
die
wenig
nur
Vertrauen in die
die Referenzinformation
wenn
und die anderen Informationen stark voneinander abweichen.
Bei der
empirischen
nicht
Verknüpfung
linearen
Bayes'schen Regressionsmethode
hauptsächlich
Vertrauensfrage abhängig.
von
der
Zuweisung
Gründen sollte für die Referenzinformation
man
Es
das
und somit
von
der
Verknüpfung massgeblich.
Aus diesen
diejenige Information gewählt werden,
in die
Vertrauen hat.
zwei Informationen über eine
liegen
und eine
grösste
Gewichtung
Auch die Wahl der Referenzinformation und ihr PseudoStich¬
beeinflussen das Resultat der
probenumfang
der
ist somit das Resultat der
Standardabweichung
3. Als
von
Eigenschaft
vor.
Die Information 1 weist einen Mittelwert
5 auf, die Information 2 einen Mittelwert
von
30
34 und eine Standardab¬
wird die
LognormalVerteilung gewählt. Die beiden PseudoStichpro¬
Verknüpfung unter Verwendung der Information 1 als Referenzin¬
benumfänge
formation ergibt für die Metainformation einen Mittelwert von 30.6 und eine Standardabweichung von
4.48. Wenn die Information 2 als Referenzinformation gesetzt wird, so ergibt sich für die Metainformation
einen Mittelwert von 33.3 und eine Standardabweichung von 3.60.
weichung
von
werden
Für die
Verteilungstyp
von
zu
5 gesetzt. Eine
Interpretation
Situation
zu
der Resultate ist
orientieren,
Stichprobe entspricht
stammt, wird ihr
a
wo
eine
es
hilfreich, sich
Stichprobe
dabei der Referenzinformation. Da sie
priori
mehr vertraut und erhält
gross ist. Weichen die Vorinformation und die
men
der
sie nicht
von
Stichprobe
wird die
umso
Anwendung
nicht
wenn
zu
der
empfehlen,
keine der
stärker
gewichtet.
geringer je
der
ist. Die
gegeben
betrachteten
Objekt
mehr Gewicht bei einer
Stichprobenumfang
stark voneinander
Unter der
Bayes'schen
Voraussetzung,
diejenige
ab,
relativ
so
stam¬
dass die Güte
der Vorinformation,
Der Einfluss der Vorinformation auf die Metain¬
linearen
Abweichungen
sind.
Bayes'schen Regressionsmethode
erhebliche Zweifel
vorliegenden
wenn
bewerten ist als
stärker die
empirischen
wenn
zu
vom
entsprechend
Stichprobe
gleichen Grundgesamtheit.
in diesem Fall höher
Stichprobe
formation wird
Die
der
der klassischen
und eine Vorinformation
Dies trifft insbesondere dann zu,
Verknüpfung.
an
an
der Güte der
Informationen direkt
vom
ist dann
Stichprobe bestehen,
betrachteten
Objekt
oder
stammen.
Verknüpfungsmethoden
Die
6.2.2
73
Pseudostichproben-Methode
a) Grundgedanke
Pseudostichproben-Methode
Die
Alle
verfügbaren
Informationen werden in
Stammen die Informationen
proben zusammenlegen.
kann
analysiert
nun
samtheiten,
so
aus
der
folgenden Grundgedanken:
Stichproben
mit
Die daraus entstandene
Metastichprobe
werden. Stammen die Informationen
nun
trotzdem
Umfang nj umgewandelt.
gleichen Grundgesamtheit,
müssen sie nach der klassischen Statistik
werden
Stichproben
basiert auf dem
aus
so
kann
mit
Umfang
getrennt analysiert
nun
die Stich¬
n
verschiedenen
Sie werden aber
zusammengelegt.
man
=
Yiij
Grundge¬
werden. Die
Beach¬
unter
tung der anstehenden Fragestellung mit einer Gewichtung versehen. Die Gewichtung
dem der einzelnen Information
entspricht
entgegengebrachten
Vertrauen.
b) Anwendung
Wendet
alle
festlegung
Vorgehen
Der
zu
genügend
ser
vorliegenden
der einzelnen
einer
Stichprobe
entspricht
werden nach
dem Produkt
erfolgter
Parameter¬
PseudoStichproben umgewandelt.
Anhang
B 3
Das
(Seite 112) dargestellt.
wird durch die Vertrauenskennzahl
festge¬
der Information mit der kleinsten Vertrauenskenn¬
Grössenordnung genügt in
wiederzugeben.
nun
so
wird im
PseudoStichproben
100 gesetzt. Diese
genau
an,
Informationen in
PseudoStichprobenumfang
Der
zahl wird
tion
Pseudostichproben-Methode
Generierung
zur
Umfang
legt.
die
man
der
Regel,
Der
PseudoStichprobenumfang
aus
100 und dem
um
eine
Verteilung
einer weiteren Informa¬
Quotient der Vertrauenskennzahl die¬
Information mit der kleinsten Vertrauenskennzahl. Um keine zusätzlichen Werte ge¬
nerieren
zu
müssen, werden die Werte der vorhandenen
PseudoStichprobe entsprechend
k-mal benützt.
Drei Informationen mit den Vertrauenskennzahlen
VKZj
-
0.2,
VKZ2
=
5
und
VKZref
miteinander
verknüpft. Die Information 1 wird in eine PseudoStichprobe mit Umfang
Der PseudoStichprobenumfang der Information 2 ergibt sich nach obiger Regel zu
n2
=
Derjenige
100
•
VKZ2/VKZj
=
Stichproben
=
1 werden
umgewandelt.
2500
der Referenzinformation berechnet sich
Die einzelnen
100
werden
nun
zu
500.
zusammengelegt
und bilden die
Metastichprobe.
Aus dieser werden die Parameter bestimmt. Für diesen Zweck stehen dabei die üblichen
Methoden der
Parameterschätzung
zur
Verfügung.
74
7
Vergleich
7.1
Vergleichsrechnung
Zur Illustration der
und
Schlussfolgerungen
Anwendung
der drei
Verknüpfungsmethoden
dient
folgendes
Bei¬
wird
Null
spiel:
Die
Lognormalverteilung wird
als
Verteilungstyp gewählt.
gesetzt. Es liegen zwei Informationen
und eine
Standardabweichung
und eine
Standardabweichung
1
von
von
vor.
Der Parameter
e
Die Information 1 hat einen Mittelwert
5. Die Information 2 weist einen Mittelwert
zu
von
30
von
34
3 auf. Als Referenzinformation wird die Information
gewählt.
In
Abbildung
methode
7.1 sind die Resultate der
dargestellt,
in
Abhängigkeit
kennzahl. Der Einfluss der
wie die
formation, welcher
man
mit der
der der Information 2
Gewichtung
Standardabweichung
Verknüpfung
wird anschaulich
Bayes'schen Regressions¬
zugewiesenen
Der Mittelwert
aufgezeigt.
der Metainformation nähern sich den Werten
das grössere Vertrauen
so¬
derjenigen In¬
entgegenbringt.
m
sd
Jo
0
34
Vertrauens¬
5
.
i
>
^-
>
-
32
4
<
-
>
<
30
3
on
9
10"3 10"2
10"1
10°
101
102
103
10"3 10"2
VKZ
Information 1
Abb. 7.1:
—
10"1
10°
101
102
103
VKZ
Information 2
—
Grafische Darstellung der Resultate der Informationsverknüpfung
unter
Benutzung der
Bayes 'sehen Regressionsmethode
Die Resultate der
mit der
Verknüpfung
mit der
Pseudostichproben-Methode
derum ist die
enskennzahl
Verknüpfung
dargestellt.
in
Bayes'schen Regressionsmethode und diejenige
können der Tabelle 7.1 entnommen werden. Wie¬
Abhängigkeit
der der Information 2
Die Resultate unterscheiden sich
Weiter finden sich in der Tabelle 7.1 die Resultate der
Bayes'schen
Fall der
Methode unter
Lognormal-
bzw.
Berücksichtigung
Normalverteilung
von
sind
nur
in
zugewiesenen
wenigen
Verknüpfung
Vertrau¬
Prozenten.
mit der klassischen
konjugierten Verteilungen.
geschlossene Lösungen
Für den
vorhanden
Vergleich und Schlussfolgerungen
76
(Plate, 1993; Bernardo und Smith, 1994). Die Abweichungen der Resultate im Vergleich
mit den anderen beiden Methoden sind
VKZ
gering.
Pseudostichproben-
Bayes'sche
Regressionsmethode
Methode
sd
m
Klassische
Bayes'sche
sd
m
Methode
sd
m
0.01
30.0
5.01
30.1
5.02
30.0
5.00
0.1
30.4
5.03
30.3
5.04
30.4
5.08
0.2
30.7
5.04
30.6
5.06
30.7
5.08
0.5
31.3
4.98
31.3
5.03
31.3
5.00
1
32.0
4.79
32.0
4.86
32.0
4.81
2
32.7
4.45
32.7
4.45
32.7
4.46
5
33.3
3.90
33.3
3.80
33.3
3.90
10
33.6
3.55
33.6
3.39
33.6
3.54
100
34.0
3.07
33.9
3.12
34.0
3.05
Tab. 7.1:
Resultate der
Vergleichsrechnung
In Tabelle 7.2 sind die Resultate der
es'schen
Regressionsmethode
fängen dargestellt.
Verknüpfung
mit der
für verschiedene Verhältnisse
empirischen
von
linearen
Bay¬
Pseudostichprobenum-
Da die beiden Informationen sehr unterschiedlich
sind, ist der Ein¬
fluss der Information 2 klein. Insbesondere hat die Information 1 bei einem grossen
PseudoStichprobenumfang
der Referenzinformation
praktisch
keinen Einfluss auf das
Resultat.
n2
»1
sd
m
500
5
30.0
4.99
50
5
30.1
4.92
25
5
30.1
4.84
10
5
30.3
4.66
5
5
30.6
4.48
5
10
30.5
4.61
5
25
30.4
4.68
5
50
30.4
4.70
5
500
30.4
4.72
Tab. 7.2:
Resultate der
schen linearen
thode
Verknüpfung
mit der
empiri¬
Bayes'schen Regressionsme¬
77
Vergleich und Schlussfolgerungen
Schlussfolgerungen
7.2
In dieser Arbeit werden ein methodisches
Vorgehen und drei
wird ein Grundwissen in Statistik oder
tionsverknüpfung vorgestellt. Vorausgesetzt
Wahrscheinlichkeitsrechnung.
fallsvariable ist und wie
man
Der Benutzer
Methoden für eine Informa¬
muss zum
der Unscharfe der Information wird
Einbezug
zwungen, sich über die Grenzen und die
Die
zu
von
der Informationen ist ein
weitergeben.
dige
ermöglicht,
indem die betrachtete
Realisationen der
möglichen
Eigenschaft
Teils wird
die Momente
schwieriger
Ge¬
Teilschritt. Insbesondere die Aus¬
Information kann Mühe bereiten. Dies ist dadurch
subjektiver
die Fachliteratur oder Normenwerke
zwar
einbezo¬
machen.
Auswertung
wertung
Verknüpfung
als Zufallsvariable beschrieben wird. Der Benutzer wird somit dazu ge¬
Eigenschaft
danken
eine Zu¬
diese beschreibt.
Die Unscharfe und die Güte einer Information werden mit in die
gen. Der
was
Beispiel verstehen,
nur
unvollständige Angaben
aber der verwendete
festgelegten
Werte
Verteilungstyp
wäre für eine umfassende
Beurteilung
einer
Beschreibung
der
Gewichtszuteilung,
Wichtungsfaktor.
vorgeschlagene Benutzung
Gewichtung
verhindert einerseits ein
andererseits
erübrigt
teils werden
nicht. Eine vollstän¬
sich die
Falls erwünscht, kann die
aufzeigt.
