Lösungsvorschlag

MATHEMATISCHES INSTITUT
DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN
Dr. E. Schörner
WS 2014/15
Blatt 13
22.01.2015
Übungen zur Vorlesung
Grundlagen der Mathematik I“
”
— Lösungsvorschlag —
49. a) Wir bestimmen für a, b, c ∈ Z jeweils die Primfaktorzerlegung sowie die
Anzahl ihrer Teiler.
• a = 465.696 = 25 · 33 · 72 · 11 mit 2 · (6 · 4 · 3 · 2) = 288 Teilern;
• b = 220.968 = 23 · 34 · 11 · 31 mit 2 · (4 · 5 · 2 · 2) = 160 Teilern;
• c = 3.293.136 = 24 · 35 · 7 · 112 mit 2 · (5 · 6 · 2 · 3) = 360 Teilern;
b) Wir bestimmen die größten gemeinsamen Teiler sowie die kleinsten gemeinsamen Vielfachen von je zwei bzw. allen drei Zahlen a, b und c.
•
•
•
•
•
•
•
•
ggT(a, b) = 23 · 33 · 11 = 2.376
ggT(a, c) = 24 · 33 · 7 · 11 = 33.264
ggT(b, c) = 23 · 34 · 11 = 7.128
ggT(a, b, c) = 23 · 33 · 11 = 2.376
kgV(a, b) = 25 · 34 · 72 · 11 · 31 = 43.309.728
kgV(a, c) = 25 · 35 · 72 · 112 = 46.103.904
kgV(b, c) = 24 · 35 · 7 · 112 · 31 = 102.087.216
kgV(a, b, c) = 25 · 35 · 72 · 112 · 31 = 1.429.221.024
50. a) Ist n reduzibel, so besitzt n die Darstellung n = q · d für geeignete q, d ∈ N
mit q > 1 und d > 1; damit erhalten wir
n
2 −1=2
q·d
q d
q
− 1 = (2 ) − 1 = (2 − 1) ·
5.3(2)
d−1
X
(2q )k .
k=0
Wegen q > 1 ist 2q − 1 > 21 − 1 = 1, und wegen d > 1 ist (2q )d − 1 > 2q − 1,
weswegen 2q −1 ein echter Teiler von (2q )d −1 ist; folglich ist 2n −1 reduzibel.
b) Wir betrachten die beiden Aussagen
A: 2n − 1 ist eine Primzahl.“
und
B: n ist eine Primzahl.“
”
”
Die Implikation A =⇒ B“ gilt, da wir in a) die dazu äquivalente Kontra”
position ¬B =⇒ ¬A“ gezeigt haben.
”
c) Die Umkehrung von b) gilt nicht, da zwar n = 11 eine Primzahl ist, aber
211 − 1 = 2047 = 23 · 89 reduzibel und damit keine Primzahl ist.
51. a) Wir zeigen
n−1
Y
ak = an −2 für alle n ∈ N mit Hilfe vollständiger Induktion:
k=0
• n = 1“:
”
Es ist
0
Y
1
0
ak = a0 = 22 + 1 = 3 = 22 + 1 − 2 = a1 − 2.
k=0
• n → n + 1“:
”
n
Y
k=0
ak =
n−1
Y
Es ist
!
ak
· an = (an − 2) · an =
k=0
2n
n
n
n
+ 1 − 2 · 22 + 1 = 22 − 1 · 22 + 1 =
n+1
n 2
n
= 22
− 12 = 22 ·2 − 1 = 22 + 1 − 2 = an+1 − 2.
= 2
b) Für m < n sei d ein gemeinsamer Teiler von am und an ; da am und an
ungerade sind, muß auch d ungerade sein. Ferner ist am wegen m ≤ n − 1
n−1
n−1
Y
Y
ak ist, und es
ak , so daß auch d ein Teiler von
ein Faktor im Produkt
k=0
k=0
folgt
d|
an −
n−1
Y
!
ak
= (an − (an − 2)) = 2,
k=0
also d | 1. Damit ist 1 ∈ ggT(am , an ), folglich sind am und an teilerfremd.
n
0
c) Für jedes n ∈ N0 ist an = 22 + 1 ≥ 22 + 1 = 3 und besitzt damit einen
Primteiler pn . Da nun die Glieder der Folge (an )n∈N0 gemäß b) paarweise teilerfremd sind, besteht die Folge (pn )n∈N0 aus paarweise verschiedenen
Primzahlen. Folglich muß es auch unendlich viele Primzahlen geben.
52. Da p 6= 1 der kleinste positive Teiler von n, ist p schon eine Primzahl. Wir
n
n
< p2 die Annahme,
sei
führen nun unter der zusätzlichen Voraussetzung
p
p
n
keine Primzahl, zum Widerspruch: unter dieser Annahme ist aber
reduzibel
p
n
und besitzt eine Darstellung
= a · b mit 1 < a ≤ b, und wegen n = a · b · p
p
n
ist a 6= 1 ein Teiler von n. Es ist a2 ≤ a · b =
< p2 , also a2 < p2 und damit
p
a < p im Widerspruch dazu, daß p der kleinste positive Teiler von n mit p 6= 1
n
n
ist. Damit ist eine Primzahl und p · die Primfaktorzerlegung von n.
p
p