Ÿ1 Grundlagen der speziellen Relativitätstheorie - TUM

Technische Universität München
Christoph Niehoff
Vorlesung Freitag
Ferienkurs Elektrodynamik
SS 2009
Eine bemerkenswerte Eigenschaft der Elektrodynamik ist die Invarianz der
unter
Lorentz-Transformationen.
Maxwell-Gleichungen
Die Elektrodynamik ist somit konsistent zur speziellen Relati-
vitätstheorie.
Ÿ1
Grundlagen der speziellen Relativitätstheorie
Grundlegend für die spezielle Relativitätstheorie ist der Begri des Inertialsystems. Dies sind Bezugssysteme, in denen sich ein Körper, der keinen äuÿeren Kräften unterliegt, mit konstanter Geschwindigkeit bewegt. Ein Bezugssystem, das sich mit geradlinig-gleichförmiger Geschwindigkeit
zu einem Inertialsystem bewegt, ist ebenfalls ein Inertialsystem.
Die speziellen Relativitätstheorie baut nun auf folgenden
Einsteinschen
Postulaten auf:
R1: Naturgesetze haben in jedem Inertialsystem dieselbe Gestalt.
R2: Die Lichtgeschwindigkeit
c
hat in jedem Inertialsystem denselben Wert. Sie ist die Maximal-
geschwindigkeit der Wirkungsausbreitung.
Aus R2 folgt, dass es keine absolute, vom Raum unabhängige Zeit geben kann. Es ist somit nötig,
Raum und Zeit zu der Einheit, der vierdimensionalen Raumzeit, zu verknüpfen. Ein Ereignis in
der Raumzeit wird durch den Ort, an dem es stattndet, und durch den Zeitpunkt, zu dem es
geschieht, charakterisiert, also durch das Zahlentupel
xµ = (ct, x, y, z) = (ct,~r).
Wir denieren nun einen Abstandsbegri zweier Ereignisse in diesem vierdimensionalen Raum:
d2 (xµ1 , xµ2 ) := c2 (t1 − t2 )2 − (x1 − x2 )2 − (y1 − y2 )2 − (z1 − z2 )2 = c2 (t1 − t2 )2 − (r~1 − r~2 )2 .
Dieser Abstand ist mathematisch eine Pseudometrik, da er nicht positiv (denit) ist. Es werden
also auch negative Abstände angenommen. Die Raumzeit versehen mit dieser Pseudometrik wird
pseudo-euklidisch oder auch
Minkowski-Raum
genannt.
Eine fundamentale Eigenschaft dieses Abstandes ist nun:
Der vierdimensionale Abstand zweier Ereignisse ist in allen Inertialsystem gleich.
Dies berechtigt es, Abstände folgendermaÿen einzuteilen:
d2 (xµ1 , xµ2 ) > 0 : c∆t > ∆~r
: zeitartig
d2 (xµ1 , xµ2 ) < 0 : c∆t < ∆~r
: raumartig
d(2 xµ1 , xµ2 ) = 0 : c∆t = ∆~r
: lichtartig
Nur zeitartig oder lichtartig verbundene Ereignisse können sich kausal beeinussen. Würden sich
raumartig entfernte Ereignisse kausal beeinussen können, so würde dieses eine Wirkungsausbreitung mit Überlichtgeschwindigkeit implizieren, was aber nach R2 ausgeschlossen ist. Aus der Konstanz des vierdimensionalen Abstands folgt weiterhin, dass die Eigenschaft zweier Ereignisse, zeit(raum-, licht-) artig verbunden zu sein, in allen Intertialsystem erhalten bleibt. Wenn also der
Abstand zweier Ereignisse
E1
und
E2
in einem Inertialsystem
Intertialsystem, in dem der Abstand zeitartig ist.
Wir wollen nun ein Transformationsgesetz der Form
µ
K
raumartig ist, so existiert kein
x0 = [T (~v)] (xµ )
für den Wechsel zwischen
zwei Intertialsystemen nden, welche sich mit einer konstanten Geschwindigkeit
~v
relativ zueinan-
der bewegen. Aus der Isotropie des Raumes folgt, dass diese Transformation nicht von der Richtung
der Relativbewegung sondern nur von ihrem Betrag
1
v = ||~v||2
abhängen kann. Wir betrachten also
K 0 , das sich mit Geschwindigkeit v relativ zu einem System K in x-Richtung
0
Zeitpunkt t = t = 0 sollen die Ursprünge beider Systeme zusammenfallen. Aus der
nun ein Inertialsystem
bewegt. Zum
Invarianz des vierdimensionalen Abstandes und der Forderung einer linearen Transformation folgt,
dass das gesuchte Gesetz zum Wechsel von Inertialsystemen sich mathematisch als vierdimensionale Drehung im
Minkowski-Raum
darstellen lässt. Aufgrund der Pseudometrik hat eine solche
Drehung folgende Form:
 
