Bearbeitungsvorschlag

MATHEMATISCHES INSTITUT
DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN
Dr. E. Schörner
WS 2016/17
Blatt 13
01.02.2017
Tutorium zur Vorlesung
Grundlagen der Mathematik I“
”
— Bearbeitungsvorschlag —
49. a) Für a = 792 erhalten wir die Primfaktorzerlegung
792 = 72 · 11 = 8 · 9 · 11 = 23 · 32 · 11;
damit besitzt a genau 2 · ((3 + 1) · (2 + 1) · (1 + 1)) = 48 Teiler, nämlich
±2e1 · 3e2 · 11e3
mit
e1 ∈ {0, 1, 2, 3} , e2 ∈ {0, 1, 2} , e3 ∈ {0, 1} .
Wir erhalten für die Teilermenge von a = 792
T (792) = {±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±9, ±11, ±12, ±18, ±22, ±24, ±33,
± 36, ±44, ±66, ±72, ±88, ±99, ±132, ±198, ±264, ±396, ±792}.
b) Für b = 6! · 8! erhalten wir die Primfaktorzerlegung
b = (2 · 3 · 4 · 5 · 6) · (2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8) = 211 · 34 · 52 · 71 ;
damit besitzt b genau 2 · ((11 + 1) · (4 + 1) · (2 + 1) · (1 + 1)) = 720 Teiler.
c) Wir erhalten a = 23 · 32 · 50 · 70 · 11 und b = 211 · 34 · 52 · 7 · 110 und damit
ggT(a, b) = 23 · 32 und kgV(a, b) = 211 · 34 · 52 · 7 · 11.
50. a) Da n einen Teiler d 6= 1 hat, besitzt n die Darstellung n = q · d mit q ∈ N;
da d ungerade ist, erhalten wir
2n + 1 = 2q·d + 1 = (2q )d + 1 = (2q + 1) ·
5.3(3)
d−1
X
(−1)k (2q )k ;
|k=0
{z
∈Z
}
damit ist 2q + 1 ein Teiler von 2n + 1; wegen q ∈ N, also q ≥ 1, ist
2q + 1 ≥ 21 + 1 = 3,
also 2q + 1 > 1,
und wegen d 6= 1, also d ≥ 2, ist
2n + 1 = (2q )d + 1 > 2q + 1;
folglich besitzt 2n + 1 den wegen
2n + 1 > 2q + 1 > 1
nichttrivialen Teiler 2q + 1 und ist demnach reduzibel (zerlegbar).
b) Wir betrachten die beiden Aussagen
A: 2n + 1 ist eine Primzahl.“ und B: n ist eine Zweierpotenz.“
”
”
und zeigen die Implikation A =⇒ B“ über die dazu äquivalente Kontra”
position ¬B =⇒ ¬A“: wegen ¬B ist n keine Zweierpotenz, besitzt also
”
die Gestalt n = 2k · d für ein k ∈ N0 und ein ungerades d ∈ N mit d 6= 1.
Gemäß a) ist damit 2n + 1 reduzibel, also keine Primzahl, woraus ¬A folgt.
51. a) Jedes k ∈ N mit 2 ≤ k ≤ n ist (nach Definition der Fakultät) ein Teiler von
n!, es gibt also ein q ∈ N mit n! = q · k; wir erhalten
n! + k = q · k + k = (q + 1) · k
mit q + 1 ≥ 2 und k ≥ 2;
damit ist n! + k reduzibel, also keine Primzahl. Folglich enthält die Menge
{n! + k | k ∈ N mit 2 ≤ k ≤ n}
keine Primzahl.
b) Zum Nachweis der Aussage, daß die Menge
M = {k ∈ N | n < k ≤ n! + 1}
mindestens eine Primzahl enthält, betrachten wir ihr Element a = n! + 1.
Wegen a ≥ 2 besitzt a nach dem Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie
mindestens einen Primteiler p, und wegen p | a gilt insbesondere p ≤ n! + 1.
Wir zeigen nun p ∈ M , indem wir die Annahme p ≤ n zum Widerspruch
führen: wäre nämlich p ≤ n, so wäre p (nach Definition der Fakultät) ein
Teiler von n!, und es ergäbe sich p | (a − n!) = ((n! + 1) − n!) = 1, ein
Widerspruch.
52. a) Für 1 ≤ n < p erhalten wir
n−1
n−1
Y
p
p!
p
1 Y
(p − k).
(p − k) bzw.
· n! =
=
·
=
n
n! · (p − n)!
n! k=0
n
k=0
n−1
Y
(p − k), wegen p > n ist p aber größer als jeder
p
Primteiler von n!. Daher muß p ein Teiler von
sein.
n
b) Für p ≥ 5 ist die Primzahl p eine ungerade Zahl und besitzt daher die
Darstellung p = 2 n + 1 mit n ∈ N. Wir erhalten also
Ferner ist p ein Teiler von
k=0
p2 − 1 = (2 n + 1)2 − 1 = 4 n2 + 4 n = 4 n · (n + 1);
Da entweder n oder n + 1 gerade ist, ist 4 n · (n + 1) und damit auch p2 − 1
durch 8 teilbar. Ferner gilt p2 − 1 = (p − 1) · (p + 1); da von den drei
aufeinanderfolgenden Zahlen p − 1, p und p + 1 genau eine durch 3 teilbar
ist und p als von 3 verschiedene Primzahl nicht durch 3 teilbar ist, muss
entweder p − 1 oder p + 1 durch 3 teilbar sein. Damit sind 8 und 3 zwei
teilerfremde Teiler von p2 − 1, und folglich ist p2 − 1 durch 8 · 3 = 24 teilbar.