Aufgaben Klasse 12, 8. Blatt

Aufgaben Klasse 12, 8. Blatt
Wiederholung
• Lineare Algebra (Vektoren, Matrizen, Skalarprodukt)
• Grenzwerte, Differential- und Integralrechnung, Taylorreihe, l’Hospital-Regel
• Physik (Newtonsche Axiome, Energieerhaltungssatz, Impulserhaltungssatz)
Aufgabe 8.1
Finde alle positiven reellen Lösungen der Gleichung
26x
2 −7x−2
+ 23x
2 −5x
=9
Hinweis: Versuche als erstes Lösungen der Gleichung 2α + 2β = 9 zu erraten und beweise dann,
daß es keine weiteren Lösungen geben kann.
Aufgabe 8.2
Zu einer 17-stelligen Zahl wird die Zahl, die aus denselben Ziffern, aber in umgekehrter Reihenfolge besteht, addiert. Beweise, daß die Summe wenigstens eine gerade Ziffer enthält.
Bemerkung: Wie die Beispiele 12 + 21 und 506 + 605 zeigen, gilt eine analoge Aussage nicht
für 2- oder 3-stellige Zahlen. Versuche deshalb als erstes zu ermitteln, für welche n die Aussage
für n-stellige Zahlen richtig ist.
Aufgabe 8.3
Beweise, daß in jedem Dreieck (übliche Bezeichnungen, die Seite c sei die längste) folgende
Ungleichung gilt:
√
c ≥ b cos α + c2 − b2 sin α
In welchen Dreiecken gilt Gleichheit?
Aufgabe 8.4
Auf der Ebene befinden sich drei Geraden. Auf jeder bewegt sich je ein Punkt mit jeweils
konstanter Geschwindigkeit. Zum Zeitpunkt 0 liegen die drei Punkte nicht auf einer Geraden.
Beweise, daß sie höchstens zu zwei späteren Zeitpunkten auf einer Geraden liegen können!
Dr. Holger Stephan
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