Eigenschaft
Die Güte der einzelnen Informationen kann mittels einer
werden. Die in dieser Arbeit
Eigenschaften
(charakteristische Werte, Rechenwerte, etc.)
ist anzustreben, die eben auch die vorhandenen Unscharfen
Grundlage
über
angegeben,
ein Fraktilwert oder der Mittelwert
angegeben,
Dokumentation der
nur
bedingt, dass
Vorteil.
von
Gewichtung berücksichtigt
von
zu
Eine solche solide
linguistischen
kleinliches
Vorgehen
schwierige Zuteilung
Gewichtung
Tennen
auch über die
zur
bei der
einer Zahl als
Zuweisung
von
Beurteilung
der
PseudoStichprobenumfängen eingebracht werden.
Die
Gewichtung
Herkunft und
Resultat
der einzelnen Informationen soll auf einer seriösen
Qualität
abhängig gemacht
angebracht sein,
aus
der Informationen beruhen. Sie darf nicht
werden. Für eine
die Resultate der
von
Sensitivitätsanalyse
Berechnungen
einem
kann
es
gewünschten
jedoch
durch¬
mit allen Vertrauenskennzahlen
zu
vergleichen.
Die drei
Verknüpfungsmethoden
Regressionsmethode
und
die
Bayes'sche Regressionsmethode
ist
gemeinsam,
dass die bei der
wendige Bestimmung
dieser
Alternativmethoden
und die
Pseudostichproben-Methode.
nur
Allen Methoden
der Parameter entfällt. Die
schwierig
Erleichterung
Bayes'sche Regressionsmethode
Anwendung empfohlen.
lineare
Benutzung der klassischen Bayes'schen Methode
ist oft
ist eine bedeutende
die
Bayes'sche
empirische
beiden
Verteilungsfunktionen
Verteilungsfunktionen
Festlegung
Die
der
sind die im Zentrum dieser Arbeit stehende
durchzuführen. Die
not¬
Festlegung
Umgehung
dieser
für den Anwender.
wird für die
Durchführung
Zum einen enthält sie effiziente
einer
Algorithmen,
die Resultate auch ohne vertieftes Verständnis nachvollziehbar.
Verknüpfung
zum
zur
anderen sind
Vergleich und Schlussfolgerungen
78
Die
der
Anwendung
Bayes'sche
Wahrscheinlichkeitspapier
das
und die
"Methode der kleinsten
rens
Methode auf die Parameter der Geraden im
Quadrate"
gleiche Berechnungsverfahren
zung
von
Benutzung
Wahrscheinlichkeitspapieren
des Modells des Parameterschätzverfah¬
für die
auf alle
hat
Verteilungstypen
werden können, für die ein
Für die im Bauwesen
am
meter. Als
Eingabegrössen
verwendeten
sind somit
Verteilungstypen
Betrachtung
Da nicht die ganze Information über die Parameter
einbezogen
Die
der
der
(d.h.
der klassischen
empirische
lineare
typen wie bei der
nur
teilungsfunktion
unter
Einbezug
der
empirische
die Momente der
lineare
aller Informationen
gegenüber
Die Resultate müssen auf dem
vorliegender Stichprobe
der
durchgeführt.
Im
auf verschiedene
Vergleich
zur
Hintergrund
der
muss von
Vergleich
Bay¬
eine
benützt werden. Die Form der Ver¬
Für die
der Momente werden
Verknüpfung
wird die Refe¬
Gewichtung
der
Benutzung
der klassischen
interpretiert
der
Bayes'schen
Situation mit
werden. Falls diese
empirischen
linearen
Interpreta¬
Bayes'schen
Re¬
werden.
zu
das
Vorgehen
den beiden anderen
notwendigen Generierung
Pseudostichproben-Methode
Verteilungs¬
klassischen
den anderen Informationen.
Pseudostichproben-Methode zeigt
bleme.
eine Nä¬
Quadrate". Es gelten somit
notwendigen Schätzungen
und Vorinformation
gressionsmethode abgesehen
anschaulich. Im
derjenigen
nur
Bayes'sche Regressionsmethode
Hyperparameter
ist unbedeutend. Die
tion nicht zutrifft,
der Para¬
basiert ebenfalls auf dem Mo¬
Anwendung
Bayes'schen Regressionsmethode.
Referenzinformation
der
Verteilungsfunktion) mit¬
renzinformation somit zweimal benützt. Daraus resultiert eine stärkere
Die
jedoch
Erwartungswerte notwendig.
Bayes'sche Regressionsmethode
Bayes'sche Regressionsmethode
es'schen Methode ist auch die
da
existiert.
Bayes'schen Methode.
gleichen Einschränkungen bezüglich
Näherung,
ist dies
Erwartungswerte
ihre
dell des Parameterschätzverfahrens "Methode der kleinsten
die
solche Vertei¬
wird und da die Likelihoodfunktion des linearen Modells anstelle
der Zufallsvariablen benutzt wird, ist die
herung
nur
Wahrscheinlichkeitspapier
Schätzungen
nur
anwenden lässt. Die Benüt¬
den Nachteil, dass
jedoch
Fall. Das Verfahren beschränkt sich auf die
hat den Vorteil, dass sich
Verknüpfung
lungstypen verknüpft
häufigsten
zugehörigen
von
bietet
der
Informationsverknüpfung
Verknüpfungsmethoden
PseudoStichproben aufwendig.
jedoch
für die
Die
sehr
ist sie wegen
Anwendung
heutigen Computersysteme
der
keine Pro¬
8
Beispiele
8.1
Qualitätsprüfung
8.1.1
Vorschriften der
Gemäss Norm SIA 162
Festbeton
Qualitätsprüfung
(1993) Abschnitt
5 13 wird die
Kontrolle, ob ein Beton die ge¬
sogenannten laufenden Kontrolle durch¬
mittels einer
forderte
Druckfestigkeit erreicht,
geführt.
Für die Kontrolle müssen im Verlaufe der Bauarbeiten mindestens 30
entnommen werden. Die Probenentnahme kann
Baustelle
erfolgen.
Prüfkörpern
Der Nachweis der
ermittelten Werte die
Prüfkörper
entweder im Betonwerk oder auf der
ist erbracht,
Druckfestigkeit
folgende Bedingung
wenn
die
aus
den
erfüllt:
fcw»-Mn)-s(n)>f
(8.1)
cw.min
mit
Würfeldruckfestigkeit
fcwm(n)
mittlere
Mn)
Beiwert gemäss Tabelle 8.1
s(n)
Standardabweichung
f
vorgeschriebener
cw.min
Anzahl
Beiwerte
Würfeldruckfestigkeit
50
2.4
X(n)
Kontrolle der
werden. Eine solche
Nachweis der
40
2.5
Tab. 8.1-
nommen
Prüfkörper
Prüfkörper
Mindestwert der
30
X(n)
unabhängige
n
n
Prüfkörper
n
Für eine
der
der
2.3
gemäss SIA 162
Festigkeit
Stichprobe
75
2.1
2.0
(1993)
können
Prüfkörper
soll mindestens drei
Festigkeitsanforderungen gilt
>100
als erbracht,
auf der Baustelle ent¬
Prüfkörper
wenn
die
umfassen. Der
folgenden Bedingun¬
gen erfüllt sind:
f
(n)-10N/rnmz>f
(8.2)
und
Max[fcwl]
-
Min[fcwl]
<
Afcw(n)
mit
fcwm(n)
:
mittlere
Würfeldruckfestigkeit der n Prüfkörper
(8.3)
80
Beispiele
Max[fcwi]
:
grösster Prüfwert der Würfeldruckfestigkeit in der Stichprobe
Min[fcwi]
:
kleinster Prüfwert der
Afcw(n)
:
zulässige Differenz gemäss
6
9
12
15
Afcw(n)
9
11
13
15
16
Zulässige Differenz Afcw(n)
in N/mm
malverteilt ist und eine
bis
(8.3) gehen davon
Standardabweichung
Würfeldruckfestigkeit entspricht
Stichprobe
Tabelle 8.2
3
Bedingungen (8.1)
nimale
der
n
Tab. 8.2:
Die
Würfeldruckfestigkeit in
dass die
aus,
von
5N/mm
2
Würfeldruckfestigkeit
aufweist. Die
dann einer 2.2%-Fraktilen
nor-
mi¬
geforderte
(Q2.2)-
8.1.2 Situation
Für ein Bauwerk wird ein Beton der
Festigkeitsklasse
Kontrolle der im Betonwerk entnommenen 30
33.5N/mm
2
unabhängige
Kontrolle der
30.2; 26.6;
29.9N/mm2.
werden die
ergibt
destwertes der
Dies
von
der
aus
18.2N/mm
und
2
falt
durchgeführt
teilung
der
8.1.3
Verknüpfung
Benutzung
der
wird übernommen
wie die
unterhalb des
von
der SIA
auf Grund seiner
unabhängige
mit der
eine
der
Bedingung (8.2)
20N/mm
von
zu
.
Die
Min-
Quali¬
diejenige
sind die Stan-
2
,
Erfahrung mit
dem Betonwerk, dass
Kontrolle nicht mit der
Vergleich einbezogen
2
sein als
geforderte. Hingegen
zum
diesen Wer¬
vorgeschriebenen
Kontrolle scheint schlechter
Vorschlag,
gleichen Sorg¬
dass die Resultate der
werden. Gesucht ist somit die Ver¬
Betondruckfestigkeit unter Berücksichtigung
a) Stochastisches
Die
liegt
verlangt
Resultate: 28.5; 26.0;
(8.3) erfüllt. Die linke Seite
wurde. Diese Annahme führt
laufenden Kontrolle mit in den
Der Bauherr
28.2N/mm2. Mit
von
der Betonsorte B 30/20
diejenige
die auf der Baustelle vorgenommene
.
von
Zu diesem Zweck wurden fünf Prüf¬
beider Kontrollen kleiner als 5 N/mm
zuständige Ingenieur glaubt
2
Prüfung ergab folgende
Dieser
.
unabhängigen
der laufenden Kontrolle und
dardabweichungen
3.35N/mm
einen Mittelwert
Würfeldruckfestigkeit
tät des Betons
Der
ergibt
Bedingungen (8.1)
einen Wert
von
einen Mittelwert
Prüfkörper ergab
Betondruckfestigkeit.
auf der Baustelle entnommen. Die
körper
ten
Standardabweichung
und eine
B 30/20 verwendet. Die laufende
der beiden
Kontrollstichproben.
Bayes'schen Regressionsmethode
Modell
Normalverteilung
als
Verteilungstyp
(Spaethe, 1992). Prinzipiell
Weibullverteilung für Minima
als
der
Betonwürfeldruckfestigkeit
kämen auch die
Verteilungstyp
in
Lognormalverteilung
Frage.
so¬
Beispiele
81
b) Informationsanalyse
Die Resultate der
trollstichprobe)
gigen
Analyse
der beiden Informationen
sind in Tabelle 8.3
dargestellt.
Die
(laufende und unabhängige
Analyse
Kontrolle wurde mit der Methode der kleinsten
der
Quadrate
Stichprobe
Kon¬
der unabhän¬
im Wahrscheinlichkeits-
papier durchgeführt.
Laufende Kontrolle
Koeffizienten
a
=
-10.0
a
=
-11.15
b
=
0.30
b
=
0.39
Verteilung
N(33.5; 3.4)
Stichprobenumfang
n
Tab. 8.3:
Resultate der
c) Gewichtung
und
=
n
5
=
Verknüpfung
zugesprochen.
keit
von
unabhängige
der
Metaverteilung bewegt
ist
am
Kontrolle verwendet. Sie erhält die Ver¬
Die Resultate der
der der laufenden Kontrolle
zugesprochen
N(28.2; 2.5)
30
2.2% Fraktilen sind in der Tabelle 8.4 und in der
Standardabweichung
Kontrolle
Informationsanalyse
Als Referenzinformation wird die
trauenskennzahl 1
Unabhängige
Abbildung
zugewiesenen
sich zwischen
grössten,
Verknüpfung sowie
wenn
8.1
die
dargestellt,
zugehörigen
in
Abhängig¬
Vertrauenskennzahl. Der Mittelwert
denjenigen
der beiden Informationen. Die
beiden Informationen das
gleiche
Vertrauen
wird.