cosh ψ
ct0
 x0   − sinh ψ
 0 =
 y  
0
0
z0

Dabei ist

ct
0 0
 x
0 0 

1 0  y
z
0 1
− sinh ψ
cosh ψ
0
0


.

(1.1)
ψ der geschwindigkeitsabhängige Drehwinkel und wird als Rapidität
bezeichnet. Für diese
gilt
tanh ψ =
v
.
c
Das gesuchte Transformationsgesetz nimmt also folgende Form an:
 
γ
ct0
 x0   −βγ
 0 =
 y   0
0
z0

−βγ
γ
0
0

ct
0 0
 x
0 0 

1 0  y
z
0 1




mit β =
v
1
, γ=p
.
c
1 − β2
(1.2)
Das bedeutet ausgeschrieben:
t0
=
t − v2 x
q c
2
1 − vc2
x0
=
x − vt
q
2
1 − vc2
y0
= y
z0
= z
Diese Transformation wird als (spezielle)
in (1.2) schreibt man
Die
Λµ ν (v).
Lorentz-Transformation bezeichnet. Für die Matrix
Lorentz-Transformationen bilden eine mathematische Gruppe mit
der Matrizenmultiplikation
Λ−1
µ
(v) = Λµ ν (−v). Insbesonν
dere ist also die Hintereinanderausführung zweier Lorentz-Transformationen selbst wieder eine
als Verknüpfung. Die Inversenbildung ist dann gegeben durch
Lorentz-Transformation.
Mit einigem Rechenaufwand erhält man
Λµ ν (v1 ) ◦ Λµ ν (v1 ) = Λµ ν (
v1 + v2
).
1 + v1c2v2
Dies ist das relativistische Additionstheorem für gleichgerichtete Geschwindigkeiten
u=
v1 + v2
.
1 + v1c2v2
(1.3)
Diese Verknüpfung von Geschwindigkeiten kann den Wert
c
nicht überschreiten. Es ist also konsi-
stent mit der Forderung, dass die Lichtgeschwindigkeit die Maximalgeschwindigkeit ist.
Eine weitere direkte Folgerung aus der
L = xb − xa
0
0
Gröÿen L und T
Lorentz-Transformation
T = tb − ta
sind Längenkontraktion und
Zeitdilatation . Seien
eine Länge und
die zu messenden
im bewegten Koordinatensystem
L0
=
x0b − x0a = γ −1 L < L,
T0
=
t0b − t0a = γ T > T.
ein Zeitraum im System
K0
K.
Für
gilt dann
Im bewegten Koordinatensystem werden also Längen gestaucht und Zeit vergeht dort langsamer.
2
Ÿ2
Vierervektoren
In der Physik werden Vektoren durch ihr Transformationsverhalten deniert. So ist ein dreidimensionaler Vektor
~a
ein Dreiertupel
(a1 , a2 , a3 ),
das sich unter Drehungen genauso transformiert
wie der Ortsvektor. Durch diese Denition wissen wir, dass jede vektoriell formulierte, physikalische Gleichung invariant unter Drehungen im dreidimensionalen Raum ist. Auf völlig analoge Weise werden nun Vierervektoren deniert. Ein kontravarianter Vierervektor
aµ
ist ein
(a , a , a , a ), das sich unter Lorentz-Transformationen genauso verhält wie
Ortsvektor (ct, x, y, z). Das bedeutet, dass jedes mit Vierervektoren formulierte physikalische
0
Vierertupel
1
2
3
der
Ge-
setz der speziellen Relativitätstheorie genügt.
Um eine bequemere Schreibweise zu erreichen, wird zu einem kontravarianten Vierervektor
kovariante Vierervektor
aµ =
3
X
aµ
aµ
der
deniert mittels
gµν aν .
ν=0
Dabei ist
gµν
der metrische Tensor , welcher im achen

gµν = g µν
1
 0
=
 0
0
0
−1
0
0
0
0
−1
0
Minkowski-Raum folgende Gestalt hat:

