DUISBURG ESSEN 8. ¨Ubung zur LINEAREN ALGEBRA für GrH

Universität
DUISBURG
ESSEN
PD Dr. L. Strüngmann
Campus Essen, Mathematik
Dipl.-Math. S. Friedenberg
Dr. S. Wallutis
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WS 2008/09
Übungsmaterial sowie andere Informationen zur Veranstaltung unter:
http://www.uni-due.de/algebra-logic/struengmann.shtml
8. Übung zur LINEAREN ALGEBRA für GrH
Hinweis: Aufgaben, die mit einem (H) gekennzeichnet sind, sind als Hausaufgaben
gedacht. Für diese können Sie in der kommenden Woche eine Musterlösung im Netz
finden.
Aufgabe 35
Die reelle Matrix Dα =
cos(α) sin(α) −sin(α) cos(α)
beschreibt eine Drehung eines gegebenen
Vektors x = (x1 , x2 ) ∈ R2 um einen Winkel α. Prüfen Sie dies im Fall von α = 90◦
nach. Zeigen Sie ferner, dass Dα+β = Dβ · Dα gilt.
Aufgabe 36
Wir befinden uns im R2 , in dem uns sowohl die Standardbasis B = {(1, 0), (0, 1)} als
auch die Basis B 0 = {(1, 3), (2, 4)} vorgegeben seien. Des Weiteren sei ϕ : R2 → R2
mit ϕ((x, y)) = (2x − y, x + y) gegeben. Prüfen Sie zunächst nach, dass es sich im
Falle B 0 wirklich um eine Basis handelt. Geben Sie nun die Matrix AB (ϕ) an, welche
die Abbildung ϕ bzgl. der Basis B beschreibt an um anschließend die Matrix AB 0 (ϕ)
zu bestimmen.
Aufgabe 37
Gegeben sei ϕ : R2 → R3 mit ϕ((x, y)) = (y, x+y, x−y). B2 und B3 seien jeweils die
Standardbasen. B 0 sei wie in Aufgabe 36 gewählt und C 0 = {(1, 0, 1), (1, 1, 1), (1, 0, 0)}.
Bestimmen Sie die ϕ darstellende Matrix bzgl der Basen B 0 und C 0 .
Aufgabe 38
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Lösen sie Aufgabe 37 mit den folgenden, veränderten Werten:
ϕ : R3 → R2 mit ϕ((x, y, z)) = (x + z, x − 2y)
Standardbasen B3 bzw. B2 sowie B 0 = {(1, 2, 3), (0, 2, 1), (1, 1, 0)} und C 0 = {(1, 1), (1, −1)}.
(H)
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