VKZ
unabhängige
Kontrolle
Metainformation
Resultate der
laufenden
Q2.2
[N/mm2]
[N/mm2]
[N/mm2]
2.5
23.0
0.01
28.3
2.6
23.0
0.1
28.7
3.0
22.5
0.2
29.1
3.3
22.3
0.5
30.0
3.8
22.3
1
30.9
4.0
22.7
2
31.7
4.0
23.6
5
32.6
3.8
24.9
10
33.0
3.6
25.6
100
33.4
3.4
26.5
33.5
3.4
26.8
Verknüpfung
Kontrolle
sd
28.2
laufende Kontrolle
Tab. 8.4:
m
in
Abhängigkeit
von
der Vertrauenskennzahl der
82
Beispiele
mMeta [N/mm ]
sdMeta
34
[N/mm ]
4.5
,r
4.0
32
_
3.5
it
.
*--
30
JL.
»
3.0
o
u
28
2.5
10"3 10"2 10"1 10°
101
102
103
10"3 10'2
VKZ
10"1 10°
101
102
103
VKZ
[N/mm2]
2.2%-FraktileMeta
28
•
"
—
26
<
laufende Kontrolle
>
unabhängige
-
-
Kontrolle
Metainformation
24
<
22
10'3 10'2
u
»
101 10°
101
102
103
VKZ
Grafische Darstellung der Resultate
Abb. 8.1:
der
Verknüpfung
d) Schlussfolgerungen
Wie
der
aus
Fraktile
von
gewichtet.
Abbildung
20N/mm
Die
2
nicht unterschritten, wie auch immer
Bedingung (8.2)
Betondrackfestigkeit ist
Für das
8.1 und der Tabelle 8.4 ersichtlich ist, wird die
gegebene
information eine
2.2%-
die laufende Kontrolle
ist somit erfüllt und der Nachweis einer
genügend hohen
erbracht.
Verhältnis der
Stichprobenumfänge
Normalverteilung N(32.7; 3.7).
grafisch dargestellt.
man
geforderte
von
In der
Die effektive 2.2%-Fraktile der
30/5
ergibt
Abbildung
sich für die Meta¬
8.2 ist dieses Resultat
Posteriorverteilung liegt
in diesem
Fall bei 25.1 N/mm2.
8.1.4
Die
Verknüpfung mit der empirischen
Regressionsmethode
Normalverteilung
analysen
nommen.
werden
von
Auch die
probenumfänge
Bayes'schen
als stochastisches Modell sowie die Resultate der Informations¬
der
Verknüpfung mit
Benutzung
wird beibehalten. Die
linearen
der
der
Bayes'schen Regressionsmethode
unabhängigen
Verknüpfung ergibt
unter der
über¬
Kontrolle als Referenzinformation
Benutzung
eine Metainformation mit einem Mittelwert
von
der tatsächlichen Stich-
28.5 N/mm
und einer
Beispiele
83
Standardabweichung
24.2 N/mm
2
Die
.
von
2.6 N/mm
Bedingung (8.2)
resultiert
Daraus
.
ist somit
2.2%-Fraktile
eine
von
eingehalten.
b) Wahrscheinlichkeitspapier
a) Verteilungsdichten
F(fcw)
0.90
/
-
070
-
//
-
0.50
//'
/
-
0.30
/'
-
f
0.10
'/
-
//
.
0.05
-
//
/
/
0.01
25
20
30
unabhängige
Abb. 8.2:
Kontrolle
Grafische Darstellung
Bestimmung
8.2
40
35
20
45 f.,
25
30
der Resultate der
40L
Metainformation
laufende Kontrolle
—
35
Verknüpfung
eines charakteristischen Wertes einer
Stahlfliessspannung
8.2.1
Situation
Angesichts zunehmender
Verkehrslasten wird eine Stahlbrücke, welche
um
1900 erstellt
wurde, auf ihre Gebrauchstauglichkeit und Tragfähigkeit hin untersucht. Unter anderem
wurden acht
Prüfkörper
wurde mit Hilfe des
Fliessspannung
f
entnommen
und ihre
Eigenschaften
bestimmt. Diese
Wahrscheinlichkeitspapiers ausgewertet.
einen Mittelwert
von
225N/mm
2
Die
und eine
Stichprobe
Analyse ergibt
für die
Standardabweichung
von
17.1 N/mm2.
Die Fachliteratur
chungen
von
für die
Fliessspannung
Bahngesellschaften
Mittelwert
nen
gibt
von
261 N/mm
2
an
667
leicht unterschiedliche Werte
Prüfkörper ergaben
und eine
für
an.
entsprechende
Standardabweichung
von
Untersu¬
Stähle ei-
26N/mm
2
(SBB,
271N/mmundeineStandardabweichungvon
2
von
2271N/mmundeineStandardabweichungvon
1992). Eine spanische Untersuchung ergab für dieselbe Stahlsorte einen Mittelwert
34.9N/34.9N/mm
1994).
Die
Der
Stichprobenumfang
Aufgabe
des
Ingenieurs
nung für die Kontrolle der
wurde nicht
besteht
nun
2
(Tanner und Rui-Wamba,
angegeben.
darin, einen Rechenwert der Stahlfliessspan¬
Tragsicherheit
dieser Brücke
(1992) entspricht der Rechenwert der 5%-Fraktile (Q5)
der
zu
bestimmen. Gemäss SBB
Fliessspannung.
Beispiele
84
8.2.2
Verknüpfung
Bayes'schen Regressionsmethode
mit der
a) Stochastisches Modell
In der Fachliteratur wird die
und Siemes, 1987;
(Vrouwenvelder
Minimalwert der
als
Lognormalverteilung
Verteilungstyp vorgeschlagen
Spaethe, 1992; Tanner und Rui-Wamba, 1994). Der
Lognormalverteilung
wird
zu
Null gesetzt.
b) Informationsanalyse
Die
Untersuchungen der Bahngesellschaften
ben ähnliche Werte für die
einander
verknüpft.
Da
es
Fliessspannung
keinen Grund
der Stähle
gibt,
gen, werden sie
gleich gewichtet (VKZ =1).
das Resultat der
Verknüpfung
und in
Abbildung
8.3
aus
Brücke
von
Bahngesellschaften
a
=
b
=
a
=
b
=
-71.3
13.2
-55.9
10.1
Spanische
a
=
-43.6
Untersuchungen
b
=
7.8
Metainformation
aus
Fachliteratur
Tab. 8.5:
Resultate der
an.
Die
Sie werden deshalb zuerst mit¬
Auswertung
aus
ge¬
zu
bevorzu¬
aller Informationen sowie
der Fachliteratur sind in Tabelle 8.5
dargestellt.
der
Untersuchungen
spanischen Untersuchungen
eine der beiden Informationen
der Informationen
Koeffizienten
Stichprobe
sowie die
a
=
-48.1
b
=
8.6
Informationsanalyse
Verteilung
LN(5.41; 0.08; 0)
LN(5.56;0.10;0)
LN(5.59;0.13;0)
LN(5.58;0.12;0)
Momente
N/mm2
m
=
225
sd
=
17.1
Q5
=
198
N/mm2
m
=
261
N/mm2
sd
=
26.0
Q5
=
220
N/mm2
m
=
271
N/mm2
sd
=
34.9
Q5
=
217
m
=
266 N/mm
sd
=
31.0
Q5
=
218
N/mm2
N/mm2
N/mm2
N/mm2
2
N/mm2
N/mm2
Beispiele
85
f(fy)
0.016
Untersuchungen
von Bahngesellschaften
/%--''""
'
0.012
/~\
•//'
0.008
0.004
\
If
.
spanische
\
/
Untersuchungen
resultierende
Y\_
-
\\v--^^
yt
Metainformation
u.uuu
150
250
300
c) Gewichtung
und
400
fy
der untersuchten Brücke
welche die Fachliteratur für solche Stähle
entscheiden, welcher Information
Wahl zwischen einer
und einer
der Fachliteratur
Verknüpfung
Stahlfliessspannung
men
350
Grafische Darstellung der Verknüpfung der Informationen aus
Abb. 8.3:
Die
200
Stichprobe
Stichprobe
er
angibt.
liegt
Der
mehr Vertrauen
um
einiges
Ingenieur
tiefer als
muss
entgegenbringen
mit acht Werten, die
mit mehr als 700 Werten
vom
aus
möchte. Er hat die
betrachteten Bauwerk stam¬
verschiedenen Bauwerken und
verschiedenen Ländern. Natürlicherweise wird wohl den Daten mehr Gewicht
sen, da der Hinweis auf eine tiefere
Als Referenzinformation wird die
Stichprobe auszudrücken,
mation
nutzt
bezüglich
(VKZ
231.8N/mm
=
2
Stichprobe gewählt.
wird der
linguistische
Um das
grössere
und eine
2
Vertrauen in die
Term "kleineres Vertrauen in die Infor¬
aus
Standardabweichung
von
und ist somit etwas kleiner als
diejenige
24.1 N/mm
diejenige
2
der Fachliteratur be¬
der
0.020
0.016
r
0.012
-
0.008
-
0.004
0.000
Stichprobe
-
Metainformation
-
Fachliteratur
-
-
150
200
250
Stichprobe.
Die Dichte¬
der Metainformation sind in
f(fy)
0.024
300
350
Grafische Darstellung der Informationsverknüpfung
400
von
auf. Die 5%-Fraktile be-
dargestellt.
Abb. 8.4:
beigemes¬
werden darf.
Die resultierende Metainformation weist einen Mittelwert
funktionen der Informationen sowie
8.4
vernachlässigt
der Referenzinformation" für die Information
0.2).
trägt 194.4N/mm
Fliessspannung
nicht
diejenige,
sich in diesem Fall
fv
Abbildung
86
Beispiele
8.2.3
Die
Verknüpfung mit der empirischen
Regressionsmethode
Lognormalverteilung
linearen
Bayes'schen
als stochastisches Modell sowie die
enten der Informationen werden
von
der
Verknüpfung
Bestimmung
mit der
Bayes'schen Regressions¬
methode übernommen. Als Referenzinformation wird wiederum die
In diesem
Beispiel
nutzt. Da der
de, wird
er
werden die effektiven
Stichprobenumfang
gleich demjenigen
der
der
gegenüber
der Informationen ist in Tabelle 8.6
der
Stichprobenumfang
Tab. 8.6:
Das
aus
der
der
angegeben
der andern
bevorzugt.
=
5.59
ri
=
5.41
X
=
0.10
x
=
0.13
x
=
0.08
n
=
667
n
=
667
n
=
8
261
sd
=
26.0
Q5
=
220
der
LN(5.59;0.13;0)
N/mm2
N/mm2
N/mm2
m
=
271
sd
=
34.9
Q5
=
217
N/mm2
N/mm2
N/mm2
LN(5.41;0.08;0)
225
m
=
sd
=
17.1
Q5
=
198
N/mm2
N/mm2
N/mm2
Informationen
Verknüpfung
ist in Tabelle 8.7
Bayes'schen Regressionsmethode
information
angegeben.
Es stimmt mit
überein.
Koeffizienten der Meta¬
Tl
=
5.43
x
=
0.10
LN(5.43;0.10;0)
Verteilung
der
Metainformation
Tab. 8.7:
So
Stichprobe
Tl
=
wur¬
gegeben.
5.56
m
be¬
Eine Zusam¬
=
Zusammenstellung
Ergebnis
nicht
Tl
LN(5.56;0.10;0)
zugehörige
Verteilung
Verknüpfung
Bahngesellschaften gesetzt.