0
0 
.
0 
−1
(2.1)
Der metrische Tensor bewirkt also ein Heben oder Senken von Indizes durch das Ändern der Vorzeichen der räumlichen Koordinaten. Ist also
Weiterhin wird die
Einsteinsche
aµ = (a0 , a1 , a2 , a3 ),
so ist
aµ = (a0 , −a1 , −a2 , −a3 ).
Summenkonvention eingeführt, welche besagt, dass über zwei
gleiche Indizes, von denen einer oben und einer unten ist, stillschweigend summiert wird. Es ist
also
aµ bµ = aµ bµ = a0 b0 + a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 = a0 b0 − a1 b1 − a2 b2 − a3 b3 .
Auf diese Weise erhält man aus zwei Vierervektoren einen Viererskalar , also eine skalare Gröÿe,
die in allen Inertialsystem denselben Wert hat. Ein Beispiel hierfür ist die Länge eines Vierervektors
aµ aµ ,
die ja bekanntlich eine Invariante unter Inertialsystemwechseln ist.
Mit dieser Notation kann die Transformation von Vierervektoren nun folgendermaÿen geschrieben
werden:
µ
a0 = Λµ ν aν ,
a0µ = gµη g νλ Λη λ aν = gµη Λη λ aλ .
(2.2)
Abschlieÿend werden noch Vierertensoren eingeführt. Dies sind zweifach indizierte Gröÿen
Aµν ,
die sich folgendermaÿes transformieren:
A0
µν
= Λµ η Λν ξ Aηξ .
(2.3)
Auch bei Vierertensoren werden Indizes durch den metrischen Tensor verschoben:
Aµ ν = gλν Aµλ ,
Ÿ3
Aµν = gµλ gνη Aλη .
Relativistische Formulierung der Elektrodynamik
Ziel wird es nun sein, die Elektrodynamik in Viererschreibweise zu formulieren. Dieses impliziert
dann automatisch ihre
Lorentz-Invarianz.
Hierzu werden zuerst einige Vierervektoren eingeführt.
Das Vektorpotential
~
A
des Magnetfeldes und das skalare Potential
φ
des elektrischen Feldes ver-
schmelzen zum Viererpotential :
~
Aµ = (φ/c, A).
(3.1)
3
Die Viererstromdichte setzt sich zusammen aus Ladungsdichte
ρ
und Stromdichte ~
j:
j µ = (cρ,~j).
(3.2)
Weiterhin deniert man noch den Viererwellenvektor mit Frequenz
ω
und Wellenvektor
k µ = (ω/c, ~k).
~k:
(3.3)
Da in der Elektrodynamik Dierentialgleichungen auftreten, ist es notwendig, auch Ableitungen in
Viererschreibweisen auszudrücken. Dies führt zur Denition der Vierergradienten :
∂µ =
∂
=
∂xµ
1 ∂ ~
,∇ ,
c ∂t
∂µ =
∂
=
∂xµ
1 ∂
~ .
, −∇
c ∂t
Mit diesen Vierergradienten wird noch der d'Alembert-Operator
= ∂µ ∂ µ =
(3.4)
deniert:
1 ∂2
~ 2.
−∇
c2 ∂t2
(3.5)
Mit diesen Denitionen lassen sich nun viele Beziehungen der Elektrodynamik in
Lorentz-invarianter
Form darstellen. Sie gelten somit in allen Inertialsystemen.
+ div~j = 0
∂µ j µ = 0
⇔
∂ρ
∂t
∂µ Aµ = 0
⇔
1 ∂φ
c2 ∂t
⇔
 
