Ubungen zur Vorlesung Mathematische Methoden II Dr. A

Übungen zur Vorlesung Mathematische Methoden II
Frühjahrssemester 2016
Dr. A. A’Campo-Neuen
16. März 2016
Aufgabenblatt 5
Wenn Sie sich für das Niveau E der Übungen entschieden haben, brauchen Sie nur die
ersten drei Aufgaben zu bearbeiten.
Aufgabe 1. (Kern und Bild) Die lineare Abbildung L: R3 → R4 sei definiert durch


 
2x1 + x2 + x3
x1
 x1 − x2 + 5x3 
.
L  x2  = 


3x1 + 6x3
x3
−x1 + 2x2 − 8x3
Bestimmen Sie die Dimensionen vom Kern und vom Bild von L. Können Sie für das Bild
von L eine Basis angeben? Wie lautet hier konkret die Dimensionsformel? Welchen Rang
hat die Matrix, die L bezogen auf die kanonischen Basen beschreibt?
(5 Punkte)
Aufgabe 2. (Basiswechsel) Die lineare Abbildung L: R2 → R2 werde, bezogen auf die
4
3
kanonische Basis A = (e1 , e2 ), durch die Matrix A =
beschrieben. Wie lautet
−2 11 3
1
die Matrix B von L bezogen auf die Basis B, gebildet aus v1 =
und v2 =
?
1
2
(4 Punkte)
 




1
0
0
Aufgabe 3. (Räumliche Drehung) Seien v1 =  0 , v2 =  cos β , v3 =  sin β .
0
− sin β
cos β
Prüfen Sie nach, dass diese drei Vektoren ein rechtwinkliges Koordinatensystem aufspannen. Die räumliche Drehung um die Achse durch v3 um den
auf
 Winkel α wird, bezogen

cos α − sin α 0
die Basis B = (v1 , v2 , v3 ) von R3 , durch die Matrix B =  sin α cos α 0  beschrie0
0
1
ben. Wie lautet die Matrix A dieser Drehung bezüglich der kanonischen Basis (e1 , e2 , e3 )
von R3 ? Rechnen Sie zur Kontrolle nach, dass Av3 = v3 ist.
(5 Punkte)
Aufgabe 4. (Kern und Bild vorgegeben) Konstruieren
  Sie eine lineare Abbildung von
1
R3 nach R3 , so dass der Kern die Gerade durch u =  2  und das Bild die y-z-Ebene ist.
3
(3 Punkte)
Aufgabe 5. (Projektionen) Eine lineare Abbildung P : V → V ist eine Projektion, wenn
P (P (v)) = P (v) für alle v ∈ V . Zeigen Sie, dass dann folgendes gilt:
(a) P (w) = w für alle w ∈ Bild(P ).
(b) Bild(P ) ∩ Kern(P ) = {0}.
(c) Kern und Bild spannen zusammen den ganzen Vektorraum V auf.
(3 Punkte)
Abgabe: Freitag, den 1. April 2016, in der Vorlesung oder bis 12 Uhr im Mathematischen
Institut.