Untersuchungen von Spanische
B ahnge Seilschaften
Untersuchungen
Koeffizienten und
Stichprobe gewählt.
für die
spanischen Untersuchungen
wird keine der beiden Vorinformationen
menstellung
Stichprobenumfänge
Untersuchungen
der Koeffizi¬
Resultat des
228
m
=
sd
=
19.6
Q5
=
197
Verknüpfung
N/mm2
N/mm2
N/mm2
demjenigen
87
Beispiele
8.3
Einbezug historischer Daten in eine Erdbebenstärkenschätzung
8.3.1
Situation
Dieses
Beispiel
wurde
deten Daten wurden
Gelder und
von van
aus
den
Lungu (1997)
Diagrammen
stimmen somit nicht exakt mit den
des genannten Artikels
Orginaldaten
Aufzeichnungen
worden. Die
berg-Richter Magnitudenskala.
ode 1901 -1994 die
te.
die
dieser
ser
von
"Instrumentendaten" enthält für die Peri¬
6.42 und eine
die vorhandenen Daten
Standardabweichung
von
-
1900
Standardabweichung
Gumbelpapier dargestellt.
jährliche
Stichprobe enthält
von
14 Wer¬
0.54 auf. Für
Die sich
analysiert.
"Historische Daten" umfasst die
als 4.1. Der Mittelwert ist 5.76 und die
Planung
Vrancea mit Instrumenten auf¬
wurden die Erdbeben der Periode 984
sind die Daten in einem
herausgelesen und
umfassen die Erdbebenstärken nach der Guten¬
Stichprobe
Analyse ergebende Stichprobe
Für die
Region
die grösser als 5.7 sind. Die
Magnituden,
Sie weist einen Mittelwert
gleiche Region
Die
verwen¬
überein.
Seit 1901 sind die Erdbeben in der rumänischen
gezeichnet
übernommen. Die hier
aus
Magnituden grös¬
0.63. In
Abbildung
8.5
Es wurde dabei vorausgesetzt, dass
Maxima darstellen.
Neubauten, aber auch für die Beurteilung
von
bestehenden
Trag¬
werken, sollen die Verteilung der Magnituden und daraus die Stärke eines 400-j ährlichen
Erdbebens bestimmt werden.
Es ist
bemerken, dass die angegebenen Grössenordnungen der Erdbebenstärken der
zu
beiden
Stichproben
Auf eine
Abklärung
knüpfung
8.3.2
a)
im
Vergleich
zu
anderen Daten sehr hoch sind
dieses Umstandes wird in diesem
der beiden Informationen im
Verknüpfung
mit der
Vordergrund
(Bachmann, 1995).
Beispiel verzichtet,
da
nur
die Ver¬
steht.
Bayes'schen Regressionsmethode
Stochastisches Modell
Als stochastisches Modell für die
tere
mögliche
Modelle werden in
Magnituden
van
wird die
Gelder und
Gumbelverteilung gewählt.
Wei¬
Lungu (1997) kurz dargestellt.
b) Informationsanalyse
Die beiden
Stichproben
werden mit der Methode der kleinsten
lichkeitspapier ausgewertet.
Quadrate
im Wahrschein-
Dabei werden bei den Instrumentendaten die fünf kleinsten
Werte und bei den Historischen Daten die 16 kleinsten Werte bei der
Auswertung
ausge¬
schlossen, da die empirische Verteilungsfunktion einen ausgeprägten Knick aufweist
(siehe Abbildung 8.5).
Die Resultate der
Auswertung
sind in Tabelle 8.8
dargestellt.
Beispiele
88
Verteilung
Koeffizienten
a
=
-11.1
b
=
2.13
=
-8.5
b
=
1.90
Resultate der
=
5.51
sd
=
0.60
Q400
=
8-1
m
=
4.78
sd
=
0.67
Q400
=
7-6
GL(4.48;0.53)
Historische Daten
Tab. 8.8:
m
GL(5.23;0.47)
Instrumentendaten
a
Momente
Informationsanalyse
FM(m)
0.999
/
y
>
P
Instrumentendaten
n
Historische Daten
/
jp
0.990
x
/
/
/
/
M
À
J*'
0.900
-
0.800
0.700
/
5
1\
Abb. 8.5:
";
*
*
r
,
-
!/
/
1
6
,
,
8
7
Ç)
Magnitude
m
Grafische Darstellung der Informationsanalyse
c) Gewichtung
und
Die Unterschiede der
ben scheinen
nur
Verknüpfung
Magnituden
gering
gross, da bereits eine
Energie
À
m
I
-
um
zu
der
sein. Die
400-j ährlichen
Auswirkungen
Magnitudendifferenz
den Faktor 1.4 bedeutet
von
auf eine
0.1 eine
aus
den beiden
Bemessung
Erhöhung
(siehe auch Tabelle 8.9).
Magnitudendifferenz
Tab. 8.9:
Erdbeben
Energiefaktor
0.1
1.4
0.2
2.0
0.3
2.8
0.4
4.0
0.5
5.6
0.6
8.0
0.7
11.2
0.8
15.9
Zusammenhang zwischen der Magnituden¬
differenz und der zusätzlich freigesetzten
Energie (Brauner und Stanley, 1995)
der
Stichpro¬
sind
jedoch
freigesetzten
Beispiele
89
Die Historischen Daten basieren auf einer grossen
gegen ist die
Es
ergibt
der Erdbebenstärke
Festlegung
sich ein grosser
Zeitspanne
historischen
aus
Interpretationsspielraum.
von
rund 900 Jahren. Hin¬
Unterlagen
sehr
schwierig.
Die Daten weisen somit eine
grössere
Unscharfe als die Instrumentendaten auf. Die Instrumentendaten wurden über eine rela¬
tiv kurze Periode
auf der
90 Jahren
von
Messungenauigkeit,
gesammelt.
Die Unscharfe dieser Daten beruht einerseits
andererseits auf der
Sorgfalt
der
staunlich ist die Tatsache, dass die Instrumentendaten höhere
Datenerhebung.
Magnituden
Etwas
er¬
aufweisen als
die Historischen Daten. Dies obschon die Historischen Daten eine weitaus grössere Peri¬
ode umfassen. Aus diesem Grund und weil die
Magnituden
scheinen wird den Historischen Daten mehr Vertrauen
auch
generell
zu
5 gesetzt. Die sich
ergebende
Metainformation weist einen Mittelwert
chung
0.72 auf. Der Fraktilwert mit einer
von
7.92. Die
sind in
Verteilungsfunktionen
8.4
Abbildung
hoch
er¬
geschenkt.
Als Referenzinformation werden die Instrumentendaten verwendet. Die
trauenskennzahl der Historischen Daten wird
etwas
aus
zugehörige
der
Ver¬
Verknüpfung
4.90 und eine Standardabwei¬
von
Wiederkehrperiode von
der Informationen sowie
diejenige
400 Jahren
beträgt
der Metainformation
dargestellt.
FM(m)
0.999
1
i
1
A
/
//
ft
•
Instrumentendaten
/
0.990
f
t
/
—
/
—
—
Historische Daten
/
Metainformation
4
//
0.900
0.800
0.700
,
8.3.3
Die
-
i
,
7
8
9
Verknüpfung mit der empirischen
Regressionsmethode
Gumbelverteilung
nommen.
Magnitude
m
Grafische Darstellung der Verknüpfung
analyse werden
Die
t
6
15
L
Abb. 8.6:
t
//
£iJ-
-
von
linearen
Bayes'schen
als stochastisches Modell sowie die Resultate der Informations¬
der
Verknüpfung
mit der
Bayes'schen Regressionsmethode über¬
Als Referenzinformation werden wiederum die Instrumentendaten
Verknüpfung
Magnitude
unter
Benutzung
einen Mittelwert
sultiert eine
Magnitude
von
von
der effektiven
5.47 und eine
8.03 für das
gewählt.
Stichprobenumfänge ergibt
Standardabweichung von 0.61.
400-j ährliche Erdbeben.
für die
Daraus
re¬
90
Computerunterstützung
9
Verfahren
(Seite 57) dargestellte
Das im
Kapitel
in das
Computerprogramm
es'sche
Regressionsmethode
6
thode wurden als
Informationsverknüpfung
zur
sowie die
empirische
lineare
Verknüpfungsmethoden implementiert.
ist, einem Anwender
aus
mationsverknüpfung
zu
der Praxis den
ermöglichen.
Die
(Combining Tn/brmation) integriert.
Comblnfo
Zugang
zum
Bay¬
Bayes'sche Regressionsme¬
Das Ziel dieses
vorgestellten
Vom Anwender wird bei der
grammes ein Grundwissen in der Statistik oder der
wurde
Programmes
Verfahren der Infor¬
Benutzung
des Pro¬
Wahrscheinlichkeitsrechnung
voraus¬
gesetzt. Das Computerprogramm Comblnfo kann über das Institut für Baustatik und
Konstruktion der ETH Zürich
Das
Programmkern.
Anwender und übernimmt die
mes.
die
Der
zwei
Teilen, der Benutzerschnitt¬
Die Benutzerschnittstelle umfasst die Interaktion mit dem
Steuerung
des
Programmkerns
und für die
und die
Verknüpfung notwendig
und somit des
Algorithmen,
Program¬
welche für
sind.
Die Benutzerschnittstelle
Das
Programm wurde
1996).
in der
Computersprache
anskyj, 1997).
C/C++
geschrieben (Bramer und Bramer,
der Benutzerschnittstelle wurde
Entwicklung
Für die
"Microsoft Foundation Class
Library"
die Klassenbibliothek
verwendet (Blaszczak, 1997; Heimann und Turi-
Dabei wurde die übliche Dokument-Ansicht-Struktur benutzt. Die Daten
werden bei dieser Struktur
speicherung und
von
den Ansichten getrennt. Das Dokument dient der Daten¬
als Schnittstelle
Funktion der internen
Steuerung
die
eigentliche
Im
Programm Comblnfo gibt
•
aus
Programmkern beinhaltet die Datenstrukturen
Informationsanalyse
9.1
werden.
Comblnfo besteht im wesentlichen
Programm
stelle und dem
bezogen
zum
des
Programmkern.
Programmes.
Es übernimmt somit auch die
Die verschiedenen Ansichten stellen
Benutzerschnittstelle dar.
es
im wesentlichen vier Ansichten:
Informationsansicht
Die Informationsansicht ist die
zeit des
Programmes sichtbar.
Hauptansicht.
Sie bleibt während der gesamten Lauf¬
In dieser Ansicht wird die Charakteristik der einzelnen
Informationen in Form der ersten beiden Momente und der Parameter
Gleichzeitig
wird auch die Dichtefunktion der Information
angezeigt.
grafisch dargestellt.
92
Computerunterstützung
Die Wahl des
Verteilungstyps
des
Die
Festlegung
nen
und kann nicht mehr
wird auch in der Informationsansicht vorgenommen.
Verteilungstyps erfolgt
geändert
der
vor
Eingabe
der einzelnen Informatio¬
werden.
Von der Informationsansicht werden die anderen Ansichten angesteuert. Für den An¬
wender stellt somit die Informationsansicht die
Steuerungsplattform
des
Programmes
dar.
•
Änderungsansicht
In dieser Ansicht können
mationen
geändert
neue
Informationen
werden. Als
beschriebenen Kombinationen
eingegeben oder
Eingabegrössen
zur
stehen die in
die vorhandenen Infor¬
Kapitel
5.2 (Seite
Zur Auswahl stehen somit die
Verfügung.
52)
Eingabe
über
-
-
-
-
-
die ersten zwei
Momente,
die Parameter,
den
Erwartungswert
und einen
Fraktilwert,
den Modalwert und einen Fraktilwert
sowie über eine
Je nach
Stichprobe.
Verteilungstyp
tion
anzugeben.