~ 2 φ = ρ/0 
 12 ∂ 22 − ∇
c ∂t
~ = µ0~j 
~2 A
 12 ∂ 22 − ∇
Wellengleichung
ω 2 = c2~k2
Dispersionsrelation
Aν = µ0 j ν
Kontinuitätsgleichung
Lorentz-Eichung
~ =0
+ div A
c ∂t
kµ k µ = 0
⇔
In der Denition des Viererpotentials werden die Quellen des elektrischen und des magnetischen
zur einer einzigen Gröÿe zusammengeführt. In der relativistischen Formulierung bilden beide Felder
also eine Einheit. Sie sind sozusagen zwei Erscheinungsformen ein und derselben Sache nämlich des
elektromagnetischen Feldes. Deshalb macht es aus relativistischer Sicht keinen Sinn beide Felder
getrennt zu betrachten. Dies führt zur Denition des elektromagnetischen Feldtensors , in den
beide Felder gleichberechtigt eingehen.
F µν = ∂ µ Aν − ∂ ν Aµ
(3.6)
Werden nun die Denitionen der Felder
~
~ = −∇φ
~ − ∂A ,
E
∂t
~ = rot A
~
B
beachtet, so ergibt sich für den Feldtensor folgende Matrixdarstellung:

F µν
0
 1 Ex
c
=
 1 Ey
c
1
c Ez
− 1c Ex
0
Bz
−By

Fµν = gµλ gνη F λη
− 1c Ey
−Bz
0
Bx
0
 − 1 Ex
c
=
 − 1 Ey
c
− 1c Ez

− 1c Ez
By 
,
−Bx 
0
1
c Ex
0
Bz
−By
1
c Ey
−Bz
0
Bx
4
(3.7)
1
c Ez
By


.
−Bx 
0
(3.8)
Maxwell-Gleichungen
Dies ermöglicht es uns nun, die
∂µ F
= µ0 j
= − ∂∂tB
~ =0
div B
(
~ = ρ
div E
0
~ = µ0~j +
rot B
⇔
∂λ Fµν + ∂µ Fνλ + ∂ν Fλµ = 0
µν
(
ν
⇔
in Viererschreibweise zu formulieren.
~
~
rot E
~
1 ∂E
c2 ∂t
Eine interessante Frage ist es nun, wie sich die elektrischen und magnetischen Komponenten des
elektromagnetischen transformieren. Hierzu wenden wir das Transformationsgesetz (2.3) für Vierertensoren auf den Feldtensor an:
F0
µν
= Λµ η Λν ξ F ηξ .
Nachdem man dieses ausgerechnet hat, erhält man durch Koezientenvergleich folgendes spezielles
Transformationsgesetz für eine Bewegung in
Ex0 = Ex
x-Richtung:
Bx0 = Bx
v
Ez )
c2
v
Bz0 = γ(Bz − 2 Ey ).
c
Ey0 = γ(Ey − vBz )
By0 = γ(By +
Ez0 = γ(Ez + vBy )
Für eine Bewegung in eine beliebige Richtung
(3.9)
β~ =
~
v
c ergibt sich folgendes allgemeines Transfor-
mationsgesetz:
2
~
~0 = γ E
~ + cβ~ × B
~ − γ (β~ · E)
~ β,
E
1+γ
2
~
~ − 1 β~ × E
~0 =γ B
~ − γ (β~ · B)
~ β.
B
c
1+γ
(3.10)
Zum Schluÿ betrachten wir noch die Invarianten des elektromagnetischen Feldes. Durch Ausnutzen
der Viererschreibweise erhalten wir zwei Invarianten unter
Lorentz-Transformationen:
~ 2 − c2 B
~ 2 = invariant,
Fµν F µν ∼ E
~ ·B
~ = invariant.
λµνξ Fλµ Fνξ ∼ E
(3.11)
Hieraus folgt nun z.B. sofort, dass, wenn elektrisches und magnetisches Feld in einem Inertialsystem orthogonal sind, sie auch in allen anderen Inertialsystemen orthogonal sein müssen. Weiterhin
zeigt dieses, dass elektrisches und magnetisches Feld um Grunde genommen gar nichts verschiedenes sind. So gibt es im Fall
~ ·B
~ =0
E
immer ein Inertialsystem, in dem
~ =0
B
oder
~ = 0.
E
Dann
trägt in diesem System allein die elektrische (bzw. magnetische) Wechselwirkung zur elektromagnetischen Wechselwirkung bei, während in allen anderen Inertialsystemen beide wirken.
Beispiel. Als Beispiel betrachten wir nun ein Inertialsystem
sprung. Mit Geschwindigkeit
v
bewege sich ein System
K0
K
mit einer Punktladung
relativ zu
K
in
x-Richtung.
e
In
im Ur-
K
sind
somit folgende Potentiale gegeben:
φ(t, x, y, z) =
Im System
K
e
1
e 1
p
=
;
4π0 r
4π0 x2 + y 2 + z 2
~ x, y, z) = ~0
A(t,
hat das Viererpotential also folgende Gestalt:
Aµ (xµ ) = (φ/c, 0, 0, 0) = (
e
1
p
, 0, 0, 0).
2
4π0 c x + y 2 + z 2
Welches Viererpotential sieht nun ein Beobachter im System
µ
µ
A0 (x0 ). Dieses
µ ν
µ
µ
A0 (x0 ) = Λµ ν Aν ( Λ−1 ν x0 ).
suchen also das Potential
ist gegeben durch
5
K0
in gestrichenen Koordinaten? Wir
Rechnen wir nun schrittweise. Zuerst berechnet man leicht:
Aµ ( Λ−1
µ
ν
ν
x0 ) = (
e
1
q
, 0, 0, 0).
4π0
2
c (γ (x0 + βct0 )) + y 02 + z 02
Wenden wir nun hierauf die
µ
µ
A0 (x0 )
=
=
=
=
Λ µ ν Aν ( Λ
Lorentz-Transformation
−1 µ
an, so ergibt sich:
ν
ν
x0 )
γ(A0 − βA1 ), γ(A1 − βA0 ), 0, 0
(γφ/c, −γβφ/c, 0, 0)