Die
Analyse
der
ist allenfalls noch eine untere bzw. obere Grenze der Informa¬
Stichprobe
kann mit der Momentenmethode, der Maximum Likeli¬
hood Methode und mit der Methode der
führt werden
•
(siehe Kapitel
(gewichteten)
3.2.2, Seite 19 und
Kapitel
kleinsten
Quadrate durchge¬
3.3.3, Seite
27).
Verknüpfungsansicht
In der
Verknüpfungsansicht
knüpfung getätigt.
thode und die
Als
werden die
Verknüpfungsmethoden
empirische
lineare
ter ist die Referenzinformation
hörige
notwendigen Eingaben
stehen die
zur
Bayes'sche Regressionsme¬
Bayes'sche Regressionsmethode
zu
wählen und für
Vertrauenskennzahl resp. den
Informationsver¬
zur
Auswahl. Wei¬
jede weitere Information
die zuge¬
zugehörigen PseudoStichprobenumfang festzule¬
gen.
Maximal können fünf Informationen miteinander
kung
die
ist nicht
programmtechnisch bedingt,
Zuweisung
von
verknüpft werden.
sondern
berücksichtigt
Diese Beschrän¬
die Tatsache, dass
Vertrauenskennzahlen bei allzu vielen Informationen
schwierig
wird.
•
Darstellungsansicht
Die
Darstellungsansicht zeigt die ausgewählten Informationen in grafischer Form. Als
Darstellungsformen stehen die Dichtefunktion und die Verteilungsfunktion zur Verfü¬
gung. Die letztere kann auch im
Wahrscheinlichkeitspapier
betrachtet werden.
Computerunterstützung
93
«
Informatonsansicht
Änderungsansicht
f
*
1
Darstellungsansicht
Verknùpfungsansicht
t
Dokument /
V
|
Typ
Ansicht
Steuerung
!-
*
Bayes
Stichprobengenerator
Emp. Lin. Bayes'sche
Regressionsmethode
Normal
-
Lognormal
Bayes'sche
Regressionsmethode
Programmkern
Beziehungen
Abb. 9.1:
Der
9.2
der
enthält den mathematischen Teil des
Programmes.
der Datenstruktur einer Information sowie die
die
Speicherung
die
Informationsanalyse
gliedert
untereinander und zur Benutzerschnittstelle
Programmkern
Programmkern
Der
Hauptkomponenten
sich in die
und für die
Verknüpfung notwendig
folgenden Hauptkomponenten,
Dieser umfasst
Algorithmen,
sind. Der
welche als Klassen
welche für
Programmkern
ausgebildet
wur¬
den:
•
Typ
In der Klasse
Typ
wird die Datenstruktur einer Information
tet im wesentlichen die
im
die
Speicherung
Wahrscheinlichkeitspapier und
Bearbeitung
dieser Daten
gespeichert.
Dies beinhal¬
der Momente, der Parameter, der Koeffizienten
die Elemente einer
allfälligen Stichprobe.
notwendigen Algorithmen
Alle für
werden durch Funktionen
dieser Klasse übernommen.
Für jeden
implementierten Verteilungstyp
te Klasse. Diese enthält alle für den
existiert eine
von
der Klasse
Typ abgeleite¬
jeweiligen Verteilungstyp spezifischen Algorith¬
men.
•
Bayes
Die Klasse
Die zwei
Bayes
stellt die für eine
Verknüpfung notwendige
implementierten Verknüpfungsmethoden
sind als
Datenstruktur bereit.
abgeleitete
Klassen der
94
Computerunterstützung
Klasse
gen
•
Bayes ausgebildet worden.
Sie beinhalten die
jeweiligen
Methode
gehöri¬
Fähigkeit, für jeden implementierten
Vertei¬
zur
Verknüpfungsmechanismen.
Stichprobengenerator
Die Klasse
Stichprobengenerator
lungstyp PseudoStichproben
te
zu
hat die
generieren.
Sie wird für die
der Ordinaten- resp. Abszissenwerte der Weibull- und
Abbildung
9.1
komponenten
zeigt
in vereinfachter
untereinander und
Die Struktur des
Darstellung
diejenige
zur
die
Bestimmung
Fréchetverteilung benötigt.
Beziehung
dass
Erweiterungen
bindung
von
bindung
zusätzlicher Rechenmethoden ist ohne grossen Aufwand
Verteilungstypen
der einzelnen
Haupt¬
Benutzerschnittstelle.
Programmkerns gewährleistet,
weiteren
der Momen¬
einfach
zu
bewerkstelligen
im Sinne der Ein¬
sind. Auch die Ein¬
möglich.
Anhang
In diesem
A
Kapitel
Definitionen der
sind
nur
die
Verteilungstypen, welche
griert wurden, ausführlich dokumentiert.
sind
nur
A1
Verteilungstypen
angegeben.
Standardnormalverteilung
(p(x)
Definitionsbereich
-oo
Verteilungsfunktion
*<x>
J2n
< x <
inverse
Verteilungsfunk¬
tion / Fraktilwert
Q
Q
1
=
~2
J
v
pri-f
u
exP
l
—oo
~2J
du
<*>-1(q)
E[X]
Standardabweichung
sd[X]
Verteilungsfunktion
A
oo
~
Erwartungswert
nicht
X
exp
-
A/^TC
LL
=
a
=
0
=
1
=
sowie die inverse
Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung sind
finden sich zum Beispiel in Spaethe (1992). Einzelne
(Sachs, 1992).
geschlossen lösbar. Näherungsformeln
Werte können Tabellen entnommen werden
A 2
Computerprogramm inte¬
Für alle anderen erwähnten
(
Die
in das
die Dichtefunktionen sowie deren Definitionsbereiche
Dichtefunktion
1
Verteilungstypen
Normalverteilung N(u.;a)
1
Dichtefunktion
txvX')
'
-
>—
a-
Definitionsbereich
-oo
Verteilungsfunktion
Fx«
inverse
Verteilungsfunk¬
tion / Fraktilwert
Q
Q
< X <
=
Standardabweichung
sd[X]
Modalwert
mo[X]
ii
=
U J
*{*?)
Fx(q)
E[X]
2
-oo<^<oo
°o
-
Erwartungswert
CXP
a/2tc
=
=
a
\i
=
lt
+
cr-0_1(q)
a>0
96
Anhang A
Wahrscheinlichkeitspapier (Abbildung A.1)
Abszisse
u
=
X
Ordinate
v
=
0-!(Fx(x))
Stützpunkte
Parameterbestimmung
u0 bei
v
=
0 bzw. y
=
0.5
Uj bei
v
=
1 bzw. y
=
0.841
(I
=
u0
Stützpunkten
a
=
Uj-Uq
Parameterbestimmung
*
aus
den
a
aus
~
den
a
bzw.
den
Parametern
y
=
bzw.
M-
=
Tl
a
=
x
Tj
=
n
G=ß
Koeffizienten¬
aus
.
1
Koeffizienten
bestimmung
"ß
ß
=
i
f'x(x)
v
0'1(FX( x))
=
0.99
0.98
2
0.95
-
u-u.
v
S
c
=
a
0.90
•
j^
0.80
^
1
-
•
0.70
jS+
jS+
0.60
•
0.50
,
.X*»
0.40
"
^
L
0
1
*
|
0.30
0.20
•
-1
j*r
0.10
0.05
0.02
i
1
t
T
-2
1
0.01
4D
Abb. A.1:
Normalpapier
50
60
U°
70
80
Ul
90
100
11 0
x
Anhang A
97
Parameterbestimmung
Erwartungswert
und
Standardabweichung
aus
Stützwerten
E[X]
\i
=
a
=
sd[X]
ti
=
Qj-o-O'Vqi)
zwei Fraktilwerte
Qj
und
Q2
G
Q1-Q2
~
<s>
Erwartungswert
[i
=
a
=
-1
(q2)
-^
*
[1
(qi)-*
E[X]
und
Fraktilwert
-1
(q)
mo[X]
=
Modalwert und
Fraktilwert
*
A3
(q)
Lognormalverteilung LN(A,;Ç;e)
1
Dichtefunktion
fx00
Definitionsbereich
£<X<oo
Verteilungsfunktion
Fx(x)
inverse
Verteilungsfunk¬
Q
=
Ç-(x-e)- Ä
ln(x-e)-A,
c
O
=
Q
Erwartungswert
E[X]
=
=
e +
=
exp(?i +
8 +
(
sd[X]
Modalwert
mo[X]
exp
=
=
c;-0-1(q))
exp
V
Standardabweichung
e +
J
9-2\
4\^¥)
explX-C,
Wahrscheinlichkeitspapier (Abbildung A.2)
Abszisse
u
=
ln(x-e)
Ordinate
v
=
<&_1(Fx(x))
Stützpunkte
fln(x-e)-^2^
C>o
£<X<
F^(q)
tion / Fraktilwert
exp
u0 bei
v
=
0 bzw. y
=
0.5
Uj bei
v
=
1 bzw. y
=
0.841
98
Anhang A
Parameterbestimmung
aus den Stützpunkten
X
=
u0
Ç
=
Uj-Uq
a
\
Parameterbestimmung
aus
bzw.
den Koeffizienten
i
r
_
^
Koeffizienten¬
y
=
=
"H
=
t
ß
a
=
-=
Ç
bestimmung aus den
Parametern (e bekannt)
C
bzw-
r
1
P
A.
c
i 5x(x)
v
=
*-'(Fx(x))
0.99
0.98
0.95
0.90
r
u-A,
0.80
v=
0.70
*
^1^-
*
---^
1
-
Ç
0.60
^^y
0.50
•^r
'
-
-
-
I
"^(
0.40
*•
0.30
0.20
-
^r
+
0.10
i
0.05
i
T
1
0.02
-1
1
0.01
U0
3j 69
0
Abb. A.2:
U!
3.91
4.09
4.24
4.38
4.50
4.61
4.70
50
60
70
80
90
100
110
Lognormalpapier
Parameterbestimmung
aus
Stützwerten
Die nachstehenden Formeln setzen voraus, dass
X
=
ç
=
Erwartungswert und
Standardabweichung
8
bekannt ist.
log(E[X]-e)-|-log fi+rsd[X1 Tl
f [fi+f sd[X1TlJ
s
vE[X]-eJ
ln(x)
x
99
Anhang A
.-l.
ln(Q1-e)-C-^
zwei Fraktilwerte
Ql
und
(qi)
ln(Q1-e)-ln(Q2-e)
Q2
<5"1(q1)-0_1(q2)
X
L2
ln(E[X]-8)-
=
0<q<0.5:
Erwartungswert und
Ç
Fraktilwert
U-1(q))2
*-\q)+
=
+
2.1n^l=e'
0.5<q<l:
;-•->(,)-Vc,))1^^^"X
ln(mo[X]-e)
=
+
Ç
0<q<0.5:
®\q)
-
-
U'W
+
4
•
Inf—0—^~
mo[X]
Modalwert und
-
8.
Fraktilwert
0.5<q<l:
-8
-*-'(q)+J^w7^g[X]
A 4
Gumbelverteilung für
Dichtefunktion
Maxima
fx(x)
=
Definitionsbereich
-oo
Verteilungsfunktion
Fx(x)
inverse
Verteilungsfunk¬
Q
tion / Fraktilwert
Erwartungswert
Q
=
=
X
+
sd[X]
Modalwert
mo[X]
=
=
2=
76
X
-exp(X
<
g
g
5
oo
))
>
0
JJ
Ä,-8-ln(-ln(q))
=
Cb
0.57721665
Standardabweichung
<
exp(-expf-
=
=
g
-oo
oo
Fx1(q)
E[X]
C
exp(-
-
< X <
GL(À;ô)
.
ô
(Eulersche Konstante)
=
1.282550
8
-
8
100
Anhang A
Wahrscheinlichkeitspapier (Abbildung A.3)
Abszisse
u
=
X
Ordinate
v
=
-ln(-ln(Fx(x)))
Stützpunkte
u0 bei
v
=
0 bzw. y
=
0.368
Uj bei
v
=
3 bzw. y
=
0.951
X
Parameterbestimmung
aus den Stützpunkten
u0
=
U3"U0
s
Ô=
3
a
i
ß
Parameterbestimmung
aus
den Koeffizienten
5
0
aus
1
Tl
0
=
X
Tl
=
X
T
=
8
ß
Ô
den
bzw.
1
pß=
=
=
X
Parametern
y
Ä,
bzw.
=
Koeffizienten¬
bestimmung
.
8
Fx(x)
v
=
-ln(-ln(Fx(x)))
0.98
u
0.95
v-
—
X
5
S
»
^~
\
0.90
0.80
0.70
0.60
0.50
•
*
%/
0.40
0.30
•
0.20
0.10
T
T
1
0.05
.
j
0.02
50
Abb. A. 3:
,t~
7T~
60
Gumbelpapier für Maxima
70
~u
80
90
100
"3
110
120
x
Anhang A
Parameterbestimmung
aus
X
Stützwerten
E[X]-C-^-sd[X]
=
Erwartungswert und
Standardabweichung
7t
8
^
=
sd[X]
7t
X
und
•
sd[X]
Q1+8-ln(-ln(qi))
=
zwei Fraktilwerte
Ql
0.779697
=
Q1-Q2
Q2
"
ln(-ln(q2))-ln(-ln(qi))
X
E[X]-C-S
=
Erwartungswert und
Fraktilwert
E[X]-Q
5
C
X
mo[X]
=
Modalwert und Fraktil¬
Q-X
wert
A 5
ln(-ln(q))
+
v
Weibullverteilung
Dichtefunktion
-ln(-ln(q))
für Minima
fx(x)-cH
Definitionsbereich
8<x<co
Verteilungsfunktion
Fx(x)
inverse
Verteilungsfunk¬
Q
WS(8;y;e)
1
~
Fx1(q)
Q
Erwartungswert
E[X]
Standardabweichung
stl[x]
Modalwert
mo[X]
=
e +
=
'exp
=
=
exp
=
K"/J
8-(-ln(l-q))1/Y
e +
8-rfl
+
-N)
5.]r(1 2)-(r(, I))2
+
8 +
8-
f1^")
Wahrscheinlichkeitspapier (Abbildung A.4)
Abszisse
u
Ordinate
v=
=
(«1
8,7>0
=
tion / Fraktilwert
)
8
ln(x-e)
ln(-ln(l-Fx(x)))
+
Y>1
102
Anhang A
Stützpunkte
u0 bei
v
=
0 bzw. y
Uj bei
v
=
-3 bzw. y
8
Parameterbestimmung
aus den Stützpunkten
Parameterbestimmung
aus
=
bestimmung
Parametern
y
=
aus
den
(e bekannt)
=
0.049
exp(u0)
3
'
8
uo
=
den Koeffizienten
Koeffizienten¬
0.632
=
-
u-3
expf-f)
FV ßJ
ô
bzw.
ß
a
=
-y-log(S)
ß
=
y
,Sv
,
eXP(Tl)
i
y
Y=
=
=
-
T
m
=
X
=
log(8)
bzw.
1
-
Y
]Fx(x)
ln(-ln(l-Fx(.0))
v=
0.98
0.95
'
1
0.90
0.80
0.70
•
0.60
0.50
V
y
•
y\x
0.40
lUg^OJJ
^
-„
\y
0.30
0
-
-1
•
0.20
•
j/
-2
0.10
*S
0.05
1
-3
_
0.02
u-3
Abb. A.4:
«O
3. 69
3.91
4.09
4.24
4.38
4.50
4. 61
40
50
60
70
80
90
1(30
Weibulipapier für Minima
ln(x)
x
103
Anhang A
Parameterbestimmung
aus
Stützwerten
Die nachstehenden Formeln setzen voraus, dass
f(y)
e
bekannt ist.
rii
=
+
iJf-sd[X]
=
0
Erwartungswert und
Standardabweichung
8
=
E[X]-e
m
+
-
Y
8
ln(Q2-e)-v1-ln(Q1-e)-v2
=
exp
vi-v2
zwei Fraktilwerte
und
Qi
Q2
Y
V;
ln(Q1-e)-ln(8)
ln(-ln(l-qi))
=
f(y)
=
(E[X]-e)-(-ln(l-q))
_(Q-e)-r(l i)
Erwartungswert und
+
Fraktilwert2
8
0
Q-e
=
(-ln(l-q))
f(8)
=
l/Y
=
l/Y
-(mo[X]-e)
ln((Q-e)/S)
Modalwert und
+
Fraktilwert2
y bzw. 5 wird
bestimmt
vn+l
Zur
=
aus
(Bronstein
Xn
et
Bestimmung
bzw. f (5) nach der Iterationsvorschrift
Regula falsi
(A.1)
f(xn)
des ersten Startwertes xm wird der Mittelwert bzw. der Modalwert zunächst als Me¬
zugehörigen Parameter
entspricht dem
können
analog
den Formeln für zwei Fraktilwerte
ersten Startwert
f(xm)
f(xn)
Standardabweichung
wert wie
folgt empirisch festgesetzt:
Q005
(E[X]-eVexp
-3
sd[X]
E[X]
wird der für die
+ £
geschlos¬
xm. Der zweite Startwert xn wird
verschiedene Vorzeichen aufweisen. Bei der
und
Mittelwert und
=
0
al., 1995).
bestimmt werden. Dies
setzt, dass
=
ln((Q-e)/8)
Nullstellengleichung f (y)
f(xn)-f(xm)
dian angesetzt. Die
sen
der
ln((Q-e)/8)
ln(-ln(l-q))
1
ln(-ln(l-q))
Y
2
5-
Mn(-ln(l-q))
Bestimmung
so
ange¬
Parameterbestimmung
des Startwertes
benötigte
aus
Fraktil¬
(A.2)
Anhang A
104
A 6
Fréchetverteilung für Maxima FL(8;y;e)
fx(x)
Definitionsbereich
e<x<oo
Verteilungsfunktion
Fx(x)
Verteilungsfunk¬
/ Fraktilwert Q
inverse
tion
Q
V+1
'eXP
8U-eJ
=
=
E[X]
8
Standardabweichung
sd[X,
Modalwert
moIXI^
=
(-ln(q))1/Y
8 +
=
ter]
exp
Erwartungswert
=
(-(AT)
8, y>0
Fx\q)
=
8
(
y
Dichtefunktion
8-rfl--")
y>l
6.Jr(i-?)-(r(i-i))2
+
Y>2
5^)
Wahrscheinlichkeitspapier (Abbildung A.5)
Abszisse
u
=
Ordinate
v
=
Stützpunkte
v
=
0 bzw. y
=
0.368
Uj bei
v
=
3 bzw. y
=
0.951
8
den
Stützpunkten
Parameterbestimmung
aus
-ln(-ln(Fx(x)))
u0 bei
=
Parameterbestimmung
aus
ln(x-e)
exp(u0)
3
'
8
u3~u0
=
v
den Koeffizienten
Koeffizienten¬
bestimmung aus den
Parametern (e bekannt)
Ô
expf-H
ß;
bzw.
ß
a
=
-y-log(8)
ß
=
y
,
,t,
6XP(11)
i
y
Y=
=
=
-
^
r|
=
x
=
bzw.
log(8)
i
-
y
Anhang A
y
105
Fx(x)
=
v
=
-ln(-ln(Fx( *)))
0.98
v
0.95
y-(u-log(ô))
=
3
\,
0.90
^^
0.80
•
0.70
^r
0.60
2
i
t
/^
1
•
•
0.50
0.40
0
*T"-
0.30
^S
0.20
1
f
0.10
0.05
S^
I
*
-1
1
0.02
u0
Abb. A. 5:
u3
3. 31
4.09
4.24
4.38
4.50
4.61
4.70
4.79
4.87
50
60
70
80
90
100
110
120
130
s
bekannt ist.
ln(x)
x
Fréchetpapier fur Maxima
Parameterbestimmung
aus
Stützwerten
Die nachstehenden Formeln setzen voraus, dass
f(y)
=
E[X]-8
sd[X]
=
0
rii--
Erwartungswert und
Y
Standardabweichung
8
=
E[X]-e
r[i-Y
8
ln(Q2-s)-v1-ln(Q1-s)-v2
=
exp
V1~V2
zwei Fraktilwerte
Ql
und
Q2
Y
vj
Erwartungswert und
=
ln(8)-ln(Q1-e)
=
f(Y)
Fraktilwert
8
=
ln(-ln(qi))
=
(E[X]-e)-(Q-e)-(-ln(q))1/Y-r(l-^
(Q-e)-(-ln(q))
l/Y
=
0
106
Anhang A
f(8)
-(mo[X]-e)
=
+
8ln((Q-£)-ln(8))
Modalwert und
ln(-ln(q))
Fraktilwert3
Die
Bestimmung
ln(-ln(q))
=
ln(8)-ln(Q-8)
Y
3
\
von
+
ln(-ln(q))
ln(-ln(q))
=
ln(Ö)-ln(Q-e)
y bzw. 8 werden
analog
zur
Parameterbestimmung
für die Weibull Verteilung für
Minima
für die
durchgeführt. Bei der Parameterbestimmung aus Mittelwert und Standardabweichung wird
Bestimmung des Startwertes benötigte Fraktilwert wie folgt empirisch festgesetzt:
(
Q005
A 7
=
(E[X]-e)exp
sd[xf
(A.3)
+ e
E[X]
Exponentialverteilung EX(?i;e)
fx(x)
Definitionsbereich
e< x<oo
Verteilungsfunktion
Fx(x)
Verteilungsfunk¬
tion / Fraktilwert
Q
Q
exp(-A-- (x-e))
X
Dichtefunktion
inverse
=
X>0
1
=
E[X]
Standardabweichung
sd[X]
Modalwert
mo[X]
=
e +
=
exp(-À-(x-e))
-
Fx(q)
=
Erwartungswert
e-i.ln(l-q)
^
i
=
=
e
Wahrscheinlichkeitspapier (Abbildung A.6)
Abszisse
u
=
x-e
Ordinate
v
=
-ln(l-Fx(x))
Stützpunkte
Parameterbestimmung
aus den Stützpunkten
Parameterbestimmung
aus
den Koeffizienten
Uj bei
v
=
1 bzw. y
=
0.632
u2 bei
v
=
2 bzw. y
=
0.865
7
A
l
—
u2-Ul
X
=
ß
X
x
,
=
V
=
-
X
Koeffizienten¬
bestimmung aus den
Parametern (e bekannt)
0
=
I
der
Anhang A
y
107
=
Fx(x)
v
=
-ln(l-Fx(x))
0.98
•
0.95
0.90
i^*
•
-—
0.80
•
0.70
^X»
^
0.60
|
0.50
T
0.30
"*•
0.10
1
0.02
«1
2
0
Abb. A.6:
4
u2
6
8
10
14
16
18
Exponentialpapier
Parameterbestimmung
aus
Stützwerten
Die nachstehenden Formeln setzen voraus, dass
Fraktilwerte
y
X-~
Q
n
Standardabweichung
Weitere
8
bekannt ist.
ln(l-q)
Q-e
1
X
Erwartungswert
A 8
12
E[X]-e
l
X
sd[X]
Verteilungen
(x-a)r ^(b-x)1
1
Betaverteilung
BE(r;t;a;b)
tx(X)"B(r;t)
(b-a)1^-1
a<x<b
r, t > 1
Betafunktion:
B(r;t)
=
Fff
1
Gammaverteilung
fx00
GA(b;p;e)
e < x
bp
=
r(
'
F(t)
(ITlJ
sexp(-b-(x-e))-(x-e)p
b, p
>
0
i
x
Anhang A
108
Rechteckverteilung
R(a;b)
a<x<b
a+
2
t-Verteilung
fx(X)
"
-
,
,
s
St(|i;a;a)
-°o<x<oo
I
a,
g >
0
l
a
^
a
>)
1
Anhang
B 1
notwendiger Stichprobenumfang
Minimal
Der minimal
spielsweise
PseudoStichproben
B
notwendige Stichprobenumfang
aus
Toleranzgrenzen
bestimmt werden.
welcher Grenzen ein bestimmter Anteil y der
scheinlichkeit P
=
1
a
-
P
beispielsweise
=
in Sachs
0.95 und verschiedene
Es handelt sich hierbei
spielsweise
etwa dem
ist ein
Wert,
wo
um
aus
Grundgesamtheit
mit
kann bei¬
an, innerhalb
Toleranzgrenzen geben
Toleranzgrenzen
(1992). Die Abbildung
vorgegebener
Wahr¬
für
gegebene yzeigt
B.l
und a-Werte finden
für die Wahrscheinlichkeit
y-Werte den minimal notwendigen Stichprobenumfang auf.
verteilungsunabhängige Toleranzgrenzen.