e
e
1
1
γ
q
q
, −γβ
, 0, 0 .
4π0
4π0
2
2
0
0
02
02
0
0
02
02
c (γ (x + βct )) + y + z
c (γ (x + βct )) + y + z
Dies ist nun das Viererpotential, das der bewegte Beobachter in seinen Koordinaten sieht. Hieraus
berechnen sich weiter die für diesen Beobachter messbaren Felder:
~ 0 (t0 , ~x0 )
E
~ 0 (t0 , ~x0 )
B

x0 + βct0
1
,
y0
3/2 
2
0
0
0
02
02
z
(γ (x + βct )) + y + z


0
1
0
~ 0 = γβ e = rot 0 A
3/2  z  .
c 4π0
2
−y 0
(γ (x0 + βct0 )) + y 02 + z 02

~0
~ 0 φ0 − ∂ A = γ e = −∇
∂t0
4π0
Auf dasselbe Ergebnis sollte man auch kommen, wenn man die Transformationen des elektromagnetischen Feldes (3.9) verwendet. Hier kann die spezielle Transformation genommen werden, da
x-Richtung gewählt


x/γ
1
e
~ 0 (~x) = γ
 y ,
E
4π0 (x2 + y 2 + z 2 )3/2
z


0
γβ
e
1
~ 0 (~x) = −
 z .
B
c 4π0 (x2 + y 2 + z 2 )3/2
−y
die Orientierung der Inertialsysteme in
wurde. Damit ergibt sich
Diese Felder sind allerdings noch in ungestrichenen Koordinaten gegeben. Um also die Felder quasi
mit den Augen des bewegten Beobachters zu sehen, muss noch eine Ersetzung
xµ 7→ x0µ = Λµ ν xν
durchgeführt werden. Damit ergibt sich

x0 + βct0
1
~ 0 (t0 , ~x0 ) = γ e ,
y0
E
3/2 
4π0
2
0
0
0
02
02
z
(γ (x + βct )) + y + z


0
1
0
~ 0 (t0 , ~x0 ) = γβ e B
3/2  z  .
c 4π0
2
0
0
0
02
02
−y
(γ (x + βct )) + y + z

Dies sind die gleichen Ergebnisse wie oben. Wir sehen also, dass für den bewegten Beobachter das
Feld der Punktladung deformiert wird (Abb. 1). Auÿerdem tritt im bewegten Bezugssystem ein
Magnetfeld auf, das im ruhenden System nicht vorhanden ist.
6
(a) Ruhende Ladung.
(b) Bewegung mit
Abbildung 1: Verzerrung des elektrischen Feldes bei
nien.
7
v = 0, 95c.
Lorentz-Transformationen. Äquipotentialli-