Stichprobenumfang
eine
zuverlässige Aussage
mindestens erwartet werden kann. Tabellen für minimal not¬
wendige Stichprobenumfänge
sich
für eine
von
n
=
46
Für y
Dies
notwendig.
Vergrösserung des Stichprobenumfangs keine
nahme der Wahrscheinlichkeit P mehr
zur
Folge
=
0.90 bei¬
entspricht auch
nennenswerte Zu¬
hat.
Y
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
)
Abb. B. 1:
B 2
Eine
meln
40
60
100
80
n
0.05, damit der Anteil y der Elemente einer
notwendiger Stichprobenumfang für a
beliebigen Grundgesamtheit zwischen dem kleinsten und dem grössten Stichprobenwert liegt
(Sachs, 1992)
Minimal
=
Bestimmung
Schätzung
zur
20
eines
eines
PseudoStichprobenumfanges
Pseudostichprobenumfangs
Bestimmung
eines minimal
einer Information kann über die For¬
notwendigen Stichprobenumfangs
für Toleranz¬
grenzen oder für Vertrauensbereiche vorgenommen werden. Dazu ist eine zusätzliche
Schätzung
über die Güte der Vorinformation
notwendig.
Formeln für die Normal Verteilung benutzt werden. Die
Als
Näherung
können dabei die
Toleranzgrenzen
sind dann sym-
\
Anhang B
110
metrisch
Mittelwert und die Vertrauensbereiche
zum
symmetrisch
zum ersten
oder zwei¬
ten Moment.
Die
Anwendung
allen
1
-
als
Schätzung
der Güte einer Information ist bei
Minimal- bzw. Maximalwerte
wo
beispielsweise geometrische Abmessungen.
schreiben sich für eine
Normalverteilungen
grenzen für
=
Toleranzgrenzen
Eigenschaften sinnvoll,
Darunter fallen
P
von
Die
von
Bedeutung sind.
zweiseitigen
vorgegebene
Wahrscheinlichkeit
a zu:
P(m[x]
kT sd[x]
-
< x <
m[x]
+
(B.l)
kT sd[x]) >y
•
Die Toleranzfaktoren
kT können Tabellen entnommen werden (Sachs, 1992).
B.l sowie die daraus
generierte Funktion
bildung
für P
=
Toleranz¬
zeigen
B.2
die Toleranzfaktoren
0.95 und y
kT
Stichprobenumfänge n
in Ab¬
zugehörigen Stichprobenumfänge
und die
n
0.90.
=
kT
8.38
3.71
n
3
6
Tab. B.l:
für verschiedene
Die Tabelle
2.66
12
Toleranzfaktoren
Grundgesamtheitfür
P
2.00
=
1.77
1.87
50
30
100
Toleranzbereich
zweiseitigen
0.95 und y
=
2.14
24
den
für
2.23
einer
300
normalverteilten
0.90
10
8
6
4
2
0
20
0
Abb. B.2:
Grafische Darstellung
den
zweiseitigen
der
40
aus
60
der Tabelle B.l
80
100
n
generierten Funktion der Toleranzfaktoren für
Toleranzbereich einer normalverteilten
Grundgesamtheit für
P
=
0.95 und
Y =0.90
Für die
Schätzung
eines
Pseudostichprobenumfangs
aus
Toleranzgrenzen
ist somit wie
folgt vorzugehen:
•
Schätzung
des kleinsten bzw. grössten Wertes, der mit grosser Wahrscheinlichkeit
nicht unter- bzw. überschritten wird. Dieser Wert wird der unteren bzw. oberen Tole¬
ranzgrenze für
•
beispielsweise
Die Differenz zwischen dem
Standardabweichung
P
=
0.95 und y
geschätzten
0.90
gleichgesetzt.
Wert und dem Mittelwert wird durch die
dividiert. Man erhält den
Hilfe der Tabelle B.l oder der
=
Abbildung
zugehörigen
B.2 kann
nun
Toleranzfaktor
der
zugehörige
kT.
Mit
minimale
Anhang B
111
Stichprobenumfang herausgelesen
werden. Dieser
entspricht
einem
zweckmässigen
PseudoStichprobenumfang.
Die
Benutzung
von
Vertrauensbereichen
wird vorteilhafterweise dann
fangs
keine grosse
zur
Bestimmung
angewendet,
Bedeutung beigemessen
wenn
1
=
a
-
nauigkeiten
n*
überdeckt. Der
a
1+0.5-1
dSd
mit
n>
Stichprobenumfang
vorgegebenen Wahrscheinlichkeit
kann wie
folgt
den ersten beiden Momenten bestimmt werden
zu
Pseudostichprobenum¬
Minimal- bzw. Maximalwerten
wird. Ein Vertrauensbereich ist ein Intervall, das
den wahren, aber unbekannten Parameter mit einer
P
eines
aus
den
geschätzten
(Sachs, 1992):
s2
t^
dsd
(B.2)
sd[x]-G
=
-(sd[x]r
-r
(B.3)
m
mit
dm
m[x]-n
=
za ist die Schranke der
keit der
Formeln
Die
Standardnormalverteilung, dsd entspricht
Standardabweichung
der absoluten
und
von
der
Verteilungstypen
Benutzung
Abbildung
B.3
der Formel
zeigt
(B.2)
den minimal
5 für verschiedene
Genauig¬
des Mittelwertes. Die
benutzt werden. Bei stark schiefen
als
Näherungen
Verteilungen
ist
je¬
abzuraten.
notwendigen Stichprobenumfang
dem Vertrauensbereich für den Mittelwert für
von
der relativen
Genauigkeit
dm
(B.2) und (B.3) sind für Normalverteilungen gültig. Sie können
auch für andere
doch
Ge¬
a
=
0.05 und eine
bestimmt
aus
Standardabweichung
Genauigkeiten.
dm
10
8
6
4
2
1
()
Abb. B.3:
Minimal
tesfür
a
20
40
60
80
1()0
n
notwendiger Stichprobenumfang basierend auf dem Vertrauensbereich des Mittelwer¬
0.05 und für eine Standardabweichung von 5
=
112
In
Anhang B
Abbildung
tive
B.4 ist der minimal
Genauigkeiten
der
notwendige Stichprobenumfang
Standardabweichung für
a
=
0.05
für verschiedene rela¬
dargestellt.
dsd
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.1
0
Abb. B.4:
40
20
60
notwendiger Stichprobenumfang
0.05
abweichungfur a
Minimal
80
basierend
100
auf dem
n
Vertrauensbereich der Standard¬
=
Die
Bestimmung eines Pseudostichprobenumfangs kann
ensbereichen
•
Schätzung
der
•
durchgeführt
von
Vertrau¬
des Intervalls, in dem das betrachtete Moment
liegen
soll und
Berechnung
zugehörigen Genauigkeit.
ensbereich
umfang
B 3
entspricht,
beispielsweise
das
kann mit den Formeln
geschätzte
Intervall einem 95% Vertrau¬
(B.2) oder (B.3) der Pseudostichproben-
bestimmt werden.
Erzeugung
von
PseudoStichprobe,
PseudoStichproben
welche
stammt, kann über deren inverse
von
einer
bestimmten
Verteilungsfunktion Fx(x)
Verteilungsfunktion Fx (x) erzeugt
ist eine Zufallszahl, d.h. eine Realisation Uj einer
men.
folgt mit Hilfe
werden:
Unter der Annahme, dass
Eine
wie
Rechteckverteilung R(0;1)
Per Definition befindet sich diese Zahl im Intervall [0,
FTJ(u1)
dieser Realisation ist für die
werden. Zunächst
Rechteckverteilung R(0;1)
zu
bestim¬
1]. Der Funktionswert
identisch mit der Reali¬
sation:
FIJ(ui)
=
(B.4)
u;
Der Funktionswert
FTJ(ui)
wird
nun
dem Funktionswert
Fx(Xj) gleichgesetzt. Über
inverse
Verteilungsfunktion Fx (x) lässt sich eine Realisation xi
PseudoStichprobe berechnen (siehe auch Abbildung B.5):
Xi
=
Dieses
Fx1(FTJ(ui))
Vorgehen
wird
=
Fx1^)
entsprechend
die
bzw. ein Wert der
(B.5)
dem
gewünschten PseudoStichprobenumfang
wiederholt. Dabei ist jedesmal eine andere Zufallszahl
zu
benutzen.
n-mal
Anhang B
113
Zufallszahlen können Tabellenwerken entnommen
fallsgenerator erzeugt
formel
xi
+
folgender
Art:
a-xj
+ c-
=
1
werden.
m
ra Xj
•
k;
=
mod
c
und
m
(B.6)
+ c
ganze Zahlen sind und
man
x4
durch m,
+1
Beispiel
in Rubinstein
Johnson et al. (1994
a +
b)
und
Startwert Xj. Benutzt
so
man
die
Barry (1996)
man
Verteilungsfunktion
Normalverteilung,
den Zufallszahlen der
handlung
eine Zufallszahl im Intervall
Generierung
Generierung
von
von
Zufallszah¬
PseudoStichproben kön¬
Law und Kelton
von
den Konstanten a,
für die
Generierung
c
und
m
und
mehrerer Pseudostich-
spricht man
nicht
auch
von
Pseudozufallszahlen.
analytisch bestimmbar
ist wie etwa im Fall
Rechteckverteilung R(0;1)
Ang und Tang (1984)
und in Law und Kelton
1"
ui
/
1
,
Abb. B. 5:
Ui
Beziehung zwischen
einer
0
Zufallszahl
aus
bestimmen. Eine ausführliche Be¬
Fu(u) Fx(x)
1
vom
werden Formeln benützt, welche die Realisationen direkt
so
dieser Fälle findet sich in
u
(1991),
Zufallsgeneratoren produzieren tatsächlich keine wirkli¬
chen Zufallszahlen. Aus diesem Grund
Falls die inverse
zur
des Klammern¬
entnommen werden.
abhängig
gleichen Werte
sind diese identisch.
ganzzahlige Rest
(1981), Farebrother (1988),
Die erwähnte Rekursionsformel ist
der
der
Es existieren noch andere Rekursionsformeln
zum
proben,
kj
erhält
so
len. Diese und weitere Informationen über die
nen
auf einer Rekursions¬
k;
•
positive
ausdrucks. Dividiert
[0, 1].
Zufallsgeneratoren basieren meist
einen Zu¬
m
V
wobei a,
(Sachs, 1992) oder durch
t
X
xi
und einer Realisation einer
Verteilungsfunktion
(1991).
114
C
Anhang
In diesem
Herleitung
sind die
Anhang
Herleitung
von
Formeln
der wesentlichsten Formeln der
nearen
Bayes'schen Regressionsmethode dargestellt.
C 1
Bestimmung
Die
Bestimmung
der
der
Verteilungsfunktion
Verteilungsfunktion
asymptotische
Formeln über die
empirischen
li¬
der Koeffizienten (t|., x.)
der Koeffizienten
(fj., x.) erfolgt mit Hilfe der
Rangstatistikkombinationen
Normalität linearer
von
Stigler (Serfling, 1980).
sei eine
Gegeben
bezeichnet. Die
Xj's
f(x)dx.
funktion
Stichprobe
sind
Nach
mit den Werten Xj. Die
unabhängig
Stigler folgt
geordneten
voneinander und
gleich
Werte werden mit
verteilt mit der
eine lineare Kombination einer
X(i:n)
Verteilungs¬
Rangstatistik
in der
Form
;È<ï7ï)-xm
(C1)
i= 1
asymptotisch
f
N
V
CT
der
Normalverteilung
2\
nJ
mit
ix
=
jj(t)
-
F
*(t)dt
o
oo
G2
=
f
J
oo
=
IC2(x;F)
f(x)dx
(C.2)
oo
J Jj(F(x))-J(F(y))-(F(min(x,y))-F(x)-F(x))dxdy
—oo—oo
CO
wobei
IC(x;F)
=
J (F(y)
-
l[x<y])
J(F(y))dy
116
Anhang C
IC(x;F)
renz
ist die sogenannte "influence curve". Sie
zwischen der linearen Kombination der
Gegenstück \i
gibt eine Approximation
Rangstatistik (C.l)
für die Diffe¬
und dem theoretischen
(C.2).
aus
iij(^)-x<)-Jj(t)'irl(t)dt8,n- iTC(x*;F)
Aus
i=i
o
Gleichung (C.3) folgt
die
Betrachtet
steht die
man nun
verteilt mit der
genäherte
das lineare
Stichprobe
Varianz
aus
Regressionsmodell
den Werten Uj. Diese sind
aus
(C.2).
im
Wahrscheinlichkeitspapier,
Quadrate
für die
voneinander und
unabhängig
Verteilungsfunktion F0((u-T|)/t). Die
Methode der kleinsten
(C3)
i=l
Abweichungen
lineare
in
Regression
so
be¬
gleich
mittels der
u-Richtung ergibt folgende
Schätzwerte:
^ S((U(i:n)-^]){Fö1(nTT)-m[F^]
i
X
=
l
=
i
r\
m[u]
spiel gilt F0
=
(C4)
n
1
=
F0 entspricht der
F0
i
mlul-T-mITÖ1]
=
mit
tion
=
~
i
=
1
i
=
i
n
1
J u(i:n)
•
=
-
•
X ui
i= 1
Ordinatentransformationsfunktion. Bei einem
<D
ein und setzt
.
Führt
man
V als Zufallsvariable mit
Normalpapier zum Bei¬
zugehöriger Verteilungsfunk¬
man
l
m[F£]«Jltf(t)dt
=
0
i
=
Jx-f0(x)dx
-oo
1
i
1
=
jfF^O-ErV])
0
so
lässt sich
E[V]
=
2
=
1
°°
dt
=
J(x-E[V])2-f0(x)dx
—oo
x
in die Form
(C.l) umschreiben:
=
var[V]
117
Anhang C
i
1
1
var[V] V
mit
Unter
A
l
J
n+U
1
=
1
^-K
var[V]
IC(u;;F)
=
F(y)
=
von
i
(C.3) ergibt sich somit:
=
Umformungen
<^)
=ri
+
(C.8)
T-Fö1(t)
werden:
jfFÖ^O-EtV^dt x-jfFÖ^O-EtV^-FÖ^Odt
+
Tl
0
0
=
O
+
x-jfe^tJ-EtVlV^COdt
V
=
=
\2
T-J^to-ErVlJ
T-]fa\t)-E[V]\
V
+
T-E[V]^Fö\t)-E[V]Jdt
dt
+
0
oo
x-
J(u-E[V])2-f0(u)du
—oo
=
x
var[V]
A
dt
o
=
(C.7)
1
können mit den
folgt umgewandelt
=
E[V]
F~1(t)-E[V]
J(t)
F_1(t)
1
F°Vn+l
^VÏIC(ui;F)
1
\i und
(C6)
Z[U(i:n)-\n+1
Berücksichtigung
%~
wie
i
=
(C.9)
118
Anhang C
CO
IC(Ui;F)
j(Fo(^-l[x<y] ]-f^-E[V]]dy
=
f
x-
=
Fn(z)-1
(z-E[V])dz
(CIO)
1
_
ffX-M
.
U
2
Die
(CIO)
^ rrui
nl
x
i
x~x +
-
i
E[V]
x
sowie
"n
(C.4)
E[V]
1
=
-var[V]
nach der Methode der kleinsten
Schätzungen
mit (C.7), (C.9),
UzfYE-WI.r^-Brvi
J ffo(z)
x
=
Quadrate ergeben
sich schlussendlich
zu:
-var[V]
L
)
•-
y
—=
2-var[V]
(C.ll)
i
Mit den
=
1
i
=
1
Umformungen
E[U]
=
r|+xE[V]
var[U]
=
x
lässt sich
(C.12)
2
nun
var[V]
•
(C.ll) umschreiben
zu:
^T+^X((ui-E[U])2-var[u])i
=
2
var[U]
l
(C.13)
^r1
+
x-E[V]
1
i.X(ui-E[U])-^^.^[K-E[U]r-var[U]
i
Damit sind die
=
1
i= 1
Schätzungen
(TT.,X)|(T1,X)
(
=
der Koeffizienten
näherungs weise
normalverteilt:
2
Nf(Tl,X),^-G
(C.14)
119
Anhang C
Die Kovarianzmatrix G schreibt sich
(E[V])2 var[(U-E[U])2]
var[U]
Sil
24'
_
E[(U-E[U])3]
1
g2i
-
§22
E[(U-E[U])3]
var[U]
var[(U-E[U])2]
E[V]
(C.15)
-
2
•
var[U]
x
1
var[(U-E[U]) ]
4
(var[U])2
=
E[V]
(var[U])'
^
x
§12
zu:
(var[U])'
Mit der Transformation
V
U-T1
_
(C.16)
=
können die Momente
E[U]
=
ri
+
von
U wie
folgt
ersetzt werden:
xE[V]
E[(U-E[U])k]
(C.17)
xk-E[(V-E[V])k]
=
Somit schreiben sich die Elemente der Kovarianzmatrix G
(E[V])
gu
=
var[V]
-var
•
§22
=
§21
var
C 2
2
•
3'
E[V]
var[V]
•
var
(V-E[V])2]
(C.18)
4-(var[V])'
(v-E[vir
4-(var[V])'
Bestimmung
der Kovarianzmatrix L der
Die Kovarianzmatrix Lvon
L
var[V]
(var[V])
(V-E[V])
§12
E[V]E (V-E[V])-
+
4
=
(V-E[V]r
zu:
var[T|j]
=
cvtrijXj]
(r|j, X:)
schreibt sich
cvfTijXj]
*11
^12
var[Xj]
hi
hi
den Momenten der
(C19)
geschätzten
Koeffizienten
(îï.,x.)bestimmt.DieErwartungswerte
aus
zu:
(rj.,x.)bestimmt.DieErwartungswerte
Die einzelnen Elemente werden
Koeffizientenschätzungen
diedieser Momente können unter
von
(C. 14)
wie
folgt umgewandelt
werden:
Berücksichtigung
Anhang C
120
E[tÎj]
E^EtTij^Xj]] E[Tij]
E^EtXjl^Xj]] E[Xj]
£^[^1^, tj)]]
=
=
E[Xj]
=
=
^[rij]
=
=
^-•§irE['cj2]
=
+
E[x]
EtT^O^, Xj)]
+ var
=
E[ti]
1ii
j
^-g11{(E[x])2 l22)
+
=
(C.20)
l11
analog
und
var[Xj]
cv[l¥j]
Die
+
=
-
|^(E[x])
g22
•
~-§i2-f(EN)2
=
+
122J +122
+
122
empirischen Momente der Koeffizienten schreiben
i[îll
m
=
sich
zu:
Jîlj
jj
i
=
J
1
m
j
var[T|]
=
i
=
2^(Tij-m[ri])
—-•
j
var[x]
=
j—-
=
nur
zwei
=
i
^(Tjj-mtTÎ])-^-!!!^])
—-•
j
Sind
(C.21)
i
£ (Xj -m[x])
•
j
CV[t\t]
=
=
i
Stichproben vorhanden,
so
können die Varianzen auch wie
folgt bestimmt
werden:
A
var[f|]
A
Üli-Tte)
2
=
(C.22)
var[x]
(X!-X2)'
=
121
Anhang C
cv[t]x] wird
Die Kovarianz
in diesem Fall
(siehe Kapitel 6.2.1,
nicht positiv definit ist
Seite
gesetzt, da die Kovarianzmatrix
Null
gleich
65).
Es
ergibt sich somit eine Diagonal¬
matrix für die Kovarianzmatrix.
Erwartungswerte der empirischen
Als nächstes sind die
A
wird die Formel für
var[ri]
=
—
wie
var[r|]
zu
bestimmen. Dazu
folgt umgeformt:
]T (Tij-mtT]])
•
j
=
i
J
1
=
Momente
A
jTT'
j
\7
f
Z[(nj-E[Ti])-(n\[Ti]-E[Ti])J
=
l
J
=
É(VEfr])2-r7-(m[îi]-E[ii])2
rr
J_i
j
j
=
=
l
-J-(JTT)
Der
Erwartungswert
E[var[TÎ]]
Analog ergeben
E[var[x]]
E[x]
=
(%-Eh])
•
+
((E[x])2 122)
+
gu
•
y
nun zu:
±
£
•
j
=
(C.24)
j
l
=
122 + g22
112 +
g12
((E[x])2 +122) j
•
•
•
I
£
•
j
=
i
j
(C.25)
[(E[x])2 122]|X^
+
j
=
i
der Koeffizienten können direkt
j
aus
(C.20) gefolgert
werden:
E["mtf]]
1
=
S((^-E[T1])
dieser Varianz berechnet sich
Erwartungswerte
E[T|]
'
sich für die anderen Momente:
=
e[cv[t^x]]
Die
ln
=
(C.23)
i
J
E^m[x]J
(C.26)
Anhang C
122
L noch ein
Schliesslich wird für erwartungstreue Schätzungen der Kovarianzmatrix
Schätzer von (E[x]) benötigt. Dieser schreibt sich zu:
er¬
wartungstreuer
-
V"1
(C.27)
xt*
£f
(J-l)
Die
A
"A
1
r'2-,
Schätzung der Kovarianzmatrix
L
=
A
A
111
ll2
ergibt
L
sich somit
zu:
(C.28)
A
l22_
mit
-
~
var[x]
-
J-t
\
1
r*2,
m[x ]
•
g22
•
-
•
j
I22
=
lu
=
var[T|]
--2-,
-
(m[x ]
+122)
1
-
-*—'
J
=
n;
J
i
^
1
gn
•
j
I12
=
l2i
=
cv[rix]
=
(m[x ] +122)
-
J
1
xL.
1
"2,
-
(C.29)
1
Y
-
•
g12
1
Y
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j
=
1
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Alex Peter Scheiwiller
geboren
von
1979
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von
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Max und Klara
79
Primarschule Gossau SG
82
Sekundärschule Gossau SG
86
Kantonsschule St. Gallen
Maturität
1987
10.8.1966 in St. Gallen
Waldkirch SG
als Sohn
1973
am
92
Studium
Typus
an
der
Scheiwiller, geborene Haering
C
Abteilung für Bauingenieurwesen der Eidgenössischen
Technischen Hochschule Zürich
Dipl. Bau-Ing.
1992
-
99
ETH
Assistent, Doktorand
am
Lehrstuhl
von
Prof. Dr. h.c.
Jörg
Schneider des
Instituts für Baustatik und Konstruktion der ETH Zürich
Zusatzausbildung
1994
Nachdiplomkurs
in "Sécurité et Fiabilité des
der ETH Lausanne
Systèmes Techniques"
an